STRADE AL CAOS Sistemi parametrizzati Cascata di raddoppi di periodo (cascata di Feigenbaum) Rottura di toro Caos alla Shilnikov Intermittenza Crisi C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 1/7
SISTEMI PARAMETRIZZATI Consideriamo sistemi dipendenti da parametri p = p1 p L pm : &( = f ( (, p) ( t + 1) = f ( (, p) Quali sono i tipici scenari che, al variare di uno o più parametri, portano il sistema da un funzionamento regolare (stazionario, periodico, quasi-periodico) ad un funzionamento caotico? Vedremo che tali scenari sono sovente caratterizzati dalla presenza di biforcazioni. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 /7
CASCATA DI RADDOPPI DI PERIODO (Cascata di Feigenbaum) Analizziamo in dettaglio le proprietà della mappa logistica. ( ( ) = r( ( 1 ( )) ( t + 1) = f t Ponendo 0 4 invariante (cioè < r, l intervallo = [0,1] ( 0) I ( I per ogni t ). I risulta Studiamo solo la dinamica ristretta ad I. La mappa ( t 1) = f ( ( ) da ( t +1) (sistema non reversibile). + non è invertibile, quindi ( non è ricavabile univocamente C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 3/7
La mappa logistica si incontra, ad esempio: discretizzando nel tempo (rozzamente ) l equazione logistica: y& ( y( = ay( 1 k Fissato un > 0 δ, ponendo y( ( y( t + 1) y( )/ δ & si ottiene δa y( t + 1) = (1 + δa) y( y( k da cui si ottiene la mappa logistica ponendo δa k( 1+ δa) y =. scrivendo l evoluzione nel tempo di un capitale che produce reddito il quale è soggetto a tassazione progressiva (quadratica): ( ρy( )) y( t + 1) = y( + ρy( α t C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 4/7
dove y ( è il capitale e y( ρ il reddito. La mappa logistica si ottiene ponendo αρ = y 1 + ρ. scrivendo l evoluzione nel tempo della capacità produttiva di un impresa soggetta a diseconomie di scala: y( t + 1) = (1 m) y( + αρy( dove y ( è la capacità produttiva, ρ y( il reddito prodotto dall impresa, e α è la frazione di reddito reinvestita. Se la redditività ρ decresce al crescere della dimensione dell impresa, si ha ρ = ρ0 σy(, vale a dire y( t + 1) = (1 m) y( +α( ρ0 σy( ) y( da cui la mappa logistica si ottiene ponendo ασ 1 m + αρ 0 =. y C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 5/7
Equilibri in [0,1] r 1 ( t + 1) = ( = = r( 1 ) = 0 r = 0 r 1 r = r J ( ) = r r. Lo Jacobiano vale Per r < 1: = 0, asintoticamente stabile ( = r < 1 Per r > 1: = 0, instabile ( = r > 1 J ) = ( r 1) / r, con J = r asintoticamente stabile se r < 3 instabile se r > 3 J ) Per r = 1 il sistema subisce una biforcazione flip (o raddoppio di periodo). C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 6/7
Se consideriamo la mappa di passo ( f ( ( )) f ( ( ) ( t + ) = f = e ne calcoliamo gli equilibri, ponendo f ( ) =, per > r 1 = 3 r otteniamo = 0 = ( r 1) / r : sono anche equilibri (instabili) della mappa f = = 1 ( r) ( r) : ciclo di periodo per f ( L 1 1 ) C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 7/7
La nascita del ciclo di periodo corrisponde alla nascita di equilibri sulla mappa f. Nota bene: lo Jacobiano J ( ) ha lo stesso valore in entrambi gli equilibri 1 e di e vale f, J ( 1 ) = J ( ) = J ( 1 ) J ( ) Quindi, al crescere di r i due equilibri possono perdere stabilità solo simultaneamente. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 8/7
Cascata di biforcazioni Per r crescente, il medesimo scenario si ripete infinite volte. Per r i < r < ri + 1 esiste un ciclo asintoticamente stabile ( 1,,, i ) i i esistono equilibri della mappa esistono cicli instabili per la mappa f, di periodo r r L di periodo i per la mappa f f, con autovalore λ tale che λ Π J( ) < 1 1,, K, i 1 = k k Per = i+ 1 il ciclo di periodo i diventa instabile per biforcazione flip (raddoppio di periodo), e nasce un ciclo asintoticamente stabile di periodo i +1. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 9/7
La sequenza r i tende al valore r = r = 3.5699456K, che segna il passaggio al regime caotico. Le biforcazioni flip si accumulano secondo una legge del tipo dove i ( r ) r r i δ vale a dire i r lim i 1 = δ i r r δ = 4.66906K è detta costante di Feigenbaum. i+ 1 i C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 10/7
Finestre periodiche Per r > r, vi sono intervalli di r ( finestre ) in cui il comportamento è periodico. Ad esempio, per r = 3. 83 esiste un ciclo di periodo 3 (= equilibrio della mappa 3 f ) asintoticamente stabile. Il ciclo nasce per biforcazione nodo-sella di f 3, subisce una cascata di flip che dà luogo a cicli di periodo 6,1,4, e quindi di nuovo a comportamento caotico. r = 3.8 r = 3. 84 r = 3. 86 C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 11/7
Estensioni (1): universalità della cascata di Feigenbaum La cascata di Feigenbaum ( biforcazioni flip al crescere di r, in sequenza governata dalla costante di Feigenbaum) è presente non solo nella mappa logistica, ma in tutte le mappe monodimensionali che soddisfano alcune ipotesi: ( ( t r) ( t + 1) = f ), a) f ( 0, r) = f (1, r) = 0, per ogni r b) f (, r) :[0,1] a [0,1], per ogni r 3 c) f C d) f (, r) / r > 0, per ogni (0,1) e) f (, r) con un solo massimo m f (, r) 3 f (, r) f) derivata Schwarziana negativa, cioè < 0 per ogni m, per ogni r =, di tipo quadratico ( f ( m, r) < 0 per ogni r ) Sf (, r) =, f (, r) f (, r) C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 1/7
