3 INDICI DI POSIZIONE 3 Itoduzoe Nello studo delle aatteste d ua vaable, le osddette ede soo patola d statst, dett ae d d poszoe, e sultao d fodaetale potaza peé osetoo d desvee stetaete l see de dat ossevat edate ua sola odaltà o u uo valoe ueo, a seoda e la vaable osdeata sa qualtatva o quattatva Gl d e saao esaat e paagaf seguet s suddvdoo ede d poszoe, deteabl pe ua vaable d qualsas atua, e ede aalte, e possoo essee vee alolate solo pe vaabl quattatve, dato e edoo l eseuzoe d opeazo algebe L obettvo e s vuole osegue o l alolo degl d d poszoe è la stes d tutte le foazo oteute e dat ogal attaveso ua sola deteazoe e sa quale odo appesetatva d tutte le levazo effettuate, pe u è evdete e la eda d ua vaable qualtatva dovà eessaaete odee o ua delle odaltà assute dalla vaable, ete el aso d ua vaable quattatva la eda saà sepe tea al suo apo d vaazoe 3 Moda La pa aattesta e s ota esaado ua dstbuzoe d fequeza elatva a ua vaable qualtatva o quattatva dseta è la deteazoe a u è assoata la fequeza (assoluta o elatva) pù elevata Questa deteazoe è detta deteazoe odale o, pù sepleete, oda Se esstoo pù deteazo a u è assoata la stessa fequeza assa, tutte queste deteazo appesetao altettate ode della dstbuzoe Cosdeata ua vaable qualtatva o quattatva dseta X e assue deteazo dvese e data o la fequeza assoluta assoata alla -esa deteazoe (o =,,, ), la oda M della vaable X è quella deteazoe della vaable pe la quale sulta M = ag a 3
Se la dstbuzoe è espessa edate le fequeze elatve, azé edate le fequeze assolute, la oda ospode ovvaete a quella deteazoe della X pe la quale sulta M = ag a f 3 Dato e l dvduazoe della oda s basa solo su valo assut dalle fequeze (assolute o elatve), sulta evdete e questo de può essee deteato pe ua vaable d qualuque tpo Pe esepo, la oda della vaable osdeata ella tabella ella è "alte attvtà", ella tabella è l "dploa d suola seodaa supeoe", ella tabella 3 è " opoet" e ella 8 è "pe edzo" Le ode appea dvduate sulle dstbuzo d fequeza delle vaabl osdeate saebbeo potute essee dvduate ae attaveso l aals del gafo ospodete, dato e tutt as la oda ospode alla deteazoe a u è assoato l ettagolo o l segeto o l altezza aggoe (pe gaf a oloa o pe daga ad asta) oppue al ettagolo o la base aggoe (pe gaf a asto) Così, pe esepo, la oda della dstbuzoe appesetata elle fgue 3 o 33 è "dusta", la oda della dstbuzoe appesetata ella fgua 34 è "suffete", la oda della dstbuzoe appesetata ella fgua 35 è l valoe "" e ella fgua 36 la oda è Ovvaete se ua dstbuzoe soo pù deteazo a u è assoata la stessa fequeza assa, la vaable peseta pù ode, ete o 'è alua oda se tutte le fequeze soo ugual fa loo Ua dstbuzoe e peseta ua sola oda è detta uodale, ete è detta pluodale se peseta pù ode I patolae, se esstoo due ode, la dstbuzoe è detta bodale, se e esstoo te è detta todale e osì va Nel aso d ua dstbuzoe d ua vaable otua edate lass d valo, l dvduazoe della oda o può essee effettuata base a valo delle fequeze assoate a asua lasse quato, oe s è gà detto peedeza, all auetae dell apezza della lasse tede ad auetae ae la fequeza assoata Pe deteae la oda ooe qud dvduae l tevallo e, a patà d apezza, otee la fazoe aggoe delle ossevazo Nelle dstbuzo d vaabl otue date edate lass d valo, è detto odale quell'tevallo e peseta la assa destà d fequeza 3
