La trasformata Zeta Marco Marcon ENS
Trasformata zeta E l estensione nel caso discreto della trasformata di Laplace. Applicata all analisi dei sistemi LTI permette di scrivere in modo diretto la relazione I/O e lo schema circuitale del sistema in esame. PERCHE non basta la DTFT? Esistono delle situazioni per le quali la DTFT non esiste. La trasformata zeta in genere converge in modo uniforme per una classe di sequenze più ampie della DTFT. Consente l analisi li i dei sistemi i LTI anche in presenza di condizioni i i iniziali non nulle. Permette di mettere immediatamente in luce alcune caratteristiche importanti dei sistemi LTI, quali la causalità e la stabilità.
trasformata zeta (definizione) Data una sequenza bilatera x(n) (- <n<+ ) si definisce trasformata zeta: definisce una relazione biunivoca tra la sequenza x(n) ed una funzione della variabile complessa z. z generalizza il concetto di frequenza al piano complesso, e viene indicata con pulsazione complessa. Il dominio della variabile z risulta tutto il piano complesso z (come ogni var. complessa) può essere scritta in modulo e fase:
trasformata zeta Si tratta di una serie infinita di potenze. Il luogo dei punti nel piano complesso per cui converge in modo uniforme a X(z) (valore finito) é detta regione di convergenza (ROC). Nella regione di convergenza X(z) è una funzione analitica, cioè continua e indefinitamente derivabile con derivate continue in z.
Condizione i di esistenza: Trasformata zeta La DTFT della sequenza x(n)ρ -n esiste (cioè la sommatoria converge ad un valore finito) se la sequenza é sommabile in modulo:
DTFT e Trasformata zeta, ROC La regione di convergenza ROC della sommatoria dipende solo dal modulo ρ delle pulsazioni complesse z e non dalla loro fase. Questo comporta che le regioni di convergenza nel piano complesso z siano delimitate da circonferenze, luoghi dei punti z a modulo costante.
Relazione tra trasformata z e DFT
Esempi di trasformata z La trasformata z della sequenza bilatera x(n) = 2δ(n+1)+ δ(n)+ 4δ(n-2)
Nota: serie geometriche Ricordiamo la seguente formula riguardante le serie geometriche convergenti: Che converge solo se q <1 ed in tal caso si ha anche
Esempi di trasformata z La trasformata z della sequenza gradino x(n) = u(n) (sequenza causale): Causale Anticausale
Esempi di trasformata Z
Esempio di sequenza finita it (causale) Calcolare la trasformata z della sequenza finita : x(n) =α n [u(n) - u(n - N)], dove N è una costante intera finita e α è una costante reale.
Esempio sequenza finita (causale) Definiamo poli: radici del denominatore e zeri: le radici del numeratore La trasformata X(z) possiede un polo di ordine N 1 nell origine ii e N -1 zeri (la radice z = α dl del denominatore è fittizia e viene compensata da uno zero del numeratore nella medesima pulsazione).
Esempio sequenza finita (causale) Il polinomio di ordine N: z N - α N al numeratore possiede N zeri disposti in modo uniforme su una circonferenza di raggio α. Le radici del polinomio si trovano nelle pulsazioni complesse: Gli zeri della funzione X(z) () sono quindi definiti come:
ESEMPIO sequenza infinita it (causale) Determinare la trasformata zeta del segnale: Si tratta di una serie geometrica infinita di ragione che converge a 1 1 2 z
trasformata zeta razionale Nei casi pratici di interesse, la funzione X(z) è una funzione razionale di due polinomi: X(z) = N(z)/D(z) dove N(z) e D(z) sono due polinomi nella variabile z -1, rispettivamente di grado p n e p d. Scrivendo i due polinomi N(z) e D(z) in forma estesa si Scrivendo i due polinomi N(z) e D(z) in forma estesa, si ottiene:
trasformata zeta razionale esprimendo in termini di potenze positive di z e fattorizzando i due polinomi in termini delle rispettive radici elementari, si ottiene:
Analisi dei sistemi LTI mediante la trasformata t z Sistemi LTI a tempo discreto possono essere descritti da equazioni lineari alle differenze a coefficienti costanti. Applicando la DTFT ad ogni termine si ottiene: Nb va ricordato che:
Analisi dei sistemi LTI mediante la Raccogliendo tutti i termini Y(e jω ) e X(e jω ) si ottiene trasformata t z Per il teorema della convoluzione: la risposta in frequenza H(e jω ) di un sistema LTI espresso tramite le equazioni alle differenze, può essere calcolata come segue:
Analisi dei sistemi LTI mediante la per la relazione che lega DTFT e trasformata z: trasformata t z e applicando il teorema della convoluzione, si ha che la risposta del sistema in frequenza complessa z è data da: L d dll f Y() d l ù La regione di convergenza della funzione Y(z) coincide, nel caso più generale possibile, quando non avvengano cancellazioni tra poli e zeri in X(z) e H(z), con l intersezione tra le regioni di convergenza delle due funzioni X(z) e H(z).
