Matematica - Farmacia Modelli o tracce di alcuni esercizi assegnati e/o svolti in aula

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1 Matematica - Farmacia Modelli o tracce di alcuni esercizi assegnati e/o svolti in aula Esercizio. Stabilire quali, tra le seguenti applicazioni f (in cui A è il dominio e B il codominio, e x è un elemento di A) sono iniettive, quali suriettive, quali biiettive: a) A ={ mesi dell anno}, B={ lettere dell alfabeto italiano }, f(x) =lettera con cui inizia il nome di x; b) A={ cittadini di una nazione }, B={ codici fiscali}, f(x) = codice fiscale di x. Esercizio 2. Una funzione pari è tale che (A) non esistono funzioni pari che siano periodiche in tutto il loro dominio (B) è iniettiva in tutto il suo dominio (C) non esistono funzioni pari che siano definite su tutto l asse reale (D) è sempre definita in [ T, T ] (E) nessuna delle precedenti affermazioni è vera Esercizio. Dati i grafici seguenti (v. figura), scrivere le funzioni f 2, f, f 4, f, f 6 in termini di f, individuado la trasformazione corrispondente operata sul grafico di f. Figura : Grafici delle funzioni dell esercizio. Esercizio 4. Risolvere, al variare del parametro k, i seguenti sistemi lineari, sia con la regola di Cramer, se applicabile, sia per sostituzione: { x y = 2 kx + y = k S : S 2kx + ky = k R 2 : kx + y + z = k R 2x + 2z = k Svolgimento. S 2. Dalla prima equazione si ha x = 2 + y; ()

2 2 sostituendo questa nella terza equazione si ha sostituendo (4) e () nella seconda equazione si ha z = k/2 + 2 y; (2) y = (k 6)/[2(k 2)] k 2; () da qui, sostituendo () in (4) e (), si ha x = (2 k)/[2(k 2)], z = [(k + 2)(k )]/[2(k 2)]. Usando la regola di Cramer, invece, si ha, per k 2: k 0 2 x = = 2 k k 2 k 2 y = = k 6 k 2 0 k (k + 2)(k ) z = = 0 2(k 2) 0 2(k 2) 0 2(k 2) k k k Per k = 2 il sistema diviene x y = 2 Γ : 2x + y + z = 2x + 2z = 2 k R { x y = 2 equivalente, ad esempio, a σ : ottenuto da Γ prendendo righe e colonne 2x + y + z = k R corrispondenti a un determinate di ordine inferiore a non nullo; σ ha soluzione (x, y, z) = ( z, 7 z, z), z R. Esercizio. a) Sia fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano. Siano dati i tre punti P = (4, ), Q = (, 2) e R k = (0, k), con k parametro reale. Determinare i valori di k che rendono il triangolo P QR k rettangolo in Q. b) Sia fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano. Siano dati i tre punti P = (2, ), Q = (, ) e R k = (0, k), con k parametro reale. Determinare i valori di k che rendono il triangolo P QR k rettangolo in Q. Svolgimento. a) Il triangolo P QR k rettangolo in Q se e solo se la retta r passante per P e Q ortogonale alla retta s passante per Q e R k. La retta r è parallela al vettore (4, ) (, 2) = (, ), mentre la retta s è parallela al vettore (0, k) (, 2) = (, k 2). La retta r e s sono ortogonali se e solo questi due vettori sono ortogonali cio se e solo se il loro prodotto scalare (, ), (k 2, ) = k si annulla, il che avviene se e solo se k =. Esercizio 6. Siano P = (, 2, ), Q = (2, 2, ) e R = (2,, 2) tre punti dello spazio; quali sono i più vicini tra loro? Svolgimento. Dati i punti A = (a, b, c) e B = (e, f, g), il segmento orientato che unisce i due punti è AB = (e a, f b, g c); la distanza tra A e B è data da d(a, B) = AB = (e a) 2 + (f b) 2 + (g c) 2. Essendo d(p, Q) =, d(p, R) =, d(q, R) = 0, i punti più vicini tra loro sono P e Q. Esercizio 7. Determinare la direzione e il verso dei vettori v = (, ), v 2 = (, ), v = (, 6). Determinare la direzione e il verso dei vettori v = (, ); v 2 = (, ); w = (, ); w 2 = (, ); w = ( 2, 4), w 4 = (, 9). Soluzione. Il vettore v = (, ) forma, con la direzione positiva dell asse delle x, un angolo α t.c. tan α = =, quindi α = π 6 radianti. Inoltre, il versore di v è v v = ( 2, 2 ) che coincide con il vettore (cos π 6, sin π 6 ).