Nel aso della tabella 4, pe esepo, l'tevallo odale della dstbuzoe è la lasse (60, 65] ospodeza della quale s a l asso valoe del appoto fa fequeza e apezza I geeale, qud, osdeata ua vaable quattatva otua X u valo soo stat suddvs lass e data o la destà d fequeza assoata alla -esa lasse (o =,,, ), la lasse odale M è quell tevallo pe l quale sulta M = ag a 33 Ae questo aso la deteazoe della lasse odale può avvee gafaete, quato ospode al ettagolo dell stogaa e peseta la assa altezza Pe esepo, la fgua 4 osta aaete e la oda ospode alla lasse (60, 65], osì oe s ea levato ae da valo potat ella tabella 4 Se la deteazoe della oda è esteaete seple, va peò otato e l suo utlzzo è abbastaza ltato Dato e la oda o fose alua foazoe ulteoe sulla dstbuzoe della vaable, la sua ooseza o è patolaete utle se le deteazo assute dalla vaable soo puttosto ueose, spee se la assa fequeza o è sesblete pù elevata delle fequeze assoate alle alte deteazo É olte evdete e la deteazoe dell'tevallo odale pe ua vaable quattatva otua sete d tutte le abtaetà della suddvsoe lass e è stata effettuata U pego della oda è vee la sua obustezza, el seso e questo de o sete della evetuale peseza d deteazo olto gad o olto pole e potebbeo ospodee a valo aoal ( glese, outle), ossa a deteazo e s dsostao d olto dalle estat deteazo assute dalla vaable Nota I ua dstbuzoe possoo essee dvduat ae valo odal, dett seoda o loal, e ospodoo a ass elatv della dstbuzoe I questo aso la deteazoe della dstbuzoe a u è assoata la fequeza assa è detta ae oda ppale Nell esepo 4 potato alla fe del paagafo 4 s a ua oda ppale ospodeza dell tevallo [300, 4000] e ua oda seodaa ospodeza dell tevallo [00, 000] 4
33 Quatl Date ossevazo elatve alla vaable quattatva X, s defse quatle d ode p (o 0 < p < ), e s da o p, quel patolae valoe della vaable pe u la popozoe d ossevazo feo o ugual a p è aleo p Se, pe esepo, pe ua dstbuzoe d eddt au è oto e l quatle d ode 05 è pa a 5 la euo, questo vuol de e u quato delle utà osdeate a u eddto auo feoe o uguale a 5 la euo; se ua dstbuzoe d statue 0,8 vale 78 etet, sgfa e l 80% delle utà a ua statua feoe o uguale a 78 etet Data ua sequeza d ossevazo elatve a ua vaable quattatva X, l quatle p d ode p è la -esa ossevazoe () della sequeza odata, dove è l pù polo valoe teo supeoe o uguale p a p, oè Il sbolo appeseta qud la pate tea supeoe d ed è tale e < Esepo 33 Cosdeata la seguete sequeza d ossevazo levate su 5 pate d u s è suata l altezza otteedo seguet valo etet 34 8 0 7 9 s dete l quatle d ode p = 05 della vaable I questo aso = 5, pe u la -esa ossevazoe oupa l posto p 5 05 5 3 Il quatle d ode 05, 05, oupa qud l tezo posto ella sequeza odata 8 9 0 7 34 pe u sulta 05 = (3 )= Esepo 33 S suppoga oa e alle utà dell esepo peedete s sa agguta ua uova pata, la u altezza etet è pa a 5 S vuole deteae l quatle d ode p = 05 delle 6 utà statste I questo aso la sequeza odata è la seguete 8 9 0 5 7 34 pe u, dato e = 6, la -esa ossevazoe oupa l posto p 6 05 3 3 Il quatle d ode 05 oupa qud l tezo posto ella sequeza odata pe u sulta aoa 05 = (3 ) = 0 5
