Esercizio 1 Consideriamo il mercato delle barche usate e supponiamo che esse possano essere di due tipi, di buona qualità e di cattiva qualità. Il valore di una barca di buona qualità è q = 8000, mentre il valore di una barca di cattiva qualità è q = 000. Il numero di barche dei due tipi presenti sul mercato è uguale. a) Qual è il prezzo delle barche se l informazione è completa per venditori e compratori? b) Qual è il prezzo di una barca usata se gli acquirenti, per ipotesi neutrali al rischio, non conoscono la qualità della barca? c) Quali sono le conseguenze per il mercato? d) In che modo una garanzia sulla valutazione dell usato servirebbe a rimediare al fallimento del mercato? SOLUZIONE, a) Il caso in cui l informazione sia completa per entrambe le parti comporta che i venditori conoscano la qualità della loro barca e che i compratori sappiano anch essi qual è l effettivo valore della barca che stanno acquistando. Di conseguenza il prezzo per entrambe le parti sarà pari a P = 8000 per le barche di buona qualità e p = 000 per le barche di scarsa qualità. Questi sono gli unici valori per i quali esiste un opportunità di scambio per compratori r venditori, rispettivamente di alta e bassa qualità. b) In presenza di informazione asimmetrica, il prezzo offerto dagli acquirenti sarà diverso da quello proposto dai venditori, perché diversa è la valutazione della qualità effettuata dalle due parti. Per i venditori, il prezzo al quale sono disposti a vendere deve essere almeno pari al valore della barca. Esso sarà quindi 8000 per i venditori di barche di buona qualità e 000 per i venditori di barche di cattiva qualità. Inoltre, poiché il numero di barche dei due tipi presenti sul mercato è uguale, la probabilità che la barca che si sta acquistando sia di scarsa qualità (un lemon, ossia un bidone, nella definizione di G. kerlof nell articolo del 1970 sul Quarterly Journal of Economics) è pari ad 1/. Quindi il prezzo che gli acquirenti, neutrali al rischio, sono disposti a pagare sarà unico e 1 1 1 1 pari alla qualità attesa della barca: p= q+ q = 8.000 +.000 = 5.000. I prezzi proposti dalle due parti sono quindi divergenti. Tuttavia, se il prezzo per gli acquirenti è 5000, il proprietario di una buona barca, che vale 8000, non sarà disposto a venderla. Soltanto i proprietari di barche di cattiva qualità, che valgono 000, saranno disposti ad offrirle sul mercato dell usato. La qualità dei beni presenti sul mercato si è quindi ridotta. D altra parte, l acquirente è certo che nessuna barca di buona qualità venga offerta sul mercato al prezzo di 5000 e quindi ritiene che tutte le barche in vendita siano di cattiva qualità. questo punto, l acquirente sarà disposto ad effettuare la transazione soltanto pagando un prezzo p = q = 000. c) Il mercato fallisce nel senso che diventa non realizzabile lo scambio di barche di buona qualità. d) La presenza di una garanzia sulla valutazione dell usato consentirebbe ai venditori di barche di buona qualità di segnalare le effettive caratteristiche della barca che pongono in vendita: essa costituirebbe una sorta di assicurazione per i compratori. I venditori di buone barche potrebbero così provare la qualità del bene che vendono. nche se la garanzia costituisce per essi un costo, tuttavia essi verrebbero ripagati dal fatto che i compratori sarebbero in grado di discriminare tra i due tipi di barche. Le transazioni potrebbero in tal modo riprendere. La garanzia, quindi, rimedia all asimmetria informativa presente sul mercato. 1
Esercizio Consideriamo il caso di un proprietario e di un manager. Il proprietario desidera massimizzare la sua funzione di profitto π =y-w, che dipende direttamente dalla produzione y e dal salario w pagato al manager. Il manager desidera invece rendere massima la propria funzione di utilità, U = w - s, che dipende direttamente dal salario percepito w e inversamente dall impegno lavorativo s. a) quali condizioni tale situazione rappresenta un problema di principale-agente con rischio morale? b) Supponiamo che l impegno lavorativo possa assumere due valori, s = (1, ), e che la produzione dipenda dall impegno del manager (s) nel seguente modo. Se l impegno è pari a s = 1, la produzione sarà pari a: 1 y = 10 con probabilità, y = 0 con probabilità, 4 y = 80 con probabilità. 