Aritmetica TERESA GENOESE LORENZA MANZONE BERTONE GIORGIO RINALDI LIBRO MISTO PROGETTO S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
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Aritmetica TERESA GENOESE LORENZA MANZONE BERTONE GIORGIO RINALDI S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
Redazione: puntoacapo - Torino Impaginazione: Centro Grafico Meridionale - Napoli Disegni: Gianfranco Spione Referenze iconografiche: Archivio Lattes Coordinamento prestampa: Gianni Dusio Gli Autori ringraziano il dott. Ezio orno per la preziosa collaborazione. I diritti di traduzione,di memorizzazione elettronica,di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati per tutti i paesi. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/fascicolo di periodico dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 6. Le riproduzioni effettuate per finalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da: AIDRO - corso di Porta Romana,8 - Milano 20122 e-mail: segreteria@aidro.org sito web: www.aidro.org Per i casi in cui non è stato possibile ottenere il permesso di riproduzione, a causa della difficoltà di rintracciare chi potesse darlo, si è notificato all Ufficio della proprietà letteraria, artistica e scientifica che l importo del compenso è a disposizione degli aventi diritto. Le immagini del testo (disegni e/o fotografie) che rappresentano marchi o prodotti presenti sul mercato hanno un valore puramente didattico di esemplificazione. Questo volume è stato realizzato tenendo conto di quanto stabilito dal D.M. n. 54 del 0/12/1999 ( Gazzetta Ufficiale - Serie speciale n. 51 del 02/0/2000) circa le norme avvertenze tecniche per la compilazione dei libri di testo per la scuola dell obbligo. Nomi e marchi citati sono generalmente depositati o registrati dalle rispettive case produttrici. www.latteseditori.it e-mail: info@latteseditori.it Proprietà letteraria riservata 2009 S. Lattes & C. Editori SpA - Torino Stampato in Italia - Printed in Italy per conto della casa editrice da incenzo Bona SpA - Torino Prima edizione 2009 ristampa anno 01245689 09 11 12 1 14 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
INDICE Presentazione... Il numero unità 11 razioni e numeri decimali... 2 1. Dalla frazione al numero decimale... 4 2. razioni e numeri decimali limitati... 5. razioni e numeri decimali illimitati... 4. Dal numero decimale alla frazione generatrice... 9 5. Operazioni con i numeri decimali... 12 6. Approssimazione di un numero decimale... 1 esercizi... 15 test dell unità... 5 ripassa... 6 sfida le tue capacità... 9 laboratorio - Tecniche di calcolo La calcolatrice e i numeri decimali... 40 Il numero unità 12 Radice quadrata... 42 1. Radice quadrata esatta... 44 2. Radice quadrata approssimata a meno di una unità... 46. Proprietà della radice quadrata... 4 4. Algoritmo per l estrazione della radice quadrata... 49 5. Uso delle tavole numeriche... 52 6. Radice quadrata di un espressione... 55. I numeri irrazionali e la radice quadrata... 56 esercizi... 58 test dell unità... 8 ripassa... 80 sfida le tue capacità... 85 laboratorio - Tecniche di calcolo La calcolatrice e l operazione di estrazione di radice... 86 la logica e i giochi... 88 Il numero unità 1 Rapporti e proporzioni... 90 1. Il rapporto... 92 2. Rapporti fra grandezze omogenee e non omogenee... 94. Ingrandimenti e riduzioni... 96 4. La proporzione... 99 5. Proprietà fondamentale e calcolo del termine incognito... 1 6. Altre proprietà delle proporzioni... 5. Applicazioni delle proprietà... 8 8. Catena di rapporti uguali... 9 esercizi... 1 test dell unità... 146 ripassa... 148 sfida le tue capacità... 152 laboratorio - Qualcosa in più Ingrandire e ridurre... 154 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione III
INDICE Il numero unità 14 Proporzionalità diretta e inversa... 156 1. unzioni empiriche e funzioni matematiche... 158 2. Grandezze direttamente proporzionali... 162. Grandezze inversamente proporzionali... 165 esercizi... 169 test dell unità... 184 ripassa... 186 sfida le tue capacità... 189 laboratorio - Qualcosa in più Il dinamometro... 190 Il numero unità 15 Applicazioni della proporzionalità... 192 1. Problemi del tre semplice... 194 2. Problemi di ripartizione semplice... 196. La percentuale... 198 4. Rappresentazione grafica delle percentuali... 201 5. Interesse... 20 6. Sconto commerciale... 206 esercizi... 20 test dell unità... 24 ripassa... 26 sfida le tue capacità... 242 laboratorio - Qualcosa in più Problemi del tre composto... 24 Problemi di ripartizione composta diretta... 244 la Logica e i Giochi... 246 6. Elaborazione dei dati quantitativi... 260. Rappresentazione dei dati... 26 esercizi... 266 test dell unità... 286 ripassa... 288 sfida le tue capacità... 291 laboratorio - Informatica Il foglio elettronico Excel... 292 la logica e i giochi... 00 Dati e previsioni unità 1 Avvio alla probabilità... 02 1. Eventi casuali... 04 2. La probabilità... 05. Evento contrario... 08 4. Probabilità totale... esercizi... 1 test dell unità... 2 ripassa... 25 sfida le tue capacità... 2 la logica e i giochi... 28 Test conclusivo... 1 Soluzioni test dell unità... 9 sfida le tue capacità... 40 giochi... 41 test conclusivo... 41 Dati e previsioni unità 16 La statistica... 248 1. Che cosa è la statistica... 250 2. La scelta del campione... 251. Le fasi di un indagine statistica... 25 4. Raccolta e trascrizione dei dati... 256 5. Elaborazione dei dati qualitativi... 258 I S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