Cosdeata ua geea sequeza, tutt suo te soo evdeteete quatl d u eto ode della vaable X, a fa quest alu sebao pù datv d alt peé fao feeto a que valo d p e ospodoo a quell d uso pù oue e soo osdeat, qud, oe altettat valo aattest della X Soo fequeteete utlzzat quatl 05, 05 e 075 e, pe la loo potaza ella deszoe delle aatteste della vaable X, ao u oe patolae e vegoo dett quatl Il quatle pù potate è l seodo, 05, oueete aato edaa, peé da quel patolae valoe della vaable tale e la età delle utà peseta u valoe della vaable oe o uguale a 05, ete la estate età peseta u valoe della vaable aggoe o uguale a tale valoe Pe esepo l ISTAT fa espessaete feeto al eddto edao ueos stud volt a ofotae la dstbuzoe del eddto Itala spetto a quella d alt Paes euope, oppue pe aalzzae odzo d vta e lvello d povetà delle fagle talae e dves a Alt quatl d uso fequete soo ove del 0, 0,, 09 e ovataove etl 00, 00,, 099 I quest as la edaa ospode al quto dele o al quateso etle Esepo 333 Cosdeata la seguete sequeza d =0 valo d ua vaable quattatva otua X 30 35 80 96 300 38 3 87 99 0 s deteo suo te quatl La sequeza odata è 87 99 0 80 96 300 3 38 30 35 005 5 p 0075 75 pe u l po quatle oupa l posto p 3, la edaa l posto p 005 5 5 e l tezo quatle l posto 8 Rsulta qud 05 = 0 05 = 96 075 = 38 Esepo 334 Cosdeata la seguete sequeza d =4 valo d ua vaable quattatva dseta X 3 5 - -3-5 0 0-9 0 6-8 s deteo suo te quatl La sequeza odata è - -9-5 -3-0 3 5 6 8 0 0 405 35 p 4075 05 Rsulta qud pe u l po quatle oupa l posto p 4, la edaa l posto p 405 7 7 e l tezo quatle l posto 05 = -3 05 = 075 = 8 6
Se ella sequeza degl valo alu d quest s pesetao pù d ua volta, l addesaeto delle fequeze ospodeza d alue deteazo fa sì e uo stesso valoe della vaable possa ospodee a pù quatl d ode dveso Se, pe esepo, s osdea la seguete sequeza odata de vot statsta otteut da 0 studet 8 8 8 0 0 3 3 3 3 4 4 4 5 6 7 7 8 30 0 0 0 te quatl oupao spettvaete post 05 5, 05 0 e 075 5 e soo qud dat da 05 = 0, 05 = 3 e 075 = 5 Il valoe 0 ospode peò ae al seodo dele, osì oe l valoe 3 è sa edaa, sa quato e sesto dele Alle edese oluso s guge ovvaete se s fa feeto, vee e alla sequeza, alla dstbuzoe d fequeza ospodete, pe u l alolo de quatl s effettua sepe ello stesso odo Nel aso d ua dstbuzoe d fequeza ovee peò utlzzae valo delle fequeze assolute uulate I ua dstbuzoe d fequeza l quatle d ode p della vaable quattatva X ospode al valoe a u è assoata la pa fequeza assoluta uulata N aggoe o uguale a p Data pe esepo la dstbuzoe de vot osdeat peedeza Dstbuzoe de vot Fequeza assoluta Fequeza assoluta uulata 8 3 3 0 5 7 3 4 4 3 4 5 5 6 6 7 8 8 9 30 0 0 dalle fequeze assolute uulate oteute ell ulta oloa della tabella peedete s ottegoo gl stess quatl otteut sulla sequeza de vot 7