Analisi dei sistemi LTI mediante la trasformata t z Si è visto che la funzione di trasferimento H(e jω ) è una funzione razionale, quindi anche la funzione di trasferimento H(z) è una funzione razionale del tipo: N(z)/D(z) la quale corrisponde all equazione alle differenze.
sistemi LTI Nella classe dei sistemi LTI descritti attraverso le equazioni alle differenze si distinguono due importanti tipologie di sistemi. Sistemi con risposta all impulso di supporto finito (FIR, Finite Impulse Response): sono sistemi non ricorsivi nei quali l uscita y(n) dipende solo dal segnale di ingresso x(n):
sistemi LTI Sistemi con risposta all impulso di supporto infinito (IIR, Infinite Impulse Response): sono sistemi ricorsivi nei quali l uscita y(n) dipende non solo dal segnale di ingresso, ma anche dai campioni del segnale di uscita: Una sottoclasse di tali sistemi riguarda i sistemi puramente ricorsivi, ovvero quelli per cui la relazione I/O assume la forma:
FIR attraverso trasformata z Un sistema LTI causale e non ricorsivo di tipo FIR può essere descritto tramite la seguente funzione di trasferimento: t
Filtri IIR puramente ricorsivo Un sistema LTI causale e puramente ricorsivo di tipo IIR può essere descritto tramite la seguente funzione di trasferimento:
LTI caso generale
LTI e trasformata zeta La funzione di trasferimento H(z) può essere espressa in termini delle radici i dei polinomi i al numeratore e al denominatore fattorizzando i due polinomi N(z) e D(z): La risposta di un sistema LTI viene analizzata attraverso i i poli e gli zeri della funzione di trasferimento H(z). Per un sistema causale, il numero di zeri non può essere superiore al numero dei poli, e quindi il grado del polinomio al numeratore non può essere superiore al grado del polinomio al denominatore.
x(n) =α n u(n)
x(n) =α n u(n)
Poli complessi e coniugati
FIR FIR per definizione significa risposta all impulso finita: Dato un generico ingresso x(n), si ottiene quindi una risposta y(n): Dato h(n) si ha subito la trasformata z:
Esercizio Trovare la risposta y(n) di un sistema con: Quando l input è x(n)= u(n);
Stabilità del sistema La stabilità di un sistema LTI impone che la risposta all impulso h(n) sia sommabile in modulo, vale a dire: Se il sistema ècausale, la condizione si traduce nel dominio z nell imporre che la funzione di trasferimento H(z) abbia poli contenuti nel cerchio di raggio unitario del piano z.
Stabilità Poli multipli sul cerchio unitario conducono ad una crescita di tipo polinomiale. Ha un polo di ordine 2 in z=1 e quindi risposta all impulso h(n)=n u(n) di tipo a rampa e quindi instabile
Progetto di filtri tramite posizionamento ii di poli e zeri i poli devono essere posizionati in prossimità del cerchio di raggio unitario nelle pulsazioni complesse z corrispondenti alle componenti armoniche nel segnale d ingresso x(n) che devono essere enfatizzate. Gli zeri devono essere posizionati vicino ai punti z del cerchio di raggio unitario corrispondenti alle componenti armoniche del segnale d ingresso x(n) che devono essere attenuate.
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Filtro passa basso ideale i poli del filtro devono essere posizionati nelle pulsazioni complesse z Corrispondenti alle frequenze dll della banda passante di H(e jω ): ω [0, ωt]. Gli zeri dovrebbero essere posizionati i in prossimità, ità oppure sul cerchio z = 1, nelle pulsazioni complesse z corrispondenti alle frequenze ω [ωt,π, ].
Filtro passa-basso 1 polo e 1 zero
Filtro passa-basso 1 polo e 1 zero
Filtro passabasso con 3 zeri E possibile enfatizzare l attenuazionedel filtro passa-basso alle alte frequenze, inserendo zeri ulteriori sul cerchio di raggio unitario in coppie complesse coniugate ( per la realizzabilità fisica del filtro).
Filtro passabasso con 3 zeri
Passa basso e passa alto: distribuzione di poli e zeri
Passa alto con un polo ed uno zero
Filtro passa banda
Alcuni esempi significativi Sequenza costituita da due campioni: sistema con 1 zero. Caratteristica di ampiezza Caratteristica di fase
Caratteristica di ampiezza e fase
Zeri a fase minima o massima Si possono avere zeri sia sul cerchio unitario (ed allora annullano sinusoidi vere e proprie) che fuori (annullano sinusoidi generalizzate crescenti con l indice) che infine dentro (annullano sinusoidi generalizzate decrescenti con l indice). Gli zeri posizionati dentro il cerchio unitario sono chiamati zeri a fase minima e zeri a fase massima quelli all esterno
Analisi di uno zero La caratteristica di fase e cioè lo sfasamento apportato a sinusoidi di pulsazione ω è discontinua nell origine: Si consideri ora uno zero sempre a frequenza zero, ma non sul cerchio unitario. i Sia quindi: Se lo zero è interno al cerchio unitario la caratteristica di fase Se lo zero è interno al cerchio unitario la caratteristica di fase a frequenza 0 è nulla e continua.
Zeri reciproci e coniugati Quando lo zero è assai prossimo al cerchio unitario, variazioni i i minime ii di dei valori dei di campioni i dll della sequenza possono portare a variazioni molto forti della caratteristica di fase. E interessante osservare che due zeri reciproci e coniugati (ossia due sequenze di 2 campioni le cui trasformate z sono caratterizzate da zeri z 0, 1/ z 0* in posizione reciproca e coniugata) hanno eguale andamento della caratteristica di ampiezza (ma solo sul cerchio unitario) e diversa caratteristica ti di fase
Sequenze coniugate, ribaltate e ritardate t Pertanto la caratteristica di fase di sarà quella corrispondente ad un ritardo pari a NT e cioè: