Esercizi di Analisi Matematica

Università degli Studi di Udine Anno Accademico 005/06 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Informatica Esercizi di Analisi Matematica Esercizi del 9 settembre 005 Dimostrare che se a b c > 0 allora a/b + c < a/b < a + c/b Cioè se si parte da una frazione positiva questa aumenta se si aumenta il numeratore ma cala se si aumenta il denominatore Dimostrare che / + quando 0 3 Risolvere le disequazioni razionali seguenti: 3 + 4 < 6 + 3 6 + 3 + 5 > 0 + 6 0 + 3 < 0 + 3 + 4 5 + 6 3 + 4 3 + + 5 Esercizi del 7 ottobre 005 4 Da a < b segue che a < b? Segue che a < b? 5 Risolvere le disequazioni con valori assoluti seguenti: 5 + 3 < 4 + 4 < 0 3 + 6 < 0 5 + 3 3 + 6 < 0 6 + 4 + > 0 3 4 5 > 5 + 3 + 5 > 5 + + 6 Studiare il segno delle espressioni seguenti cioè dire per quali sono positive negative nulle: + 3 3 + + 3 3 3 + 3 8 + 6 43 4 + 7 5 3 3 + + 4 + 4 + 4 6 +

7 Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni: { + > 0 3 < 0 { 3 4 + 4 6 > 0 { 5 + 6 6 + < 0 + 3 + 6 + 6 < 4 + < 4 3 5 + 6 < 0 5 4 < 0 + > 0 3 + 3 6 + 5 + < Esercizi del 4 Ottobre 005 8 Dimostrare che la disuguaglianza n! 3 n è ereditaria almeno per n Per quali n è vera? 9 Dimostrare che 4 5 n 5 4 n per n Verificato poi che n + 4 5 n > 4 5 n 5 4 n > 3 n + 3 4 n dimostrare che n + 5 n 3 n + 4 n n Per il passo induttivo sommare membro a membro con n + 4 5 n 3 n + 3 4 n 0 Dimostrare che n! > 4 n n!n! per n Dimostrare che 5 n n n per n Moltiplicare membro a membro per 5 n + /n che è vera per Dimostrare che per n nn + 3 + 3 + 3 3 + + n 3 = 3 Dimostrare che per ogni n + + 3 3 + + n n = + n n+ 4 Esercizio avanzato Trovare delle condizioni sui coefficienti a b c che possono dipendere da ma non da n in modo che la formula P n seguente + + 3 3 + + n n = a + bn + c n+ sia ereditaria rispetto a n cioè P n P n + per n Trovare per quali coefficienti P n è vera per ogni n Scrivere la formula di P n + rimpiazzarne una parte usando P n semplificare e imporre che il risultato valga per ogni n

5 Esercizio avanzato Trovare delle condizioni sui coefficienti a b c d indipendenti da n in modo tale che la formula P n seguente + + 3 3 + + n n = a + bn + cn + d n+ sia ereditaria rispetto a n cioè P n P n + per n Trovare per quali coefficienti P n è vera per ogni n Scrivere la formula di P n + rimpiazzarne una parte usando P n semplificare e imporre che il risultato valga per ogni n Esercizi del 4 Ottobre 005 6 Trovare massimo e minimo dei seguenti insiemi finiti di numeri reali: { 7 4 9 3 6 9 3 8 5 4 } { 4 4 } π + { 3 4 + 3 + π 3 } 7 Trovare massimo minimo quando ci sono ed estremo inferiore e superiore degli insiemi di numeri reali seguenti: Q {n n Z n 0} {/n n N n } [ 5 + [ { R < 0 { } { < } R + 0 R } 0 { R } { n } n N n n Esercizi del 5 ottobre 005 8 Dimostrare che le seguenti uguaglianze sono vere per ogni R disegnando anche un grafico dei due membri: ma{ } = ma{ 0} = + + min{ } = ma{ } = 3 + min{ ma{ 0} } = + + + { } 4 ma min{ + } = 9 Risolvere le seguenti disequazioni: ma{ } < ma{ } > min{ } 0 min{ } < ma{ + } min { 3 } < 3

