FA-es Parte 1L 1 FA-es Parte 1L 2 Trasformate di Laplace La trasformata di Laplace e un OPERATORE funzionale Importanza dei modelli dinamici Risolvere equazioni differenziali (lineari a coefficienti costanti) Tempo t Dominio complesso s Metodi per risolverle??? FA-es Parte 1L 3 FA-es Parte 1L 4 Definizione : si considerano funzioni non nulle solo per continue a tratti, senza comportamento impulsivo per t = 0 (ed altre ipotesi sempre verificate dalle funzioni considerate in questo corso) Z +1 L [f(t)] = Funzioni del tempo 0 f(t) e st dt= F (s) Funzioni complesse Perche queste trasformate sono utili? 1. Hanno molte proprieta che aiutano a risolvere le equazioni differenziali 2. Le trasformate si calcolano facilmente con delle trasformate notevoli 1
Proprieta FA-es Parte 1L 5 Proprieta FA-es Parte 1L 6 1. Linearita : 3. Trasformata della derivata: 2. Trasformata dell integrale: Derivate di ordine n Proprieta FA-es Parte 1L 7 Proprieta FA-es Parte 1L 8 4. Traslazione in frequenza: se 6. Cambiamento di scala nei tempi 5. Traslazione nel tempo: 7. Moltiplicazione per : 2
FA-es Parte 1L 9 FA-es Parte 1L 10 Proprieta Trasformate notevoli Def: integrale di convoluzione non nulle per 1. Trasformata del gradino unitario: 8. Si dimostra che: FA-es Parte 1L 11 FA-es Parte 1L 12 Definizione: di Dirach Proprietà ed utilizzo integrale unitario (per definizione) Si puo vedere come il di una successione di funzioni tali che: proprietà di estrazione (sifting property ) Utilizzo nello studio dei sistemi dinamici a tempo continuo: condizioni iniziali; comportamento ingresso/uscita del sistema (risposta all impulso) 3
FA-es Parte 1L 13 FA-es Parte 1L 14 Trasformata di Laplace: espressione generale Ammettendo che la funzione abbia comportamento impulsivo a t = 0 (le altre condizioni su f(t) sono verificate) Trasformata della derivata: espressione generale Ammettendo che la funzione abbia comportamento impulsivo a t= 0 (le altre condizioni su f(t) sono verificate) Trasformata della derivata: Derivate di ordine n Trasformate notevoli FA-es Parte 1L 15 Trasformate notevoli FA-es Parte 1L 16 2. Trasformata della di Dirach 3. Trasformata dell esponenziale : 4
Trasformate notevoli FA-es Parte 1L 17 Trasformate notevoli FA-es Parte 1L 18 4. Trasformata di : 5. Trasformata di :...basta ricordare le proprieta di moltiplicazione per traslazione in frequenza... e di...basta applicare la proprieta di moltiplicazione per... Trasformate notevoli FA-es Parte 1L 19 Trasformate notevoli FA-es Parte 1L 20 Trasformata di e di 6. Trasformata di :...ricordiamo le formule di Eulero... 5
Trasformate notevoli FA-es Parte 1L 21 Applicazione: FA-es Parte 1L 22 7. Trasformata di : Vogliamo risolvere l'equazione: Con condizioni iniziali: FA-es Parte 1L 23 FA-es Parte 1L 24 Se e un gradino unitario ed applichiamo le proprieta viste: Si e ottenuta un equazione algebrica da cui esplicitare : Da questa equazione si puo tornare nel dominio del tempo, ANTITRASFORMANDO 6
Applicazione: sistema massa-molla (parte1, 32) FA-es Parte 1L 25 FA-es Parte 1L 26 Risposta libera dipende dalle condizioni iniziali? Risposta forzata dipende dall ingresso Applicazione: controllo di livello (parte 2, 1) FA-es Parte 1L 27 controllo di livello Trasformiamo con Laplace, con C.I. nulle ( e il RIFERIMENTO!): FA-es Parte 1L 28 Ipotesi: -serbatoio infinito -no disturbo -controllore proporzionale? 7
FA-es Parte 1L 29 FA-es Parte 1L 30 Antitrasformate A partire da si risale - sotto opportune ipotesi - ad calcolando : Ci interessa antitrasformare funzioni razionali fratte Antitrasformate Che vale per CAUSALE, cioe non nulla solo per, lascissa di convergenza. Tutte le singolarità di F(s) sono a sinistra della retta individuata da.... non ne faremo uso Non applicheremo mai la definizione di antitrasformata! FA-es Parte 1L 31 FA-es Parte 1L 32 Antitrasformate Antitrasformate (bis) Deve essere n>m Se e causale, questa condizione e sempre verificata. Come si opera nel caso in cui fosse? Altrimenti la teoria delle trasformate ricorre alle funzioni generalizzate...che non vedremo Nel caso in cui, (funzioni razionali non strettamente proprie) nel segnale ottenuto come antitrasformata comparirà un impulso di Dirac. 8
FA-es Parte 1L 33 FA-es Parte 1L 34 Vogliamo scrivere come: avremo r zeri: di molteplicita avremo q poli: di molteplicita FA-es Parte 1L 35 FA-es Parte 1L 36 Per la proprieta di linearita la sua antitrasformata si potra calcolare cosi : Infatti si ha che: Ancora per le proprieta di linearita, traslazione in frequenza e moltiplicazione per. Risulta facile antitrasformare il singolo termine di questa sommatoria. 9