PRESENTAZIONE Il libro di testo è uno strumento utilizzato da studenti e da insegnanti come supporto al cammino scolastico, pertanto deve essere ricco di stimoli e di offerte calibrate sulle diverse necessità. In questi ultimi anni sta cambiando il modo di insegnare la matematica: non più solo lezioni frontali mirate ad acquisire conoscenze ed abilità legate all applicazione meccanica, ma attività che offrono la possibilità di costruire competenze mediante proposte in cui la matematica offre strumenti per affrontare situazioni problematiche reali e presenti nella vita quotidiana. Un intervento didattico, quindi, che permetta di trasferire le conoscenze a situazioni ed ambiti che facciano parte del vissuto dell alunno per ottenere l auspicato sapere competente. Da queste considerazioni è nata l idea di questo nuovo corso di matematica che, pur fondandosi sulle solide basi costruite in un recente passato, vuole offrire nuove proposte ed occasioni: gli Esercizi guida: per acquisire un metodo di lavoro efficace; la Logica e i Giochi: per un immagine più attuale del sapere matematico ; il Test conclusivo al termine di ogni volume: per confermare l acquisizione di competenze. Struttura del testo Il percorso didattico è organizzato per Unitàche favoriscono, pur rispettando l impianto classico della matematica, il sorgere di sapere transdisciplinare, utilizzabile anche in contesti extrascolastici e legato alla personalità, agli interessi e ai bisogni dei singoli studenti in funzione di un piano di studio personalizzato per ogni ragazzo (o per gruppi di livello). Il percorso formativo, proposto dalle Unità, trova realizzazione nelle attività ipotizzate nei Laboratori che sono il luogo fisico, ma soprattutto mentale, dove si impara facendo, dove il gruppo (di classe, di livello ) rispettando gli stili di apprendimento di ogni componente, si scambia conoscenze ed abilità e le trasforma in competenze. Anche le attività proposte da la Logica e i Giochi hanno attinenza con la matematica e possono contribuire a migliorare le capacità logiche, a prendere decisioni, a sviluppare la memoria e la rapidità di calcolo. La parte teorica propone l apprendimento di regole, proprietà e procedimenti attraverso osservazioni e ragionamenti al fine di evitare formule inutili e non giustificate. Il linguaggio il più possibile semplice ma rigoroso, il frequente richiamo a concetti già appresi sono volti ad avviare i ragazzi ad un utilizzo del testo in crescente autonomia. I numerosi Esempi e la rubrica Al lavoro, posta alla fine di ogni paragrafo, hanno lo scopo di aiutare gli allievi ad acquisire un metodo di studio e di lavoro e a muoversi con familiarità tra figure, tabelle, grafici e schemi. Al termine di ogni unità vi è una nutrita schiera di Esercizi (ben graduati, dall esercizio parzialmente svolto a quello complesso) divisi per paragrafi ed articolati in Sapere e Saper fare. S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
PRESENTAZIONE Gli esercizi del Sapere sono finalizzati ad acquisire la conoscenza del linguaggio specifico e la comprensione dei concetti. Gli esercizi del Saper fare hanno lo scopo di consolidare l apprendimento e sono supportati da numerosi Esercizi guida, già svolti, ed altri parzialmente svolti per favorire l acquisizione di un metodo di studio e per abituare all ordine a alla precisione nell esecuzione del proprio lavoro. Al termine degli esercizi la rubrica Test dell unitàpropone una personale verifica sommativa dei contenuti dell Unità in questione e, a seconda dei risultati ottenuti, consiglia attività di recupero (la rubrica Ripassa), o attività di potenziamento e approfondimento (la rubrica Sfida le tue capacità). Gli esercizi Ripassa sono guidati, graduati, accompagnati da richiami teorici, presentati con un linguaggio semplice e piano allo scopo di aiutare l alunno a recuperare le conoscenze e le abilità fondamentali (obiettivi minimi) dell Unità. Gli esercizi Sfida le tue capacità non solo permettono, affrontando anche contesti differenti da quelli incontrati sino a quel momento, di applicare le conoscenze e le abilità acquisite, ma stuzzicano a metterne in gioco di maggiori e diverse, sino ad arrivare all eccellenza. Ogni Unità si chiude con almeno un Laboratorio che contribuisce a fornire materiale per l attività di differenziazione dei percorsi e per l avvio alla trasformazione delle conoscenze ed abilità di ciascuno in competenze. Al termine di ogni Laboratorio alcuni esercizi graduati da svolgere da soli o in gruppo favoriscono, anche attraverso il confronto delle proprie idee con quelle dei compagni, una maggiore consapevolezza nell utilizzo delle conoscenze personali. Alcune attività di laboratorio sono dedicate all Informatica, attraverso l utilizzo di alcuni software come Cabrì géomètre II e Microsoft Excel: il primo è un programma grafico dedicato alla didattica della geometria; il secondo è un foglio elettronico utilizzato come strumento di calcolo, ma soprattutto come strumento di elaborazione di dati e di costruzione di grafici. Gli esercizi e le attività proposte nella rubrica La logica e i Giochi hanno lo scopo di diffondere un immagine della matematica meno fredda e