3 Il vettore w 4 = (, 9) forma, con la direzione positiva dell asse delle x, un angolo β t.c. tan β = 9 =, quindi β = arctan( ).2490 radianti. Risulta (cos(.2490), sin(.2490)) = (0.6224, ) = ( 0, 0 ) che non coincide, per via del segno, con w 4 w 4 = ( 0, 0 ); deve dunque essere β = π Esercizi 8. Determinare un vettore w di modulo che sia ortogonale a v = (, ). Determinare un vettore w di modulo che sia ortogonale a v = ( 2, ). Soluzione. w = (a, b) è perpendicolare a v se 2a + b = 0; w = (a, b) ha lunghezza se a 2 + b 2 =. Dunque, per sostituzione, si ottiene che i vettori richiesti sono due, ovvero w = ( ) 29, 2 29, ( 29, 2 29, ) e w 2 = Esercizio 9. Determinare il vettore direttore dellla retta r : x + 2y + = 0; determinare il parametro k in modo che la retta t : 2x + y + = 0 sia perpendicolare alla retta s : kx y + = 0. Soluzione. b) Il vettore direttore della retta ax + by + c = 0, a, b, c R, è v = ( b, a); risulta che t è perpendicolare a s se il prodotto scalare tra i vettori u = (, 2) e v = (, k) nullo, ovvero se + 2k = 0 quindi se k = /2. Esercizio 0. Dati i vettori u = (2, ) e u 0 = (, h), determinare i valori del parametro h in modo che sia, prima u e u 0 paralleli, poi u e u 0 perpendicolari. Dati i vettori w = (a, ) e v = (, 2), determinare i valori del parametro h in modo che sia, prima w e v paralleli, poi w e v perpendicolari. Soluzione. u = (2, ) e u 0 = (, h) sono paralleli se risulta u = ρ u 0, ρ R, ovvero se 2 = ρ e = hρ da cui ρ = 2/, h = /2. I vettori w = (a, ) e v = (, 2), sono paralleli se w = λ v, λ R, ovvero se a = λ = /2. Esercizio. Determinare l area del parallelogramma individuato dai vettori v = ( (, ) e w = (2, Soluzione. Si ha A = det ) 2 = 0 = = Esercizio 2. Lo stato di un gas, al tempo t = 0, è caratterizzato da un volume V 0 e da una pressione esterna P 0. Una diminuzione continua dei valori di pressione causa al gas un aumento di volume del 0% ogni minuto: calcolare il valore del tempo t, in minuti, in cui il gas ha un volume triplo di V 0 ed un valore di pressione P < P 0. Soluzione Alla fine del primo minuto si ha un volume pari a V V 0 = ( + 0 )V 0; alla fine del secondo minuto si ha un volume pari a ( + 0 )V ( + 0 )V 0 = ( + 0 )2 V 0 ; alla fine dell ennesimo minuto si ha un volume pari a ( + 0 )n V 0 e risulta ( + 0 )n V 0 = V 0 se n = log 0 =.6 minuti 00 Esercizio. La popolazione di una regione è raddoppiata in 2 anni. Calcolare la percentuale, supposta costante, di accrescimento annuo. Svolgimento. All inizio si ha la popolazione N 0. Alla fine del primo anno si ha una popolazione pari a N 0 + an 0 = ( + a)n 0 ; alla fine del secondo anno si ha una popolazione pari a ( + a)n 0 + a( + a)n 0 = ( + a) 2 N 0 ;... alla fine del dodicesimo anno si ha una popolazione pari a (+a) 2 N 0 e risulta (+a) 2 N 0 = 2N 0 se Quindi sarà raddoppiata se ( + a) 2 = 2 ( + a) = 2 /2 a = 2 /2, 09 = 0, 09 0, 06 = 6% (per trovare a si applica la funzione inversa dell elevamento alla 2). Esercizio 4. Determinare la legge esponenziale che esprime la numerosità N(t), al variare del tempo t, di una popolazione batterica inizialmente composta da N 0 individui nei casi in cui: a) il tempo è espresso in minuti e la numerosità raddoppia ogni 20 minuti; ).

