Descrizione progetto QUAD

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1 Capitolo 1 Descrizione progetto QUAD Lo scopo del progetto consiste nella riconfigurazione di un robot PKM (Parallel Kinematic Machine) ad assi lineari passando da un attuazione di tipo pneumatico ad una di tipo elettrico a mezzo di motori brushless. Il robot verra impiegato lungo una linea di confezionamento per operazioni di pick & place in campo alimentare. Figura 1.1: Robot Attuazione Pneumatica Figura 1.: Robot Attuazione Elettrica Il robot QUAD appartiene alla famiglia dei Linear Delta (una variante del Delta di Clavel) nei quali le guide lineari hanno sostituito i giunti rotanti della struttura Delta.

2 Capitolo 1. Descrizione progetto QUAD Figura 1.3: Esempio struttura Delta Figura 1.4: Esempio Linear Delta Obiettivo Nota la geometria del robot, definita da studi precedenti, e scelta una traiettoria limite con relativa legge di moto, si vuole caratterizzare il comportamento cinematico e dinamico del PKM al fine di un corretto dimensionamento della nuova trasmissione (motore, riduttore e giunto di trasmissione).

3 Capitolo Caratteristiche dei robot a cinematica parallela I robot a cinematica parallela sono meccanismi caratterizzati dall avere almeno una piattaforma fissa, una piattaforma mobile ed una serie di arti che congiungono le due piattaforme, realizzando così catene cinematiche chiuse. Nel seguito sono confrontati, sotto diversi aspetti, robot a cinematica parallela e robot seriali. Struttura meccanica PKM: caratterizzati da giunti attivi motorizzati solitamente posti a terra e giunti passivi (la cui configurazione dipende dalla posizione assunta dai giunti attivi); essendo composto da più catene cinematiche gli sforzi sono meglio distribuiti sulla struttura a favore delle prestazioni dinamiche. Robot Seriali: caratterizzati da soli giunti attivi motorizzati nei punti d intersezione dei vari link. A parità di potenza installata i PKM permettono di avere maggiori accelerazioni all end-effector, in quanto la massa dei motori non viene messa in movimento. Per questo motivo sono caratterizzati da una struttura più snella che rende possibile

4 4 Capitolo. Caratteristiche dei robot a cinematica parallela un alto rapporto tra carico nominale e peso della struttura. Figura.1: Robot seriale antropomorfo Figura.: Robot a cinematica parallela Volume di lavoro PKM: caratterizzati da un basso rapporto volume di lavoro/ingombro a terra della macchina; inoltre all interno del volume di lavoro presentano punti di singolarita (labilita strutturale). Figura.3: Volume di lavoro robot PKM Universita degli Studi di Bergamo

5 Capitolo. Caratteristiche dei robot a cinematica parallela 5 Robot Seriali: caratterizzati da un buon rapporto volumedilavoro/ingombroaterra e non presentano punti di singolarità. Figura.4: Volume di lavoro robot seriale Accuratezza e precisione di posizionamento PKM: si possono ottenere elevati valori di accuratezza. Robot Seriali: si possono ottenere modesti valori di accuratezza. La struttura dei pkm permette di avere distribuzione degli errori su tutte le catene cinematiche, diminuendo così l errore effettivo all end-effector; nei robot seriali l errore al terminale è dato dalla somma degli errori di ogni giunto. Gradi di libertà PKM: si calcolano mediante l utilizzo di formule quali l equazione di Grüber: F = λ(n j 1) + dove: F = gradi di libertà del robot j f i i=1 λ = fattore spaziale: vale 3 nel piano e 6 nello spazio n = numero di corpi rigidi compreso il telaio e l end-effector j = numero di giunti f i = gradi di moto relativo permessi dal giunto i-esimo

6 6 Capitolo. Caratteristiche dei robot a cinematica parallela Essa ottiene i gdl di un robot parallelo come differenza tra i gdl di ogni singolo link del robot e la sommatoria dei gradi di vincolo imposti dai giunti e dalle varie catene cinematiche chiuse presenti. Robot Seriali: si calcolano come semplice sommatoria dei g.d.l. forniti da ciascun giunto motorizzato. I manipolatori a cinematica parallela, caratterizzati da elevate velocità di lavoro, vengono generalmente impiegati per operazioni di pick&place in linee di confezionamento. Altri campi di utilizzo possibili sono in ambito medicale e meccanico (macchine utensili) in cui vengono sfruttate rigidezza e precisione di posizionamento..1 Classificazione robot a cinematica parallela Un criterio di classificazione è quello proposta da Tsai e Merlet, che suddivide i manipolatori in funzione del tipo di movimento effettuato e del numero di gradi di libertà. Si farà riferimento a robot simmetrici, cioè a quella particolare categoria di robot paralleli che rispettano le seguenti tre caratteristiche: 1. il numero di arti è pari al numero di gradi di libertà. il tipo, il numero e la sequenza dei giunti è la medesima per ogni arto 3. i giunti controllati sono gli stessi per ogni catena cinematica.1.1 Robot planari I più semplici robot paralleli sono quelli planari che si basano su principi noti da molto tempo. Possono essere a due o tre gradi di libertà, con azionamenti lineari o rotativi.

7 Capitolo. Caratteristiche dei robot a cinematica parallela 7.1. Robot sferici Figura.5: Schemi Robot planari a e 3 g.d.l. Questi modelli di robot rendono possibili moti rotatori attorno ad un punto dello spazio e vengono solitamente utilizzati come sistema d orientamento delle tavole nelle macchine utensili, come sistema di puntamento o come interfaccia aptica. Figura.6: Robot sferico a 3 g.d.l. AgileEye.1.3 Robot per moto spaziale con più di 3 GDL Questa è la categoria più interessante dei robot paralleli, entro cui si è sviluppata la maggior parte delle applicazioni. Entrano in questa categoria robot per il moto semplicemente traslatorio nello spazio, robot a 6 GDL che permettono di scegliere sia la posizione che l orientamento dell end effector e robot che seguono traiettorie

8 8 Capitolo. Caratteristiche dei robot a cinematica parallela più complesse, in cui posizione e orientamento sono accoppiati. Spesso, per avere la massima flessibilità senza complicare troppo la struttura parallela di base, si posiziona un polso sferico (di tipo seriale o anch esso parallelo) sulla piattaforma mobile di robot che hanno meno di 6 GDL; questo avviene però a scapito della maggior massa dell end-effector..1.4 Per moto traslatorio a 3 GDL La categoria a 3 gradi di libertà ha riscosso grande successo, attirando l attenzione di numerosi ricercatori. Costituisce un compromesso che consente di beneficiare dei vantaggi dati da un architettura parallela senza limitare troppo l area di lavoro, complicare eccessivamente la cinematica (spesso risolvibile in forma chiusa) e incorrere in problemi costruttivi. Con questi tipi di robot è possibile far eseguire all end-effector soltanto delle traslazioni lungo le tre direzioni principali, mantenendo sempre la terna mobile parallela a quella fissa. Certamente degno di uno spazio particolare è il robot Delta ideato da Clavel nel 1985 e finito di realizzare nel Si tratta di un robot a quattro gradi di libertà, di cui tre permettono la traslazione della piattaforma e il quarto permette la rotazione di un eventuale polso. Figura.7: Schema robot Delta di Clavel

9 Capitolo. Caratteristiche dei robot a cinematica parallela 9 Nel Delta di Clavel l estremità superiore di ogni parallelogramma descrive una traiettoria circolare in virtù dei motori rotativi impiegati; una modifica a questa soluzione consiste nell utilizzare motori o attuatori lineari, in modo che la traiettoria descritta sia rettilinea. Sono possibili diverse configurazioni di posizionamento degli attuatori: paralleli o a cono rispetto ad uno degli assi di riferimento, complanari e convergenti, oppure paralleli e uno ortogonale. Figura.8: Schemi di robot Delta lineari Il robot in esame fa parte della categoria dei robot ad attuatori complanari con assi paralleli, risultando compatto e con un volume di lavoro riconfigurabile (può essere esteso cambiando la lunghezza degli attuatori lineari).