Esercizi del novembre 005 0 Stabilire se le disuguaglianze seguenti sono vere o false per via simbolica elevando al quadrato o al cubo ambo i membri e rimaneggiando quando lecito senza calcoli approssimati in virgola mobile: 5 < + + 4 < 3 3 3 > + < 3 3 < 5 Risolvere le seguenti disequazioni irrazionali: + < + + 4 + + 4 + 7 > + + 3 < + 0 4 > < 0 3 < 4 8 { + 8 < 7 3 + 0 Esercizi del 9 novembre 005 Vero o falso? log 3 = 3 3 log 3 = log 4 = log 3 3 = 3 3 < 7 = / log 3 = 3 5log 3 < 5 log 5 6 log a = a3 log a 3 / = 3 log + 3 > log 6 log a + 3 = log a + log + 3/ 3 Vero o falso? sen = cos sen + π = sen senπ = sen [ ] sen arcsen = [0 ] arccos = arcsen [ ] arccos = arcsen 4 Trovare l insieme di definizione delle formule seguenti quando per i logaritmi non è indicata la base vuol dire che non ha importanza: / log log + log log log 3 log 3 log 3 sen/ log log 4 arcsen

arcsenlog arctan + arccos + log + + + 6 arcsen3 log min{ } + + 3 log + sen/ arcsen Esercizi del 6 Novembre 005 5 Verificare che la definizione di ite ε > 0 δ > 0 dom f : 0 < 0 < δ f L < ε resta soddisfatta nei seguenti casi con le date scelte di δ: = con δ = ε + = con δ = ε/ = con δ = ε/ { log + ε se ε = con δ = min { log + ε log ε } se 0 < ε < Esercizi del 5 Novembre 005 6 Verificare che la definizione di ite ε > 0 N R dom f : > N f L < ε resta soddisfatta nei seguenti casi con le date scelte di N: = 0 + con N = /ε con N = /ε = = con N = / ε = 0 con N = log ε 7 Verificare che la definizione di 0 f = + cioè M R δ > 0 dom f : 0 < 0 < δ f > M resta soddisfatta nei seguenti casi con le date scelte di δ: { = + con δ = positivo non importa quanto se M 0 /M se M > 0 { positivo non importa quanto se M 0 = + con δ = + = + con δ = / M se M > 0 { positivo non importa quanto se M 0 /M se M > 0 5

8 Verificare che la definizione di f = + cioè M R N R dom f : > N f > M resta soddisfatta nei seguenti casi con le date scelte di N: = + = + con N = = + con N = + = + con N = con N = M { non importa quanto se M < 0 M se M 0 { non importa quanto se M 0 log M se M > 0 { / se M 0 M + M + M se M > 0 9 Trovare δ o N appropriati per la definizione di ite nei seguenti casi: + = + = = + + = 3 3 = 0 ma{ } = Esercizi del dicembre 005 30 Sapendo che le funzioni costanti sono continue e che la funzione è continua tende a + per + e tende a per e usando le regole su somma prodotto e quoziente dei iti calcolare i iti seguenti 3 4 + + + + 3 3 + + 3 + + + 3 + + 4 + 3 + + 3 + + + + + + + + + 3 + + + 3 3 + 3 4 + 4 + + + + + + + + + 4 + 4 6

3 Sapendo che la radice quadrata è continua e che tende a + per + calcolare i iti seguenti: 3 3 + 4 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 3 + + + + 3 Ricordando che seno e coseno sono sempre compresi fra e e usando il teorema del confronto calcolare i iti seguenti: cos cos + + sen cos + cos3 + cos 4 + sen + sen + + sen + sen 33 Ricordando che seno e coseno sono continui che sen / e cos / / per 0 più la regola del cambio di variabile prodotti notevoli scomposizioni in fattori calcolare i seguenti iti: sen tan sen π + sen cos + sen sen sen sen sen cos cos cos + 3 3 sen cos sen cos 3 cos + cos 3 7

