Il sistema di rating Elo nel Tennis Tavolo italiano Allegato tecnico del regolamento di calcolo della classifica individuale 9 agosto 207 Struttura del sistema Il sistema di rating ha come riferimento due periodi temporali che ne definiscono la struttura. Vi è il periodo annuale, da inizio Settembre a fine Giugno dell anno successivo, durante il quale i giocatori disputano gli incontri, sia di campionato sia nei tornei, e guadagnano o perdono punti a seconda dei risultati. All inizio del periodo annuale viene definita una classifica iniziale dei giocatori (CI) che viene in seguito aggiornata alla fine di ogni mese in base ai risultati ottenuti negli incontri di quel mese. A fine anno, la classifica finale (CF ) si ottiene applicando ulteriori regole al risultato dall ultimo aggiornamento di fine Giugno. Rispetto alla classifica, i giocatori possono essere in uno dei seguenti stati:. classificato: il giocatore è regolarmente inserito nella classifica mediante l assegnazione di un punteggio che cambia durante l anno per effetto degli incontri disputati. 2. non classificato: al giocatore viene inizialmente assegnato un punteggio provvisorio. Anche questo punteggio cambia durante l anno per effetto degli incontri disputati, ma con regole differenti da quelle del punto precedente.
3. fuori quadro: il giocatore aveva un punteggio regolarmente assegnato (classificato), ma per un dato periodo non ha disputato incontri. Per ritornare in classifica deve disputare un certo numero di incontri. Un giocatore non classificato (dunque con un punteggio provvisorio) diviene classificato alla fine di un dato mese se da inizio anno (Settembre) a quel mese disputa almeno 0 incontri con giocatori classificati e ne vince almeno. Per esempio, supponiamo che il giocatore Mario Rossi ad inizio anno risulti non classificato e gli venga quindi assegnato un punteggio provvisorio. Se alla fine di Dicembre ha disputato 9 incontri, con vittoria, resta non classificato e il suo punteggio resta provvisorio. Se il mese successivo, alla fine cioè di Gennaio, il numero di incontri disputati sale a 2, in quel momento (e non alla fine del 0 o incontro che cade all interno di Gennaio) gli viene assegnato un punteggio definitivo. Ne segue che i punti relativi all -esimo e al 2-esimo incontro sono comunque da assegnare secondo le regole con cui si gestiscono i punteggi provvisori. Se il punteggio di un giocatore resta provvisorio al termine del periodo annuale (fine Giugno), egli non viene inserito nella classifica finale e all inizio dell anno seguente il suo stato resta quello di non classificato, con punteggio iniziale che viene riassegnato e numero di incontri disputati/vinti azzerato. E prevista la normalizzazione della classifica finale CF in modo che i punti di ogni giocatore cadano nell intervallo [500... 5000]. Pertanto il primo classificato (o i primi classificati) avranno per definizione 5000 punti e l ultimo (o gli ultimi) 500 punti.. Aggiornamento del rating in base ai risultati L aggiornamento della classifica avviene come si è detto alla fine di ogni mese. La formula considera la classifica all inizio di quel mese e gli incontri che i giocatori hanno disputato in quel mese. Per il giocatore A che ha disputato N incontri in un dato mese, contro gli avversari P,..., P N la variazione di punti è data da: R A = R A + N γ m K (S A,Pm E A,Pm ) + B () m= ove R A è il rating di A ad inizio mese, R A il nuovo rating, γ m l opportuno coefficiente di peso per l incontro m-esimo, K una costante che definiamo tra poco, S A,Pm {0, } un coefficiente che vale se A vince contro P m, 0 se perde e B la somma algebrica dei bonus/malus (ottenuti nei tornei). Posto B = P m, il termine E A,B è responsabile dei punti assegnati nel singolo incontro e vale: I dettagli vanno oltre lo scopo di questo documento e sono da ricercare nel regolamento ufficiale. 2