Esepo 335 Data la seguete dstbuzoe d fequeza elatva a ua vaable quattatva dseta X Dstbuzoe d ua vaable X Fequeza assoluta - 4-6 0 0 0 3 8 50 s dete l valoe del po, del quto e del setto dele Le utà esaate soo 50, pe u post oupat da te del est soo spettvaete l deo, l vetqueso e l tetaqueso Dalle fequeze assolute uulate potate ella tabella seguete Dstbuzoe d ua vaable X Fequeza assoluta Fequeza assoluta uulata - 4 4-6 0 0 0 0 0 30 4 3 8 50 50 sulta 0 = -, 05 = e 07 = I questa sede, pe sepltà, o veà osdeata la deteazoe de quatl pe vaabl quattatve otue la u dstbuzoe è stata stetzzata lass d valo, é pe vaabl qualtatve odabl È vee ao e o è a possble deteae quatl d vaabl qualtatve soesse, dato e o esste u odaeto atuale delle sue odaltà 34 Meda ateta U potate aattesta d ua vaable quattatva è osttuta dal suo valoe edo, espessoe utlzzata spesso ae el lguaggo oue dato e, o feeto a gupp d pesoe, s pala abtualete d eddto edo, voto edo, età eda Il valoe edo eta fa le ede d tpo aalto, quato la sua deteazoe ede opeazo d tpo algebo su valo assut dalla vaable, pe u può essee alolato eslusvaete pe vaabl d tpo quattatvo (sa dsete, sa otue) 8
Il valoe edo, alolato pe deteae l'ode d gadezza del feoeo el guppo osdeato, è spesso utlzzato pe ofotae odo soao la dstbuzoe d ua stessa vaable levata su dves gupp d utà oppue tep dves Soo d uso oue, pe esepo, espesso qual "le doe eda vvoo pù a lugo degl uo", " eoat as pesao eda pù delle fee", "la duata eda della vta è sesblete pù elevata d quella del seolo soso" L'espessoe "valoe edo" è puttosto geea peé ealtà s può fae feeto a pù valo ed e geee sultao dves fa d loo Nel lguaggo oue, peò, o l tee eda s fese quas sepe alla osddetta eda ateta e, fa tutt possbl valo ed, è sez'alto l pù potate, tato e statsta, quado s pala d eda seza ulteo spefazo, s fese sepe a quest'ulta La eda ateta, la oda e la edaa fao pate della fagla de osddett d della tedeza etale, a sottoleae l fatto e tal d tedoo a poszoas al eto della dstbuzoe, ossa tedoo a appesetae l ode d gadezza della vaable d teesse Cosdeata la sequeza degl valo d ua vaable quattatva X, la sua eda ateta, data o l sbolo o, è uguale alla soa d tutt valo dvsa pe Utlzzado l opeatoe soatoa, la foula d alolo della eda ospode qud a 34 dove la soa d tutt gl valo,, e opae al ueatoe, ospode al osddetto aotae della vaable Pe esepo, la eda della sequeza de vot statsta osdeata ell esepo 3 è uguale a 039 Esepo 34 La eda ateta della sequeza suessva, e da l ueo d dpedet d u guppo d 0 azede oopeatve, 3 4 6 8 5 8 0 3 9
sulta uguale a 3 3 00 0 0 0 Se s dspoe, azé della sequeza ogaa d valo, d ua dstbuzoe d fequeza, la eda vee alolata odo dveso a seoda e ella pa oloa opaao sgol valo della vaable oppue le lass Se la vaable è dseta e a og valoe è assoata la fequeza assoluta, la eda ospode a, =,,,, 34 e è del tutto equvalete alla 34, peé l'aotae oplessvo della vaable ospode alla soa de podott fa asu valoe e la fequeza ospodete (og valoe opae fatt volte) Nel aso della tabella 3, pe esepo, l ueo edo d opoet delle fagle talae foate da o pù d 5 opoet s ottee edate la 34 e sulta appossatvaete pa a 540980 5900995 563934 53 40768 Se ella dstbuzoe opaoo le fequeze elatve, la eda ateta è defta dall'espessoe f, =,,, 343 e equvale sa alla 34, dato e f, 30