distante di quella abituale. Attraverso problemi, giochi e proposte si auspica un rapporto più diretto e moderno tra i ragazzi e la matematica; per risolverli non occorre avere conoscenze matematiche particolarmente approfondite, ma un pizzico di fantasia, un po di intuizione e la voglia di soffermarsi a pensare. Il lavoro è impostato come una sorta di personal trainer : aiuta ad affrontare giochi e problemi e suggerisce un percorso di soluzione. In relazione con le tematiche dell indagine OCSE-PISA si vogliono stimolare i ragazzi ad utilizzare le conoscenze e le competenze matematiche acquisite a scuola per orientarsi nella pratica quotidiana e a questo scopo viene auspicato anche l utilizzo dei problemi concreti, molto numerosi nel testo, di gestione del sapere matematico al di là dell abilità di calcolo. Al termine di ogni volume un Test conclusivo che, pur basato sulla specificità degli argomenti trattati nelle varie unità, mostra aperture a problemi concreti e a situazioni reali. Questo test, ricerca di equilibrio tra gli aspetti teorici e applicativi della matematica, ricalca la strategia della quarta prova dell esame di licenza media ed è quindi un modo per abituare i ragazzi a tale tipo di quesiti oltre che una verifica delle competenze acquisite. Un ringraziamento anticipato va a tutti coloro che, con suggerimenti e osservazioni, vorranno contribuire al miglioramento dell opera. gli Autori I S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
Aritmetica Il numero unità 11 12 razioni e numeri decimali Radice quadrata 1 Rapporti e proporzioni 14 Proporzionalità diretta e inversa 15 Applicazioni della probabilità Dati e previsioni 16 La statistica 1 Avvio alla probabilità S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
IL NUMERO razioni e numeri decimali PREREQUISITI Possedere il concetto di frazione come quoziente. Essere in grado di applicare il principio di equivalenza di frazioni. Saper risolvere espressioni con le frazioni. CONOSCENZE E ABILITÀ Riconoscere le frazioni decimali e ordinarie. Individuare quale tipo di numero decimale può essere generato da una frazione irriducibile. Acquisire i termini ed i simboli relativi ai numeri decimali illimitati periodici. Saper determinare la frazione di un numero decimale. Essere in grado di risolvere espressioni con i numeri decimali. Apprendere il criterio di approssimazione di un numero decimale e saperlo applicare. S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
unità 11 M A P P A D E L L U N I T À RAZIONI E NUMERI DECIMALI RAZIONI ORDINARIE RAZIONI DECIMALI con possono essere trasformate in con DENOMINATORE contenente denominatore uguale a una potenza di come fattori primi 2 e/o 5 uniti ad altri fattori fattori primi diversi da 2 e 5 come fattori solo 2 e 5 o solo 2 o solo 5 danno origine a danno origine a danno origine a NUMERI DECIMALI PERIODICI MISTI NUMERI DECIMALI PERIODICI SEMPLICI NUMERI DECIMALI LIMITATI S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
IL NUMERO 1 DALLA RAZIONE AL NUMERO DECIMALE 4 ricorda In Q la divisione fra due numeri, il secondo dei quali diverso da zero, è sempre possibile. ricorda Per indicare il periodo si usa soprassegnare le sue cifre con un trattino. Abbiamo definito i numeri razionali positivi Q come ampliamento dei numeri naturali N. m Gli elementi di Q sono le frazioni ridotte ai minimi termini con n n 0 ed il quoziente della divisione (m : n) è un numero razionale. Analizziamo ora i quozienti che è possibile ottenere eseguendo alcune divisioni: a) 12 4 12 : 4 Abbiamo sempre ottenuto come quoziente esatto un numero naturale; infatti le frazioni considerate sono frazioni apparenti. 5 b) : 2 5, 5: 4 1, 25 : 0, 2 4 Il quoziente esatto è sempre un numero decimale limitato, cioè con un numero di cifre decimali finito. 2 2 c) 2 : 0, 666... 2 : 15 0, 1... : 6 1, 166... 15 6 4 4 : 11 4, 22... 11 Il quoziente ottenuto non è esatto: la divisione dà sempre resti diversi da zero e non ha mai termine. Il quoziente si dice numero decimale illimitato, cioè con un numero di cifre decimali infinito. Per i numeri decimali illimitati si possono presentare due diverse situazioni. Il quoziente ottenuto presenta, dopo la virgola, una cifra o un gruppo di cifre che si ripetono sempre uguali, dette periodo; il numero è un numero decimale illimitato periodico semplice o, più brevemente, decimale periodico semplice: 2 2: 0666,... 06, periodo periodo Il quoziente ottenuto presenta, dopo la virgola, una cifra o un gruppo di cifre che non si ripetono, dette antiperiodo, e una cifra o un gruppo di cifre che si ripetono, dette periodo; il numero è un numero decimale illimitato periodico misto o, semplicemente, decimale periodico misto: antiperiodo 21 21: 2 2 : 15 0, 1... 0, 1 15 periodo 4 11 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 4 : 11 4, 22... 4, 2 6 126 9 126 : 9 14 antiperiodo : 6 1, 1666... 1, 16 periodo