4 4 b) il tempo è espresso in minuti e la numerosità triplica ogni 0 minuti; c) il tempo è espresso in minuti e la numerosità aumenta del 40% ogni 0 minuti; d) il tempo è espresso in minuti e la numerosità aumenta del 0% ogni 20 minuti. Soluzione. b) In t minuti sono avvenute t/0 triplicazioni della popolazione; la legge esponenziale deve essere, dunque N(t) = t/0 N 0 infatti N(0) = 0/0 N 0 = N 0 ; N(20) = 20/0 N 0 = 9N 0. d) In t minuti sono avvenute t/20 aumenti; inoltre, si osservi che alla fine di ogni intervallo di 20 minuti, la numerosità è quella dell intervallo precedente più un aumento di 0. volte la numerosità stessa. La legge esponenziale deve essere, dunque ( N(t) = + 0) t/20 N 0 infatti N(20) = ( + ) 20/20 0 N0 = ( + ) 0 N0 ; N(40) = ( + ) 40/20 0 N0 = ( + 0) 2 N0. Esercizio. Nell atmofera, l abbondanza relativa di 4 C rispetto al 2 C si mantiene costante, per l interazione tra raggi cosmici e atomi di azoto. Invece, in organismi privi di vita, il 4 C decade e non viene più sostituito. Misurando l abbondanza relativa di 4 C rimasto in epoca attuale in un fossile, si può stabilire l età di questo. Il tempo di dimezzamento, cioè il tempo neesario per il decadimento di metà degli atomi, per il 4 C è di circa 70 anni. Sia M 0 il numero iniziale di atomi di 4 C per ogni atomo di 2 C, M 0 = 0 2. a) Determinare la legge che esprime, al variare del tempo t espresso in anni, il numero di atomi M(t) di 4 C per ogni atomo di 2 C b) Determinare t nel caso in cui i) M(t) = 4 M 0 ii) M(t) = M 0 2 iii) M(t) = 2%M 0 iv) M(t) = 4 M 0 Soluzione. a) Risulta t M(t) = 2 t 70 M0 b)iii)deve essere 2 70 M 0 = 2 00 M 0; posto n = t 70, deve risultare (/2)n = 2/00 2 n = 00/2 log(2 n ) = log(00/2) n log 2 = log(00/2) n = log(00/2) log 2, 06. Essendo n = t 70, si ha t = n Esercizio 6. Si definisce ph, o indice di ioni idrogeno, di una sostanza il numero ph = Log([H + ]) = log 0 ([H + ]) dove [H + ] è la concentrazione di ioni idrogeno (o, piu accuratamente, [H O + ], concentrazione di ione idronio) in mol/l (moli per litro). Calcolare il ph di concentrazioni pari a, 9 0 mol/l; 8, mol/l. Soluzione. Si ha log 0 (, 9 0 ) = [(log 0, 9) ] 4, 4 log 0 (8, ) = [(log 0 8, 4) 8] 7, 08. Esercizio 7. Stabilire per quali valori del parametro k l equazione x 2 + y 2 + kx 2y + k 2 2 = 0 rappresenta una circonferenza con raggio non nullo.