sa alla 34, dove a asua è assoata ua fequeza elatva ostate, uguale a / Ife, se dat dspobl soo agguppat lass, la eda ateta può essee alolata solo odo appossato dato e o soo ot o esattezza tutt gl valo levat (e qud o s oose l aotae esatto della vaable all teo d og sgola lasse) I questa stuazoe s adotta l'potes e valo oteut all'teo della -esa lasse sao tutt ugual al suo valoe etale, pa alla sesoa de suo este Cosdeata la -esa lasse, l suo valoe etale, dato o l sbolo, è qud pa a A seoda e s dspoga delle fequeze assolute o elatve, la eda d ua dstbuzoe lass s alola qud edate l espessoe f, a ovvaete l sultato otteuto questo odo è solo u'appossazoe della eda vea (otteble dagl valo ogal) É ao qud e, se s dspoesse d tal valo, la eda adebbe sepe alolata su quest ult e o sulla dstbuzoe lass I alu as, pu o avedo a dsposzoe sgol valo della vaable levat sulle sgole utà statste, s può oosee l esatto aotae della vaable pe asua delle lass e opogoo la dstbuzoe (l ISTAT fose spesso questa foazoe) I questo aso, ovvaete, l alolo della eda dovà essee effettuato osdeado quest aota esatt, puttosto e quell stat odo appossato Se vee s dspoe de sol dat lass, va sottoleato e l valoe edo appossato sulteà pù peso al due dell'apezza delle dvese lass, ete se ella dstbuzoe opaoo ua o pù lass apete, pe l alolo della eda saà eessao appossae quale odo valo degl este, utlzzado alte evetual foazo dspobl sulla vaable esae Esepo 34 La eda della dstbuzoe potata ella tabella suessva 3
Class d valo Fequeza elatva Valoe etale 0 5 00 5 5 0 06 75 0 0 04 50 0 50 03 350 50 00 008 750 00 s ottee dalla soa de podott de valo etal pe le fequeze elatve ospodet, ed è uguale a 5 I alu as l alolo del valoe edo d ua vaable vee effettuato odo dveso, attbuedo a dves valo assut dalla vaable u peso e seve pe suae l potaza e s vuole attbue a asua d esse S suppoga, pe esepo, e due dvese oaso s sao aqustate due dvese quattà (p e p ) d uo stesso bee pagado spettvaete pezz e I questo aso l'aotae oplessvo della spesa sosteuta è pa alla soa de podott fa pezz e quattà p p Pe alolae l pezzo edo e, se fosse sultato deto elle due oaso, avebbe fatto spedee la stessa soa oplessva, o s può fae sepleete la sesoa de due pezz e, a due pezz vao pesat (ossa podeat) o le quattà ospodet (p e p ) Il pezzo edo è pa qud al appoto fa l aotae della spesa oplessva e la quattà totale del bee aqustata, pe u p p 344 p p Il valoe osì otteuto è quel pezzo edo e lasa alteato l aotae oplessvo della spesa, oe sulta subto dall uguaglaza p p p p 3
La 344 è u esepo d eda ateta podeata, ossa d ua eda dove og sgolo valoe otbuse alla deteazoe dell'aotae oplessvo aea popozoale a u quale "peso" assoato al valoe stesso I geeale, osdeat gl valo della vaable X a u soo attbut spettvaete pes p, la eda podeata della vaable sulta p 345 p U esepo tpo d eda podeata s peseta quado s vuole alolae l voto edo otteuto egl esa d poftto d u oso uvestao quado a dves esa è attbuto u ueo d edt (CFU) vaable I questo aso la eda de vot deve teee oto d questa foazoe e pesa l potaza d asuo degl esa supeat Suppoao pe esepo e uo studete abba otteuto le votazo potate ella pa ga della tabella suessva, ete ella seoda ga soo potat valo de edt ospodet Tabella 34 Voto e edt degl esa uvesta supeat da uo studete Voto 4 6 8 30 7 6 CFU 4 8 4 8 4 44 68 8 304 78 64 960 Il voto edo ospode a 4 4 8 4 8 4 40 35 Popetà della eda ateta La eda ateta vefa alue potat popetà e veao utlzzate ae e aptol suessv Iaztutto, dato e la eda sua l ode d gadezza della vaable X, è eessao e sa tea al apo d vaazoe della vaable stessa - Pa popetà (ae detta popetà d tealtà) 33
