ESERCITAZIONI DINAMICA PUNTO MATERIALE. Dott.ssa Silvia Rainò

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1 ESERCITAZIONI DINAMICA PUNTO MATERIALE Dott.ssa Silvia Rainò

2 Consigli generali per la risoluzione di un problema Disegnare il sistema fisico considerato : Se sono coinvolti più corpi ci si concentra sui singoli corpi (es. casse tirate dalla fune) Disegnare le forze in gioco in base alle indicazioni del problema Definire un sistema di riferimento Scrivere la II Legge della dinamica ( F TOT = ma) e scomporre successivamente le forze nelle componenti x,y (z) rispetto agli assi del sistema di riferimento scelto Risolvere le equazioni

3 Esercizio 1 3 Quanta tensione deve sopportare una fune se viene usata per accelerare su un piano una cassa da 150 Kg ad 1.75 m/s 2? (Ignorare l attrito) F=T=ma = 150 kg 1.75 m/s 2 = N T Quanta tensione invece deve sopportare se si vuole far accelerare una utilitaria di 12oo Kg da 0 a 108 Km/h in 10 s? v = v 0 + at a=(v-v 0 )/t = 30/10 m/s 2 = 3 m/s 2 T=ma = 1200kg 3 m/s 2 = 3600 N R.: 3200 N. T

4 Esercizio 2 Durante una partita di calcio un pallone di massa 450 g giunge in prossimità della porta orizzontalmente con una velocità di 54 Km/h. Il portiere riceve la palla e la blocca in 0.10 s. Quale forza viene esercitata dal portiere sul pallone? Dati iniziali: m=450 g = 0.45 kg v i = 54 km/h = 15 m/s v f = 0 m/s t =0.1 s Soluzione: v i F v f =0 Moto uniformemente decelerato della palla: v f =v i +at a=-150m/s 2 F=m a =0.45 kg 150 m/s 2 = 67.5 N diretta orizzontalmente e in verso opposto alla velocità della palla (a<0) a

5 Esercizio 3 Il rotore di una centrifuga ruota a rpm (rotazioni al minuto). La cima di una provetta (perpendicolare all asse di rotazione) è a 6 cm dall asse di rotazione e il fondo è a 10 cm da esso. a) Calcolare l accelerazione centripeta al fondo della provetta in unità di g b) Se il contenuto della provetta ha una massa di 12 g, a che forza deve essere in grado di resistere il fondo della provetta?

6 Dati iniziali: Frequenza f=54000 giri/min = 900 giri/sec R min =6 cm = 0.06m R max =10 cm = 0.10m m=12g=0.012kg R min F centr Soluzione: R max v=(2r)/t=(2/t)r=fr= =565.2m/s a=v 2 /R=(90m/s) 2 /0.1m= m/s 2 = g F centr =ma centr =0.012kg m/s 2 = N

7 Esercizio 4 Un blocco di cemento di massa m = 225 kg, è inizialmente poggiato a terra. Mediante una fune verticale esso viene tirato verso l alto da una forza F costante di modulo F = N. Determinare: Accelerazione impressa al blocco Intervallo di tempo richiesto perché esso venga sollevato all altezza h = 8.50 m

8 Dati iniziali: M= 225 kg, F= N, h=8.5 m F P Soluzione: Le forza che agiscono sul blocco sono la forza peso P e la forza esterna F. P=mg=225 kg 9.8 m/s 2 = 2205 N < F II principio dinamica: F+P=ma, entrambe dirette lungo l asse verticale, perciò F-P=ma a=(f-p)/m=( )n/225 kg = 5.7 m/s 2. h 1 2 at 2 t 2h a 28. 5m m s 1. 73s

9 Esercizio 5 Supponiamo che una macchina effettui una curva a velocità costante (si consideri valida l approssimazione di moto circolare uniforme). Determinare la velocità massima con cui l auto può affrontare una curva di raggio noto R.

10 Soluzione Consideriamo un sistema di riferimento a 2 D in cui trascuriamo la direzione tangenziale ( 2 D : 1 perpendicolare al suolo e l altra diretta radialmente ) Le forze agenti sono : Forza peso P, Forza normale N (strada), Forza di attrito F A (strada) in approssimazione statica rende possibile la traiettoria circolare dell auto lungo la curva N P F A R Scomponendo le forze nelle 2 direzioni: Direzione perpendicolare al suolo : N = mg Direzione radiale: forza attrito = forza centripeta F attrito = ma c ove a c = v 2 /R

11 L auto non slitta fino a quando non si supera il valore massimo della forza di attrito statico data da F as m S N. In formule : mv 2 /R m S N mv 2 /R m S mg => v m gr s La velocità massima con cui l auto può affrontare la curva senza slittare è: v max m s gr

12 Esercizio 6 Due blocchi ben levigati di masse m 1 ed m 2, sono collegati mediante una sottile cordicella ed inizialmente fermi su un pavimento orizzontale liscio e con attrito trascurabile. Mediante una cordicella sottile collegata al blocco di massa m 1,un bambino applica una forza F orizzontale e di intensità costante. Trascurando le masse delle cordicelle determinare le espressioni della tensione T della cordicella che collega i due blocchi e dell accelerazione a assunta dal sistema nell intervallo di tempo in cui la forza agisce. Eseguire una applicazione numerica con m 1 =800g, m 2 =500g ed F = 10 N.