10 10 Capitolo. Caratteristiche dei robot a cinematica parallela

11 Capitolo 3 Dati del problema 3.1 Caratteristiche geometriche robot Il robot è un Delta lineare ad assi complanari e paralleli. Come accennato nel capitolo precedente, questo tipo di robot è caratterizzato da una base fissa (telaio), da una base mobile (end-effector) e da tre quadrilateri articolati (ognuno costituito da una coppia di puntoni) posti a 10 nel piano della base mobile. Come si nota dalla figura che segue si considera il robot posizionato in modo da avere l end-effector verso il basso. Il sistema di riferimento assoluto è una terna destrorsa giacente sul piano dei carrelli con l asse Z positivo verso l alto.

12 1 Capitolo 3. Dati del problema Figura 3.1: Parametri geometrici di progetto 3. Caratteristiche traiettoria Per determinare le prestazioni dinamiche e cinematiche del robot è necessario considerare alcune traiettorie limite per operazioni di pick&place. Nello specifico si considerano due traiettorie che sfruttano tutto il volume di lavoro: una classica ad arco (con spostamenti in X, Y e Z; vedi fig.3.) ed una composta caratterizzata da un tratto costante in Z raccordato a due tratti puramente verticali (sempre con spostamenti in X, Y e Z; vedi fig.3.3). Il ciclo di lavoro è composto da questi fasi: 1. andata. pausa per la presa dell oggetto 3. ritorno 4. pausa per il deposito dell oggetto

13 Capitolo 3. Dati del problema 13 Per entrambe le traiettorie considerare i seguenti parametri: Punto di partenza/deposito P 0 : [0.4, 0.1, 0.5]; Punto di presa P 1 : [1., 0.1, 0.5]; Alzata massima h z = 0.15m; Tempo totale di ciclo (comprese le pause) T T OT = 1.00s Tempo di una singola pausa T p = 0.05s Alzata puramente verticale h zv = 0.03m Figura 3.: Traiettoria classica di pick&place Figura 3.3: Traiettoria composta di pick&place

14 14 Capitolo 3. Dati del problema Utilizzare una legge di moto ad accelerazione costante a tratti, tipo 1/3, 1/3, 1/3, per tutte le coordinate sia in andata che in ritorno. Figura 3.4: Esempio della legge di moto applicata in direzione X (in verde è indicato il T p )

15 Capitolo 4 Analisi cinematica Il primo oggetto di interesse nello studio di un sistema meccanico è costituito dalla cinematica. Da essa si ottengono importanti informazioni relative alle velocità ed accelerazioni che competono all end-effector ed alle varie parti della macchina. Inoltre è possibile ricavare altre informazioni come il volume di lavoro, i punti di singolarità della struttura, i rapporti di trasmissione e quindi di amplificazione delle forze. 4.1 Cinematica inversa Con la cinematica inversa si vuole ricavare la posizione dei giunti a partire da quella della piattaforma mobile: q = g(x) dove: x = [ x y z ] = posizione della piattaforma mobile rispetto al sistema di riferimento fisso; q = [ d 1 d d 3 ] = distanza del carrello dall origine della guida.

16 16 Capitolo 4. Analisi cinematica La cinematica inversa può essere facilmente risolta sfruttando un approccio geometrico. Figura 4.1: Schema delle 3 catene cinematiche che costituiscono il robot In particolare considerando separatamente ogni catena cinematica è possibile imporne la chiusura tramite l equazione vettoriale: a i + d i u i + l i w i = x + Rb i (4.1) Dove: a i è la distanza delle guide dall origine della terna fissa; d i è la distanza (in modulo) del carrello dall origine della guida; u i è il versore delle guide; l i è la lunghezza dei puntoni; w i è il versore dei puntoni; x sono le coordinate dell end-effector; b i è la distanza tra il punto di attacco superiore dei puntoni e l origine della terna mobile.

17 Capitolo 4. Analisi cinematica 17 R è la matrice di rotazione della piattaforma mobile (che indica come è ruotato il sistema di riferimento dell end-effector rispetto a quello a terra); R= Sistema di riferimento relativo Nel seguito vengono esplicitati i termini descritti sopra rispetto alle tre coordinate del sistema di riferimento assoluto. a 1 = [ 0 a 1 0 ] b 1 = [ r r 3 0 ] u 1 = [ + cos α + sin α 0 ] a = [ 0 +a 0 ] b = [ r +r 3 0 ] u = [ + cos α sin α 0 ] a 3 = [ +a ] b 3 = [ +r 0 0 ] u 3 = [ ] Isolando prima il termine l i w i, di cui è noto il modulo l i ma non la direzione w i ed elevando poi tutto al quadrato si ottiene: a i + d i u i x Rb i = l i w i (a i + d i u i x Rb i )(a i + d i u i x Rb i ) T = ( l i w i )( l i w i ) T (4.) Nel seguito è riportata la risoluzione dell equazione per i = 1 (carrello 1 ): (a i + d i u i x Rb i ) = = [ 0 a 1 0 ] + d 1 [ + cos α + sin α 0 ] [ x y z ] [ r r 3 0 ] = = [ d 1 cos α x + r a 1 + d 1 sin α y + r 3 z ]

18 18 Capitolo 4. Analisi cinematica (a i + d i u i x Rb i )(a i + d i u i x Rb i ) T = ( l i w i )( l i w i ) T l1 = (d 1 cos α x + r 3 ) + ( a 1 + d 1 sin α y + r ) + z l1 = d 1 cos α + [ (x r )] d 1 cos α (x r ) + d 1 sin α + +[ (a 1 + y r 3 )] d 1 sin α (a 1 + y r l1 = d 1 + (x r ) d 1 cos α (x r ) + (a 1 + y r 3 d 1 sin α (a 1 + y r ) + z l1 = d 1 d 1 [cos α (x r ) + sin α (a 1 + y r 3 +(a 1 + y r ) + (x r ) + z 3 ) + z 3 ) 3 )] + Si ottiene un equazione di secondo grado nella variabile d 1 che ha le seguenti soluzioni: [ d 1 = ± cos α [ cos α ( ( x r ) + sin α a 1 + y r ( ( x r ) + sin α a 1 + y r )] )] ( ( x r ) a 1 + y r Con un procedimento analogo a quello descritto sopra è possibile ricavare le 3 ) z + l 1 posizioni dei carrelli relativi all asse e 3: [ ( ( d = cos α x r ) )] 3 + sin α a y r + [ ( ( ± cos α x r ) )] ( 3 ( + sin α a y r x r ) ) 3 a y r z + l d 3 = (a 3 x r) ± l3 y z Dai risultati si nota che esistono due soluzioni per ogni equazione; ciò significa che, per ogni punto del volume di lavoro, ogni carrello può occupare due possibili posizioni.

19 Capitolo 4. Analisi cinematica 19 Figura 4.: Posizioni del carrello 3 in funzione della soluzione scelta Combinando tra loro le varie soluzioni è possibile determinare otto possibili configurazioni di robot, tutte quante valide. Nel nostro caso la configurazione scelta è la numero 7, che significa considerare i segni,, e + rispettivamente per le coordinate d 1, d e d 3. Dalla figura riportata di seguito si nota come la configurazione del nostro robot sia quella che permette di ridurre al minimo il pericolo di interferenza tra le gambe e di ottenere un sistema di forze e coppie maggiormente equilibrato. Figura 4.3: Possibili configurazioni del robot in funzione delle soluzioni scelte

20 0 Capitolo 4. Analisi cinematica 4. Cinematica diretta Con la cinematica diretta si vuole ricavare la posizione della piattaforma mobile a partire da quella dei giunti: dove: x = g(q) x = [ x y z ] = posizione della piattaforma mobile rispetto a al sistema di riferimento fisso; q = [ d 1 d d 3 ] = distanza del carrello dall origine della guida. Solitamente per robot a cinematica parallela non è possibile ricavare delle equazioni della cinematica diretta in forma chiusa, infatti solitamente si ricorre a metodi numerici. Per il caso in questione, data la sua semplicità, è invece possibile determinare anche una soluzione analitica della cinematica diretta utilizzando un approccio di tipo geometrico; in particolare si vuole trovare il punto d intersezione delle tre sfere ricavate facendo ruotare ogni coppia di puntoni rispetto al vincolo sferico del carrello. Anche in questo caso si parte dall equazione di chiusura valida per ognuna delle tre catene cinematiche e risolvendo rispetto x, y, z si ottiene: A 1 + Y 1 y + X 1 x = (x + y + z ) A + Y y + X x = (x + y + z ) A y + X 3 x = (x + y + z ) Dove, per semplificare i passaggi, è stato posto: 3 A 1 = a 1 a 1 d 1 sin α a 1 r + d r 3 1 cos α + d 1r sin α + d 1 + r l1 3 Y 1 = a 1 d 1 sin α r X 1 = d 1 cos α r

