Lezione Legge di Newton e sue applicazioni.1 Legge di Newton e sue applicazioni La legge di Newton F = F x = i f (f x) i = ma x i = m a = F y = i (f y) i = ma y i F z = i (f z) i = ma z Serway, Cap 4 Proponiamo una raccolta di tutti gli esercizi del Cap.4 IV.1 Se un uomo pesa sulla Terra 900 N, quale sarebbe il suo peso su Giove, dove l accellerazione di gravità vale 5.9 m/s? La massa dell uomo sulla terra vale: m ut = 900 N 9.8 m/s La massa é uguale sia su Giove che sulla Terra ma su Giove é diversa l accellerazione per cui vi é una nuova forza peso che vale: P G = m ut 5.9 m/s = 900 5.9 N 9.8 IV.6 Vecchia Edizione simile a IV. nuova edizione Una magiatoia per uccelli di 150 N é sostenuta da cavi alla stessa maniera che il sacco di cemento della figura P4., con θ 1 = 60 o e θ = 0 o. Trovare la tensione di ogni cavo. 1
Indichiamo con x l asse orizzontale passante per il punto d incontro dei tre cavi e con y l asse verticale passante per lo stesso punto. Ricordando che l equazione vettoriale F = m a è equivalente a equazioni scalari una per ogni asse di riferimento essendo in condizioni di equilibrio a = 0 andiamo a scrivere le equazioni lungo i due assi x : T x T 1x = 0 y : T y + T 1y P = 0 equazioni in 4 incognite? Sfruttando le direzioni dei cavi possiamo costruire altre relazioni: T 1x = T 1 cosθ 1 = T 1 cosθ 1 = T 1 T 1y = T T1 1 senθ 1 = T 1 senθ 1 = T T x = T cosθ = Da cui T y = T senθ = T IV.1.b y : x : T = T 1 ( T + T = 150N T = 75N T 1 = 75 N Calcolare la tensione di ogni corda del sistema descritto nella Figura P4.1b. x : T T 1 cos60 = 0 y : T 1 sin60 T = 0 T = m g = 98N y : T 1 = T = 98 N x : T = T 1 = 98 N
IV. vecchia edizione Un treno ha massa 5. 10 6 Kg e si muove a velocita 90 Km/h. Il macchinista aziona il freno che applica forza ritardante 1.87 10 6 N. I freni sono usati per 0 sec. Qual è la nuova velocità del treno? Quanto lontano giunge da quando ha cominciato a frenare? F = m a F = ma perchè in una dimensione a = F m = 1.87 5. = 0.6m/s v = v 0 at = 90 Km/h 0.6 0m/s = ( 90 Km h = 90Km h 1000 m 1Km 1h 600s = 90.6 m/s 90.6 m/s 0.6m/s 0s = 14.m/s s = 1/at + v 0 t = 1 0.6 900 + 90/.6 0 = 16 + 750 = 588m ) IV.4 Una massa di 5 Kg posta su di un tavolo orizzontale privo di attrito, è collegata a un cavo che passa per una puleggia per poi essere legata a una massa pendente di 10 Kg. Trovare l accellerazione del sistema. massa : P + T = m a massa 1 : T = m 1 a 1 ma il moto dei corpi è solidale quindi a 1 = a = a e per la scelta del riferimento a 1 = a e a = a P + T = m a a = T = m 1 a P + m1 a = m a P + = (m1 + m )a / / P m = g = 6.5m/s m 1 + m m 1 + m T = m 1 a = m 1m m 1 + m g =.7N
IV. e IV.9 vecchia edizione Due masse di Kg (massa ) e 5 Kg (massa 1) sono connesse da una fune leggera che passa da una puleggia liscia. Determinare: 1. la tensione della fune;. l accellerazione delle due masse. la distanza fra le due masse dopo 1 s se esse partono appaiate in quiete. massa 1 : P 1 + T 1 + T = m 1 a 1 massa : P + T 1 + T = m a T 1 + T = T supponiamo di dire per assurdo a = a e, di conseguenza a 1 = a (ossia la massa piú leggera scende e sale quella più pesante. Si scrivono le equazioni P1 + T = m 1 a P + T = m a quindi T = m 1 a + P 1 P + +P 1 + m 1 a = m a / (m 1 + m )a = (m m 1 )g ( ) T = m m m 1 1 m +m 1 g + m 1 g a = m m 1 m +m 1 g = 0.5g =.45m/s < 0!!! La distanza percorsa da ciascuna massa in 1 s risulta essere s = 1 at = 1 a per cui la distanza tra i due corpi è data da d = s = a =.45 m 4