200 50 Ψ (x) Ψ 0 (x) 00 punti vinti/persi 50 0 50 00 50 200 3000 2000 000 0 000 2000 3000 differenza punti E A,B (R A, R B ) = (2) + e (R B R A )/σ Il valore dei parametri nelle eq. () e (2) è: K = 60 (K = 500 se il giocatore ha un punteggio provvisorio), σ = 750. Posto x = R A R B la differenza di rating fra A e B, si possono allora definire due funzioni Ψ e la Ψ 0 come: e ( ) Ψ (x) = 60 + e x/750 Ψ 0 (x) = 60 (4) + e x/750 che rappresentano il numero di punti assegnati al giocatore A rispettivamente quando vince e quando perde l incontro contro B. Il grafico di fig.. mostra i punti vinti e persi in funzione di x. Sia dal grafico di fig.., sia dalle definizioni stesse delle (3) e (4) si evincono importanti proprietà strutturali (valide a condizione che entrambi i giocatori siano classificati):. esistono un tetto massimo pari a K = 60 e un tetto minimo di 0, sia per i punti vinti, sia per i punti persi, qualunque sia il rating iniziale dei giocatori. (3) 3
2. la quantità di punti guadagnati dal vincitore nel singolo incontro è identica a quella persa dall avversario nello stesso incontro. La somma dei punti dei due giocatori prima e dopo l incontro rimane quindi costante. I punti si trasferiscono dal perdente al vincitore, ma l incontro in sè non genera punti dal nulla e nemmeno ne distrugge. 3. quando il rating dei giocatori è simile R A R B, la differenza fra i punti assegnati al vincitore col metodo classico (dei ricicli) è piccola. Per esempio se R A = R B x = 0, entrambi i metodi assegnano 80 punti al vincitore. 4. il termine E A,B definito nella (2) prende il nome di valore atteso e indica la probabilità (stimata) che il giocatore con rating iniziale R A vinca contro R B. Da notare i tre casi interssanti: R A R B E A,B, R A R B E A,B 0 e infine R A = R B E A,B = /2. 5. le due funzioni Ψ (x) e Ψ 0 (x) sono continue in ogni loro punto, così come tutte le loro derivate di ordine n. Questo permette di evitare punti di discontinuità o angolosi che potrebbero produrre squilibri nei valori di rating. 6. il sistema così definito, nel lungo termine è autoriparante. Anche supponendo che l assegnazione del rating iniziale non sia accurata, il continuo disputare incontri, porta il rating attuale a livellarsi su quelle che sono effettivamente le probabilità di vittoria di un giocatore rispetto a un dato avverario. Il sistema converge cioè verso l equità. 7. durante l anno è possibile che alcuni giocatori abbiano punteggi negativi. La normalizzazione di fine anno tuttavia previene questa casistica nella classifica finale CF. Nel caso ci si trovi invece con dei giocatori non classificati, si applicano le (5) e (6), una variante delle (3) ed (4) con il coefficiente K = 500. e.2 Esempi di calcolo ( Ψ ) (x) = 500 + e x/750 Ψ 0(x) = 500 (5) + e x/750 (6) Presentiamo qui alcuni esempi pratici per il calcolo della variazione di rating fra due giocatori. 4
.2. Esempio Il giocatore A con 8237 punti gioca e vince contro il giocatore B che ha 792 punti. L incontro ha peso unitario (γ = ) ed entrambi i giocatori sono classificati (i.e. punteggio non provvisorio). Di quanto varia il loro rating? La differenza punti è: 8237 792 = 325 punti. Siccome A vince, la sua variazione di rating è data dalla γψ (325) = Ψ (325). Pertanto sostituendo nella (3) si ottiene: ( ) A = Ψ (325) = 60 60 ( 0.60667) = 62.9328 (7) + e 325/750 Notare che nel calcolo dell esponenziale conviene considerare almeno 5 decimali perchè il risultato va poi moltiplicato per K. Il giocatore B, essendo nello stesso stato di A (in questo caso, classificato) perde gli stessi punti. E tuttavia più corretto calcolare il valore sostituendo x = 325, cioè il valore di prima col segno cambiato perchè ora è riferito a B, nella eq. (4). B = Ψ 0 ( 325) = 60 60 0.39333 = 62.9328 (8) + e +325/750.2.2 Esempio Si consideri ora l esempio precedente assumendo però che il punteggio del giocatore B sia provvisorio. Come cambia l assegnazione dei punti? Per il giocatore A si applica sempre l eq. (7) e i punti non cambiano rispetto a prima. Col giocatore B invece si deve sostituire la differenza di punti nell eq. (6) che petanto diviene: B = Ψ 0( 325) = 500 500 0.39333 = 96.665 (9) + e +325/750 In questo caso la somma dei punti vinti e persi non è più zero come nel caso precedente..2.3 Esempio Cosa succede invece se è B con punteggio provvisorio a vincere contro A classificato? In questo caso la differenza è di -325 punti, pertanto si applica per B la (5) e per A la (4) ottenendo: 5