Cosdeata la sequeza odata delle ossevazo () d ua vaable quattatva X, la sua eda sulta sepe opesa all teo del suo apo d vaazoe Dostazoe Data ua vaable quattatva X levata su utà statste, s osde la sequeza odata de valo odat odo o deesete,,, Pe og =,,, vale la dsuguaglaza pe u I odo aalogo, dato e pe og =,,, sulta pe u la eda è sepe opesa el apo d vaazoe Ω, della vaable X: - Seoda popetà L aotae oplessvo d ua vaable quattatva X levata su utà ospode a volte l valoe della sua eda ateta, ossa I base all uguaglaza peedete, e o eessta d alua dostazoe peé deva dettaete dalla defzoe 34, la eda ateta sulta essee quel patolae valoe e, sosttuto a asuo de valo effettvaete levat, lasa alteato l'aotae della vaable Questa popetà evdeza 34
qud as u è oetto stetzzae dat aolt edate la eda ateta, azé edate ua eda dvesa: la eda ateta è quel patolae valoe e equpatse l aotae della vaable fa le utà Pe esepo, dato u guppo d dvdu su u è stata levata la vaable eddto, la sua eda ateta appeseta quel patolae valoe teoo del eddto, uguale pe asu dvduo, e lasa alteato l eddto oplessvo del guppo - Teza popetà (ae detta popetà d leatà) La eda d ua tasfoazoe leae ospode alla tasfoazoe leae della eda Dostazoe Cosdeata ua vaable X d eda e ua sua tasfoazoe leae del tpo Y = a + bx 35 la eda della vaable tasfoata, ospodete all espessoe seguete y y y, può essee stta ella foa seguete y a b pe u sulta y a b a b a b 35 Qud, se d ua vaable quattatva X è ota la sua eda, pe otteee la eda della vaable Y, tasfoata leae della X, o è eessao effettuae la tasfoazoe delle sgole ossevazo, a è suffete effettuae la tasfoazoe leae della 35
Rpededo l esepo 4 osdeato el po aptolo, s d o X la tepeatua espessa gad Faeet e o Y la tepeatua espessa gad Celsus La eda della X sulta 3 3 50 59 4 4 ete, teuta pesete la elazoe esstete fa gad Faeet e gad Celsus, la tepeatua eda gad etgad ospode a 5 y 3 5 9 Esepo 35 Data ua vaable X d eda Y 4X W 83X Z 56X s dete la eda delle te vaabl tasfoate Applado la 35 s ottee 4 6 4 7 y 4 w 83 83 z 5 6 5 6 Coe aso patolae d tasfoazoe leae s osde la vaable Y = X, 353 e s ottee dalla 35 poedo a = e b = La Y, detta vaable sato, assueà valo y = e sultao postv o egatv a seoda e la -esa ossevazoe sa spettvaete aggoe o oe della eda Dalla 35, teedo peset le uguaglaze a = e b =, sulta edataete e la eda ateta y della vaable sato Y è sepe pa a zeo e, qud, è pa a zeo ae la soa de suo valo 36