4 Se l impegno del manager è invece pari a s =, la produzione sarà pari a: y = 10 con probabilità 0, y = 0 con probabilità, y = 80 con probabilità. Il valore dell utilità di riserva del manager è U = 10. Si formalizzi il problema di principaleagente. c) Si verifichi che un livello di salario indipendente dalla produzione e pari a w = 1 soddisfa sempre il vincolo di partecipazione del manager ma non soddisfa il vincolo di compatibilità degli incentivi. Si calcoli il profitto atteso del principale in corrispondenza di ciascuno dei due livelli di impegno del manager ed il corrispondente livello di salario che soddisfa il vincolo di partecipazione. d) Si verifichi che il contratto ottimo per il principale consiste nel cedere all agente l attività di produzione del bene y a un prezzo p = 38. SOLUZIONE, a) Il problema è quello di un rapporto principale-agente con rischio morale, dove il proprietario è il principale e il manager è l agente, se il proprietario non è in grado di conoscere, dopo la stipula del contratto, il livello dell impegno profuso dal manager, e se, come indicato nel punto b), la produzione y dipende direttamente dall impegno lavorativo s. In tali condizioni le funzioni obiettivo del proprietario e del manager divergono. b) Il problema del principale è quello di scegliere la retribuzione dell agente (w) in modo che questi applichi un livello di impegno tale da realizzare quella produzione (y) che rende massimo il profitto del principale. Il principale vuole quindi scegliere quella struttura di salario che massimizza il profitto π:
max π = y(s) - w. Nell impostare il suo problema di massimo, il principale deve tener conto di due vincoli. Il primo vincolo (vincolo di partecipazione) dice che l agente accetterà il contratto proposto dal principale se il livello di utilità che consegue risulta almeno pari al suo valore di riserva, U = 10. vremo di conseguenza: U = w - s 10. Il secondo vincolo (vincolo di compatibilità degli incentivi) dice che l agente sceglierà quell impegno che rende massimo il valore della propria funzione di utilità: max U = w s. La struttura ottima del salario è una funzione w(y), cioè una relazione che assegna livelli salariali diversi in corrispondenza della realizzazione di differenti valori di produzione y. c) Se s = 1, il vincolo di partecipazione, w - s U, è rispettato quando il salario dell agente è w s + U,, cioè w 1 = 11. Se s =, il vincolo di partecipazione è rispettato quando il salario dell agente è w = 1. Quindi w = 1 soddisfa sempre il vincolo di partecipazione. Tuttavia se venisse firmato un contratto che garantisse all agente un salario w = 1, non essendovi il modo di influire direttamente sul livello di impegno di quest ultimo, questi tenderà a ridurre il proprio sforzo e ad impegnarsi al livello s = 1. La sua utilità è infatti pari a U(s 1 ) = 1-1 = 11 se l impegno è pari a s 1, e a U(s ) = 1 = 10 se l impegno è pari a s. Quando s = s 1, il minimo livello di salario che soddisfa il vincolo di partecipazione è w 1 = 11. Il profitto atteso dal principale, in corrispondenza di ciascun livello di impegno e del relativo livello di salario che soddisfa il corrispondente vincolo di partecipazione, è calcolabile nel modo 1 1 1 seguente: E( π s1) = E( y s1) w1 = 10 + 0 + 80 11 = 19, 4 4 e 1 1 E( π s) = E( y s) w = 0 + 80 1 = 38. Di conseguenza, il contratto che offre all agente un salario indipendente dalla produzione e pari a w = 1 non è efficiente, poiché non è in grado di incentivare l agente ad applicare l impegno ottimo s =, inducendo in tal modo il più elevato profitto atteso per il principale. d) Supponiamo che il manager acquisti l attività ad un prezzo p = 38. Se applica un impegno pari a s 1 e si appropria della produzione y(s 1 ), la sua utilità attesa sarà: E[U(s 1)] = E(y s 1) - s 1 - p = 30-1 - 38 = - 9. Se applica un impegno pari a s e si appropria della produzione y(s ), la sua utilità attesa sarà: E[U(s )] = E(y s ) - s - p = 50 - - 38 = 10. Poiché E[U(s )] soddisfa il vincolo di partecipazione, il manager acquisterà l attività e applicherà un impegno s. La cessione dell attività dal principale all agente è la soluzione efficiente nel caso esaminato, perché l agente è neutrale al rischio. Se l agente fosse avverso al rischio converrebbe al principale mantenere l attività e pagare all agente, per incentivarlo a scegliere l impegno s, un salario che dipenda da y, ma nel contempo lo assicuri rispetto al rischio associato alla produzione di y. 3