5 Esercizio 8. Calcolare lim x 0 x ; lim x 0 log x; lim x e x ; lim x 2 x 2 ; lim x ± e x Svolgimento. lim e x x = e lim x + x x = e 0 + = e + = + essendo x > 0 se x > x + lim e x x = e lim x x x = e 0 = e = 0 essendo x < 0 se x < x Esercizio 9. Determinare la retta tangente al grafico di: f(x) = 2 + x in x = ; F (x) = x 2 kx in x = e parallela alla retta r : 2x + y + = 0; G(x) = xe x in x 0 e formante un angolo β ( π 2, 0) con la direzione positiva dell asse delle x. Esercizio 20. Calcolare le derivate delle funzioni seguenti f(x) = e x x2 cos( x + x 2 x ) log( x + 2 ) Esercizio 2. Studio completo e disegno del grafico della funzione f(x) = +e x (sigmoide). Esercizio 22. Sia g(x) = 6x x 2 8. Allora:. g è crescente per x (, ] e decrescente per x [, + ). infatti il grafico della funzione è una parabola con concavità rivolta verso il basso e vertice per x =. Oppure posso osservare che g (x) = 6 2x 0 x. ( ) Si definisca f(x) := ln g(x). Allora 2. f è definita nell insieme D = (2, 4). f è crescente per x (2, ] e decrescente per x [[, 4) infatti componendo la funzione g con una funzione crescente (ln x), nell insieme di definizione della funzione composta gli intervalli di crescenza rimangono invariati. Oppure, calcolando la derivata si ha: f (x) = (6 2x)/(6x x 2 8). Da cui si ottiene la stessa conclusione osservando che nell insieme D il denominatore della derivata è sempre strettamente positivo. 4. Calcolare i limiti agli estremi dell insieme di definizione di f: ( ) ( ) lim x 2 + ln g(x) = lim y =0 + ln y = e lim x 4 ln g(x) = lim y =0 + ln y =. Determinare gli intervalli in cui il grafico della funzione è al di sopra dell asse delle x: la funzione ha massimo per x = e si ha f() = ln = 0, quindi la funzione non è positiva in nessun punto dell insieme D. Oppure si discute la diseguaglianza: f(x) > 0 ln(6x x 2 8) > 0 6x x 2 8 > (x ) 2 = 6x x 2 9 > 0 mai verificata essendo per ogni x D (ma anche per ogni x R): (x ) Disegnare il grafico di f. 7. L insieme immagine di f è (, 0] 8. f ha massimo assoluto che vale 0, assunto per x =. 9. f non ha minimo x

6 6 Figura 2: Grafico dell esercizio 22. Esercizio 2. Calcolare I = 4 x 2 + x 6 dx x 2 + x 6 se x < x > 2 Soluzione. Essendo x 2 + x 6 = x 2 x + 6 se < x < 2 0 se x = x = 2 risulta I = 4 (x 2 + x 6) dx + 2 ( x 2 x + 6) dx + 2 (x 2 + x 6) dx = ( x + x2 2 6x) 4 + ( x x x) 2 + ( x + x2 2 6x) 2 = 62 Esercizio 24. Associare a ciascuna delle seguenti funzioni: f(x) = 2 tan(2x) ( x ( π/4, π/4) ), g(x) = la rispettiva primitiva, tra le seguenti ( Svolgimento. D ( D ln ( D ( cos(2x) arctan( x+ 2 ) ) = 2 ( ) x R, h(x) = ( ) x (/2, + ), x 2 + 2x + 2x 2 + x 2 ( ) ln(2x ) ln(x + 2), ln cos(2x) ) ln(2x ) ln(x + 2) )) 2 sin(2x) = cos(2x), arctan( x + 2 = 2 2x x+2 = 2x+4 2x+ (2x )(x+2) = 2x 2 +x 2 = h(x) ( x (/2, + ) ), = 2 sin(2x) cos(2x) = 2 tan(2x) = f(x) ( x ( π/4, π/4) ), /2 +(x+) 2 /4 = 2 4+x 2 +2x+ = 2 x 2 +2x+ = g(x) ( x R ). Esercizio 2. Sapendo che il grafico di G(x) passa per il punto (, ) e che la pendenza della retta tangente ai suoi punti è data dalla funzione g(x) = x 2 + x 4, calcolare G(). Svolgimento. Risulta G(x) = g(x) dx = x + x 7 + c; da qui è G( ) = se c =, quindi G() =. ).

