Pre Test 2008... Matematica

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INSIEMI NUMERICI Gli insiemi numerici (di numeri) sono: numeri naturali N: insieme dei numeri interi e positivi {1; 2; 3; 4;...} numeri interi relativi Z: insieme dei numeri interi, positivi e negativi...-3; -2; -1; +1; +2; +3;... numeri razionali Q: insieme dei numeri che possono essere espressi sotto forma di frazione. numeri irrazionali: insieme dei numeri che non possono essere espressi sotto forma di frazione. Es: π, 2, e... numeri reali R: insieme dei numeri razionali e dei numeri irrazionali

Notazione scientifica: rappresentazione di un numero sotto forma di prodotto di due fattori: un numero decimale la cui cifra intera è compresa tra 1 e 9 una potenza di 10 Es.1 6500000 = 6.5 x 10 6 6500000 Es.2 0.0000084 = 8.4 x 10 --6 0.0000084 Ordine di grandezza: potenza di 10 che meno differisce da tale numero Es.3 1200 = 1.2 x 10 3 1.2<5 10 3 ordine di grandezza Es.4 6500 = 6.5 x 10 3 6.5>5 10 4 ordine di grandezza

Es.5 Test 2006 12/1001; 12/1000; 12/999; 12.1/1000 notazione esponenziale 12 x 1000 =12000 12.1 x 999 = 12087.9 12.1/1000 > 12/999

Es.6 Test 1998 centomila = 100000 1x10 5 10 5 un millesimo = 0.001 1x10 --3 10 --3 come si moltiplicano???

POTENZE Si chiama Potenza n-nesima di un numero reale a : il prodotto di n fattori uguali ad a a = base n = esponente o grado a n = a x a x a x a...n volte Proprietà: prodotto a m x a n = a m+n quoziente a m : a n = a m-n _ a n : a n = a n--n = a 0 =1 potenza (a m ) n = a mxn _ a --m =1/a m potenza di un prodotto (axbxc) m = a m x b m x c m potenza di un quoziente (a/b) m = a m /b m potenza con esponente frazionario a n/m = m a n _ 2 1/2 = 2

Proporzione: uguaglianza di due rapporti 3 : X = 5 : 7 estremi,medi termini della proporzione Proprietà: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi X x 5 = 3 x 7 X = (3x7)/5 Percentuale: particolare proporzione

Es.7 Test 2000 1 : 500 = X : 100 parte totale X x 500 = 1 x 100 X = 100/500 = 0,2% Il metodo è sempre lo stesso qualsiasi sia l incognita, se il quesito avesse richiesto il numero di abitanti per ogni medico e ci avesse dato la percentuale di medici per abitanti, avremmo impostato ugualmente una proporzione: 1 medico : numero X di abitanti = percentuale nota : 100 1 : X = 0.2 : 100 X = 100/0.2 = 500

Es.8 Test 1999 Prezzo iniziale = 100 Primo sconto = 30% Costo = 70 70% del Pi Nuovo prezzo = 70 Secondo sconto = 20% lo sconto sul nuovo prezzo equivale ad uno sconto sul prezzo iniziale X : 70 = 20 : 100 X = 14% lo sconto totale sul prezzo iniziale sarà quindi: 30%+14%=44%

Cenni di Calcolo Combinatorio > Disposizioni semplici > Disposizioni con ripetizioni > Permutazioni semplici > Permutazioni con ripetizioni > Combinazioni semplici

Disposizioni semplici: di n oggetti distinti tra loro, di classe k, con k<n, sono tutti i possibili raggruppamenti che si possono formare prendendo k oggetti fra gli n dati, con la condizione che ciascun gruppo differisca da un altro o per l ordine o per un oggetto. Dn,k = n x (n-1) x (n-2) x...(n-k+1) Es.9 quante disposizioni di 5 lettere si possono formare con 21 lettere? D21,5 = 21 x 20 x 19 x 18 x 17 = 2441880