Unità 11 razioni e numeri decimali Non possono verificarsi altri casi; quindi possiamo affermare che una frazione può essere trasformata in: un numero naturale; un numero decimale limitato; un numero decimale illimitato periodico semplice o misto. La frazione che dà origine al numero decimale si dice frazione generatrice. al lavoro ero o falso? a) Per trasformare una frazione in un numero decimale si esegue la divisione tra i suoi termini. b) Una frazione apparente dà origine ad un numero decimale limitato. c) Un numero decimale può essere limitato o illimitato. d) La frazione che dà origine ad un numero decimale si dice frazione generatrice. Completa: a) Un numero decimale periodico semplice presenta dopo la virgola una cifra o un gruppo di cifre che... b) Le cifre decimali che si ripetono sempre uguali prendono il nome di... c) Se in un numero decimale illimitato solo una parte delle sue cifre decimali si ripete, esso è... d) In un numero decimale periodico misto l antiperiodo rappresenta... 2 RAZIONI E NUMERI DECIMALI LIMITATI Una frazione non apparente si dice decimale quando ha per denominatore una potenza di : Una frazione decimale genera un numero decimale finito: = : = 0, 0; 58 0 = : = 0, ; 58 0 = 58: 0 =, 58 Una frazione non apparente e non decimale si dice ordinaria. S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 5
IL NUMERO Applicando la proprietà fondamentale è possibile trasformare alcune frazioni ordinarie in frazioni decimali. 2 6 6 0 06 50 50 2 :, ; 5 4 200 1 80 5 25 125 1, 25; 4 25 5 15 15 0 0 015 200 5 0 :, ; 1 125 125 125 : 000 0, 0125 80 125 00 1 Consideriamo ora la frazione essa non può essere trasformata in una : frazione decimale poiché non esiste nessun numero che moltiplicato per dà come risultato una potenza di. Allo stesso modo le frazioni in frazioni decimali. 5,, 11 non possono essere trasformate Cerchiamo di trovare una regola che ci permetta di individuare, senza eseguire la divisione tra numeratore e denominatore, le frazioni ordinarie irriducibili che sono trasformabili in numeri decimali limitati: scomponiamo in fattori primi i denominatori delle frazioni degli esempi precedenti: 4 21 ricorda La frazione 21 non sembra 12 decimale, poiché 12 2 2. Riducendola ai minimi termini però si ha 21 e 4 2 2. 12 4 Per cui 21 12 è equivalente a una frazione decimale. 50 200 rileviamo che i denominatori contengono come fattori primi solo il 2, il 5 o entrambi. In generale: 5 0, 06 50 2 5 2 ; 1, 25 4 2 2 ; 4 2 1 4 0, 015 200 2 5 ; 0, 0125 80 2 5 80 regola Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini genera un numero decimale limitato se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene come fattori solo 2, solo 5 o entrambi. 6 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
Unità 11 razioni e numeri decimali al lavoro ero o falso? a) Una frazione è decimale se ha per numeratore una potenza di. b) Una frazione avente per denominatore una potenza di è decimale. c) Una frazione non apparente e non decimale si dice ordinaria. d) Tutte le frazioni ordinarie si possono trasformare in frazioni decimali. Completa: 9 a) 9:... 0, 09 d) 24 24 :...... 0 52 56 b)... :... e)... :... 5, 6 1 490 c) = 1 :... =... f) =... :... =... 000 RAZIONI E NUMERI DECIMALI ILLIMITATI Analizziamo ora frazioni ordinarie che generano numeri decimali illimitati periodici semplici, come le seguenti: 2 9 20 20 : 0, 6060... Anche in questo caso, cerchiamo di trovare una regola che ci permetta di individuare, senza eseguire la divisione fra numeratore e denominatore, le frazioni ordinarie irriducibili che generano numeri decimali illimitati periodici semplici: scomponiamo in fattori primi i denominatori delle frazioni considerate: 2 9 20 2 : 9 0, 222...; : 11 0, 66...; 11 2 02, 9 ; 0, 6 11 11; 11 0, 60 11 constatiamo che i denominatori non contengono mai i fattori 2 e 5, ma solo altri fattori primi. S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
IL NUMERO In generale: regola Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini genera un numero decimale illimitato periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, non contiene i fattori 2 e 5. Prendiamo ora in esame frazioni ordinarie che generano numeri decimali periodici misti: 1 5 1: 15 0, 8666...; 5 : 44 0, 95454...; 15 44 59 18 Per individuare la regola che ci consente di riconoscere se una frazione ordinaria irriducibile genera un numero decimale illimitato periodico misto: scomponiamo i denominatori: 1 5 0, 86 15 5; 0, 954 44 2 2 11; 15 44 59 18 rileviamo che i denominatori contengono i fattori 2 e 5, o uno solo di essi, uniti ad altri fattori primi. In generale: regola 1 59 : 18, 2...; 1: 1 0, 28181... 1 2 1, 2 18 2 ; 0, 281 1 2 5 11 1 Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini genera un numero decimale illimitato periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene oltre a 2 e 5 o ad uno solo di essi, anche altri fattori. al lavoro ero o falso? a) Una frazione ordinaria genera sempre numeri decimali limitati. b) Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, genera un numero periodico semplice se il suo denominatore non contiene i fattori 2 e 5. c) Solo le frazioni improprie possono generare numeri periodici misti. d) Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, genera un numero periodico misto se il suo denominatore non contiene il fattore 2. > 8 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