34 Ricordando la continuità e i iti agli estremi delle funzioni esponenziali e logaritmiche e i iti di a / n e log a / per + oltre alle regole già viste prima calcolare i seguenti iti: 3 5 4 sen 3 + 3 3 + + 3 / / log log + log log 3 + log 3 + 3 + 3 / log 33 log + log + log log + log log log log log log + / log 33 35 Esercizi di ricapitolazione: + / log + 3 cos 3 sen / / +sen + sen sensen cossen cos sen cos sen 4 + cos sen sen cos log 3 3 + cos log + cos cos cos sen cos + sen sen sen Esercizi del 0 gennaio 006 36 Dimostrare che la somma di due funzioni strettamente o debolmente crescenti è crescente E la somma di due funzioni decrescenti? E la somma di una funzione crescente con una decrescente? 37 Dimostrare che il prodotto di due funzioni positive crescenti è crescente E il prodotto di due funzioni negative crescenti? Lo stesso per due funzioni positive decrescenti o negative decrescenti E il prodotto di due funzioni crescenti che cambiano segno? 8

38 Verificare che per ogni y 0 con y si ha y = y/ + y Dedurre che la funzione f := è strettamente crescente su [0 + [ 39 Consideriamo la funzione f := 3 / + Verificare che per ogni y R si ha f fy = + y + + y + y + + y y Dedurre che la funzione f è strettamente crescente su R Esercizi del 5 gennaio 006 Dare per noti la continuità di esponenziale e logaritmo nonché i iti di + / per ± ; di + / ln + / e / per 0; di n! n n! n!/a n per n + 40 Giustificare le disuguaglianze e dedurne che n n n! = n n n 3 n n n n n = n n n n + n! = + cioè che n n va all infinito più velocemente del fattoriale 4 Avanzato Con una variante del metodo dell esercizio precedente dimostrare che n + n n n +! = + 4 Calcolare n + n n n + n + n! + ln n n + n n n + n + e n n! 43 Calcolare i seguenti iti usando per esempio il fatto che se 0 < f a e g b allora f g a b eccetto nei casi indeterminati e 0 0 : n + n+ n n + n + n 3n + n n n n + n + n n3 3n + n n! en n + n + n en + 3 n n n 9

44 Calcolare i seguenti iti: + sen / + n + n + n n + n + n + n + n + 3 n/ n + 3 n/ n + 3 n/ n + n + n + n + n + n + / lne + ln e + / + + / / / / cos cos cos sen e + e / sen + 3 / ln+ e + sen / 45 Avanzato Calcolare i iti seguenti: 46 Avanzato Calcolare i iti seguenti: + + 3 + + 3 + Esercizi del 6 febbraio 006 47 Avanzato Sia f: R R una funzione continua tale che esistano finiti f e f Dimostrare che f è itata Ha necessariamente punti di massimo o minimo globale? 48 Avanzato Sia f: R R una funzione continua tale che f > 0 per ogni R e supponiamo che f 0 sia per che per + Dimostrare che esiste almeno un punto di massimo globale per f 49 Avanzato Sia f: R R una funzione continua per la quale i iti per + e per esistono finiti e coincidono Dimostrare che almeno uno fra il sup R f e l inf R f è un valore assunto da f Esercizi del 3 febbraio 006 50 Avanzato Sia f: R R una funzione continua tale che f + sia per che per + Dimostrare che f ha almeno uno zero 5 Avanzato Considerare la funzione f := 3 su [a b] = [0 ] e siano [a n b n ] gli intervallini prodotti dal metodo di bisezione del teorema dell esistenza degli zeri Calcolare esplicitamente a n b n per n da a 3 Mostrare per induzione che a n e b n sono tutte frazioni con denominatore una potenza di Dedurre che la bisezione non termina in un numero finito di passi 0

