FISICA GENERALE T-A 14 Giugno 2013 prof. Spighi (CdL ingegneria Energetica)

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1 FISICA GENERALE T-A 14 Giugno 013 prof. Spigi (CdL ingegneria Energetica) 1) La posizione di un punto materiale è r(t) t3 î + t 3 ĵ + t ˆk con r in metri e t in secondi. Calcolare: a) la velocità vettoriale media fra i punti t 1 0 s e t s; b) la velocità scalare media fra gli stessi istanti di tempo; c) il raggio di curvatura al tempo t 1 s. ) Su un piano orizzontale liscio posto ad un altezza 1 m rispetto al suolo é appoggiata una massa m1 1kg collegata da una parte ad una molla di massa trascurabile, costante elastica k 100 N/ m, lungezza a riposo nulla, fissata al muro e dall altra ad una corda inestensibile, di massa trascurabile a sua volta attaccata ad una massa m kg posta su un piano inclinato di un angolo α 45 o, scabro ( µ S 0. e µ D 0.1) e ad un altezza 0.5 m (vedi figura), Supponendo la carrucola ideale di massa trascurabile e ce il sistema sia in quiete, determinare a) l allungamento della molla. Ad un certo istante la molla si rompe, determinare: b) l accelerazione del sistema; c) la velocità con cui m giunge al suolo (ipotizzando ce m si trovi ancora sul piano 1 orizzontale). 3) Dato il campo di forze F(x, y, z) αxzî βz ĵ + (αx βyz) ˆk determinare: a) le dimensioni fisice delle costanti α e β; b) se il campo di forze è conservativo e nel caso calcolarne l energia potenziale; c) il lavoro fatto dalla forza quando sposta il punto di applicazione da R(0,1,-) a S (1,,). suolo α m 4) Un disco omogeneo di massa M10kg e raggio R50cm a la faccia appoggiata su un piano orizzontale privo di attrito; la figura mostra la visione dall alto del disco. Una corda è arrotolata lungo il bordo esterno del disco e una forza costante di 0N è applicata alla corda. Determinare: a) l accelerazione angolare del disco; b) l accelerazione del centro di massa del disco; c) la velocità del centro di massa dopo ce questo a percorso un tratto di 7m. R50cm 0N 5) Un oggetto puntiforme di massa m0.1kg si trova appoggiato sul bordo di un cono rovesciato (vedi figura) ce ruota in senso orario con velocità angolare ω10rad/s. Le pareti del cono sono inclinate di un angolo θ30 rispetto alla verticale. Sapendo ce il corpo è in equilibrio a una distanza d50cm dall asse di rotazione del cono, stabilire quanto deve valere il coefficiente di attrito statico affincè il corpo non cada. 6) Enunciare e discutere il teorema di Koenig dell energia cinetica per i corpi rigidi. θ d

2 SOLUZIONI EX 1 a) la velocità vettoriale media si calcola tramite la formula < v r(t m > ) r(t 3 î + ĵ + ˆk 0î 1 ) ĵ + 0 ˆk 8 ( ) 3 î + 4 t t 1 0 ĵ + ˆk 4 î + 3 ĵ + ˆk b) la velocità scalare media invece si ottiene con la formula < v m > Δs Δt dove per prima cosa bisogna calcolare il valore Δs ce rappresenta la lungezza del percorso. Sapendo ce v(t) d t s allora Δs v dt con v modulo della velocità. Quindi: dt t 1 v(t) d r(t) t î + tĵ dt + ˆk v (t ) + ( t) +1 t 4 + t +1 (t +1) t +1 t Δs v dt (t +1)dt t3 3 + t ) ( + 8 * 3 +,. ( 0 + 0) 14-3 m t 10 0 Quindi 14 < v m > Δs Δt * m / s 0 c) per trovare il raggio di curvatura al tempo t1s devo prima trovare la velocità e l accelerazione al tempo t1s. Quindi: v(t) d r(t) t î + tĵ dt + ˆk v(t 1) 1 î + *1ĵ + ˆk î + ĵ + ˆk v(t 1) m / s a(t) d v(t) tî dt + ĵ a(t 1) *1î + ĵ î + ĵ a(t 1) 4 + 6m / s Adesso possiamo calcolare il versore tangente alla traiettoria all istante t1s v(t 1) û t (t 1) v(t 1) î + ĵ + ˆk î + ĵ + ˆk 1 + ( ) +1 La componente scalare tangente dell accelerazione la ottengo proiettando l accelerazione vettoriale sul vettore tangente (quindi facendo il prodotto scalare): a t (t 1) û t (t 1) a(t 1) î + ĵ + ˆk ( î + ĵ ) 1* + * + m / s Ora la componente normale dell accelerazione la trovo come differenza vettoriale fra l accelerazione totale e la componente tangente vettoriale dell accelerazione (ce si ottiene moltiplicando a t per u t )