Disposizioni con ripetizioni: come le disposizioni semplici, con la condizione però che ciascun gruppo differisca da un altro anche per il numero di volte in cui un oggetto viene ripetuto. D*n,k = n k Es.10 lanciando due dadi in quanti modi diversi possono presentarsi le due facce? n = facce del dado = 6 k = numero dei dadi = 2 D* 6,2 = 6 2 = 36

Permutazioni semplici: di n oggetti distinti di classe k, con k=n, tutti i possibili raggruppamenti (anagrammi) che si possono formare in cui ogni gruppo differisce dall altro solamente per l ordine. Pn = n! Es.11 determinare il numero degli anagrammi della parola fine f_i_n_e n = 4 P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x1 = 24

Permutazioni con ripetizioni: come le permutazioni semplici in cui però alcuni oggetti risultano uguali tra loro. Pn s,t,.. = n!/(s! x t!) Es.12 determinare il numero degli anagrammi della parola mancanza m_a_n_c_a_n_z_a n = 8 s=3 t=2 P8 3,2 = 8!/(3! x 2!) = 3360

Combinazioni semplici: di n oggetti distinti di classe k, con k n, tutti i possibili raggruppamenti in cui ogni gruppo differisce da un altro per almeno un oggetto. (non vale l ordine!) Cn,k = Dn,k / k! Es.13 quanti terni puoi fare con 90 numeri? D90,3 = 90 x 89 x 88 = 704880 3! = 3 x 2 x 1 = 6 C90,3 = D90,3 /3! = 704880 /6 = 117480

Si definisce Espressione algebrica l insieme di operazioni da eseguire sui numeri reali che possono essere rappresentati anche da lettere dell alfabeto. Per calcolarne il valore, quando figurano delle lettere, occorre sostituire a quelle lettere i numeri che si attribuiscono a ciascuna di loro. Un MONOMIO è un espressione algebrica in cui figura la sola moltiplicazione. E composto da una parte numerica ( coefficiente ) e dal prodotto di fattori letterari ( parte letterale ). Il suo grado si calcola sommando gli esponenti dei fattori della parte letterale. monomio 5xaxb 5=coefficiente _ ab=parte letterale _ grado=1+1=2 non monomio 5x(a/b) monomio 2/3(ab) 2/3=coefficiente

Si dicono MONOMI SIMILI, monomi che hanno uguale parte letterale (uguali lettere, ognuna con uguale esponente, dunque anche grado uguale) Essi possono essere sommati e sottratti sommando e sottraendo i loro coefficienti, e daranno sempre come risultato un monomio. Il risultato del prodotto di due monomi (anche se non sono simili) è sempre un monomio (che però potrò avere parte letterale e grado diversi da quelli di partenza). Facendo la divisione tra due monomi si ottiene un monomio solo se il numeratore contiene ogni lettera della parte letterale del denominatore, con esponente uguale o maggiore.

POLINOMI POLINOMIO > somma di monomi non simili gli addendi del polinomio di dicono Termini del polinomio Operazioni sui polinomi: somma> polinomio unico con tutti i termini dati col proprio segno differenza> minuendo con i propri segni, sottraendo con i segni invertiti prodotto (o quoziente) polinomio_monomio> polinomio ottenuto moltiplicando (o dividendo) ciascun termine del polinomio per il monomio prodotto> moltiplicando ciascun termine di un polinomio per tutti i termini dell altro quoziente> polinomio ottenuto mettendo in colonna... grado di un polinomio = massimo grado dei monomi che lo compongono

Prodotti notevoli (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 (a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2cb (a+b) x (a--b) = a 2 -- b 2 (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 a 3 -- b 3 = (a--b) x (a 2 +ab+b 2 ) a 3 + b 3 = (a+b) x (a 2 --ab+b 2 ) (a+b+c) 3 = a 3 +b 3 +c 3 +3a 2 b+3a 2 c+3b 2 a+3b 2 c+3c 2 a+3c 2 b

Potenza n-esima di un binomio: lo sviluppo di (a+b) n è un polinomio di grado n ordinato secondo le potenze crescenti di a e decrescenti di b. I coefficienti si ottengono applicando la regola del Triangolo di Tartaglia. (a+b) 2 (a+b) 3 (a+b) 4 1 1 2 1 a 2 + 2ab + b 2 1 3 3 1 a 3 + 3a 2 b + 3b 2 a + b 3 1 4 6 4 1 a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 3........ Scomposizione in fattori: Si tratta i trasformare un polinomio, che è una somma di monomi, in un prodotto di fattori. Attraverso: > raccoglimento a fattor comune o parziale > riconoscimento dei prodotti notevoli

