Esercizi di Matematica Finanziaria - Corso Part Time scheda 1 - Leggi finanziarie, rendite ed ammortamenti 1. Un capitale d ammontare 100 viene investito, in regime di interesse semplice, al tasso annuo i = 0.05. Dopo tre anni l investimento viene interrotto ed il montante ottenuto in quel momento viene reinvestito per altri cinque anni al medesimo tasso. (a) Determinare il montante M 3 della operazione dopo tre anni ed il montante M 8 al termine del secondo investimento. (b) A quale tasso annuo semplice x, costante per tutta la durata complessiva della operazione, si deve investire il capitale iniziale per ottenere al termine dell operazione stessa il montante M 8? (c) Utilizzando i dati forniti ripetere quanto fatto nei punti (a) e (b) sopra, ipotizzando che il regime finanziario sia quello dell interesse composto. 2. Sia f (t), con t 0, la legge finanziaria f (t) = 1 + 0.5t 1 + 0.2t. (a) Verificare che f (0) = 1, che la funzione sia crescente e calcolare lim f (t). t + (b) Determinare dopo quanto tempo un capitale C investito con questa legge raddoppia il suo valore. Determinare dopo quanto tempo un capitale C investito con questa legge triplica il suo valore. (c) Supponendo di aver investito un capitale C con questa legge per 6 anni, calcolare a quale tasso annuo d interesse semplice i s e a quale tasso annuo d interesse composto i c si dovrebbe investire C per avere, rispettivamente nel regime di interesse semplice e composto, lo stesso montante alla medesima scadenza. (d) Dato l investimento flussi V 0 40 70 20 scadenze (in anni) 0 1 2 3 calcolare, usando la f (t) il suo valore al tempo 0, V 0. 3. Data la funzione f (t) = a + b ln (t + 1) t 0, dopo aver stabilito per quali valori dei parametri a e b la f (t) è una legge finanziaria, determinare la sua intensità istantanea d interesse δ (t). 4. Un BOT emesso oggi (t = 0) ha scadenza tra un anno e valore nominale a scadenza 1 000. (a) sapendo che il tasso annuo di rendimento semplice lordo è 0.15, calcolare A 0, il prezzo lordo di emissione del titolo, l interesse garantito dal titolo e le imposte che gravano sul titolo stesso (aliquota fiscale sull interesse τ = 0.125); (b) calcolare il tasso annuo di rendimento semplice del titolo al netto delle imposte; 1
(c) si ipotizzi che non ci sia alcuna imposizione fiscale sui guadagni da capitale. Il sig. A acquista il titolo all emissione, pagandolo A 0 e dedice di venderlo dopo otto mesi. Calcolare il prezzo di vendita del titolo in quell istante sapendo che il tasso di rendimento semplice è rimasto fermo a 0.15. Il sig. A vende il titolo al sig. B: quest ultimo detiene il titolo fino alla sua scadenza. Determinare il tasso annuo di interesse semplice che il sig. A ed il sig. B ricavano dai loro rispettivi investimenti; (d) si supponga adesso che il sig. A decida di vendere il suo titolo in un istante t, 0 t 1. Determinare il prezzo di vendita del BOT in t ipotizzando che il tasso di rendimento del BOT sia sempre 0.15 e scrivere il tasso di interesse semplice annuo per l investimento del sig. A, in funzione di t. Per quale scadenza il tasso di interesse semplice annuo dell investimento del sig. A è uguale al tasso di rendimento del BOT? 5. Siano dati i flussi flussi 500 R R R scadenze (in anni) 0 1 2 3 e sia i = 0.1 il tasso annuo d interesse. Applicando il regime di interesse semplice, (a) trovare R in modo che il valore attuale complessivo dei tre flussi futuri sia 500; (b) determinare R se i flussi, invece che cadenza annuale, hanno cadenza semestrale. (c) Ripetere quanto fatto nei punti precedenti usando il regime ad interessi composti. 6. Una legge di capitalizzazione in regime di interesse semplice è caratterizzata da un tasso di interesse annuo i = 0.14. Una legge di capitalizzazione nel regime dello sconto commerciale è caratterizzata da un tasso annuo di sconto d = 0.1. Determinare la durata nella quale le due leggi danno lo stesso montante, supponendo di investire al tempo 0 in ognuna di esse un importo unitario. Determinare poi la durata nella quale le due leggi danno lo stesso montante supponendo di investire, al tempo 0, un capitale pari a 2C nel regime ad interessi semplici ed un capitale pari a C nel regime dello sconto commerciale. 7. Si supponga di avere a disposizione una somma di 300 euro tra 3 anni. (a) Calcolare il valore attuale V 0 oggi (t = 0) di tale importo se l attualizzazione avviene in regime di sconto commerciale con tasso annuo di sconto d = 0.1. (b) A quale tasso annuo d interesse i va investito, in regime di interesse semplice, oggi l ammontare V 0 per avere come montante, tra tre anni, la somma di 300 euro? (c) Generalizzare il risultato ottenuto nei punti precedenti determinando il tasso annuo di interesse i se la somma di ammontare 300 sarà a disposizione tra t anni. 8. Di una rendita immediata e posticipata a rate annue e costanti, valutata in regime di interesse composto, sono noti l importo della rata R = 300, il numero di rate n = 5, il tasso di interesse annuo i = 0.1. Calcolare il valore attuale V 0 al tempo 0 delle rate della rendita. (a) Di una rendita a rate costanti siano noti V 0, n ed i. È possibile, da questi dati, ricavare la rata R? 2