3 a(t) a t (t)+ a n (t) a n (t) a(t) a t (t) (î Il modulo della componente normale lo ottengo come a n (t 1) a (t 1) a t (t 1) m / s + ĵ + ˆk + ĵ) (î ) î + ĵ î ĵ ˆk î ˆk oppure dal vettore trovato prima: a n(t 1) 1 +1 m / s Ora posso calcolare il raggio di curvatura al tempo t1s: ρ(t 1) v (t 1) a n (t 1) 4 m EX a) Il sistema è fermo quindi posso applicare le equazioni della statica separatamente per i due oggetti. In figura sono mostrati in rosso per ogni corpo le forze agenti su di essi e in verde il sistema di riferimento scelto. Per la massa m1: Per la massa m: F 0 F el + P 1 + R 1 + T 0 F 0 P + R + T + F att 0 y x Fel suolo P1 R1 T Fattr T m R α P y x dove F el è la forza elastica della molla, la forza di attrito è di tipo statico percé il sistema è fermo e le tensioni sui due corpi sono le stesse percé la fune è inestensibile di massa trascurabile e la carrucola ideale per cui il modulo della tensione è sempre uguale lungo tutta la corda stessa. Ora proietto le due equazioni separatamente per i due oggetti lungo gli assi del sistema di riferimento scelto: 1x) F el +T 0 F el T kδx T 1y) P 1 + R 1 0 R 1 P 1 R 1 g x) F attr T + P senα 0 T m gsenα F attr y)r P cosα 0 R P cosα La y serve per trovare la reazione vincolare sul secondo corpo, ce usiamo per trovare la forza d attrito statico: R P cosα m F attr µ s R µ s m Ora sostituisco la forza di attrito nell equazione x per trovare la tensione della fune: T m gsenα F attr m gsenα µ s m Inserisco questa equazione nella 1x e trovo l allungamento della molla riciesto:

4 kδx T kδx m gsenα µ s m Δx m gsenα µ s m 0.11m k b) Il sistema non è più fermo quindi devo applicare la seconda equazione della dinamica separatamente per i due corpi. Le forze in gioco sui due corpi sono le stesse mostrate precedentemente tranne la forza elastica ce non agisce più. Siccome il sistema si sta muovendo l attrito ce entra in gioco ora è quello dinamico. Per la massa m1: F a P1 + R 1 + T a Per la massa m: F m a P + R + T + F att m a dove essendo il sistema legato le accelerazioni dei duo oggetti sono le stesse. Come prima proietto le equazioni lungo gli assi del sistema di riferimento ce o scelto notando ce il sistema si sta muovendo verso destra per cui le accelerazioni anno segno positivo: 1x)T a 1y) P 1 + R 1 0 R 1 P 1 R 1 g x) F attr T + P senα m a y)r P cosα 0 R P cosα Come prima dalla y ricavo la reazione vincolare ce mi serve per trovare la froza di attrito dinamico: R P cosα m F attr µ d R µ d m Sostituendo l espressione della tensione trovata con l equazione 1x nella x ottengo l accelerazione riciesta: x) F attr T + P senα m a µ d m a + m gsenα m a a m gsenα µ d m + m 4.16m / s ce risulta costante nel tempo. Nel caso si desideri calcolare la tensione basta sostituire l accelerazione nella 1x: 1x)T a 4.16N c) la velocità con cui l oggetto arriva al suolo può essere calcolata in vari modi: 1)con le equazioni di un moto uniformemente accelerato una volta ce abbiamo trovato l accelerazione del sistema e notando ce lo spazio percorso s sul piano inclinato può essere ricavato da semplici considerazioni geometrice! s s 0 + v 0 t + 1 at senα 1!! at senα 1 a v a v v 0 + at v at t v a v a senα m g(1 µ d cot gα).4m / s + m

5 ) col teorema delle forze vive calcolando il lavoro totale fatto su entrambi i corpi e poi calcolando il lavoro delle singole forze ce agiscono separatamente su 1 e su. L tot L 1 + L T fin T in 1 ( + m )v 0 1 ( + m )v Sul corpo 1 fa lavoro solo la tensione percé peso e reazione vincolare sono perpendicolari allo spostamento. Lo spostamento è dato come prima da considerazioni geometrice: L 1 L T Ts Su m compiono lavoro la tensione del filo, la forza di attrito dinamico e la componente parallela al piano inclinato della forza peso. L L T + L P + L attr Ts + m gsenαs µ d m s Da cui mettendo insieme le due espressioni: L tot L 1 + L Ts Ts + m gsenαs µ d m s m gs(senα µ d cosα) con s senα Quindi utilizzando il teorema delle forze vive si ottiene: 1 (m + )v m gs(senα µ d cosα) 1 (m + m 1 )v m g senα (senα µ cosα) d v m g + m (1 µ d cot gα) come nel caso precedente. 3) utilizzando la formula del lavoro di forze non conservative: L NC E mecc, fin + E mecc,in Sul corpo 1 non agiscono forze non conservative per cui L NC 0. Sul corpo l unica forza non conservativa ce agisce è la forza di attrito dinamico il cui lavoro lo posso calcolare dalla definizione generale di lavoro: L attr F attr s µ d m senα µ m d gcot gα L energia meccanica del sistema nello stato iniziale e finale è data da: E mecc,in g + m g E mecc,in 1 ( + m )v + g da cui E mecc, fin E mecc,in 1 (m + )v + g g + m g 1 (m + )v + g g + m g µ m d v m g(1 µ d cot gα) + m come nei casi precedenti.