Equazione algebrica: Uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata solo per particolari valori (soluzioni) attribuiti alle variabili (incognite) che in esse compaiono. Risolvere un equazione significa individuarne le soluzioni. Il grado del polinomio ottenuto dopo aver svolto le dovute operazioni si dice grado dell equazione. Studieremo equazioni di primo e secondo grado: ax=b ax 2 +bx+c=0 Nb. si può sempre trasportare un termine da una parte all altra del segno di uguaglianza purché lo si cambi di segno.

Equazioni di primo grado: Determinata ax=b _ x=b/a _ a,b 0 Indeterminata a=0, b=0 _ x=0/0 Impossibile a=0, b 0 _ x=b/0

RADICALI Si dice Radicale (aritmetico) n-nesimo di un numero reale e positivo a: il numero reale e positivo che elevato alla n è uguale ad a n a = b b n = a a R + b R + n N a = radicando n = indice Proprietà: n a m = n xp a m xp n a m = n /p a m /p n a x n b = n axb _ n axb = n a x n b n a / n b = n a/b _ n a/b = n a / n b ( n a) m = n a m _ (a 1 /n ) m = a m/n = n a m n ( m a) = nxm a

POTENZE Si chiama Potenza n-nesima di un numero reale a : il prodotto di n fattori uguali ad a a = base n = esponente o grado a n = a x a x a x a...n volte Proprietà: prodotto a m x a n = a m+n quoziente a m : a n = a m-n _ a n : a n = a n--n = a 0 =1 potenza (a m ) n = a mxn _ a --m =1/a m potenza di un prodotto (axbxc) m = a m x b m x c m potenza di un quoziente (a/b) m = a m /b m potenza con esponente frazionario a n/m = m a n _ 2 1/2 = 2

LOGARITMI Il Logaritmo di un numero in una data base è l esponente che bisogna dare alla base stessa per ottenere il numero dato log a b = c a c = b a>0 a 1 b>0 Es. log 10 100 = 2 10 2 = 100 Proprietà: (il logaritmo è in pratica un esponente, dunque valgono stesse proprietà) prodotto log a (mxn) = log a m + log a n quoziente log a (m/n) = log a m -- log a n potenza log a b m = m x log a b radicale log n a b = 1/n x log a b cambio di base log a b = log c b/log c a a log a b = b _ log a a m = m

Equazioni di secondo grado: Pura ax 2 +c=0 se a, c sono concordi non esiste soluzione! se a, c sono discordi x=± (c/a) Spuria ax 2 +bx=0 x(ax+b) x=0 x=--b/a Completa ax 2 +bx+c=0 =b 2 --4ac <0 _ l equazione non ammette soluzioni =0 _ x=--b/2a >0 _ esistono due soluzione x1,2=(--b± )/2a

Disequazioni: disuguaglianza soddisfatta solo per valori opportuni dell incognita che in essa figura. Risolverla significa trovare intervalli di valori e non singoli valori. Disequazioni di primo grado: con a>0 sempre! ax > b x > b/a ax < b x < b/a Es. Test 2003 3x -- (1/2)x < 2 x<4/5 nessun numero naturale è minore di 4/5

Disequazioni di secondo grado: ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c = 0 si risolve l equazione!! 1) se >0 esistono due soluzioni distinte (x1,x2). si possono avere due casi: a concorde con il verso (+,>) ( -, < ) a discorde con il verso (+,<) ( -, > ) x<x1 e x>x2 x1<x<x2

2) se <0, non esiste soluzione a concorde con il verso (+,>) ( -, < ) a discorde con il verso (+,<) ( -, > ) x x 3) se =0, esiste un unica soluzione dell equazione a concorde con il verso (+,>) ( -, < ) x x1 ; se x a discorde con il verso (+,<) ( -, > ) x