(b) Si supponga adesso di conoscere V 0, R ed i. È possibile, da questi dati, ricavare il numero di rate n? (c) Si supponga adesso di conoscere V 0, R ed n. È possibile, da questi dati, ricavare il tasso d interesse i? 9. Date le seguenti rendite ed utilizzando per i calcoli il regime d interesse composto (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) rata 100 100 100 100 100 100 100 5 6 7 determinare il valore V 0 della rendita in t = 0 al tasso annuo composto i = 0.05. rata 100 100 100 100 100 100 100 tempo (in anni) 0 3 4 5 6 7 8 9 determinare il valore W 0 della rendita in t = 0 al tasso annuo composto i = 0.05. rata 100 100 100 100 100 100 tempo (in anni) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 determinare il valore Z 0 della rendita in t = 0 al tasso annuo composto i = 0.05. rata 100 100 100 100 100 100 tempo (in anni) 0 4.5 5 5.5 6 6.5 7 determinare il valore Y 0 della rendita in t = 0 al tasso annuo composto i = 0.05. tempo (in anni) 0 1 2 3 determinare il valore P 0 della rendita in t = 0 al tasso annuo composto i = 0.05. tempo (in anni) 5/12 17/12 29/12 41/12 determinare il valore Q 0 della rendita in t = 0 al tasso annuo composto i = 0.05. tempo (in anni) 5/12 11/12 17/12 23/12 determinare il valore R 0 della rendita in t = 0 al tasso annuo composto i = 0.05. rata 200 200 300 200 determinare il valore S 0 della rendita in t = 0 al tasso annuo composto i = 0.05. 3
(i) (j) rata 200 200 300 300 determinare il valore F 0 della rendita in t = 0 al tasso annuo composto i = 0.05. rata 200 300 200 300 determinare il valore G 0 della rendita in t = 0 al tasso annuo composto i = 0.05. 10. Un debito viene contratto alle seguenti condizioni: importo iniziale S = 10 000, rimborso in 4 rate annue e tasso di interesse annuo del finanziamento i = 0.06. (a) redigere il piano di ammortamento a quote capitale costanti e verificare che le rate soddisfino la condizione di chiusura iniziale; (b) redigere il piano di ammortamento a rate costanti. 11. Un debito viene contratto alle seguenti condizioni:importo iniziale S = 10 000, rimborso mediante 8 rate semestrali e tasso di interesse annuo i = 0.06. (a) redigere il piano di ammortamento a quote capitale costanti e verificare che le rate soddisfino la condizione di chiusura iniziale; (suggerimento: trasformare, in regime di interesse composto, il tasso annuo nel tasso semestrale equivalente i 2 ); (b) determinare la rata, l interesse, la quota capitale ed il debito residuo dopo aver pagato la prima rata nel caso il piano di ammortamento sia rata costante. (suggerimento: trasformare, in regime di interesse composto, il tasso annuo nel tasso semestrale equivalente i 2 ). 12. Di un piano di ammortamento sono noti: n = 3, C 1 = 200, C 2 = 400, C 3 = 300, I 1 = 45. Trovare il tasso annuo del debito i, l importo inizialmente prestato e le tre rate R 1, R 2 e R 3. Redigere infine il piano di ammortamento del mutuo. 13. Un tizio chiede un mutuo che prevede un debito iniziale S = 400. La banca stabilisce che il tasso annuo sia i = 0.1 e che il rimborso deve avvenire mediante il pagamento di due rate tali per cui R 1 = 2R 2. (a) usando la condizione di chiusura iniziale determinare R 1 ed R 2 ; (b) redigere il piano di ammortamento del mutuo. 14. Supponendo che il tasso annuale di finanziamento sia i = 0.06, completare il seguente piano di ammortamento tempo D k C k I k R k 0 1 000 1 800??? 2???? 3 0 300?? 4
15. Di un piano d ammortamento sono noti il debito iniziale S = 800, le relazioni tra quote capitale C 2 = 3C 1 e C 3 = 4C 1, la seconda quota interessi I 2 = 35 ed il numero delle rate, pari a 3. (a) Usando la condizione di chiusura elementare, determinare le quote capitale dell ammortamento. (b) Ricavare dai dati forniti il tasso annuo di finanziamento i e redigere il piano di ammortamento del finanziamento. (c) Verificare la condizione di chiusura iniziale. (d) Subito dopo aver pagato la prima rata il finanziatore comunica al debitore che il tasso annuo di finanziamento viene incrementato di due punti percentuali. Il debitore chiede alla Banca di poter rimborsare il suo debito residuo pagando due rate costanti. Determinare l ammontare di tali rate e redigere il nuovo piano d ammortamento. 16. Di un piano d ammortamento sono noti il debito iniziale S = 600, il numero di rate, pari a 3, e le quote interesse I 1 = 48 1, I 2 = 40 e I 3 = 24. (a) Sfruttando la relazione I t = i D t 1, determinare il tasso annuo di finanziamento e il debito residuo in t = 1, t = 2 e t = 3. (b) Redigere il piano di ammortamento del finanziamento. (c) Verificare sia la condizione di chiusura iniziale che quella elementare. 5