Unità 11 razioni e numeri decimali > al lavoro Indica con una crocetta la risposta corretta: Se il denominatore di una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, contiene i fattori a) 2 o 5 la frazione genera un numero decimale: limitato. periodico semplice. periodico misto. b) 2 e 5 la frazione genera un numero decimale: limitato. periodico semplice. periodico misto. c), 5, la frazione genera un numero decimale: limitato. periodico semplice. periodico misto. d) e 1 la frazione genera un numero decimale: limitato. periodico semplice. periodico misto. e) 2, 5, 11 la frazione genera un numero decimale: limitato. periodico semplice periodico misto. f) 2 e 29 la frazione genera un numero decimale: limitato. periodico semplice. periodico misto. 4 DAL NUMERO DECIMALE ALLA RAZIONE GENERATRICE Abbiamo visto quali tipi di frazione generano numeri decimali limitati o illimitati. Ora affrontiamo il problema inverso: trasformare un numero decimale nella sua frazione generatrice. Numero decimale limitato Il numero 2, può essere scritto così: 2 1 1 200 0 2 2 2 Quindi è la frazione generatrice di 2,. In generale: regola La frazione generatrice di un numero decimale limitato è la frazione avente: per numeratore il numero naturale ottenuto togliendo la virgola; per denominatore 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato. S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 9
IL NUMERO Numero decimale periodico semplice 25 La frazione genera il numero periodico semplice 2,, in quanto: 9 25 : 9 = 2,... Per determinare la frazione generatrice partendo dal numero periodico semplice si procede così: 2 2 2, 9 tutto il numero scritto senza la virgola meno la parte che precede il periodo tanti 9 quante sono le cifre del periodo 25 Otteniamo che è proprio la frazione di partenza. 9, Analogamente: 50 151 1 150 50 1, 51 ; 99 99 42 126 0 126 14 14 0, 126 999 999 111 111 In generale: regola La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è la frazione avente: per numeratore la differenza fra il numero scritto senza la virgola e la parte che precede il periodo; per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo. Numero decimale periodico misto 59 La frazione genera il numero decimale periodico misto, 2 perché: 18 59, 2... 18 Per individuare la frazione generatrice del numero si procede così: 2 2 tutto il numero scritto senza la virgola meno la, 2 90 parte che precede il periodo Otteniamo tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo 295 90 59, che è proprio la frazione di partenza. 18 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
Unità 11 razioni e numeri decimali Analogamente: 116 54 44 58 58 1, 054 ; 990 990 1 55 55 1 12 1 155 1 0, 12 900 900 180 180 In generale: regola La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è la frazione avente: per numeratore la differenza fra il numero scritto senza la virgola e la parte che precede il periodo; per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo. al lavoro Osservazioni un numero decimale periodico semplice di periodo 9 ha come frazione generatrice una frazione apparente: 9 6 59 5 54 9, 4; 59, 6 9 9 9 9 un numero decimale periodico misto di periodo 9 ha come frazione generatrice una frazione decimale: 29 2 65 589 58 51 59, 29 ; 5, 89 1 90 90 90 90 0 ero o falso? a) La frazione generatrice di un numero decimale limitato ha per denominatore una potenza di. b) La frazione generatrice di un numero decimale limitato ha per numeratore la differenza tra la parte intera e la parte decimale del numero. c) Il denominatore della frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è formato da tutti 9. d) Se il denominatore di una frazione è 900, significa che è generata da un numero periodico misto. Collega con una freccia ogni numero decimale con la corrispondente frazione generatrice: a) 0,5 0, 5 0, 5 b),16, 16,16 5 90 5 99 5 16 16 99 16 1 90 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 11
IL NUMERO 5 OPERAZIONI CON I NUMERI DECIMALI Affrontiamo ora le operazioni con i numeri decimali limitati e illimitati. ESEMPI Numeri decimali limitati Per eseguire semplici operazioni e espressioni contenenti solo numeri decimali limitati è possibile indifferentemente: eseguire i calcoli seguendo le regole note; trasformare i numeri decimali nelle loro frazioni generatrici e poi, svolti i calcoli, trasformare la frazione ottenuta in numero decimale. Esegui in due modi diversi l espressione: 05, [ 02, 06, :( 05, 0, )]: ( 06, 04, ) 05, [ 02, 06, :( 05, 0, )]: ( 06, 04, ) 05, [ 02, 0, 6 : 0, 8 ]: 0, 2 05, [ 02, 05, ]: 02, 05, 2, : 02, 05, 51, 56, ( ) ( ) 0 0 5 2 6 5 6 4 5 2 : : 1 1 5 2 6 2 5 2 8 4 1 4 : 2 5 2 5 2 : : 51 1 5 2 2 5 2 5 51 56 : 56, 2 1 6 8 2 : : ESEMPI Numeri decimali illimitati Per eseguire semplici operazioni e espressioni contenenti solo o anche numeri decimali illimitati si devono necessariamente trasformare i numeri nelle loro frazioni generatrici e poi, svolti i calcoli, trasformare la frazione ottenuta in un numero decimale. ( 1, 0, 5 2):(, 4 1, 4 18, ) 0, 0 1 5 2 9 ( ): ( ) ( ) : 1 11 90 1 4 14 1 18 1 1 9 9 9 90 0 9 1 1 1 1 9 1 1 1 51 9 0 90 1 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 1 1 : 9 9 9 0 5 50 5 16, 0 12 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