IV.8 Un blocco scivola luno un piano inclinato di un angolo θ = 15 o. Se il blocco parte dalla sommità e la lunghezza del piano è m trovare l accellerazione del blocco e la velocitá del blocco al fondo della curva. comp. parallela al piano : F x = P sen15 o = ma x comp. ortogonale al piano : F y = P cos15 o + N = 0 La reazione vincolare annulla il moto lungo y. Mi concentro solo lungo la componente parallela al piano: mg senθ = ma a = g senθ =.5m/s v = at s = 1 s at t = a s v = a a = s a = s g sinθ =.18 m/s IV.0 nuova edizione e IV.4 vecchia edizione Due masse sono collegate da una funicella leggera che passa attraverso una puleggia enza attrito, come in Figura P4.0.Il piano inclinato è liscio, m 1 = Kg, M =6 Kg e θ = 55 o. Trovare le accellerazioni delle masse, la tensione della fune e la velocitá di ciascuna dopo s dalla loro partenza. Per massa consideriamo solo direzione parallela al piano: P senθ T 1 T = m a Per massa 1 Stabiliamo che e Equazioni del moto P 1 + T 1 + T = m 1 a 1 T 1 + T = T a 1 = a a = a P1 + T = m 1 a P sinθ T = m a T = m 1 a + P 1 P sinθ m 1 a P 1 = m a 5
/ a = P sinθ P 1 m 1+m = m sinθ m 1 m 1+m g =.57m/s Da cui per semplice sostituzione si ottiene T = m 1 (g + a) = g m 1m m 1 + m (1 + senθ) = 6.74 Nota l accellerazione, la velocità è v = a t =.57 = 7.14m/s. Altre applicazioni della legge di Newton: forze di attrito e forze centripete Forze di attrito Forza di attrito statico Serway, 5.1-5. Serway, Cap 4 f s µ s n Forza di attrito dinamico f D = µ D n V.6 Per detreminare i coefficienti di attrito fra la gomma e diverse superfici, uno studente adopera una gomma da cancellare e un piano inclinato. In un esperimento la gomma da cancellare scivola quando l anglo di inclinazione è di 6 o e poi si muove giù lungo il piano inclinato con velocità costante quando l angolo si riduce a 0 o. Da questi dati determinare i coefficienti di attrito statico e dinamico. *Caso staticio P = P sen6 o P = P cos6 o Equazioni di moto in direzione al piano: P F as 0 condizionediquiete Il moto inizia quando P F as = 0 F as = P µ s P = P µ s = P P = sen6 cos6 = 0.7 6
*caso dinamico: essendo il sistema in moto ma senza accellerazione deve valere che le forze lungo la direzione di moto si equilibrino, quindi V.8 P F ad = 0 µ d P = P µ d = P = sen0 P cos0 = 0.58 Determinare lo spazio di frenata per uno sciatore con una velocità di 00 m/s. Si assuma µ d = 0.180 e θ = 5 o P F ad = ma P = P sen5 P = P cos5 P µ d P = ma ma = mg sin5 µ d cos5 a = g(sin5 µ d cos5) = 0.90m/s < 0 s f = v a = 445m V.1 nuova edizione e V.16 vecchia edizione Un automibilina giocattolo completa il giro di un percorso circolare di 00 m in 5 s. Qual è la velocità media? Se la massa è 1.5 Kg, qual è il modulo della forza centripeta? V.14 v = s t = 8m/s a c = v r =.01m/s F c = m a c = 1.5.01 =.015 Una pattinatrice sul ghiaccio di 55 Kg si muove a 4 m/s quando essa si afferra all estremità libera di una fune che ha l altro estremo fissato a un palo. Essa si muove su una circonferenza attorno al palo di raggio 0.8 m. Determinare la forza esrcitata dalla fune sulle braccia. Confrontare questa forza col suo peso. F = ma = m v 55 16 = = 1100N r 0.8 P = mg 550N 7
V.0 Un bambino di 40 kg siede su un altalena tradizionale lunga m, sorretta da catene. Se la tensione di ciascuna catena nel punto più basso è di 50 N, trovare: la velocità del bambino; Equazioni del moto: V. T 1 + T P = m v r (T P )r v = = 4.86m/s m Una macchina di 1800 Kg passa sopra un dosso che segue un arco di circonferenza di raggio 4 m, come in figura P5.. Quale forza la strada sulla macchina quando la macchina passa nel ounto più alto del dosso se la macchina ha velocità 16 m/s? Qual è la massima velocità che la macchina può avere mentre passa nel punto più alto del dosso senza perdere contatto con la strada? Equazioni di moto P N = m v r N = P m v r = 1800 (9.8 16 /4) = 6670N Il moto circolare si rompe quando il suolo non deve più spingere la macchina rightarrow N = 0 v = m v r = P P r m = gr = 0.8m/s 8