37 - Quata popetà Cosdeata ua vaable X d eda, la soa de quadat degl sat della vaable dalla sua eda è u o Dostazoe Cosdeata ua vaable quattatva X e u valoe dveso dalla sua eda ateta, s deve dostae e vale la seguete dsuguaglaza og pe 354 Se el tee a desta della dsuguaglaza peedete s sottae e s soa la eda ateta s ottee Svluppado l quadato del boo, sulta dove l doppo podotto è pa a zeo peé ospode al podotto d ua ostate pe la soa della vaable sato Il tee a desta ella dsuguaglaza 354 può essee qud soposto ella soa 355 della soa de quadat degl sat dalla eda pù volte la dffeeza al quadato fa la ostate abtaa e la eda ateta Quest ulta quattà sulta ulla se e solo se ed è qud dostato e la quattà a ssta della 354 assue l suo valoe o quado
Questa popetà appea dostata sottolea aoa ua volta l uolo d etaltà della eda ateta, quato la zza la soa de quadat degl sat e può essee qud osdeato oe l valoe pù vo alle ossevazo ogal Nota Ae la edaa vefa ua popetà aaloga a questa, a feta alla soa de valo assolut degl sat, azé a loo quadat La edaa 05 d ua vaable quattatva X è fatt quel valoe e ede a la soa de valo assolut degl sat 0 5 I alue stuazo le utà statste esaate soo atualete suddvse gupp (pe esepo, le pesoe esaate u dage possoo essee atualete suddvse as e fee oppue oupat e dsoupat) e può aadee d oosee l valoe edo della vaable d teesse e sgol gupp (pe esepo, s potebbe oosee l eddto edo pe as e pe le fee o l età eda degl oupat e de dsoupat) I queste stuazo, se è oto l ueo delle utà appateet a sgol gupp, la eda della vaable sulle utà ospode alla eda delle ede e gupp, podeate o le ueostà ospodet - Quta popetà (ae detta popetà assoatva) Cosdeate utà statste suddvse g gupp dstt, asuo d ueostà, o, g e data o la eda della vaable X all teo dell -eso guppo (o =,,, g), la eda della X su tutte le utà ospode alla eda delle sgole ede podeate o le Dostazoe Teedo pesete e le ossevazo elatve alla vaable X soo suddvse g gupp dsgut, ovee dae og sgola ossevazoe o due d, l po de qual pota la poszoe oupata da asua ossevazoe el guppo d appateeza, ete l seodo pota l detfatvo del guppo I questo odo l sbolo da l -esa ossevazoe appateete all -eso guppo (o =,,, e =,,, g) Utlzzado questa otazoe, la eda geeale della vaable X, pa al appoto fa l aotae 38
oplessvo della vaable dvso pe l ueo d utà e la opogoo, può essee posta ella foa g g 356 dove le quattà ella paetes toda ospodoo all aotae della vaable asu guppo, ossa al podotto della eda ateta del guppo pe la ueostà del guppo stesso, ossa,,, g La eda ateta geeale 356, qud, può essee ae stta ella foa equvalete g 357 e ospode alla eda delle ede de sgol gupp podeate pe la ueostà de gupp stess Esepo 354 S osde u guppo d 00 laueat d u 45 d sesso fele e 55 d sesso asle Sapedo e l voto edo d lauea delle studetesse è sultato pa a 033 ete l voto edo degl studet è sultato pa a 0, deteae l voto edo d lauea pe l teo guppo d laueat 033 450 55 Il sultato eato è dato da 0 09 00 Nota S ossev e alue stuazo l'ode d gadezza d u feoeo va suato o valo ed dves dalla eda ateta Quest ulta, fatt, è solo u aso patolae della osddetta fagla delle ede potezate, l u geeo eleeto, dato o Ms, è detto eda potezata d ode s Cosdeata la see degl valo oga, la eda potezata d ode s assue la foa M s s s < s < + 39