21 Capitolo 4. Analisi cinematica 1 3 A = a a d sin α a r + d r 3 cos α + d r sin α + d + r l 3 Y = a + d sin α + r X = d cos α r A 3 = a 3 + a 3 d 3 a 3 r + d 3 d 3 r + r l 3 X 3 = a 3 d 3 + r In questo modo risulta agevole ricavare le equazioni della cinematica diretta risolvendo il sistema di equazioni: x = [A 1 A + (Y 1 Y )(A 3 A )/Y ] (X 1 X ) + (Y 1 Y )(X 3 X )/Y y = A 3 A + X 3 X x Y Y z = [A 3 + X 3 x + x + y ] 4.3 Volume di lavoro Il volume di lavoro del robot è definito da tutti quei punti raggiungibili dall endeffector. Generalmente lo spazio di lavoro di un robot a cinematica parallela ha la forma di una lente biconvessa. Questa conformazione è dovuta ai vincoli di movimento imposto dagli arti ed ai limiti imposti alle corse dei carrelli, che impediscono all end-effector di raggiungere posizioni interne alle sfere centrate sull estremità delle guide prismatiche a raggio pari alla lunghezza dei puntoni. La forma del volume di lavoro del QUAD è simile a quella di un cilindro che si sviluppa lungo la direzione delle guide.

22 Capitolo 4. Analisi cinematica Figura 4.4: Volume di lavoro del robot Il volume di lavoro può essere determinato in due modo: attraverso un approccio geometrico oppure mediante un approccio analitico Metodo geometrico L approccio utilizzato in questo metodo consiste nell analizzare lo spazio di lavoro di ogni singolo link ed ottenere il volume finale considerando la porzione di volume comune a tutti e tre gli assi e derivante dall intersezione dei volumi di lavoro dei vari link ( ad esempio area rossa in fig.4.5). Figura 4.5: Step per la costruzione del volume lavoro per robot a link

23 Capitolo 4. Analisi cinematica Metodo analitico L approccio di tipo analitico invece calcola il volume di lavoro sfruttando le relazioni ricavate dalla cinematica inversa. Si definisce una griglia di punti nello spazio e per ognuno di essi si calcola la posizione assunta dai carrelli; quest ultima, confrontata con le massime e minime posizioni raggiungibili dei carrelli (imposte dalla lunghezza dei moduli lineari), permette di definire se il punto in esame fa parte o meno del volume di lavoro. In realtà per quanto riguarda il volume effettivo di lavoro, bisognerebbe imporre ulteriori limitazioni: valori dello jacobiano: si eliminano quei punti che hanno un valore dello jacobiano tipicamente minore di 1/5 e maggiore di 5; in questo modo si eliminano tutti quei punti che potrebbero portare in singolarità il robot. Figura 4.6: Sezione intera Figura 4.7: Sezione effettiva vincoli relativi ai giunti: meccanicamente i giunti sferici impiegati non permettono ai link una rotazione di 360 o ma una rotazione limitata eventuale interferenza tra i vari elementi

24 4 Capitolo 4. Analisi cinematica 4.4 Punti di Singolarità I punti di singolarità sono punti del volume di lavoro in cui il robot assume una configurazione tale da guadagnare uno o più gradi di libertà, perdendo quindi la sua rigidezza; l elasticità dei vari componenti fa si che la rigidezza del robot tenda a diminuire anche in un intorno dei punti singolari. Per questo motivo il volume di lavoro calcolato nel paragrafo precedente deve essere ridotto, in modo da eliminare le porzioni di volume in cui il P KM tende ad asumere configurazioni singolari. Per poter identificare le configurazioni di singolarità si a fa riferimento alla matrice Jacobiana, che verrà descritta nel capitolo successivo.

25 Capitolo 5 Jacobiano La matrice Jacobiana è un indicatore del comportamento cinematico di un meccanismo (Tsai). Si consideri l equazione di chiusura vettoriale scritta nel capitolo precedente; considerando anche in questo caso con x le coordinate dell end-effector e con q le coordinate dei giunti, l equazione può essere scritta come: f(x, q) = 0 (5.1) Differenziando rispetto al tempo si ottiene: J x ẋ = J q q (5.) dove: J x = f x J q = f q A questo punto è possibile ricavare il vettore q come: dove J è la matrice Jacobiana così definita: q = Jẋ (5.3) J = J 1 q J x (5.4)

26 6 Capitolo 5. Jacobiano Come si può notare la matrice Jacobiana non è altro che il prodotto di due matrici, contenenti ciascuna le derivate parziali della funzione di vincolo f rispetto alle coordinate dei giunti rispetto alle coordinate cartesiane. Si può dimostrare, attraverso il principio dei lavori virtuali, come la matrice Jacobiana rappresenti anche il legame statico tra forze e coppie agenti sull endeffector F e coppie e forze generate dagli attuatori τ : F T δx τ T δq = 0 (5.5) in cui δx e δq sono rispettivamente i vettori degli spostamenti virtuali dell endeffector e degli attuatori. Considerando che δq = Jδx si ha: (F T τ T J)δx = 0 (5.6) Relazione che deve essere verificata per ogni spostamento virtuale. Segue quindi che: F T τ T J = 0 (5.7) F J T τ = 0 (5.8) La matrice Jacobiana costituisce quindi il legame tra i vettori velocità e forza dello spazio fisico e quelli dello spazio dei giunti (rispettivamente (5.3) e (5.8)). Quando si entra in singolarità questa matrice diventa singolare. Gosselin e Angeles studiarono il problema dei punti singolari in strutture a cinamatica chiusa. Di seguito è proposto il loro approccio secondo la notazione usata da Tsai.

27 Capitolo 5. Jacobiano 7 Calcolo della matrice Jacobiana Partendo dalla funzioni implicita f(x, q) = 0 è possibile ricavare la matrice Jacobiana come: J = d 1 x d x d 3 x d 1 y d y d 3 y d 1 z d z d 3 z Dove: d 1 x = cos α [( r + x) cos α + (a 1 r 3 + y) sin α] cos α ( r + x) [( r + x) cos α + (a 1 r 3 + y) sin α] ( r + x) (a 1 r 3 + y) z + l1 d 1 y d 1 z = d x d y d z = = sin α [( = cos α [( r + x) cos α + (a 1 r 3 + y) sin α] sin α (a 1 r 3 + y) [( r + x) cos α + (a 1 r 3 + y) sin α] ( r + x) (a 1 r 3 + y) z + l1 z [( r + x) cos α + (a 1 r 3 + y) sin α] ( r + x) (a 1 r 3 + y) z + l1 r + x) cos α + (a r 3 y) sin α] cos α ( r + x) = sin α+ [( [( r + x) cos α + (a r 3 y) sin α] ( r + x) (a r 3 y) z + l r + x) cos α + (a r 3 y) sin α] sin α (a r 3 y) [( r + x) cos α + (a r 3 y) sin α] ( r + x) (a r 3 y) z + l z [( r + x) cos α + (a r 3 y) sin α] ( r + x) (a r 3 y) z + l d 3 y = d 3 z = d 3 x = 1 y y z + l3 z y z + l3

28 8 Capitolo 5. Jacobiano Singolarità Primo obiettivo della progettazione di robot paralleli è quindi quello di evitare configurazione di singolarità all interno del volume di lavoro, o meglio fare in modo di avere configurazioni di lavoro sufficientemente lontane dai punti di singolarità. infatti, a causa delle imprecisioni di lavorazione e delle cedevolezze degli accoppiamenti meccanici, i robot possono perdere o acquisire gradi di libertà anche in un intorno della effettiva posizione di singolarità. Il determinate della matrice jacobiana fornisce molte informazioni riguardo le singolarità di un robot; infatti la singolarità del determinate rappresenta una singolarità cinematica del robot. Le condizioni in cui si possono quindi manifestare singolarità sono: det(j) = 0 oppure det(j) = dato che: det(ab) = det(a) det(b) (5.9) è possibile scrivere che: det(j) = det(j q ) 1 det(j x ) (5.10) Quando il valore del determinante di J si discosta molto dall unità avvicinandosi a zero (singolarità della cinematica diretta) oppure assume valori molto maggiori di uno (singolarità della cinematica inversa) il robot si sta avvicinando ad una configurazione singolare.

