Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. La distribuzione di probabilità binomiale Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 1
In questa lezione parleremo di: Distribuzioni teoriche di probabilità. Distribuzione di probabilità binomiale Calcolo del valore di probabilità di un evento secondo il modello binomiale Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 2
Riprendiamo alcune definizioni: Qualsiasi caratteristica che può essere misurata o categorizzata: Variabile Variabile che può assumere diversi valori per effetto del caso: Variabile casuale Le variabili possono essere categoriche (binarie, nominali, ordinali) o numeriche (discrete, continue). Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 3
Abbiamo visto che possiamo costruire in modo empirico la distribuzione di frequenza di una variabile in un gruppo di soggetti. es. N % Immunofenotipo Non specificato T B B precursor 35 54 12 397 7.0 10.8 2.4 79.7 Totale 498 100 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 4
distribuzione di frequenza proporzione 90,0% 80,0% 70,0% 60,0% 50,0% 40,0% 30,0% 20,0% 10,0% 0,0% Non specificato T B B precursor tipo leucemie Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 5
Potremmo compiere un passo successivo se potessimo identificare una curva matematica che descrive l'andamento del grafico. In tal modo potremmo: - descrivere la distribuzione dei dati senza bisogno di mostrarli ma solo in base ai parametri della curva matematica. - usare i parametri delle rispettive curve per confrontare gruppi di soggetti diversi. - costruire una distribuzione di frequenza attesa, sulla base dei valori dei parametri. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 6
0.06 0.04 0.02 0.00 26 34 42 50 58 66 74 82 90 ETA Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 7
0.06 0.04 0.02 0.00 26 34 42 50 58 66 74 82 90 ETA Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 8
es. La curva esponenziale può essere usata per descrivere la crescita del numero di batteri in laboratorio, in assenza di condizioni limitanti y = ae bt - I parametri sono a (numero iniziale) e b (velocità di crescita). Stimati questi parametri possiamo stimare il numero di batteri a determinati intervalli (t) dall'inizio dell'esperimento. - il parametro b corrisponde alla velocità di accrescimento, che possiamo confrontare per ceppi diversi di ceppi diversi Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 9
- curve di crescita esponenziale 9000 8000 7000 b=0,4 b=0,5 6000 5000 n 4000 3000 2000 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 t Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 10
La funzione matematica che descrive un fenomeno (biologico, statistico ecc ) è definita 'MODELLO'. In questo caso possiamo parlare di Modello esponenziale della crescita batterica. - Un modello adeguato è un modello che descrive gli aspetti importanti del fenomeno che vogliamo studiare, senza entrare in dettagli inutili. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 11
- curve di crescita esponenziale 9000 8000 7000 b=0,4 b=0,5 6000 5000 n 4000 3000 2000 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 t Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 12
Anche in statistica possiamo identificare dei modelli che costituiscono una rappresentazione sintetica dei dati o del fenomeno che vogliamo studiare. Spesso però è difficile trovare un modello che descrive esattamente i dati. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 13
0.06 0.04 0.02 0.00 26 34 42 50 58 66 74 82 90 ETA Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 14
In questo caso una curva a campana potrebbe essere un buon modello, anche se non perfettamente soddisfacente (la curva che interpola l'istogramma non è simmetrica ) 0.06 0.04 0.02 0.00 26 34 42 50 58 66 74 82 90 ETA Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 15
Quale modello si applica alla distribuzione di eventi discreti? ad esempio: quanti sono i bambini maschi in famiglie con 4 figli?. frequenza relativa di figli maschi in famiglie di 4 figli % 40,0% 35,0% 30,0% 25,0% 20,0% 15,0% 10,0% 5,0% 0,0% 0 1 2 3 4 numero maschi Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 16