Esercizio 3 Franco vive in una grande città dove i furti d auto sono all ordine del giorno. Un modo per prevenirli è quello di mettere la macchina in garage, sebbene Franco non lo faccia volentieri perché è pigro. Come molti altri suoi concittadini, Franco sta ora esaminando la possibilità di assicurarsi contro il furto dell auto. Si supponga che il mercato assicurativo sia perfettamente concorrenziale. La ricchezza di Franco è W = 100, mentre il furto dell auto comporta una perdita P = 60 e il parcheggiarla in garage ha un costo per Franco pari a c = 1. Indichiamo con 1 lo stato del mondo in cui l auto di Franco viene rubata e con quello in cui il furto invece non avviene. Sia inoltre s 1 il pagamento netto effettuato da Franco all assicurazione nel caso la macchina gli venga rubata (cioè il premio assicurativo versato meno la copertura assicurativa riscossa a risarcimento del furto) e s il pagamento netto se il furto non avviene (il solo premio assicurativo versato). Infine sappiamo che la funzione di utilità di Franco è U(x) = x, cioè è avverso al rischio. a) Se la probabilità pr che l auto di Franco venga rubata non dipende dal suo comportamento, cioè dal fatto che metta o meno la macchina in garage, quali saranno i valori ottimi di s 1 e s cioè, in sostanza, la copertura assicurativa fornita dalla società di assicurazioni? b) Supponiamo ora che il comportamento di Franco influenzi la probabilità che la macchina gli venga rubata. Indichiamo con a il comportamento di non mettere la macchina in garage; e con b il comportamento invece di mettere la macchina in garage. Sia pr 1a = /3 la probabilità che la macchina venga rubata (stato 1) se Franco non la mette in garage (comportamento a), e sia pr 1b = 1/3 la probabilità che la, macchina venga rubata (stato 1) se Franco la chiude in garage (comportamento b). Quali saranno ora i valori ottimi di s 1 e s? c) Come cambiano i risultati se Franco è indifferente al rischio e la sua funzione di utilità è U(x) = x? SOLUZIONE, a) Se la probabilità pr che il furto si verifichi non dipende dal comportamento di Franco, la scelta ottima è che la copertura assicurativa R sia totale, in modo che la ricchezza di Franco sia la medesima sia che il furto si verifichi sia che non si verifichi. Quindi, R = P = 60. Inoltre, data l ipotesi che il mercato sia perfettamente concorrenziale, il profitto atteso dell assicuratore dovrà essere pari a zero. Si avrà quindi, s 1 = s - 60, ed inoltre, E( π ) = pr s 1 + (1 - pr) s = 0 = pr (s - 60) + (1 - pr) s = 0, da cui si ricava: s = 60 pr. b) Se la probabilità del furto dipende dal comportamento di Franco, siamo di fronte ad una situazione di rischio morale : la società assicuratrice non sarà disposta ad offrire un contratto con copertura assicurativa completa, poiché questo indurrebbe Franco, che è pigro, a non preoccuparsi di mettere la macchina in garage e aumenterebbe la probabilità del furto. La società assicuratrice non è in grado di influire direttamente sul comportamento di Franco costringendolo a maggiore attenzione, ma può influenzarlo indirettamente attraverso il valore di s 1 e s : i pagamenti netti di Franco dovranno essere stabiliti in modo che egli tenga un adeguato livello di attenzione. In tal modo la società assicuratrice crea un incentivo a che Franco tenga il comportamento desiderato. Per determinare il valore di s 1 e s occorre tener conto che il mercato assicurativo è 4
perfettamente concorrenziale e che quindi il profitto netto della società è nullo: pr 1b s 1 + pr b s = 0. Occorre inoltre scrivere un vincolo che definisca l incentivo di Franco a comportarsi con attenzione e a chiudere la macchina in garage. L utilità che egli ottiene ricordando di parcheggiare in garage deve essere almeno pari all utilità che ottiene comportandosi in modo distratto: pr1bu(w - P - s 1) + prbu(w - s ) - c pr1au(w - P - s 1) + prau(w - s ). Questa disuguaglianza costituisce il vincolo di compatibilità degli incentivi. Si noti che c è sostenuto con certezza e quindi non entra nell utilità attesa ma influisce comunque sull utilità. Sostituendo nelle due condizioni sopra scritte i dati del problema e considerando la seconda condizione con il segno di uguaglianza, possiamo scrivere il seguente sistema che ci consentirà di determinare i valori ottimi di s 1 e s : 1 s1+ s = 0 1 1 40 s1 + 100 s 1 = 40 s1 + 100 s. Ricavando s 1 dalla prima equazione e sostituendolo nella seconda si ottiene un equazione di secondo grado in s : s 4s + 19 = 0. Risolvendo si ottengono due valori: s = 3.33 e s = 38.66. l primo valore di s corrisponde s 1 = -6,67, mentre al secondo valore corrisponde s 1 = -77,3 (il segno è negativo quando i rimborsi a Franco sono maggiori dei premi assicurativi che egli paga). La copertura assicurativa R = s s 1 è quindi pari a 10 nel primo caso e a 115,99 nel secondo. Poiché nel