29 Capitolo 6 Dinamica L analisi dinamica del robot può essere, come nel caso della cinematica, diretta oppure inversa: nel primo caso si determinano le forze ed i momenti agenti sull end effector note le coppie applicate ai giunti; nel secondo caso, invece, si ricavano le forze/coppie da applicare ai giunti per contrastare forze applicate all end-effector o comunque esterne al robot. L approccio più utilizzato è quello inverso dato che generalmente quello che si vuole conoscere è la coppia da applicare agli attuatori data una traiettoria con una certa legge di moto. Vi sono due approcci fondamentali per l analisi dinamica, il metodo di Newton- Eulero e il metodo di Lagrange; nel seguito faremo riferimento soltanto a quest ultimo in quanto più elegante e trattabile. Si ricorre alla prima forma delle equazioni di Lagrange, in cui compaiono n equazioni quante sono le coordinate totali del sistema, associate a k moltiplicatori Lagrange; k sono anche le relazioni che esprimono i vincoli che sono da aggiungere alle precedenti n. Ovviamente il numero di gradi di libertà del sistema sarà: gdl = n k

30 30 Capitolo 6. Dinamica Le equazioni di Lagrange possono essere scritte come: ( d L dt q j ) L q j = Q j + k i=1 λ i Γ i q j per j = 1...n (6.1) dove Γ i è l i-esima equazione di vincolo, λ i è l i-esimo moltiplicatore di Lagrange e L è la funzione Lagrangiana: L = K U K = energia cinetica del robot U = energia potenziale del robot L equazione (6.1) viene quindi divisa in due sottogruppi: dal primo gruppo di equazioni si ricavano i moltiplicatori di Lagrange che, sostituiti nel secondo gruppo, permettono di calcolare le forze nello spazio dei giunti. Il primo gruppo (6.) contiene come incognite solo i moltiplicatori di Lagrange: 3 i=1 λ i Γ i q j = d dt ( ) L L q j q ˆQ j per j = 1,, 3 (6.) j Il secondo gruppo (6.3) contiene come incognite aggiunte il contributo delle forze nello spazio dei giunti: Q j = d dt ( ) L q j L q j 3 i=1 λ i Γ i q j per j = 4, 5, 6 (6.3) dove: q 1 = x q = y q 3 = z coordinate end-effector x q 4 = d 1 q 5 = d q 6 = d 3 coordinate carrelli q ˆQ = [ f x f y f z ] forze esterne applicate all end-effector Q = [ f 1 f f 3 ] forze esercitate dagli attuatori

31 Capitolo 6. Dinamica 31 Γ i Γ 1 = Γ = i-esima equazione di vincolo (vedi pag.18) [ ( x + d 1 cos α + r )] [ ( + y + +d 1 sin α a 1 + r [ ( x + d cos α + r )] [ ( + y + d sin α + a r Γ 3 = [ x + (a 3 + d 3 r)] + y + z l 3 = )] + z l 1 = 0 )] + z l = 0 Per poter scriver le equazioni della dinamica bisogna innanzitutto considerare un modello semplificato che schematizzi le distribuzione delle masse del robot: Figura 6.1: Schema delle masse: in verde m g, in rosso m c e m e dove: m g = massa di un giunto m e = massa dell end-effector m c = massa di un carrello m p = massa di un puntone Come si può notare dalla figura tutti gli oggetti in movimento sono schematizzati con delle masse concentrate nel proprio baricentro, tranne per i puntoni per i quali si considera una massa distribuita per tutta la loro lunghezza: m p = l 0 ρadx dove ρ e Adx sono rispettivamente peso specifico e l area della sezione del puntone.

32 3 Capitolo 6. Dinamica In particolare, visto che sono soggette allo stesso campo di moto, è possibile sommare alla massa dei carrelli quella dei due giunti sferici presenti sul carrello e, per lo stesso motivo, alla massa dell end-effector è possibile sommare la massa dei sei giunti sferici alla quale si collegano le tre coppie di puntoni. Energia Cinetica dei Puntoni Come è possibile intuire il generico puntone nello spazio compie una rototraslazione, quindi la sua energia cinetica si calcola come: dove: K p = 1 l ω = ve vc : velocità angolare del puntone v e : velocità dell end-effector v c : velocità del carrello 0 ρa(v c + ωx) dx Nel seguito sono ricavate le energie cinetiche di un singolo puntone per ogni asse, considerando le componenti della velocità lungo le tre direzioni x, y, z. K p1x = 1 ( l ρ A d 1x + ẋ d 1x s) ds = 0 l = 1 [ l ρ A d 1x + s 0 l (ẋ d 1x ) + s ] l d 1x (ẋ d 1x ) ds = = 1 [ ρ A d 1x l + (ẋ d 1x ) l 3 3 l + l ] l d 1x (ẋ d 1x ) = = 1 ( ρ A d 1x + ẋ 3 + d 1x 3 ) 3 ẋ d 1x + ẋ d 1x d 1x = = 1 6 ρ A l (ẋ + d 1x + ẋ d 1x ) = = 1 6 m p (ẋ + d 1 cos α + ẋ d 1 cos α)

33 Capitolo 6. Dinamica 33 K p1y = 1 ( l ρ A d 1y + ẏ d 1y s) ds = 0 l = 1 [ l ρ A d 1y + s 0 l (ẏ d 1y ) + s ] l d 1y (ẏ d 1y ) ds = = 1 [ ρ A d 1y l + (ẏ d 1y ) l 3 3 l + l ] l d 1y (ẏ d 1y ) = = 1 ( ρ A d 1y + ẏ 3 + d 1y 3 ) 3 ẏ d 1y + ẏ d 1y d 1y = = ρ A l (ẏ + d 1y + ẏ d 1y ) = = 1 6 m p (ẏ + d 1 sin α + ẏ d 1 sin α) K p1z = 1 ( l ρ A d 1z + ż d 1z 0 l = 1 ρ A l 0 ż s l ds = = 1 ρ A ż 1 3 l3 l = = 1 6 m p ż s) ds = In modo del tutto analogo a quanto fatto per il puntone 1 si ricava l energia cinetica relativa al puntone ed al puntone 3. K px = 1 ( l ρ A d x + ẋ d x s) ds = 0 l = 1 6 ρ A l (ẋ + d x + ẋ d x ) = = 1 6 m p (ẋ + d cos α + ẋ d cos α) K py = 1 ( l ρ A d y + ẏ d y s) ds = 0 l = 1 6 ρ A l (ẏ + d y + ẏ d y ) = = 1 6 m p (ẏ + d sin α + ẏ d sin α)

34 34 Capitolo 6. Dinamica K pz = 1 l 0 ( ρ A d z + ẏ d z l s) ds = = 1 6 m p ż K p3x = 1 ( l ρ A d 3x + ẋ d 3x s) ds = 0 l = 1 6 ρ A l (ẋ + d 3x + ẋ d 3x ) = 1 6 m p (ẋ + d 3 + ẋ d 3 ) K p3y = 1 ( l ρ A d 3y + ẏ d 3y s) ds = 0 l = 1 6 ρ A l (ẏ + d 3y + ẏ d 3y ) = = 1 6 m p ẏ K p3z = 1 l 0 ( ρ A d 3z + ż d 3z l s) ds = = 1 6 m p ż In conclusione l energia cinetica totale legata ai puntoni è la sommatoria di tutte le energie cinetiche calcolate fino ad ora moltiplicata per due, in quanto per ogni asse si hanno due puntoni. K p = (K p1x + K p1y + K p1z + K px + K py + K pz + K p3x + K p3y + K p3z ) = [ 1 = 6 m p (ẋ + d 1 cos α + ẋ d 1 cos α) m p (ẏ + d 1 sin α + ẏ d 1 sin α) m p ż m p (ẋ + d cos α + ẋ d cos α) m p (ẏ + d sin α ẏ d sin α) m p ż (ẋ + d 3 + ẋ d 3 ) m p ẏ m p ż ] =