La distribuzione binomiale si usa per rispondere a problemi di questo tipo: Qual è la probabilità di avere un certo numero di successi (r) dato un certo numero di prove (N)? Il problema viene condotto ad una formulazione binaria (successo / insuccesso). Debbo conoscere la probabilità di successo (π) La probabilità di insuccesso (1-π) Il parametro che definisce la funzione è π. (viene utilizzata una lettera greca poiché ci si riferisce alla probabilità calcolata sulla popolazione). Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 17
La funzione binomiale, in modo analogo alle altre funzioni di probabilità, consente di prevedere la probabilità associata ad un dato evento. La previsione è, come sempre, condizionata alla correttezza delle assunzioni di partenza (scelta della funzione più appropriata, valore dei parametri della distribuzione). Nelle lezioni successive vedremo come si possono confrontare le probabilità (o le frequenze) osservate con quelle attese. Adesso vediamo come si calcola la frequenza attesa quando si può applicare il modello di probabilità binomiale. Incominciamo in modo empirico esaminando la forma della distribuzione binomiale al variare del numero di prove e della probabilità di successo. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 18
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Costruiamo la formula della distribuzione di probabilità binomiale Un fenomeno ha una probabilità di verificarsi (probabilità di successo)= π L'evento complementare ha una probabilità di verificarsi (probabilità di insuccesso)= 1-π Nel caso di una estrazione, la probabilità di successo sarà = π Nel caso di due estrazioni, i cui risultati sono indipendenti, la probabilità di successo ad entrambe sarà = π * π = π 2 Nel caso di tre estrazioni, i cui risultati sono indipendenti, la probabilità di successo ad entrambe sarà = π * π * π = π 3 ecc. ecc. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 24
Allo stesso modo possiamo calcolare la probabilità di insuccesso su diverse prove. Nel caso di una estrazione, la probabilità di insuccesso sarà = 1-π Nel caso di due estrazioni, i cui risultati sono indipendenti, la probabilità di insuccesso ad entrambe sarà = (1-π) * (1-π) = (1-π) 2 Nel caso di tre estrazioni, i cui risultati sono indipendenti, la probabilità di insuccesso a tutte sarà = (1-π) * (1-π) *(1-π) = (1-π) 3 ecc. ecc. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 25
Possiamo generalizzare e giungere alla formula che ci consente di calcolare la probabilità di un qualsiasi numero (r) di successi in un qualsiasi numero (N) di prove. (π) r (1-π) (N-r) La probabilità di un successo è elevata al numero di successi e moltiplicata alla probabilità di insuccesso elevata al numero di insuccessi. Si applica pertanto la regola della probabilità di eventi indipendenti. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 26
Esiste un ultimo problema: lo stesso numero di successi si può ottenere con diverse sequenze di risultati. Es 2 successi in 3 prove: aab aba baa La seguente tabella ricostruisce lo spazio campionario di un esperimento con 3 prove. Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 27
Numero Primo figlio Secondo f. Terzo f. figli maschi F F F 0 M F F 1 F M F 1 F F M 1 M M F 2 M F M 2 F M M 2 M M M 3 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 28
Il coefficiente binomiale indica il numero di modi in cui possiamo ottenere r successi in N prove. N ( r ) : Coefficiente Binomiale. N = N! ( ) r r! ( N r)! N! = N * (N-1) *... * 4 * 3 * 2 * 1 Viene indicato come fattoriale di N Attenzione 0! = 1 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 29
Numero Coefficiente Primo figlio Secondo f. Terzo f. figli maschi binomiale F F F 0 1 M F F 1 F M F 1 F F M 1 M M F 2 M F M 2 F M M 2 M M M 3 1 3 3 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 30
La formula complessiva è: N P(r successi su N prove) = ( r ) (π) r (1-π) (N-r) Coefficiente binomiale Probabilità degli insuccessi Probabilità dei successi Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 31