6 EX 3 a) le dimensioni delle costanti si ottengo imponendo ce tutte le componenti della forza siano nelle dimensioni idonee cioè [N] [MLT ]. Quindi: [α] [MLT ] [xz] [β] [MLT ] [yz] [MLT ] [L ] [MLT ] [L ] [ML 1 T ] [ML 1 T ] b) per verificare se il campo è conservativo calcolo il rotore della forza: F î ĵ ˆk ( î ĵ ˆk ( δ δx δ δy δ δz ( δ δx δ δy δ δz ( F x F y F z ( αxz βz αx βyz ( î (αx βyz) y ( βz ) z ( ĵ (αx βyz) x î ( βz + βz) ĵ ( αx αx) + ˆk(0 0) 0 (αxz) z (+ ˆk ( βz ) x (αxz) y Il campo è conservativo e posso quindi calcolare l energia potenziale: x,y,z V F ds x,0,0 x,y,z x,0,0 x,y,z F x dx F y dy F z dz (αxz)dx ( βz )dy (αx βyz)dz 0,0,0 αz x ( x ,0,0 x,0,0 + βz xy0 y + αx z + βy z x00 ( x ,0,0 αx z + βyz c) avendo trovato l energia potenziale calcolare il lavoro diventa banale: L R,S V R V S ( αx z + βyz ) 0,1, ( αx z + βyz ) 1,, 4β ( α +8β) α 4βJoule x,0,0 ( EX 4 a) per trovare l accelerazione angolare del disco uso la seconda equazione cardinale: M ext I α. Per il calcolo dei momenti considero come polo il centro di massa del sistema in modo ce si annullino il momento del peso e della reazione vincolare sul piano. Rimane allora solo il momento dovuto alla fora applicata sulla corda: M ext I α ( Rĵ) (Tî ) I α RT ˆk I α α RT ˆk I RT ˆk 1 MR T MR ˆk * 0 10 * 0.5 8rad / s ˆk b) per calcolare l accelerazione del centro di massa uso invece la prima equazione cardinale: F ext M a cm dove l unica forza ce agisce sul disco è la tensione della corda:

7 T Ma cm a T cm M 0 10 m / s î c) la velocità del centro di massa la trovo utilizzando le equazioni di un moto uniformemente accelerato una volta ce o trovato l accelerazione:! s s 0 + v 0 t + 1 at! s 1 at! 7 1 t! t 7s v v 0 + at v at v t v 7 5.3m / s EX 5 In figura sono riportate tutte le forze in gioco sull oggetto. Siccome il cono sta ruotando, oltre alla forza peso, alla reazione vincolare e alla forza di attrito, la massa sentirà ance la forza centrifuga verso l esterno. Il sistema di riferimento scelto è quello solidale al punto materiale ce quindi è un sistema non inerziale. Se non ci fosse la forza di attrito il corpo cadrebbe sotto l effetto della forza peso e della forza centrifuga per cui l attrito è sicuramente diretto verso le x negative come segnato in figura. Nel sistema non inerziale scelto il corpo è in equilibrio per cui applico l equazione della statica per un punto materiale in cui oltre alle forze reali devo considerare ance le forze fittizie. F 0 P + R + F attr + F c 0 R Fattr Fc P x y Proietto l equazione lungo gli assi del sistema scelto: x)p cosθ + F c senθ F attr 0 y) R + F c cosθ Psenθ 0 dove F c mω d è la forza centrifuga sentita da un oggetto a distanza d dall asse di rotazione. La seconda equazione mi serve per trovare la reazione vincolare ce interviene nel calcolo della forza di attrito R F c cosθ Psenθ 0 F attr µ s R µ s (F c cosθ Psenθ) µ s (mω d cosθ mgsenθ) Inserisco questa formula nell equazione sulla x e ottengo la condizione sul coefficiente d attrito: P cosθ + F c senθ F attr 0 mgcosθ + mω dsenθ µ s (mω d cosθ mgsenθ) 0 µ s mgcosθ + mω dsenθ mω d cosθ mgsenθ 0.87