Unità 11 razioni e numeri decimali al lavoro ero o falso? a) Per eseguire operazioni con numeri decimali di qualsiasi tipo, si può operare direttamente su tali numeri. b) È sempre necessario trasformare i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici. c) Per eseguire operazioni con soli numeri decimali limitati si può indifferentemente operare direttamente su tali numeri o trasformarli nelle loro frazioni generatrici. d) Per eseguire operazioni con numeri decimali illimitati è necessario trasformare i numeri nelle loro frazioni generatrici. Metti in ordine le azioni necessarie per svolgere un espressione contenente numeri decimali limitati e illimitati, scrivendo il risultato in forma decimale: a) Si svolge l espressione con le solite regole. b) Si trasforma eventualmente la frazione ottenuta in un numero decimale. c) Si trasformano i numeri decimali nelle loro frazioni generatrici. d) Si riducono ai minimi termini le frazioni generatrici. 6 APPROSSIMAZIONE DI UN NUMERO DECIMALE Come hai già imparato, quando si lavora con numeri che hanno molte cifre decimali spesso si ricorre alla loro approssimazione per eccesso, quando il numero approssimato è maggiore del numero dato, o per difetto, quando il numero approssimato è minore del numero dato. Ripassiamo, considerando il numero razionale: 14 1, 069206920... 1 ricorda A meno di un unità, a meno di un decimo, a meno di un centesimo, significa che, considerando quel valore, l errore commesso è minore di un unità, di un decimo, di un centesimo, valore approssimato per difetto valore approssimato per eccesso a meno di 1 unità a meno di 1 unità 1 2 a meno di 1 decimo a meno di 1 decimo 1,0 1,1 a meno di 1 centesimo a meno di 1 centesimo 1,0 1,08 a meno di 1 millesimo a meno di 1 millesimo 1,06 1,0 Per stabilire se un numero decimale deve essere approssimato per eccesso o per difetto si segue la regola dell arrotondamento: se la prima cifra soppressa è 5, il numero viene approssimato per difetto; se la prima cifra soppressa è 5, il numero viene approssimato per eccesso. S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 1
IL NUMERO attenzione Per il numero,4545... si ha: all unità ai decimi,5 ai centesimi,46 ai millesimi,45...... Quindi, nel nostro caso l arrotondamento è: all unità 1 (0 5) ai decimi 1,1 ( 5) ai centesimi 1,08 (6 5) ai millesimi 1,0 (9 5) ai decimillesimi 1,069 (2 5) Come ricorderai, i numeri decimali vengono usati per indicare la misura di una grandezza e quindi l approssimazione più adatta andrà scelta caso per caso. Consideriamo i seguenti esempi: le distanze fra due città sono espresse in kilometri; al massimo possiamo considerare i metri: non servirà conoscere tale misura espressa in decimetri o in centimetri; una sarta, confezionando abiti, dovrà tener conto nelle sue misure dei decimetri e dei centimetri mentre un orafo, nella realizzazione di un gioiello, dovrà considerare i millimetri e anche i decimillimetri. al lavoro ero o falso? a) Solo i numeri decimali limitati possono essere approssimati. b) Se un numero viene approssimato per difetto, il valore approssimato è minore del numero stesso. c) L approssimazione per eccesso è sempre la migliore. Completa: Se si approssima un numero decimale a meno di: a) 1 decimo la prima cifra soppressa è quella dei... b)... la prima cifra soppressa è quella dei millesimi. c)... la prima cifra soppressa è quella dei decimi. 14 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
Unità 11 razioni e numeri decimali e s e r c i z i 1 DALLA RAZIONE AL NUMERO DECIMALE sapere 1 Rispondi: a) Come si procede per trasformare una frazione in un numero decimale? b) A quali numeri decimali può dare origine una frazione? c) Che cosa si intende per periodo? d) Come viene indicato il periodo? 2 ero o falso? a) Tutti i numeri decimali sono illimitati. b) In un numero decimale periodico semplice il periodo inizia subito dopo la virgola. c) Tutti i numeri decimali periodici hanno l antiperiodo. d) In un numero decimale periodico misto c è sempre l antiperiodo. Completa le tabelle: numero decimale finito periodico semplice periodico misto 1,8, 2 0,55 1, 0 8 0, 1, 2 6 2, 061 4 numero periodico parte intera antiperiodo periodo, 5 2 12, 06 1, 5 5, 6 8, 2 6 0, 6 5 0, 0 2 0 6 5 ero o falso? a) b) c) 8, 8,... 0, 06 0, 0666... 1, 19 1, 1919... f) g) h) 1, 15 1, 150 0, 08 0, 8080... 5, 5, 0000 d) 244, 24, i) 0, 12 0, 122... e) 0, 9 0, 99... l) 0, 418 0, 418418... S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 15
IL NUMERO e s e r c i z i saper fare 6 8 9 Rispondi: a) Nell insieme Q la divisione è un operazione sempre possibile? b) Il quoziente di una frazione apparente è un numero naturale? c) Quando un numero decimale è limitato? 8 d) La frazione ha come quoziente un numero decimale limitato? 5 28 Sapendo che 28 : 11 2, 545454... rispondi: 11 a) Il quoziente è un numero decimale limitato? b) Che caratteristica ha la sua parte decimale? c) Si può scrivere il numero nella forma 2, 5 4? d) Come viene definito questo tipo di numero decimale? Completa: 19 Sapendo che 19 : 6, 16666... 6 a) il periodo è... b) l antiperiodo è... c) il numero scritto in forma abbreviata è... d) il numero prende il nome di... Completa la tabella: numero parte intera antiperiodo periodo...,2...,6... 2......... 24 1 2 1,...... 6 5...,...2 56... esercizio guida Confronta i numeri: a) 0,8 e 0,8 0,8 0,888 per cui 0,8 0,8 b) 1,6 e 1,6 1,6 1,666 per cui 1,6 1,6 c) 8,45 e 8,45 8,45 8,4545 e 8,45 8,4555 per cui 8,45 8,45 12 1 Inserisci il simbolo di o tra le seguenti coppie di numeri:, 6, 6; 2, 56 2, 56;, 25, 25 1, 14 1, 144; 9, 2 9, 25;, 12, 1 Disponi i seguenti numeri in ordine crescente: 0, 15 0, 1;, 22, 2; 1, 18 1, 8 5, 5, 5; 0, 8 0, 9; 64, 6 64, 6 20,12; 20,012;,00;,0; 0,96; 9,6; 0,096 11, 1; 11, 1;, 9; 0, 11; 0, 9; 1, 6; 1, 6 11 16 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