Numero Primo figlio Secondo f. Terzo f. figli maschi probabilità F F F 0 (1-p) (1-p) (1-p) M F F 1 p (1-p) (1-p) F M F 1 (1-p) p (1-p) F F M 1 (1-p) (1-p) p M M F 2 p p (1-p) M F M 2 p (1-p) p F M M 2 (1-p) p p M M M 3 p p p Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 32
Numero Coeff. bin. Primo figlio Secondo f. Terzo f. figli maschi probabilità F F F 0 1 (1-p) (1-p) (1-p) M F F 1 F M F 1 3 (1-p) (1-p) p F F M 1 M M F 2 M F M 2 3 (1-p) p p F M M 2 M M M 3 1 p p p Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 33
Es. Probabilità di ottenere 4 croci su 10 lanci di moneta (π)= 0,5 (1-π) = 0,5 r= 4 n = 10 p(r=4 su N=10) = [10! / (4! 6! )] x 0,5 4 x 0,5 6 = 210 * 0,0625 * 0,015625 = 0,205 Interpretazione: Se la moneta è equilibrata e quindi tale per cui la probabilità di un dato risultato (es. testa) a ciascun lancio è pari a 0,5 (π = 0,5) la probabilità di avere 4 risultati in una serie di 10 lanci è 0,205 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 34
Questa tabella riassume i valori di probabilità associati a ciascuno dei possibili risultati di un esperimento di 10 lanci di moneta. π=0.5 1-π=0,5 N r N-r Coefficiente Binomiale π^r (1-π)^(N-r) Valore di probabilità 10 0 10 1 1,0000000000 0,0009765625 0,001 10 1 9 10 0,5000000000 0,0019531250 0,010 10 2 8 45 0,2500000000 0,0039062500 0,044 10 3 7 120 0,1250000000 0,0078125000 0,117 10 4 6 210 0,0625000000 0,0156250000 0,205 10 5 5 252 0,0312500000 0,0312500000 0,246 10 6 4 210 0,0156250000 0,0625000000 0,205 10 7 3 120 0,0078125000 0,1250000000 0,117 10 8 2 45 0,0039062500 0,2500000000 0,044 10 9 1 10 0,0019531250 0,5000000000 0,010 10 10 0 1 0,0009765625 1,0000000000 0,001 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 35
Distribuzione binomiale N=10, p=0.5 0,300 0,250 0,200 0,150 prob 0,100 0,050 0,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 36
distribuzione binomiale con densità e probabilità cumulativa 1,000 0,900 0,800 0,700 probabilità 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,500 0,001 0,010 0,044 0,117 0,205 0,246 0,205 0,117 0,044 0,010 0,001 pcum 0,001 0,011 0,055 0,172 0,377 0,623 0,828 0,945 0,989 0,999 1,000 successi Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 37
La tabella seguente mostra l effetto della variazione del parametro (π) π=0,75 1-π=0,25 N r N-r Coefficiente Binomiale π^r (1-π)^(N-r) Valore di probabilità 10 0 10 1 1,0000000000 0,0000009537 0,000 10 1 9 10 0,7500000000 0,0000038147 0,000 10 2 8 45 0,5625000000 0,0000152588 0,000 10 3 7 120 0,4218750000 0,0000610352 0,003 10 4 6 210 0,3164062500 0,0002441406 0,016 10 5 5 252 0,2373046875 0,0009765625 0,058 10 6 4 210 0,1779785156 0,0039062500 0,146 10 7 3 120 0,1334838867 0,0156250000 0,250 10 8 2 45 0,1001129150 0,0625000000 0,282 10 9 1 10 0,0750846863 0,2500000000 0,188 10 10 0 1 0,0563135147 1,0000000000 0,056 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 38
Distribuzione binomiale N=10, p=0.75 0,300 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 39
Spesso la domanda posta è: Qual è la probabilità di avere almeno un certo numero di successi (r) dato un certo numero di prove (N)? In questo caso: 1 Calcolo la probabilità per tutti i numeri interi (r ) compresi tra r ed N (inclusi) 2 Sommo la probabilità per ciascuno degli interi compresi tra r ed N P(r >=r in N prove) = p(r) + p(r+1) + + p(n-1) + p(n) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 40
Ad esempio: probabilità di 8 o più successi su 10 prove con p=0,5 0 0,000977 1 0,009766 2 0,043945 3 0,117188 4 0,205078 5 0,246094 6 0,205078 7 0,117188 8 0,043945 9 0,009766 10 0,000977 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 41
0,300 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 42
Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 43 Probabilità di 32 o più successi con 50 prove e p=0,5 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 2 4 2 6 2 8 3 0 3 2 3 4 3 6 3 8 4 0 4 2 4 4 4 6 4 8 5 0
Esercizi. - Quali sono i tre presupposti per poter applicare correttamente il modello di distribuzione binomiale? - p. 148, n.10 - p. 148, n.11 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità. 44