secondo caso R è maggiore di P = 60, il che è contrario all interesse della società di assicurazione, risulta che solo il primo valore di s 1, cioè s 1 = -6,67, è corretto. La copertura assicurativa offerta a Franco è quindi solo parziale, poiché la società di assicurazione si trova di fronte ad un problema di rischio morale. D altra parte Franco non è indifferente tra assicurarsi e non assicurarsi: essendo avverso al rischio preferirà assicurarsi. Infatti, se mette la macchina in garage e non si assicura, la sua utilità attesa è pari a: 1 E(U) = 40 + 100-1 = 7,77. Se Franco mette la macchina in garage e si assicura alle condizioni offerte, la sua utilità attesa è: 1 E(U) = 40+6,67 + 100-3,33-1 = 7,831. c) Se Franco è indifferente al rischio, occorre reimpostare il sistema precedente nel seguente modo: 1 s1+ s = 0 1 1 (40 s1) + (100 s) 1 = (40 s1) + (100 s). 5
Risolvendo per sostituzione, si ottiene s = 19 e s 1 = - 38. Poiché Franco è indifferente al rischio, egli è anche indifferente tra assicurarsi e non assicurarsi, o, il che è lo stesso, autoassicurarsi, alle condizioni indicate. Infatti, se Franco si autoassicura e mette la macchina in garage, la sua utilità attesa è: 1 E(U) = 40 + 100-1 = 79. Se Franco si assicura alle condizioni indicate (e mette la macchina in garage) la sua utilità attesa è identica: 1 E(U) = (40 +38) + (100 19) - 1 = 79. Esercizio 4: Il mercato delle auto usate In una determinata località, il mercato delle auto usate include auto di alta e di bassa qualità. Le prime sono vendute principalmente a clienti più sensibili alla qualità, mentre le seconde a clienti più sensibili al prezzo. I sottomercati per le auto di alta e di bassa qualità sono descritti rispettivamente dalle seguenti curve di domanda e di offerta: = 160.000 1,5 p QO = 48.000 + 13,5 p = 110.000 1,5 p QO = 0.000 + 10 p. a) ssumendo che sia i compratori che i venditori siano in grado di distinguere i due tipi di auto, determinare il prezzo e la quantità di equilibrio in ognuno dei due sottomercati. b) Determinare l equilibrio di mercato nel caso in cui vi sia un asimmetria informativa per cui solo i venditori sono in grado di conoscere a priori la qualità delle auto (sotto l ipotesi che le auto vendute siano di qualità media). c) Descrivere l equilibrio di lungo periodo del mercato delle auto usate. SOLUZIONE, a) ssumendo che vi sia informazione perfetta, l equilibrio in ciascuno dei due sottomercati si ottiene uguagliando le rispettive curve di domanda e di offerta: = QO 160.000 1,5 p = 48.000 + 13,5 p Q = Q 110.000 1,5 p = 0.000 + 10 p, D O da cui si ricava * * * * p = 8.000; Q = 60.000; p = 4.000; Q = 60.000. b) Se i venditori possiedono maggiori informazioni dei compratori sulla qualità delle auto in vendita, i compratori possono ritenere di avere il 50% di probabilità di comprare un automobile di bassa qualità (infatti quando c è perfetta informazione viene venduto lo stesso numero di auto di alta e di bassa qualità). Quindi al momento dell acquisto il compratore assume che tutte le auto siano di qualità media, e quindi la sua domanda sarà una domanda media: 6
Q Q + Q = = 1350.000 1,5 p. M D D D Uguagliando tale curva di domanda media alle curve di offerta in ciascuno dei due sottomercati, si ottengono i prezzi e le quantità di equilibrio per ciascuno dei due sottomercati: = QO 135.000 1,5 p = 48.000 + 13,5 p M Q = Q 135.000 1,5 p = 0.000 + 10 p, M D O *' *' *' *' da cui si ricava p = 7.038, 46; Q = 47.019; p = 5.111,11; Q = 71.111. Il numero di auto di alta qualità vendute e il loro prezzo sono calati, mentre il numero di auto di bassa qualità e il relativo prezzo sono cresciuti. Se si rappresentasse graficamente il problema, si noterebbe che la curva di domanda per la qualità bassa sarebbe più bassa rispetto alla domanda per l alta qualità in quanto i compratori sono disposti a pagare di meno per avere un automobile di bassa qualità. llo stesso modo, la curva di offerta per l alta qualità sarebbe più alta perché i proprietari di auto di alta qualità sono disposti a venderle solo ad un prezzo sufficientemente elevato. c) Nel lungo periodo i compratori si rendono conto che la percentuale di auto di bassa qualità è superiore al 50% delle auto vendute, quindi la domanda si sposta verso il basso rispetto alla domanda media determinata al punto b). Lo spostamento verso il basso della curva di domanda continua fino al punto in cui sul mercato vengono vendute solo auto di bassa qualità, e la curva di domanda coincide con quella di bassa qualità su entrambi i mercati. 7