5 Avanzato Considerare la funzione cos sull intervallo [0 3π] Siano [a n b n ] gli intervallini prodotti dal metodo di bisezione del teorema dell esistenza degli zeri A cosa tendono a n e b n per n +? 53 Avanzato Sia f: R R una funzione continua tale che f + sia per + che per Dimostrare che esiste almeno un punto di minimo globale per f e che ogni valore maggiore del valore minimo viene assunto in almeno due punti distinti 54 Avanzato Verificare che vale l uguaglianza 3 a 3 b 3 = a b 4 b + a + b Dedurne che a 3 b 3 e a b hanno sempre lo stesso segno Dimostrare quindi che la funzione f := 3 + è strettamente crescente su tutto R Mostrare anche che fr = R che f è invertibile e che l inversa è continua Usare il teorema dei valori intermedi e il teorema sull invertibilità 55 Calcolare la derivata della funzione f := nel punto generico 0 usando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale Scrivere poi l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = 56 Calcolare la derivata della funzione f := / + nel punto 0 = usando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale Lo stesso per la derivata nel punto generico 0 Scrivere l equazione della retta tangente nel punto 0 = 57 Calcolare la derivata della funzione f := nel punto generico 0 > 0 usando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale La f ha derivata nel punto 0 = 0? È derivabile in 0 = 0? Scrivere poi l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = Esercizi del 5 febbraio 005 58 Calcolare la derivata della funzione f := log3 nel punto generico 0 > /3 usando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale Scrivere poi l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = 59 Calcolare la derivata della funzione f := 3 nel punto generico 0 usando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale La f ha derivata nel punto 0 = 0? È derivabile in 0 = 0? Si ricordi che si parla di funzione derivabile quando la derivata esiste finita Scrivere poi l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = Ricordare il prodotto notevole a ba + ab + b = 60 Calcolare la derivata della funzione f := 3 sen nel punto generico 0 per il quale sen 0 0 usando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale La f ha derivata nel punto 0 = 0? È derivabile in 0 = 0? Scrivere poi l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = π/3

6 Avanzato Calcolare la derivata della funzione f := 3 3 + nel punto generico 0 usando la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale La f ha derivata nel punto 0 = 0? È derivabile in 0 = 0? Scrivere poi l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = 6 Calcolare le derivate nel punto generico delle funzioni seguenti: 3 + 8 + sen 5 + 9 e + cos 5 7 + 3 5 6 + cos ln sen ln e cos + sen + sen ln + 7 5 + 3 3 + 4 3 cos + sen e 5 cos 5 + cos π tan + e 5 sen cos 3 sen + e + ln + tan + + ln sen + e + e + sen Esercizi del 3 febbraio 006 63 Calcolare la derivata delle seguenti somme di funzioni specificando su quale dominio siano definite: f = sen +3 arctan f = 4 +arcsen f 3 = log cos + 64 Calcolare la derivata dei seguenti prodotti di funzioni specificando su quale dominio siano definite: f 4 = 3/ log f 5 = sen cos f 6 = e 3 f 7 = 3 sen log f 8 = log arctan f 9 = 5 arcsen cos 65 Calcolare la derivata delle seguenti funzioni specificando su quale dominio siano definite: f 0 = 3 f = arcsen f = + cos 66 Calcolare la derivata delle seguenti funzioni razionali specificando dove fattibile su quale dominio siano definite: f 3 = + 7 5 f 4 = + 3 5 + f 5 = 5 + 3 f 6 = + + f 7 = 43 + 6 6 4 9 + 4 3 + 6 6 4 9 +

67 Calcolare la derivata delle seguenti funzioni composte specificando su quale dominio siano definite: f 8 = 3 + f 9 = + f 0 = log 3 f = 5 log 3 f = arctane + f 3 = 3+sen f 4 = arcsen 3 f 5 = senlog3 + 5 f 6 = e3+ sen + 4 68 Calcolare la derivata delle seguenti funzioni forma esponenziale specificando su quale dominio siano definite: f 7 = arctan f 8 = 3 + 5 sen + f 9 = f30 = logarctan / + 3 69 Avanzato Sia f: [a b] R derivabile e supponiamo che f a ed f b siano di segno opposto Dimostrare che esiste c [a b] tale che f c = 0 Applicare il teorema del massimo/minimo di Weierstrass 70 Avanzato Sia I un intervallo e f: I R una funzione non monotona Dimostrare che in I esistono tre punti < < 3 tali che f non è compreso fra f e f cioè è maggiore o minore di entrambi Dimostrare poi che se f è anche derivabile allora la derivata si annulla in almeno un punto Esercizi del marzo 006 7 Delle seguenti funizioni trovare il dominio di definizione studiare il segno della derivata e dedurne gli intervalli di crescenza/decrescenza e i punti di massimo/minimo locali e globali: 3 + 4 3 + + + 4 + + + 4 + log log + 3 + + + + log + log + arctan + arcsen arctan arcsen + arccos arctan loglog e +3 Esercizi del marzo 006 3