Mentre le ipotesi a)-e) sono tecniche, l ultima ( Sf < 0) è particolarmente significativa. Esempio: mappa a cappello Sf risulta positiva per certi valori di Dopo i primi due raddoppi di periodo, la cascata si arresta e vi sono due dimezzamenti di periodo che riportano ad un comportamento di periodo 1. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 13/7
Estensioni (): altre mappe monodimensionali La cascata di Feigenbaum si trova anche in mappe monodimensionali che non rispettano tutte le condizioni a)-f) (che sono quindi solo condizioni sufficienti). Esempio: mappa di Ricker E stato proposta come modello della dinamica di popolazioni ittiche (p.e. salmoni). ( t + 1) = ( ep( a a( u) ( è la quantità di pesce nell anno t u è lo sforzo di pesca (n. di pescherecci, giorni di pesca, ) La mappa tende asintoticamente a zero, quindi l ipotesi a) è violata. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 14/7
Fissato a = 4, facendo decrescere u si ottiene una scenario analogo a quello della mappa logistica: cascata di raddoppi di periodo caos finestre periodiche C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 15/7
Estensioni (3): mappe di dimensione n > 1 La cascata di Feigenbaum viene rilevata anche in molte mappe non monodimensionali. Particolarmente interessante è il caso delle mappe di Poincaré associate a sistemi a tempo continuo, in cui la cascata corrisponde alla nascita di cicli limite di periodo crescente e di geometria via via più complessa. Esempio: sistema di Rossler & = y z y& = + ay z& = b + ( c) z C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 16/7
C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 17/7 Esempio: anarchia e dispotismo nella Cina medievale + = + + = + = 3 1 1 3 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 G B R D B E Q H B & & &
Altri esempi di cascata di Feigenbaum in modelli: onda lunga nel ciclo economico ecosistema acquatico regolazione del sistema renale C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 18/7
Esempi di cascata di Feigenbaum in esperimenti di laboratorio: circuito elettrico di Chua laser a CO C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 19/7
ROTTURA DI TORO Un altro tipico scenario che porta al caos un sistema parametrizzato è il seguente: ciclo bif. Neimark-Sacker toro "rottura di toro" caos La rottura di toro avviene essenzialmente per collisione del toro con cicli di tipo sella. Esempio: modello risorsa-consumatore con stagionalità ay & = r 1 k b + a y& = y e d b + con b = b 0 (1 + ε sin(πt )) sezione di Poincaré di un attrattore caotico generato da rottura di toro C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 0/7
CAOS ALLA SHILNIKOV In un sistema a tempo continuo di ordine = 3 vi può essere una traiettoria omoclina: n, per un certo valore p = p dei parametri di tipo fuoco-sella (cioè: la sella ha un autovalore reale λ 1 e due complessi λ, 3) λ 1 > 0 con quantità di sella σ = λ 1 + Re( λ ) > 0 Per p p 0 piccolo, l omoclina non esiste più e nel suo intorno vi sono infiniti cicli sella. In tali condizioni, può nascere un attrattore caotico con geometria analoga a quella dell orbita omoclina. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 1/7
La mappa di Poincaré contiene infatti strutture a ferro di cavallo. σ > 0 Costruzione della mappa di Poincaré σ < 0 C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 /7
Uno scenario analogo può anche essere rilevato in sistemi di dimensione n > 3. Esempio: modello sintetico della rete di distribuzione dell energia elettrica ( n = 4). il circuito del modello 3-bus C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 3/7
Una traiettoria omoclina di tipo fuoco-sella, e un attrattore caotico alla Shilnikov. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 4/7
INTERMITTENZA Il caos appare dopo la scomparsa di un attrattore non caotico dovuta ad una biforcazione catastrofica (nodo-sella; Hopf, raddoppio di periodo, Neimark-Sacker subcritiche). La serie temporale mantiene in parte le caratteristiche qualitative dell attrattore scomparso, ma il fatto che sia caotica dà luogo a rare irregolarità ( intermittenze ). Esempio: mappa logistica La finestra di periodo 3 scompare (per r che decresce) per biforcazione nodo-sella per r = r NS 3.884. Per r appena inferiore a NS, il ciclo (apparente!) di periodo 3 è interrotto da intermittenze. r C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 5/7
CRISI Al variare di un parametro, un attrattore caotico scompare per collisione con una sella (o con la sua varietà stabile) ( crisi esterna ). Esempio: mappa di Ikeda ( t y( t + 1) = R + + 1) = C ( ) con = C C + + C( ( cosγ ( y( sin γ ( ) ( ( sin γ ( + y( cosγ ( ) γ 1 3 1 y. Una crisi avviene per R 1. Per R di poco superiore ( R = 1. 003 ), la traiettoria rimane a lungo sul fantasma dell attrattore caotico (ormai non più esistente), prima di abbandonarlo per convergere ad un equilibrio. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 6/7
In altri casi, la collisione con una sella causa una brusca variazione nelle dimensioni dell attrattore caotico ( crisi interna ). Esempio: mappa di Ikeda Tra le figure (b) e (c) avviene una crisi dovuta alla collisione con un ciclo sella di periodo 5. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 14/1/009 7/7