( B = Ψ ) ( 325) = 500 500 ( 0.39333) = 303.335 (0) + e +325/750 e A = Ψ 0 (325) = 60 60 0.60666 = 97.0656 () + e 325/750.3 Tabella per calcolo manuale E possibile anche calcolare il guadagno/perdita punti in via approssimata con la seguente tabella: Tabella : valori tabulati per la funzione Ψ Delta Punti Delta Punti Delta Punti Delta Punti -3000 57.22-500 40.928 0 80.000 500 9.072-2980 57.046-480 40.475 20 78.933 520 8.629-2960 56.968-460 40.03 40 77.867 540 8.95-2940 56.887-440 39.542 60 76.802 560 7.769-2920 56.805-420 39.062 80 75.737 580 7.352-2900 56.720-400 38.572 00 74.675 600 6.944-2880 56.633-380 38.072 20 73.64 620 6.544-2860 56.544-360 37.562 40 72.555 640 6.53-2840 56.453-340 37.043 60 7.499 660 5.770-2820 56.359-320 36.54 80 70.446 680 5.394-2800 56.263-300 35.974 200 69.396 700 5.027-2780 56.65-280 35.425 220 68.350 720 4.668-2760 56.064-260 34.865 240 67.308 740 4.37-2740 55.960-240 34.295 260 66.27 760 3.973-2720 55.854-220 33.74 280 65.238 780 3.637-2700 55.744-200 33.23 300 64.20 800 3.308-2680 55.633-80 32.52 320 63.88 820 2.986-2660 55.58-60 3.909 340 62.7 840 2.67-2640 55.400-40 3.286 360 6.60 860 2.364-2620 55.280-20 30.652 380 60.56 880 2.063-2600 55.56-00 30.008 400 59.58 900.769-2580 55.029-080 29.353 420 58.68 920.48-2560 54.899-060 28.687 440 57.84 940.200-2540 54.766-040 28.00 460 56.208 960 0.926-2520 54.629-020 27.322 480 55.239 980 0.657-2500 54.489-000 26.623 500 54.279 2000 0.395-2480 54.345-980 25.93 520 53.327 2020 0.39-2460 54.98-960 25.92 540 52.383 2040 9.889 Continua alla pagina successiva 6
Tabella continua dalla pagina precedente Delta Punti Delta Punti Delta Punti Delta Punti -2440 54.047-940 24.460 560 5.448 2060 9.644-2420 53.892-920 23.78 580 50.52 2080 9.405-2400 53.733-900 22.964 600 49.604 200 9.72-2380 53.57-880 22.200 620 48.696 220 8.944-2360 53.404-860 2.424 640 47.797 240 8.72-2340 53.234-840 20.638 660 46.908 260 8.504-2320 53.059-820 9.84 680 46.029 280 8.292-2300 52.879-800 9.034 700 45.60 2200 8.085-2280 52.696-780 8.26 720 44.30 2220 7.883-2260 52.508-760 7.388 740 43.45 2240 7.685-2240 52.35-740 6.549 760 42.62 2260 7.492-2220 52.7-720 5.699 780 4.784 2280 7.304-2200 5.95-700 4.840 800 40.966 2300 7.2-280 5.708-680 3.97 820 40.59 2320 6.94-260 5.496-660 3.092 840 39.362 2340 6.766-240 5.279-640 2.203 860 38.576 2360 6.596-220 5.056-620.304 880 37.800 2380 6.429-200 50.828-600 0.396 900 37.036 2400 6.267-2080 50.595-580 09.479 920 36.282 2420 6.08-2060 50.356-560 08.552 940 35.540 2440 5.953-2040 50. -540 07.67 960 34.808 2460 5.802-2020 49.86-520 06.673 980 34.087 2480 5.655-2000 49.605-500 05.72 000 33.377 2500 5.5-980 49.343-480 04.76 020 32.678 2520 5.37-960 49.074-460 03.792 040 3.990 2540 5.234-940 48.800-440 02.86 060 3.33 2560 5.0-920 48.59-420 0.832 080 30.647 2580 4.97-900 48.23-400 00.842 00 29.992 2600 4.844-880 47.937-380 99.844 20 29.348 2620 4.720-860 47.636-360 98.840 40 28.74 2640 4.600-840 47.329-340 97.829 60 28.09 2660 4.482-820 47.04-320 96.82 80 27.479 2680 4.367-800 46.692-300 95.790 200 26.877 2700 4.256-780 46.363-280 94.762 220 26.286 2720 4.46-760 46.027-260 93.729 240 25.705 2740 4.040-740 45.683-240 92.692 260 25.35 2760 3.936-720 45.332-220 9.650 280 24.575 2780 3.835-700 44.973-200 90.604 300 24.026 2800 3.737-680 44.606-80 89.554 320 23.486 2820 3.64-660 44.230-60 88.50 340 22.957 2840 3.547-640 43.847-40 87.445 360 22.438 2860 3.456-620 43.456-20 86.386 380 2.928 2880 3.367-600 43.056-00 85.325 400 2.428 2900 3.280 Continua alla pagina successiva 7
Tabella continua dalla pagina precedente Delta Punti Delta Punti Delta Punti Delta Punti -580 42.648-80 84.263 420 20.938 2920 3.95-560 42.23-60 83.98 440 20.458 2940 3.3-540 4.805-40 82.33 460 9.987 2960 3.032-520 4.37-20 8.067 480 9.525 2980 2.954 In riferimento al primo esempio la tabella ci aiuta ad approssimare la Ψ (325) senza l uso di una calcolatrice. Si può osservare infatti che la quantità di punti cade fra i valori tabulati: Ψ (320) = 63.88 e Ψ (340) = 62.7, in accordo col valore 62.9328 calcolato utilizzando la formula esplicita. 8