7 Calcolare i seguenti iti usando eventualmente la regola de L Hôpital se ritenuto lecito e opportuno: log + log π arctan sen e + sen π arcsen π arcsen e sen 3 + log + 3 3 tan cos log + log + e / + + sen arcsen + e + + + 5 sen 3 + sen log9 + + loge + sen tan 5 e 4 cos + sen e + 9 3 + sen log log + + + + cossen cos 73 Consideriamo il ite e e e e È una forma indeterminata? Applicando la regola de L Hôpital ripetutamente più volte si arriva prima o poi a una forma non indeterminata? C è un altra via per calcolare il ite? 74 Delle seguenti funzioni studiare il segno della derivata seconda e dedurne gli intervalli di convessità/concavità e i punti di flesso: 3 + 4 3 + + + + + 4 + log log + 3 + + + + log + arcsen arctan arcsen loglog e +3 75 Studiare le seguenti funzioni dagli appelli estivi 004 e 005: 4 + 5 3 + + 3 + log 3 3 + 3 + + ln 3 3 + + + + 4

Esercizi del maggio 006 76 Trovare i polinomi di Taylor delle seguenti funzioni centrati nei punti 0 e degli ordini n specificati: e 0 = n = 3; sen 0 = π/6 n = ; sen 0 = 0 n = 3; 0 = 0 n = 4; e 0 = 0 n = 4; log 0 = 0 n = 3; cos 0 = 0 n = 5; cos 0 = 0 n = 3; e sen 0 = 0 n = 3; + 0 = 0 n = 3 77 Calcolare i seguenti iti usando i polinomi di Taylor: e cos + cos sen sen cos e cos sen e cos sen cos 3 78 Data la funzione f = log dimostrare che la derivata n-esima per n è f n n! = n Dedurne che il polinomio di MacLaurin di f di ordine n è + + 3 3 + 4 4 3 + 5 5 4 + + n nn 79 Data la funzione f = / dimostrare che la derivata n-esima per n 0 è f n = n +! n+ Dedurne che il polinomio di MacLaurin di f di ordine n è + + 3 + 4 3 + 5 4 + + n + n 80 Avanzato Siano f g due funzioni derivabili n volte e siano F G i loro polinomi di MacLaurin di ordine n Sia poi H il polinomio ottenuto cancellando nel prodotto F G tutti i monomi di grado > n Dimostrare che H è il polinomio di MacLaurin del prodotto f g 5

Esercizi dell maggio 006 8 Trovare primitive delle seguenti funzioni cioè funzioni le cui derivate siano le funzioni date: f = 7 3 5 +3+ f = 7 5 7 f 3 = sen 3 cos f 4 = 3 + 5 f 5 = 5 + cos f 6 = 53 3 7 4 f 7 = 3 4 3 + f 8 = 5 cos 3 cos f 9 = 5 cos + 5 f 0 = +4 sen f = 3 f = + 7 8 Avanzato Siano f := F := 3 /3 per [0 ] e sia 0 < ε Mostrare che δ := ε + è un calibro che fa tornare i conti nella dimostrazione del teorema fondamentale ossia è tale che 0 < h δ e + h [0 ] F ε F + h F h F + ε Dedurre per esempio che se Π è una suddivisione di [0 ] di ampiezza minore di ε/ allora Sf Π /3 < ε Esercizi del 9 maggio 006 83 Trovare primitive delle seguenti funzioni: f 3 = f 4 = cos3 + 4 f 5 = 5e 5 f 6 = 3 sen cos 3 f 7 = + 3 + 3 + f 8 = 7 + 9 f 9 = cos f 0 = 3 4 f = cos sen f = 4 f 3 = 5 + 9 f 4 = arctan3 + 84 Trovare primitive delle seguenti funzioni utilizzando il metodo per parti: f 5 = e f 6 = log4 f 7 = e f 8 = e sen f 9 = arctan f 30 = 3 + cos f 3 = log f 3 = log f 33 = e 3 sen 6