FA-es Parte 1L 37 FA-es Parte 1L 38 Se sappiamo calcolare i coefficienti abbiamo automaticamente la Metodo 1: basato sul principio di identita dei polinomi -àva bene per poli a molteplicita unitaria Metodo 2: basato sul calcolo dei residui -à va bene per poli multipli Risolviamo l esercizio (parte2, 23) lasciato in sospeso, con entrambi i metodi Per analogia col caso massamolla! a. Risposta libera b. Risposta forzata a. Metodo 1 - qui conviene perche ci sono poli a molteplicita unitaria FA-es Parte 1L 39 FA-es Parte 1L 40 b. Metodo 2? 10
FA-es Parte 1L 41 FA-es Parte 1L 42 Per calcolare i coefficienti si applica questa formula: Dunque finiamo l esercizio: Per poli di molteplicita unitaria: Detta formula di Heaviside Derivata prima del denominatore! FA-es Parte 1L 43 FA-es Parte 1L 44 Espressione finale di : Applicazione: sistema massa-molla Antitrasformando: Soluzione dell equazione differenziale: Se e un gradino 11
Espandendo in fratti semplici: Vedi (parte 1,34) Si e gia visto l andamento della a seconda che le radici siano reali o complesse. FA-es Parte 1L 45 Applicazione: controllo di livello µ H(s) = As +(k + µ) L h0 (t) 2 3 6 H(s) = 4 s + h(t) = µh0 k + µ C 1 (k + µ) A + C 2 s 7 5 0 1 (k + µ) @1 e A t A 1(t) dopo qualche passaggio vedi (parte 2, 4) FA-es Parte 1L 46 FA-es Parte 1L 47 FA-es Parte 1L 48 Studio qualitativo delle soluzioni CASI : 12
FA-es Parte 1L 49 FA-es Parte 1L 50 Studio qualitativo delle soluzioni Osservazioni: se e una radice del denominatore di, allora lo sara anche il suo complesso e coniugato Per l andamento della funzione converge SEMPRE a zero Per l andamento e divergente, con velocita crescente con la molteplicita del polo; e limitata sse la molteplicita del polo e unitaria Nella scomposizione troveremo come coefficienti legati a i coefficienti : dunque dovremo antitrasformare Per l andamento e SEMPRE divergente FA-es Parte 1L 51 FA-es Parte 1L 52 Sviluppando si ottiene: 13
Studio qualitativo delle soluzioni FA-es Parte 1L 53 Proprieta Vediamo ancora due proprieta molto importanti: FA-es Parte 1L 54 Osservazioni: Teorema del valore iniziale Per l andamento della funzione converge SEMPRE a zero IPOTESI: F(s) strettamente propria, cioe n>m. Per la funzione e limitata sse la molteplicita di p e unitaria Per l andamento e SEMPRE divergente solo per chi e curioso: se ha impusi - - nell origine il teorema non vale in questa forma... riflettere sul perche! Proprieta FA-es Parte 1L 55 Teorema del valor finale: esempi FA-es Parte 1L 56 Teorema del valor finale IPOTESI: Tutti poli sono nel semipiano sinistro, con al piu un polo di molteplicita unitaria nell origine. Applicazione corretta: 1 lim t!+1 e t = 0 = lim s s!0 s +1 C e un solo polo a parte reale negativa Applicazione scorretta: lim t!+1 sin (! t) lim? s! s!0 s 2 +! =1 E un teorema molto utile: si trova subito il valore regime della senza fare troppi calcoli! 69 lim sin (! t) t!+1 Ci sono due poli immaginari puri! 14
Esercizi 1. Antitrasformare la funzione : FA-es Parte 1L 57 Antitrasformiamo : FA-es Parte 1L 58 fine! FA-es Parte 1L 59 FA-es Parte 1L 60 2. Carica e scarica di un circuito RC parallelo: a) Ingresso nullo, ma con condizioni iniziali diverse da zero : il circuito si scarica. Equazioni di stato Per il secondo principio di Kirchhoff (al nodo A): A R C Applichiamo Laplace: 15
FA-es Parte 1L 61 FA-es Parte 1L 62 b) Soluzione ad ingresso diverso da zero, ma condizioni iniziali nulle : il circuito si carica. Se R=10, C=1 si ha RC=10 e dunque: Se l ingresso e un gradino in corrente: Allora espandiamo in fratti semplici... FA-es Parte 1L 63 FA-es Parte 1L 64 3. Antitrasformare la funzione: Innanzitutto troviamo i poli: Poi espandiamo in fratti semplici: fine! 16
FA-es Parte 1L 65 FA-es Parte 1L 66 Applichiamo la formula dei residui : Semplifichiamola sfruttando le formule di Eulero: Ma si poteva anche accoppiare i poli complessi e coniugati: Antitrasformando > ricordare la proprieta di traslazione in frequenza: Che non e molto agevole perche presenta coefficienti complessi... fine! FA-es Parte 1L 67 FA-es Parte 1L 68 Quello appena visto si dice metodo del COMPLETAMENTO DEI QUADRATI: 4. Antitrasformare la funzione : a. Si accoppiano i poli complessi e coniugati: Abbiamo gia i poli...stavolta facciamo attenzione agli zeri!! b. Si aggiustano le costanti al numeratore per avere: Infatti ci sono delle semplificazioni fra numeratore e denominatore: un fattore si elimina... Magari non ce ne siamo accorti... Ma facendo i conti nell espansione in fratti semplici il coefficiente legato ad risultera nullo! Se nell espansione un coefficiente risulta NULLO significa che ci sono delle semplificazioni di cui non ci si e accorti. fine! 17