Unità 11 razioni e numeri decimali 14 15 16 1 18 19 Disponi i seguenti numeri in ordine decrescente: 4,445; 44,45; 0,45; 1,8; 18,4; 0,18; 0,54 2, 09; 9, 02; 20, 9; 0, 20; 0, 209; 90, 2; 0, 902 Al posto dei puntini inserisci un numero periodico misto in modo da rendere vere le relazioni:, 12..., 1; 0, 56... 0, 5; 11,... 1, 12; 05,... 0, 52; 2, 15... 2, 152; 56,... 56, 4,... 4, ; 11, 06... 11, 06;, 14..., 14; 2, 65... 26, ; 84,... 8, 42; 65,... 6, 51 Disegna una retta numerica, assumi come unità di misura 1 cm e rappresenta i seguenti numeri: 2 1 5 94 1 5, ; ; 48, ; ; ; ; ; 96, ; 5 2 Disegna una retta numerica, assumi come unità di misura un segmento lungo quadretti e rappresenta le immagini delle frazioni e. Scrivi e rappresenta sulla retta numerica i numeri deci- 4 8 mali compresi tra le due frazioni ed aventi una sola cifra decimale. 2 RAZIONI E NUMERI DECIMALI LIMITATI sapere 20 21 Rispondi: a) In quale caso una frazione è decimale? b) Ogni frazione decimale può essere trasformata in un numero decimale limitato? 1 c) L unità frazionaria corrisponde al numero decimale 0,001? 0 d) Come si può trasformare una frazione decimale in un numero decimale? Inserisci il simbolo di o tra le seguenti coppie: 1.................. 0, 01; 1 0, 01; 1 1 000 0, 01; 1 00 0, 001; 1 000 0, ; 1 00001 1 000000 0, 0001 22 Completa la tabella: divisione 19 : 1 85 : 1 000 frazione decimale 19 5 12 1 0 1 85 0 6 2 numero decimale,5 1,2,6 2 Completa: a) Una frazione non apparente e non decimale si dice frazione... b) Alcune frazioni ordinarie si possono trasformare in frazioni decimali applicando la proprietà... c) Le frazioni ordinarie che si possono trasformare in frazioni... generano numeri decimali limitati. d) Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, genera un numero decimale limitato se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene come fattori solo..., solo 5 o... S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 1
IL NUMERO e s e r c i z i 24 Data una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, riconosci quando si può trasformare in una frazione decimale, inserendo una crocetta nella colonna opportuna: denominatore si può trasformare non si può trasformare della frazione in frazione decimale in frazione decimale 8 24 40 0 125 saper fare 25 26 2 Riconosci le frazioni decimali: 81 415 2 565 9 ; ; ; ; ; ; ; 20 0 0 00 1 Sottolinea le frazioni ordinarie: 5 42 4 1 25 4 00 ; ; ; ; ; ; ; 6 20 400 25 0 Trasforma le seguenti frazioni decimali nei corrispondenti numeri decimali: 42 25 4 25 5 ; ; ; ; 1 000 50 428 28 29 0 4285 20 1 252 ; ; ; ; 1 000 00 0 15 56 ; ; ; ; 1 000 1 000 00 Completa la tabella: 55 15 00 numero scomposizione potenza di in fattori primi immediatamente superiore 20 2 2 5 2 2 5 2 25 5 2 2 2 5 2... 8 2... 2... 5...... 250 2 5 2... 5...... 40 2...... 2... 5...... 200 2... 5... 2... 5...... 1 Dopo aver scomposto ciascuno dei seguenti numeri in fattori primi, determina il più piccolo numero per cui occorre moltiplicarlo per ottenere una potenza di : 80; 800; 160; 500; 625; 2 18 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
Unità 11 razioni e numeri decimali esercizio guida frazione 20 6 0 21 84 2 5 frazione ridotta denominatore scomposto frazione decimale ai minimi termini in fattori primi equivalente 20 1 5 1 4 9 25 20 = 2 2 5 5 2 4 = 2 2 25 = 5 2 2 Indica con una crocetta la frazione decimale equivalente alla data: 15 0 a) 2 b) c) d) 4 5 25 2 20 40 28 20 4 28 115 2 Trasforma ciascuna delle seguenti frazioni nella corrispondente frazione decimale: 5 2 10 ; ; ; ; ; 5 20 8 25 50 125 8 4 21 6 24 24 12 ; ; ; ; ; 5 0 20 80 5 42 00 5 6 81 1 200 2 18 1 600 ; ; ; ; ; 900 2400 450 225 500 8 54 6 16 60 ; ; ; ; ; 60 225 40 200 5 6 15 1 8 ; ; ; ; ; 50 50000 250 500 400 1 500 420 225 24 000 8 Rispondi: a) Tutte le frazioni ordinarie possono essere trasformate in frazioni decimali? b) Se il denominatore di una frazione ordinaria è una potenza di 2, la frazione può essere trasformata in un numero decimale limitato? c) Se il denominatore di una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini, ha come fattori primi e 5, la frazione può essere trasformata in un numero decimale limitato? d) Quali possono essere i fattori primi del denominatore di una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, affinché essa possa essere trasformata in un numero decimale limitato? S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 19
IL NUMERO e s e r c i z i Completa le tabelle: 9 frazione denominatore scomposto in fattori primi la frazione genera un numero decimale finito? 16 5 6 9 20 1 25 16... 4 sì 6 2...... 9...... no 20 2......... 25... 2... 40 frazione 15 12 6 24 12 28 49 14 81 60 frazione ridotta denominatore scomposto la frazione genera un ai minimi termini in fattori primi numero decimale finito? 5 4 4 2... 41 42 4 44 45 46 4 Riconosci quali, tra le seguenti frazioni, si possono trasformare in frazioni decimali: 11 8 1 25 ; ; ; ; ; 20 40 45 24 60 64 15 22 9 ; ; ; ; ; 14 80 5 4 5 18 21 15 ; ; ; ; ; 28 2 60 24 55 Stabilisci quali, tra le seguenti frazioni, si possono trasformare in numeri decimali limitati ed esegui, quando è possibile, tale trasformazione: 4 5 41 11 20 ; ; ; 2 20 0 15 6 1 4 ; ; ; 20 18 20 65 ; ; ; 5 56 21 2 ; ; ; 14 46 44 8 25 90 150 26 65 18 45 49 90 15 18 [8,6; 0,65; no; 0,2] [no; 0,55; no; 0,6] [2,5; no; no; 0,4] [1,5; no; 0,5; 0,4] 20 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