35 Capitolo 6. Dinamica 35 = [ ( 1 m p ẋ + 1 m p ẏ m p ż ) m p[ d 1 (sin α + cos α) + d (sin α + cos α) + d 3] m p(ẋ d 1 cos α + ẏ d 1 sin α + ẋ d cos α ẏ d sin α + ẋ d 3 ) = m p (ẋ + ẏ + ż ) m p ( d 1 + d + d 3) m p (ẋ d 1 cos α + ẏ d 1 sin α + ẋ d cos α ẏ d sin α + ẋ d 3 ) ] = Energia Cinetica dell End-Effector K e = 1 (m e + 6 m g ) (ẋ + ẏ + ż ) Energia Cinetica dei Carrelli K c = 1 (m c + m g ) ( d 1 + d + d 3) Energia Cinetica Totale Essendo ora note ora tutte le componenti dell energia cinetica è possibile ricavare l energia cinetica totale come: K T OT = K p + K e + K c ( ) 1 = m e + 3 m g + m p (ẋ + ẏ + ż ) + ( m p + m g + 1 ) m c ( d 1 + d + d 3) m p (ẋ d 1 cos α + ẏ d 1 sin α + ẋ d cos α ẏ d sin α + ẋ d ) 3 Energia Potenziale Per calcolare l energia potenziale del robot si fa riferimento alla schematizzazione delle masse utilizzata per il calcolo dell energia cinetica; quindi rispetto al sistema

36 36 Capitolo 6. Dinamica di riferimento assoluto si ricava: U = m e g z + 6 m g g z + 6 m p g z = = z g (m e + 6 m g + 3 m p ) Funzione Lagrangiana L = K T OT U = = ( ) 1 m e + 3 m g + m p (ẋ + ẏ + ż ) ( m p + m g + 1 ) m c ( d 1 + d + d 3) m p (ẋ d 1 cos α + ẏ d 1 sin α + ẋ d cos α ẏ d sin α + ẋ d 3 ) + z g (m e + 6 m g + 3 m p ) Derivate della Funzione Lagrangiana L A questo punto, essendo nota la funzione L, è possibile ricavare tutti i termini necessari per la scrittura del sistema di equazioni secondo la notazione lagrangiana. ( ) d L = d dt ẋ dt ( ) d L dt ẏ ( ) d L dt ż [ ( ) 1 ẋ m e + 3 m g + m p m p ( d 1 cos α + d cos α + d ) ] 3 = = (m e + 6 m g + m p ) ẍ m p ( d1 cos α + d cos α + d 3 ) = d dt [ ( ) 1 ẏ m e + 3 m g + m p m p ( d 1 sin α d sin α )] = = (m e + 6 m g + m p ) ÿ m p sin α ( d1 d ) = d [ ( )] 1 ż dt m e + 3 m g + m p = = (m e + 6 m g + m p ) z ( ) d L dt d 1 = d [ d dt ( m p + m g + 1 ) m c + 1 ] 3 m p (ẋ cos α + ẏ sin α) = ( ) = 3 m p + m g + m c d m p (ẍ cos α + ÿ sin α)

37 Capitolo 6. Dinamica 37 ( ) d L dt d ( ) d L dt d 3 = d [ d dt ( 1 3 m p + m g + 1 ) m c + 1 ] 3 m p (ẋ cos α ẏ sin α) = ( ) = 3 m p + m g + m c d m p (ẍ cos α ÿ sin α) = d [ d dt ( m p + m g + 1 ) m c + 1 ] 3 m p ẋ = ( ) = 3 m p + m g + m c d m p ẍ Derivate delle Funzioni di Vincolo L x = 0 L y = 0 L z = g (m e + 6 m g + 3 m p ) L d 1 = 0 L d = 0 L d 3 = 0 [ ( Γ 1 = x d 1 cos α + r )] x [ ( )] Γ 1 3 = y d 1 sin α a 1 + r y Γ 1 = z z [ ( Γ 1 = x + d 1 cos α + r )] [ ( )] 3 cos α + y + d 1 sin α a 1 + r sin α d 1 Γ 1 d = 0 Γ 1 d 3 = 0 Γ x = [ ( x d cos α + r )]

38 38 Capitolo 6. Dinamica [ ( )] Γ 3 = y d sin α + a r y Γ z = z Γ = 0 d 1 [ ( Γ = x + d cos α + r )] [ ( )] 3 cos α + y + d sin α + a r ( sin α) d Γ d 3 = 0 Γ 3 x = [x (a 3 + d 3 r)] Γ 3 y = y Γ 3 z = z Γ 3 d 1 = 0 Γ 3 d = 0 Γ 3 d 3 = [ x + (a 3 + d 3 r)] Calcolo dei moltiplicatori di Lagrange A questo punto essendo noti tutti i termini è possibile risolvere il problema della dinamica attraverso la scrittura dei due gruppi di equazioni descritti ad inizio capitolo (vedi pag. 30). 3 i=1 λ i Γ i q j = d dt ( ) L q j L q j ˆQ j per j = 1,, 3 j = 1 q 1 = x λ 1 Γ 1 x + λ Γ x + λ 3 Γ 3 x = d ( ) L L dt ẋ x f x

39 Capitolo 6. Dinamica 39 ( λ 1 [x d 1 cos α + r )] [ ( + λ x d cos α + r )] + λ 3 [x (a 3 + d 3 r)] = = (m e + 6 m g + m p ) ẍ + 1 ( 3 m p d1 cos α + d cos α + d ) 3 f x j = q = y λ 1 Γ 1 y + λ Γ y + λ 3 Γ 3 y = d ( ) L L dt ẏ y f y ( )] [ ( )] 3 3 λ 1 [y d 1 sin α a 1 + r + λ y d sin α + a r + λ 3 y = = (m e + 6 m g + m p ) ÿ + 1 ( 3 m p sin α d1 d ) f y j = 3 q 3 = z λ 1 Γ 1 z + λ Γ z + λ 3 Γ 3 z = d ( ) L L dt ż z f z λ 1 z + λ z + λ 3 z = (m e + 6 m g + m p ) z + (m e + 6 m g + 3 m p ) g f z Riscrivendo il sistema in forma matriciale: [H] [λ] = [F ] [x (d 1 cos α + r )] [x (d cos α + r )] [x (a 3 + d 3 r)] [H]= [y (d 1 sin α a 1 + r 3 )] [y ( d sin α + a r 3 )] y z z z (m e + 6 m g + m p ) ẍ m p ( d 1 cos α + d cos α + d 3 ) f x [F ]= (m e + 6 m g + m p ) ÿ m p sin α ( d 1 d ) f y (m e + 6 m g + m p ) z + (m e + 6 m g + 3 m p ) g f z [λ]= λ 1 λ λ 3

40 40 Capitolo 6. Dinamica Quindi per ricavare i moltiplicatori di Lagrange basta risolvere il sistema: [λ] = [H] 1 [F ] Calcolo delle Forze Richieste ai Carrelli Dalla risoluzione di questo gruppo di equazioni si ricavano i valori delle tre forze dirette lungo x che devono essere date al carrello per poter eseguire la traiettoria con la legge di moto desiderata. Q j = d dt Per j = 4 q 4 = d 1 ( ) L q j L q j 3 i=1 λ i Γ i q j perj = 4, 5, 6 f 1 = ( ) 3 m p + m g + m c d m p (ẍ cos α + ÿ sin α) + { [ ( λ 1 x + d 1 cos α + r )] [ ( )] } 3 cos α + y + d 1 sin α a 1 + r sin α Per j = 5 q 5 = d f = ( ) 3 m p + m g + m c d m p (ẍ cos α ÿ sin α) + { [ ( λ x + d cos α + r )] [ ( )] } 3 cos α y + d sin α + a r sin α Per j = 6 q 6 = d 6 f 3 = ( ) 3 m p + m g + m c d m p ẍ λ 3 [ x + (a 3 + d 3 r)] A questo punto, note le forze che bisogna imporre ai carrelli, è possibile ricavare il profilo di coppia richiesto al motore di ogni asse.

41 Capitolo 6. Dinamica Dinamica completa La stesura delle equazioni utilizzate per la risoluzione della dinamica, fanno riferimento ad un modello semplificato del sistema che non considera l effetto legato alla dinamica della trasmissione: motore, riduttore, giunto e puleggia (vedi fig.7.1). Figura 6.: Schema della trasmissione J m = momento d inerzia del motore ω m = velocità angolare del motore J r = momento d inerzia del riduttore all albero d ingresso ω m = velocità angolare ridotta τ = rapporto di riduzione del riduttore (τ < 1) J g = momento d inerzia del giunto J p = momento d inerzia della puleggia r p = raggio della puleggia Di seguito sono riportate le relazioni che legano la velocità della trasmissione a quella del carrello: ω m = ω r τ d ω r = i d = ω m = i r p τ r p Per quanto riguarda i componenti della trasmissione si considera che ogni asse abbia gli stessi componenti, quindi le inerzie e le altre caratteristiche sono le medesime per ogni asse.