Esercizi del 6 maggio 006 85 Calcolare i seguenti integrali utilizzando la sostituzione suggerita: 6 4 5 d = t + 9 + 5 d = t 3 + 3 3 + d = t 3 e d + e = log t arcsen d = sen t 86 Trovare l integrale indefinito delle seguenti funzioni razionali: f = 3 5 f = 7 f 3 = 4 + 3 f 5 = f 8 = + f 6 = + + f 9 = 6 + 5 f 7 = 3 + f 0 = f 4 = 3 + 4 4 + + + 5 f = 3 + f = 3 + + f 3 = + + + f = 5 + 4 f = + + + 3 f 3 = 3 87 Ricordando le formule utilizzare la sostituzione sen = tan + tan cos = tan + tan = arctan t ovvero t = tan per calcolare gli integrali indefiniti delle seguenti funzioni: f 4 = sen f 5 = f 6 = cos + sen + sen 5 cos + 7

88 Calcolare gli integrali indefiniti delle seguenti funzioni mediante la sostituzione t = e f 7 = 3e e 3e + f 8 = e + e e + 89 Ricordando le formule utilizzare la sostituzione sen = tan + tan cos = = arctan t ovvero t = tan per calcolare gli integrali indefiniti delle seguenti funzioni: f 7 = + sen f 8 = + tan sen 4 cos Esercizi del giugno 006 90 Studiare la convergenza delle seguenti serie riconducibili alla serie geometrica e calcolarne la somma: + n=0 4 5 n + n=0 3 n + + + 4 3n+ 5 n 4 3 3n n=0 n= n= 9 Studiare la convergenza e calcolare la somma delle seguenti serie telescopiche: + n=0 + arctann + arctann sen + n= n + n + n + n n= + n= e n e n n + n + sen n 9 Studiare la convergenza delle seguenti serie utilizzando il criterio del confronto con una serie geometrica di Mengoli armonica: n= + n sen n 3 n + n= nn + logn + n= log n n 8

Esercizi dell giugno 006 93 Studiare la convergenza delle seguenti serie utilizzando i criteri della radice e/o del rapporto senza dimenticare il criterio necessario a n 0: n n + 5 n n + 3 3n + 7 4n n + 4n + n= n= n= n n n n n 3 + n 3n n + 7 n n! n= n= n= n 5 n! n= n= 3n + n! n n= n= n n! n 3 + n= n! n! 94 Studiare la convergenza delle seguenti serie utilizzando il criterio del confronto asintotico: arcsen sen 4 n n 4 sen n n 7 n= n= n= n arcsen e /n cos/n n n n= n= tan /5 n n= n= n cos n n= 3 n n 5 n + n + 95 Studiare la convergenza semplice ed assoluta delle seguenti serie Per la convergenza semplice usare qualora lecito e utile il criterio di Leibniz: n n n 3 n n + 3 + 5n 4 n tan + n= n= n= n n n n e n logn + n log n n= n= n sen + 3 arcsen n n + n n n4 + + n= n= n= Esercizi del 5 giugno 006 96 Trovare il dominio delle seguenti funzioni di due variabili e disegnarlo sul piano cartesiano Rappresentare le linee di livello delle funzioni f f 7 9

f y = + y y + 3 f y = f 4 y = y f 3 y = log + + y 3 4 y f 5 y = log + y 7 f 6 y = 3 + y f 7 y = e y+ f 8 y = + y 0 + log9 3 y f 9 y = 4 y y 97 Trovare il dominio e calcolare le derivate parziali prime e seconde delle seguenti funzioni: g y = 5 3 7 3 y + 3 y 8 + g y = y g 3 y = 3y + + y 3 g 4 y = e /y g 5 y = cos y 3y e +y g 6 y = 7 4y g 7 y = e 3 y g 8 y = tany g 9 y = log3 y g 0 y = arctan y g y = y 3y + g y = e cos cos y 98 Trovare i punti stazionari delle seguenti funzioni e dire se sono punti di massimo/minimo relativo o di sella k y = y + y + + k y = + y + k 3 y = e +y k 4 y = 3 + y 3 3 y 3y + 5 0