13 T T F m 2 m 1 Nella direzione orizzontale, il II principio della dinamica applicato ai corpi m 1 ed m 2 dà: F-T=m 1 a T=m 2 a Sommando membro e membro le due equazioni a sistema ottengo: F=(m 1 +m 2 )a a= F/(m 1 +m 2 )=10N/1.3kg=7.69 m/s 2 T=m 2 a=0.5kg7.69m/s 2 =3.85N

14 Esercizio 7 Un autocarro sta trasportando una cassa di 3200 Kg contenenti macchinari pesanti. Se il coefficiente di attrito statico tra cassa e pianale è m s =0.65, qual è la massima decelerazione con cui il guidatore può frenare giungendo ad uno stop senza che la cassa si proietti contro la cabina di guida? Dati iniziali: M=3200kg m s =0.65 Soluzione: F as m s N N=mg F F a as max ms mg ma a msg m / v a s 2

15 Carrucola Supponiamo: massa della carrucola e della fune trascurabili; fune inestensibile. Scriviamo il II principio della dinamica per m 1 ed m 2 : m 1 g-t = m 1 a m 2 g-t = -m 2 a a = m 1 - m 2 m 1 + m 2 g T = 2m 1m 2 m 1 + m 2 g Se m 1 =m 2 il moto avviene a velocità costante (a=0). Macchina di Atwood T P P T

16 Dalla seconda equazione si deduce che il corpo si muove sul piano inclinato con accelerazione a=gsenq. L accelerazione a dipende SOLO dall inclinazione del piano, non dalla massa dell oggetto Piano inclinato senza attrito N opo -mg cosq j q mg sinq i q Forze : reazione normale N e forza peso mg Proiettiamo le componenti delle forze lungo le N mgcos θ direzioni parallela e perpendicolare al piano mgsin θ ma 0

17 Piano inclinato con attrito opo Forze : reazione normale N, forza di attrito F A forza peso mg Proiettiamo le componenti delle forze lungo la direzione parallela al piano e perpendicolare al piano

18 Piano inclinato con attrito

19 Piano inclinato con attrito Osservazione : se il pacco rimane fermo sul piano inclinato, la forza di attrito F a è di tipo statico e l accelerazione a=0. Le equazioni divengono: N mgcos θ Fas μsn μsmgcos θ mgsenθ Fas 0 N mgcos θ Fas μsn μsmgcos θ mgsenθ μsmgcos θ 0 La condizione affinché un corpo rimanga in quiete in presenza di attrito statico è F F as F m s N, ovvero: mg sin(q) < F as mg sinq < m s mgcosq tan(q)<m S

20 Esercizio 8 Due masse uguali, collegate da un filo sono disposte come in figura. L angolo q vale 30 gradi, il coefficiente di attrito massa-piano è m=0.4. Al tempo t =0 il sistema viene lasciato libero di muoversi e si osserva che la massa sospesa scende. Determinare l accelerazione del corpo sul piano inclinato. Cosa accade dopo che il corpo tocca terra? Discutere il moto del corpo sul piano inclinato. R.: 0.75 m/s q

21 Soluzione esercizio 8 y q x F attr N 2 a mg T a T mg 1 y Dati iniziali: q=30 m=0.4 t=0 v in =0 Corpo 1: Corpo 2: T+mg=ma T+mg+N+F attr =ma Scegliamo i sistemi di riferimento lungo i cui assi scomporre le forze In base alla descrizione del problema il corpo 1 scende verso il basso, il corpo 2 sale lungo il piano inclinato

22 y q mgsenq x F attr N q T mgcosq T mg y Per semplicità rappresento i due corpi come puntiformi e scompongo le equazioni lungo gli assi 1: mg+t=ma mg-t=ma 2: T+mg+N+F attr =ma T-F attr -mgsenq=ma mgcosq=n

23 mg-t=ma T-F attr -mgsenq=ma mgcosq=n Quanto vale la forza di attrito? Fattr = mn = m mgsenq (utilizzando la terza equazione del sistema) y q mgsenq x F attr N q T T mgcosq mg y mg-t=ma T-m mgcosq-mgsenq=ma T=mg-ma mg-ma-m mgcosq-mgsenq=ma g-m gcosq-gsenq=2a a=1/2g(1-m cosq-senq)=0.75m/s 2

24 Esercizio 9 Un autovettura ha delle ruote molto logore ed il conducente intende parcheggiare la macchina su di una strada sterrata in pendenza. Se il coefficiente di attrito statico fra pneumatici e superficie stradale è m s =0.5, qual è il massimo angolo d inclinazione che la superficie stradale può avere perché la macchina possa rimanere parcheggiata senza slittare?

25 Soluzione esercizio 9 La condizione affinché l auto di massa m rimanga in quiete è: F F attr ove F è la somma delle forze che agiscono nella direzione del piano inclinato Dalla seconda legge della dinamica, scomponendo le forze agenti nelle direzioni x,y, si ha: y q mgsenq x mg N F attr mgcosq N mgcos θ 0 μ sn - mgsenθ 0 N mgcos θ μsmgcosθ - mgsenθ Dunque, nel nostro caso F=mgsenq componente della forza peso nella direzione del piano inclinato, che deve equilibrare la forza di attrito statico 0

26 Di conseguenza si deve verificare che: F F attr mgsenθ μ s mgcos θ senθ μ s cosθ tgθ μs tgθ 0. 5 θ arctg( 0. 5) 45