Unità 11 razioni e numeri decimali 48 49 50 Sostituisci ai puntini un numero in modo che la frazione ottenuta generi un numero decimale limitato:... ;... 12 ;... ;... ;... 15 6 28 5... 24 ;... ; 45... ;... ;... 12 18 5... ;... 5 ;... ;... 60 ; 6 55 10... RAZIONI E NUMERI DECIMALI ILLIMITATI sapere 51 Completa: a) Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, genera un numero decimale limitato se il suo denominatore contiene solo i fattori... b) Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, genera un numero... se il suo denominatore non contiene i fattori 2 e 5. c) Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, genera un numero illimitato periodico misto se il suo denominatore contiene come fattori... 52 Riscrivi correttamente le seguenti affermazioni: a) Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, può essere trasformata in un numero decimale limitato se il suo denominatore contiene fattori primi diversi da 2 e da 5. b) Un numero decimale limitato può essere ottenuto soltanto da una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, il cui denominatore è una potenza di 5. c) Un numero decimale periodico semplice può essere ottenuto da una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, il cui denominatore contiene il fattore 2 unito ad altri. d) Una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, può essere trasformata in un numero decimale periodico misto se il suo denominatore non contiene i fattori 2 e 5. 5 Completa: Se una frazione ordinaria, ridotta ai minimi termini, ha come denominatore: a) 15 genera un numero... perché 15 contiene i fattori e 5. b) genera un numero... perché contiene i fattori... e... c) 42 genera un numero... perché 42 contiene i fattori..., e... d) 50 genera un numero... perché 50 contiene i fattori 2 e... e) 9 genera un numero... perché 9 contiene i fattori... e... S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 21
IL NUMERO e s e r c i z i saper fare 54 Completa la tabella: frazione ridotta denominatore numero numero decimale numero decimale frazione ai minimi scomposto decimale periodico periodico termini in fattori primi limitato semplice misto 5 60 0 44 28 240 24 5 144 8 1 12 12 2 2 no no sì 55 56 Senza eseguire la divisione, stabilisci quale tipo di numero decimale si ottiene da ciascuna delle seguenti frazioni: 15 4 25 5 ; ; ; ; 16 15 11 42 8 21 12 48 ; ; ; ; 26 4 5 18 6 25 50 2 5 58 1 8 9 ; ; ; ; 40 5 6 55 25 61 15 65 ; ; ; ; 5 80 28 5 44 49 56 59 Sostituisci ai puntini un numero in modo che la frazione generi un numero decimale periodico semplice: 2 4 15... ;... ;... ;... ; 6 12... 62 Sostituisci ai puntini un numero in modo che la frazione generi un numero decimale periodico misto: 1 20... ;... ;... ;... ;... 12 28 60 6 9... ;... ;... ;... ; 45 6 5... 6 6 18 0... ;... ;... ;... ; 42 6... 61 15 44... ;... ;... ; 0 24... ;... 2 64 14 6 42... ;... ; 24... ;... ;... 84 65 Indica con una crocetta la risposta corretta: a) b) c) 25 6 2 9 1 24 4, 1 6, 5 6 0, 5416 4, 1 6 0, 5416 2 d) 2, 8 2, 8 5 2, 8 8 25, 5 4, 1 6, 5 0, 5 22 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione
Unità 11 razioni e numeri decimali 66 a) 86 15 8, 6 5, 5, b) 145 11 1, 1 8 1, 18 1, 18 c) 1 12 1, 4 1 6 1, 416 1, 416 d) 42 5 1, 2 1, 2 1, 2 Trasforma le seguenti frazioni nei corrispondenti numeri decimali: 6 2 5 8 ; ; ; 9 9 0 0, 2; 5, 8; 2, 6; 2, 4 68 1 6 15 19 ; ; ; 11 12 28 9 216, ; 16, ; 158, ; 1, 69 1 9 1 ; ; ; 11 4 0 16 9 1, 18; 2, 25; 1, 0; 1, 4 DAL NUMERO DECIMALE ALLA RAZIONE GENERATRICE sapere 0 1 Rispondi: a) La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione decimale? b) A che cosa è uguale il numeratore della frazione generatrice di un numero decimale limitato? E il denominatore? c) Se un numero decimale limitato ha due cifre decimali, il denominatore della sua frazione generatrice è? d) Se la frazione generatrice di un numero decimale limitato è riducibile, quali fattori primi può contenere il denominatore della frazione ridotta ai minimi termini? Completa la tabella relativa a numeri decimali limitati: numero di cifre decimali denominatore della frazione generatrice 1 000 1 4 1 000 000 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione 2
IL NUMERO e s e r c i z i 2 ero o falso? a) Esiste sempre la frazione generatrice di un numero decimale. b) Le cifre del denominatore della frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice sono dei 9. c) Il numeratore della frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice, avente la parte intera uguale a zero, è uguale al periodo del numero stesso. d)la frazione generatrice di un numero decimale periodico misto ha come denominatore un multiplo di 90. e) Il numeratore della frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è la differenza tra il numero scritto senza virgola ed il suo antiperiodo. Completa la tabella: numero frazione generatrice, 5 8 6, 2 5 2, 58 99 625... 90... 2 9, 2 5 25...... saper fare 4 Indica con una crocetta il completamento corretto: La frazione generatrice di: a) 5, 2 4 è : b) 0, 2 è: 524 0 2, 524 2 999 524 2 0 c) 0, 0 6 è : 6 6 0 6 5 ero o falso? 15 81 a), 15 d) 8, 1 0 5 b) 0, 05 e) 0, 00 0 2589 c) 0, 0 f) 25, 89 00 24 S. Lattes & C. Editori SpA - ietata la vendita e la diffusione