42 4 Capitolo 6. Dinamica Energia Cinetica della Trasmissione K m1 = 1 ( J m ω m + J r ω m + J g ω r + J p ω r = 1 [ d 1 (J m + J r ) + (J τ rp g + J p ) = 1 [ d (Jm + J r ) 1 + (J τ rp g + J p ) 1 ] rp d ] 1 rp Per gli assi e 3 si trovano delle relazioni del tutto simili (sono le stesse a meno dell accelerazione del carrello): ) = = Energia Cinetica Totale K m = 1 [ d (Jm + J r ) + (J τ rp g + J p ) 1 ] rp K m3 = 1 [ d (Jm + J r ) 3 + (J τ rp g + J p ) 1 ] rp K T OT = K p + K e + K c + K m = ( ) 1 = m e + 3 m g + m p (ẋ + ẏ + ż ) + [ m p + m g + 1 m c + (J ] m + J r ) 1 + (J τ rp g + J p ) rp ( d 1 + d + d 3) m p (ẋ d 1 cos α + ẏ d 1 sin α + ẋ d cos α ẏ d sin α + ẋ d 3 ) Funzione Lagrangiana L L = K T OT U = ( ) 1 = m e + 3 m g + m p ) (ẋ + ẏ + ż + [ m p + m g + 1 m c + (J ] m + J r ) 1 + (J τ rp g + J p ) rp ( d 1 + d + d 3) +

43 Capitolo 6. Dinamica m p (ẋ d 1 cos α + ẏ d 1 sin α + ẋ d cos α ẏ d sin α + ẋ d 3 ) + z g (m e + 6 m g + 3 m p ) Derivate della Funzione Lagrangiana L Le uniche derivate che variano nel caso completo sono quelle relative alle coordinate dei giunti, visto che l energia cinetica è funzione solamente di d. ( ) d L dt d 1 = d dt = [ d 1 ( 1 3 m p + m g + 1 m c + (J m + J r ) τ rp ] m p (ẋ cos α + ẏ sin α) = ) 1 + (J g + J p ) rp + ( ) 3 m p + m g + m c + (J m + J r ) τ rp + (J g + J p ) 1 rp d m p (ẍ cos α + ÿ sin α) ( ) d L dt d = d dt = [ d ( 1 3 m p + m g + 1 m c + (J m + J r ) τ rp ] m p (ẋ cos α ẏ sin α) = ) 1 + (J g + J p ) rp + ( ) 3 m p + m g + m c + (J m + J r ) τ rp + (J g + J p ) 1 rp d m p (ẍ cos α ÿ sin α) ( ) d L dt d 3 = d dt = [ d 3 ( 1 3 m p + m g + 1 m c + (J m + J r ) τ rp + (J g + J p ) ) ( 3 m p + m g + m c + (J m + J r ) τ rp + (J g + J p ) 1 rp 1 r p ) d m p ẍ m p ẋ ] = Calcolo delle Forze Richieste ai Carrelli L introduzione del modello della trasmissione, andando a variare soltanto le derivate appena scritte sopra, porta a riscrivere soltanto le equazioni della dinamica del secondo gruppo.

44 44 Capitolo 6. Dinamica Per j = 4 q 4 = d 1 ( f 1 = 3 m p + m g + m c + (J m + J r ) τ rp + (J g + J p ) 1 ) rp d m p (ẍ cos α + ÿ sin α) + λ 1 {[ x + (d 1 cos α + r } 3 )] cos α + [ y + (d 1 sin α a 1 + r )] sin α Per j = 5 q 5 = d ( f = 3 m (J m + J r ) p + m g + m c τ rp + (J g + J p ) 1 ) rp d m p (ẍ cos α ÿ sin α) + λ {[ x + (d cos α + r } 3 )] cos α [ y + ( d sin α + a r )] sin α Per j = 6 q 6 = d 3 ( f 3 = 3 m (J m + J r ) p + m g + m c τ rp + (J g + J p ) 1 ) rp d m p ẍ λ 3 [ x + (a 3 + d 3 r)]

45 Capitolo 7 Scelta della trasmissione Nel caso del QUAD per trasmissione si intendo quel gruppo formato da motore, riduttore, giunto e modulo lineare a cinghia; si procede inizialmente con la scelta del motore e del riduttore per poi proseguire con la scelta del giunto. Per quanto riguarda il modulo lineare si tratta soltanto di verificare le caratteristiche della guida lineare. La scelta del gruppo motore e riduttore richiede normalmente alcune iterazioni in cui si ipotizzano delle soluzioni, si verifica la bontà della scelta ed eventualmente si ripetono scelta e verifica fino all individuazione di una soluzione soddisfacente. L operazione di verifica consiste nel controllare che il campo operativo del motore copra quello del carico sia per quanto riguarda le condizioni di regime che quelle di transitorio. L operazione di scelta può richiedere scelte soggettive e talvolta deve essere svolta in forma iterativa: da un analisi del sistema ed in base ai risultati ottenuti si scelgono motore e riduttore; se questi ultimi non risultano verificati è necessario scegliere una nuova combinazione motore-riduttore e rieseguire le verifiche. Per ottimizzare il sistema la scelta del motore e del riduttore deve avvenire contemporaneamente.

46 46 Capitolo 7. Scelta della trasmissione 7.1 Analisi del Sistema Per la scelta del motore e del corretto rapporto di trasmissione è necessario partire dal bilancio di potenza del sistema rappresentato in figura. Figura 7.1: Schema della trasmissione J m =momento d inerzia del motore ω m =velocità angolare del motore J r =momento d inerzia del riduttore all albero d ingresso ω m =velocità angolare ridotta τ=rapporto di riduzione del riduttore (τ < 1) J g =momento d inerzia del giunto J p =momento d inerzia della puleggia r p =raggio della puleggia Di seguito sono riportate le relazioni che legano velocità e accelerazione della trasmissione a quelle del carrello; questo permette di scrivere il bilancio di potenza ridotto al carrello. ω m = ω r τ ω m = ω r τ d ω r = i d = ω m = i (7.1) r p τ r p ω r = d i = ω m = r p d i τ r p (7.) Bilancio di potenze C m ω m J m ω m ω m J r ω m ω m J g ω r ω r J p ω r ω r m d i d i = 0 (7.3)

47 Capitolo 7. Scelta della trasmissione 47 Sostituendo le relazioni (7.) e (7.) nella (7.3): C m d i τ r p (J m + J r ) d i d i τ rp (J g + J p ) d i d i rp m d i d i = 0 (7.4) Raccogliendo i vari termini rispetto a d i si ottiene la relazione della coppia motrice da applicare al carrello i-esimo: C m = Condizioni di verifica ( Jm + J r + τ (J ) g + J p ) + τ r p m τ r p r d i (7.5) p Nella scelta del motore dovranno essere verificate le seguenti condizioni: Coppia istantanea C m C p Coppia termica C m,rms C n Velocità massima ω r,max ω m,max Rapporto di trasmissione ottimo Il rapporto di trasmissione ottimo τ OT T IMO è quel valore che permette di minimizzare la coppia motrice C m pur mantenendo invariata l accelerazione dei carrelli di. Da un punto di vista analitico equivale a dire: C m τ = 0 (7.6) [ ( Jm + J r 1 ) r p τ + (J ] g + J p ) + m r p r d i = 0 (7.7) p L equazione (7.7) risulta verificata per la soluzione banale d i = 0 oppure quando si annulla il primo termine: (7.8) τ J m + J r = (J g + J p ) + m rp J m + J r τ OT T IMO = (J g + J p ) + m rp (7.9) (7.10)

48 48 Capitolo 7. Scelta della trasmissione indicando con: J m = (J m + J r ) inerzia equivalente lato motore J res = (J g + J p ) + m r p inerzia equivalente lato carico Jm τ OT T IMO = (7.11) J res 7.1. Fattore Accelerante e Fattore Cinetico Inserendo nell equazione della coppia motrice (7.5) il τ OT T IMO e sviluppando i passaggi è possibile descrivere la relazione tra lato motore e lato carico attraverso due coefficienti chiamati fattori acceleranti: [ J m + J r C m = + τ OT T IMO (J ] g + J p ) + τ OT T IMO r p m τ OT T IMO r p r d i = p [ Jm + J r Jres Jm = r p Jm + (J ] g + J p ) Jm + r p m J res r p J d i = res J res = J m + J r Jres Jm r p Jm + 1 {}}{ (J g + J p + m r J res r p) d i = p = ( J m J res r p + J m J ) res d i r p C m = Jm r J res d i (7.1) p La relazione sopra può essere riscritta come: dove: F m = fattore accelerante motore F r = fattore accelerante carico C m = J J res }{{ m r d i (7.13) p }{{}} F r F m