e è defta pe qualsas valoe d s solo se tutte le soo aggo d zeo La eda ateta fa ovvaete pate d questa fagla e s ottee pe s = 36 Moet Il oetto d eda ateta è alla base della defzoe d u alta fagla d d, fequeteete utlzzat statsta, e vegoo dett oet Data la sequeza delle ossevazo d ua vaable quattatva X, s defse oeto odao (o oeto dall oge) d ode (e vee dato d solto edate l sbolo o edate l pù seple sbolo, se è evdete e s sta aalzzado la vaable X) la eda ateta delle poteze -ese delle ossevazo, = 0,,, 36 Dalla foula peedete vede subto e l oeto d ode zeo è sepe uguale a, ete poedo = s ottee la eda ateta Esepo 36 Data la seguete sequeza d valo, l tezo oeto dall oge è pa a 3 3 3 03 3 4 3 4 5 0 3 3 4 Se valo levat soo ogazzat ua dstbuzoe d fequeza, la deteazoe de oet d ode vee effettuata odo aalogo a quato vsto a poposto della eda ateta Nel aso d ua dstbuzoe d fequeza l oeto d ode ospode alla eda ateta delle poteze -ese de valo 40
f, = 0,,, 36 Esepo 36 Data la dstbuzoe potata ella tabella seguete l seodo oeto dall oge ospode a = 0 04+ 0+4 03+9 0=3 0 04 0 03 3 0 0 f Pe ua dstbuzoe lass, l valoe appossato del oeto d ode s ottee da f, = 0,,, 363 Olte a oet dall oge, statsta spesso s utlzzao ae oet etal, l u geeo eleeto d ode, dato o l sbolo alla vaable X, assue la foa, o pù beveete se è ao e s fese, = 0,,, 364 se dat soo osttut dalla sequeza d ossevazo Pe = 0 l sultato è pa a uo, ete pe = s ottee la eda della vaable sato, e è sepe pa a zeo Nel aso d ua dstbuzoe d fequeza l oeto etale d ode ospode a f, = 0,,, 365 4
ed fe, pe ua dstbuzoe lass, l valoe appossato del oeto etale d ode è dato da f, = 0,,, 366 Il oeto etale d ode ospode alla eda ateta delle poteze -ese degl sat dalla eda ateta della vaable Esepo 363 Data la dstbuzoe potata ella tabella dell esepo 36, se e alol l seodo oeto etale La eda ateta è pa a 0 04 0 03 30 pe u l seodo oeto etale è = (0 ) 04 + ( ) 0 + ( ) 03 + (3 ) 0 = 09 Popetà Cosdeata ua vaable X l u oeto etale d ode è dato da, l oeto etale d ode d ua tasfoazoe leae del tpo Y = a + bx ospode a y b Dostazoe Cosdeata ua vaable X d eda e oeto -eso, la vaable tasfoata Y data dalla 35 a ua eda pa alla tasfoazoe leae della eda della X, pe u l oeto suo -eso può essee stto ella foa seguete y b y y a b a b b b 367 Questo sultato da e oet d ode soo vaat pe abaet dell oge della sala d sua, a vaao al vaae dell utà d sua 4
43 I valo de oet etal possoo essee avat da quell de oet dall'oge Faedo feeto alla sequeza degl valo ogal, pe esepo, s dosta e l seodo oeto etale sulta uguale a 368 e ospode qud alla dffeeza fa l seodo oeto dall'oge e la eda al quadato o, alt te, alla eda de quadat eo l quadato della eda Esepo 364 Data la dstbuzoe potata ella tabella dell esepo 36, se e alol l seodo oeto etale edate l alolo de p due oet dall oge Rsulta 0 3 03 0 04 0 = 0 04+ 0+4 03+9 0=3 da u s ottee fe 09 3 Nota Pe quato guada l tezo e l quato oeto etale le elazo o oet dall oge soo vee 3 4 4 3 3 3 3 6 4 3 I oet etal d ode, 3 e 4, oe s vedà el posso aptolo, fosoo alue potat foazo su dvese aatteste della dstbuzoe della vaable esae Nota Tutt oet esaat etao ella osddetta fagla de oet d ode da, l u geeo tee e dao o l sbolo, el aso d ua sequeza d ossevazo assue la foa, = 0,,,
da u, pe = 0, s ottegoo le espesso de oet dall'oge, ete pe = de oet etal s ottegoo le espesso 44