49 Capitolo 7. Scelta della trasmissione Condizioni di verifica con τ OT T IMO La prima scelta dei motori viene eseguita considerando come rapporto di trasmissione il τ OT T IMO e valutando la verifica delle tre condizioni riportate nel seguito. In questo modo è possibile fare una prima selezione dei motori che sembrano più idonei all applicazione. Verifica Coppia Massima C p = coppia di picco del motore C p C rmax (7.14) C rmax = coppia resistente massima Quindi la condizione che deve essere verificata è: C p J J res }{{ m r d i,max (7.15) p }{{}} F r,max F m,max F m,max r p F r,max (7.16) Verifica Termica C rrms = = 1 T T 0 1 T T 0 C n C rrms (7.17) C mdt = Jm r J res p ( ) Jm r J res d i dt p 1 T T 0 = Jm r J res d irms p d i dt

50 50 Capitolo 7. Scelta della trasmissione C n Jm r J res d irms p C n J m }{{} F S1 r p J res d irms }{{} F r,rms F S1 = fattore accelerante continuativo F r,rms = fattore accelerante quadratico medio lato carico Quindi la condizione che deve essere verificata è: F S1 r p F r,rms (7.18) Verifica Velocità ω m,max ω r,max (7.19) Scrivendo la velocità dei carrelli riportata al motore (in termini di velocità angolare): ω r = è possibile scrivere la condizione di verifica come: d i τ OT T IMO r p (7.0) ω m,max d i,max τ OT T IMO r p ω m,max d i,max r p ω m,max Jm }{{} E m Jres J m 1 r p d i,max J res }{{} E r E m = fattore cinetico motore E r = fattore cinetico carico Quindi la condizione finale che deve essere verificata è la seguente: E m 1 r p E r (7.1)

51 Capitolo 7. Scelta della trasmissione Condizioni di verifica con τ REALE Le verifiche finali del motore considerano il rapporto di trasmissione reale τ REALE che è scelto in funzione dei riduttori disponibili sul mercato; in generale si adotta un τ REALE circa volte quello ottimo (questa relazione viene espressa tramite il coefficiente σ). In questo modo è possibile sfruttare motori di taglia più piccola (potenza nominale inferiore). σ = τ REALE τ OT T IMO (7.) C m = = = = = [ Jm + J r + τ REALE (J ] g + J p ) + τ REALE r p m τ REALE r p r d i = p [ J m + J r + σ τ OT T IMO (J ] g + J p ) + σ τ OT T IMO r p m r p σ τ OT T IMO r d i = p J m {}}{ J res J m + J r + 1 {}}{ σ τ OT T IMO ( J g + J p + r p m) r p σ τ OT T IMO r d i = p [ J m J res r p σ J m + 1 σ r p [ J m J res + 1 σ r p σ r p ] Jm J res J res J m J res ] d i d i = C m = 1 ( ) 1 r p σ + σ Jm J res d i C m J m }{{} F m Si nota che ponendo σ = 1 si ottiene la (7.13). = 1 ( ) 1 r p σ + σ J res d }{{} i (7.3) F r Verifica Coppia Massima F m,max 1 ( ) 1 r p σ + σ F r,max (7.4)

52 5 Capitolo 7. Scelta della trasmissione Verifica Termica F S1 1 ( ) 1 r p σ + σ F r,rms (7.5) Verifica Velocità E m 1 ( ) 1 E r (7.6) r p σ Nella scelta del motore i il fattore accelerante e quello cinetico del carico rimangono costanti, quindi per una rappresentazione grafica risulta più opportuno considerare i seguenti termini per quanto riguarda il lato motore: ( ) σ F m,max = F m,max σ + 1 ( ) σ F S1 = F S1 σ + 1 E m = E m σ In questo modo le condizioni di verifica possono essere riscritte come: Verifica Coppia Massima F m,max 1 r p F r,max (7.7) Verifica Termica F S1 1 r p F r,rms (7.8) Verifica Velocità E m 1 r p E r (7.9)

53 Capitolo 7. Scelta della trasmissione Scelta motore-riduttore Facendo riferimento a quanto scritto nel paragrafo precedente, nel caso pratico il procedimento di scelta del motore è stato condotto considerando la traiettoria classica ed ipotizzando noti i dati relativi al riduttore. In particolare sono stati considerati tre riduttori presenti sul mercato (riduttori AlphaLP + 050) con rapporto di riduzione i pari a 4, 7, 10. Definita una gamma di motori si calcola per ognuno di essi il rapporto di trasmissione ottimo τ OT T IMO ed il coefficiente σ in modo da poter valutare le tre condizioni descritte sopra (vedi equazioni (7.7), (7.8) e (7.9)); questa procedura viene ripetuta per ogni riduttore. Considerando l asse che lavora in condizioni più gravose, si riportano nel seguito i diagrammi nel piano E F riguardo i motori considerati. Figura 7.: Verifica motori per τ = 0.5

54 54 Capitolo 7. Scelta della trasmissione Figura 7.3: Verifica motori per τ = 0.14 Come si nota dalle figure sopra riportate il comportamento del motore al variare del riduttore cambia notevolmente: in generale all aumentare del rapporto di riduzione il motore deve aumentare la velocità per poter soddisfare la verifica cinetica; d altra parte al diminuire di τ il motore deve fornire meno coppia a parità di quella resistente, quindi il vincolo sul fattore accelerante è maggiormente verificato. Analizzando i grafici il motore (Mavilor BLS-55) accoppiato ad un riduttore con τ = 0.5 (σ =.3) permette di soddisfare con un certo margine le tre condizioni di verifica; in questo modo ci si cautela da eventuali effetti dissipativi o picchi che

55 Capitolo 7. Scelta della trasmissione 55 Figura 7.4: Verifica motori per τ = 0.1 potrebbero manifestarsi durante il funzionamento del robot. Riassumendo, la procedura generale di scelta della coppia motore riduttore, è costituita dai seguenti passi: 1. Scrittura del bilancio di potenza del sistema semplificato ricavando l equazione della coppia motrice. Definizione del rapporto di trasmissione τ OT T IMO 3. Definizione di una gamma di motori 4. Definizione di una gamma di riduttori 5. Calcolo del parametro σ relativa a ciascuna coppia riduttore 6. Considerare coppia motore riduttore con σ 3 7. Valutazione delle condizioni di verifica attraverso i fattori acceleranti e cinetici e relativo plottaggio su piano E-F 8. Scelta della coppia motore riduttore più vicina ai limiti legati al carico 9. Scrittura del bilancio di potenza del sistema completo (inerzie motori, riduttori e giunti scelti)

56 56 Capitolo 7. Scelta della trasmissione 10. Ripetere i punti e 5 e valutare le condizioni di verifica

57 Capitolo 7. Scelta della trasmissione Verifica Forze Carrelli Figura 7.5: Schema delle forze agenti sui puntoni Nel seguito si considera il seguente cambio di variabili: ang z = θ z ang x = θ x Facendo riferimento alla fig.(7.5) si scrivono ora gli equilibri alla rotazione e traslazione dell end effector rispetto le tre coordinate x, y, z. F x = 0 F 11 cos β cos γ 1 F 1 cos β cos γ 1 F 1 cos β cos γ F cos β cos γ + +F 31 cos β cos γ 3 + F 3 cos β cos γ 3 = ẍ (m e + 6 m g ) + f xe F y = 0 F 11 cos β sin γ 1 F 1 cos β sin γ 1 + F 1 cos β sin γ + F cos β sin γ + +F 31 cos β sin γ 3 + F 3 cos β sin γ 3 = ÿ (m e + 6 m g ) + f ye

58 58 Capitolo 7. Scelta della trasmissione F z = 0 F 11 sin β F 1 sin β F 1 sin β F sin β + F 31 sin β sin γ 3 + F 3 sin β = z (m e + 6 m g ) (m e + 6 m g ) g + f ze M x = 0 [ ( 3 F 11 sin β r + b ) ( ) ] r cos θ z cos θ x + F 11 cos β sin γ 1 br sin θ x + [ ( 3 + F 1 sin β r b ) ( ) ] r cos θ z cos θ x F 1 cos β sin γ 1 br sin θ x + [ ( ) ( ) ] 3 + F 1 sin β r F 1 cos β sin γ br + + [ F sin β ( r + b r cos θ z cos θ x 3 b r cos θ z cos θ x ) + F ( sin θ x ) ] cos β sin γ br sin θ x + F 31 br sin β + F 3 br sin β = M xe M y = [ ( r F 11 sin β b ) ( )] r sin θ z cos θ x F 11 cos β cos γ 1 br sin θ x + [ ( r F 1 sin β + b ) ( )] r sin θ z cos θ x + F 1 cos β cos γ 1 br sin θ x + [ ( r F 1 sin β b ) ( )] r sin θ z cos θ x F 1 cos β cos γ br sin θ x + [ ( r F sin β + b ) ( )] r sin θ z cos θ x + F cos β cos γ br sin θ x + F 31 sin β r F 3 sin β r = M ye M z = 0 [ ( r F 11 cos β sin γ 1 b ) ( )] r 3 sin θ z cos θ x F 11 cos β cos γ 1 r + b r cos θ z cos θ x + [ ( r + F 1 cos β sin γ 1 + b ) ( )] r 3 sin θ z cos θ x F 1 cos β cos γ 1 r b r cos θ z cos θ x + [ ( r + F 1 cos β sin γ b ) ( )] r 3 sin θ z cos θ x + F 1 cos β cos γ r + b r cos θ z cos θ x + [ ( r + F cos β sin γ + b ) ( )] r 3 sin θ z cos θ x + F cos β cos γ r b r cos θ z cos θ x + + F 31 cos β cos γ 3 br + F 31 cos β sin γ 3 r F 3 cos β cos γ 3 br + F 3 cos β sin γ 3 r = M ze

59 Capitolo 7. Scelta della trasmissione 59 Si ottiene un sistema di 6 equazioni nelle 6 incognite F 11, F 1, F 1, F, F 31, F 3 : Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0 Mx = 0 My = 0 Mz = 0 Note queste ultime e scrivendo gli equilibri alla traslazione e rotazione di ogni singolo carrello rispetto le coordinate x c, y c, z c è possibile ricavare le forze ed i momenti agenti su ciascuno di essi. f 1x = (F 11 + F 1 ) cos β cos γ 1 f 1y = (F 11 + F 1 ) cos β sin γ 1 f 1z = (F 11 + F 1 ) sin β f x = (F 1 + F ) cos β cos γ f y = ( F 1 + F ) cos β sin γ f z = (F 1 + F ) sin β f 3x = (F 31 + F 3 ) cos β cos γ 3 f 3y = (F 31 + F 3 ) cos β sin γ 3 f 3z = (F 31 + F 3 ) sin β ( ) M 1x = (F 11 F 1 ) sin β br cos θ z cos θ x cos β sin γ 1 br sin θ x ( ) M 1y = (F 11 F 1 ) sin β br sin θ z cos θ x + cos β cos γ 1 br sin θ x

60 60 Capitolo 7. Scelta della trasmissione ( ) M 1z = F 11 cos β cos γ 1 br cos θ z cos θ x cos β sin γ 1 br sin θ z cos θ x + ( ) +F 1 cos β cos γ 1 br cos θ z cos θ x + cos β sin γ 1 br sin θ z cos θ x ( ) M x = (F 1 F ) sin β br cos θ z cos θ x + cos β sin γ br sin θ x ( ) M y = (F 1 F ) sin β br sin θ z cos θ x + cos β cos γ br sin θ x ( ) M z = F 1 cos β sin γ br sin θ z cos θ x + cos β cos γ br cos θ z cos θ x + +F ( cos β sin γ br sin θ z cos θ x cos β cos γ br cos θ z cos θ x M 3x = (F 31 F 3 ) br sin β M 3y = 0 M 3z = (F 31 F 3 ) b r cos β cos γ 3 Si ricorda che i valori degli angoli θ z e θ x sono rispettivamente 35 o e 0 o. ) Noti a questo punto i valori delle forze e dei momenti agenti sui carrelli è possibile verificare se il gruppo guida lineare carrello è in grado di sopportare i carichi agenti.

61 Capitolo 8 Risultati Ottenuti Nel seguito sono riportati i risultati relativi alla cinematica e dinamica del robot ottenuti dalle simulazioni in M atlab e Adams. Quest ultimo è stato utilizzato come strumento di validazione del modello matematico (relazioni descritte nei precedenti capitoli) implementato in M atlab. Come descritto nel capitolo 3 sono state considerate per le simulazioni due tipologie di traiettorie (vedi fig.(3.) e (3.3)) realizzate con una legge di moto 1/3, 1/3, 1/3 e con tempo di ciclo pari ad 1s.

62 6 Capitolo 8. Risultati Ottenuti 8.1 Matlab Traiettoria classica Traiettoria imposta all end-effector Figura 8.1: Grafici end-effector lungo X Figura 8.: Grafici end-effector lungo Y

63 Capitolo 8. Risultati Ottenuti 63 Figura 8.3: Grafici end-effector lungo Z Legge di moto ricavata sui carrelli Figura 8.4: Grafici carrello 1

64 64 Capitolo 8. Risultati Ottenuti Figura 8.5: Grafici carrello Figura 8.6: Grafici carrello 3

65 Capitolo 8. Risultati Ottenuti 65 Forze motrici in direzione X da imporre ai carrelli Figura 8.7: Grafici forze carrelli

66 66 Capitolo 8. Risultati Ottenuti 8.1. Traiettoria composta Traiettoria imposta all end-effector Figura 8.8: Grafici end-effector lungo X Figura 8.9: Grafici end-effector lungo Y

67 Capitolo 8. Risultati Ottenuti 67 Figura 8.10: Grafici end-effector lungo Z Legge di moto ricavata sui carrelli Figura 8.11: Grafici carrello 1

68 68 Capitolo 8. Risultati Ottenuti Figura 8.1: Grafici carrello Figura 8.13: Grafici carrello 3

69 Capitolo 8. Risultati Ottenuti 69 Forze motrici in direzione X da imporre ai carrelli Figura 8.14: Grafici forze carrelli

70 70 Capitolo 8. Risultati Ottenuti 8. Adams La simulazione in Adams può far riferimento ad un modello direttamente creato in questo ambiente oppure ad uno ottenuto importando il modello realistico creato in Solid Edge. La scelta è ricaduta su quest ultimo modello in quanto permette di essere più attinente alla realtà sia per quanto riguarda la distribuzione delle masse, sia per quanto riguarda l aspetto grafico; inoltre risulta essere più facile ed intuitivo il posizionamento dei vincoli e la creazione del modello nel suo insieme. Figura 8.15: Passaggio del modello da Solid Edge ad Adams

71 Capitolo 8. Risultati Ottenuti 71 Figura 8.16: Confronto delle forze ottenute in Matlab e Adams classica Figura 8.17: Confronto delle forze ottenute in Matlab e Adams composta Come è possibile notare dalle figure è possibile considerare le simulazioni realizzate in Matlab attendibili, in quanto i profili ottenuti in Adams sono sovrapponibili con un margine di errore limitato (vedi figure 8.18, 8.19).

72 7 Capitolo 8. Risultati Ottenuti Figura 8.18: Errore delle forze ottenute in Matlab e Adams classica Figura 8.19: Errore delle forze ottenute in Matlab e Adams composta L errore tra le due simulazioni può essere legato a diversi aspetti uno dei quali è dovuto alle posizioni dei baricentri del modello reale che non corrispondono esattamente a quelle del modello teorico considerato in Matlab; i picchi di errore sono dovuti principalmente alla repentina variazione del profilo di accelerazione ed alla diversa velocità di risposta dei solutori a questo cambiamento.

73 Capitolo 8. Risultati Ottenuti Mappe Prestazionali Al fine di identificare il campo di utilizzo del robot sono state ricavate da Matlab alcune mappe prestazionali; se ne riportano a titolo d esempio quelle relative alle massime distanze percorribili in X e Z a parità di tempo ciclo T c e distanza in Y (0.m). Figura 8.0: Mappa prestazionale per traiettoria classica Figura 8.1: Mappa prestazionale per traiettoria composta