7 7 Esercizio 26. [0.4 di [4]]M=media, s=scarto quadratico medio a) b) c) d) M = s = = ( 2 2 )2 600 = M = = ( 2 s = ) (0 2 )2 800 = M = = s = (2 2 ) (0 2 )2 200 = = M = = (800 2 s = )2 + (0 2 ) i= Esercizio 27. [0. di [4]]V ar = f i(x i x) 2 44 i= f i = ( )2 +( ) 2 +6( ) 2 +( ) 2 +8(7 70.9) 2 +6( ) 2 +4(7 70.9) 2 +( ) (7 70.9) 2 +( ) 2 44 = ( 4.9)2 +( 2.9) 2 +6(.9) 2 +( 0.9) 2 +8(0.) 2 +6(.) 2 +4(2.) 2 +(.) 2 +(4.) 2 +(7.) 2 44 = = = = 4.6 mentre = Esercizio 28. [Calcolo quartili ]Sia n il numero di osservazioni; sia 0.2 n = t allora { q 2 = x k se t / N, k = t + q 2 = x k+x k+ 2 se t N, k = t Si definisce in modo analogo q 7.

8 8 Esercizio 29. [p.86 di [4]] Età Pressione in anni in mm di Hg L età media è = 40 7 = 48.7; la pressione media è = 7.8. La retta di regressione è y = bx + a con = b = (2 48.7)(20 7.8)+(0 48.7)(2 7.8)+( )( 7.8)+( 48.7)(40 7.8)+( 48.7)(4 7.8) (2 48.7) 2 +(0 48.7) 2 +( ) 2 +( 48.7) 2 +( 48.7) 2 +(6 48.7) 2 +( ) 2 + +(6 48.7)(40 7.8)+( )(60 7.8) = 24.4 (2 48.7) 2 +(0 48.7) 2 +( ) 2 +( 48.7) 2 +( 48.7) 2 +(6 48.7) 2 +( ) 2 a = ȳ b x = = = 0.7 Esercizio 0. [C0.7 di [4]] Dose Diminuzione della pressione in mg in mm di Hg La dose media è retta di regressione è y = bx + a con = 76 =.2 = x; la diminuzione media è = 98 = 9.6 La b = xȳ n n i= (x iy i ) x 2 n n i= x2 i = [ ].2 2 ( ) = = = 0.99 a = ȳ b x = = 4.6. La retta di regressione è dunque y = 0.99x e si ha = 0.99x se x = mmhg. Esercizio. Sia D un dado tale che P () = P (2) = 6, P () = P (4) = P () = 2.a) Qual è la probabilità di ottenere 6 lanciando il dado? b) Se poi si lancia il dado 4 volte, qual è la probabilità di ottenere almeno volte il 6? Svolgimento. a) P (6) = ( P () + P (2) + P () + P (4) + P () ) = ( ) = 2. b) ( )( 4 ) ( ) 4 ( 2 = ) 2 4. Esercizio 2.. Calcolare la probabilità che lanciando due dadi la somma dei due esiti sia 8. Quanto uno scommettitore può scommettere su questo esito (somma = 8), se il premio è di 2 euro? 2. Calcolare la probabilità che lanciando tre dadi la somma dei tre esiti sia 8. Svolgimento.. 8 = = + = = + = quindi p = 6 4% Se il premio è di 2 euro, si può scommettere 2 6, euro

9 9 2. nel caso di dadi 8 = = = = = e, tenendo conto che l ordinamento ha diverse possibilità se un numero si ripete e 6 se i risultati sono tutti diversi, ovvero si hanno ( ( 2) = ( 2) =numero dei sottoinsiemi della terna con 2 elementi fissati) possibilità per ognuna delle tre terne (,, 6), (2, 2, 4), (2,, ) si hanno! = 6 possibilità per ognuna delle due terne (, 2, ) e (,, 4) si ottiene p = +6 2 = 2 = , 7% Esercizio. [C.4 di [4]]Svolgimento. I metodo Tramite gli eventi A j = {La pallina estratta alla prima estrazione è la numero j}, B j = {La pallina estratta alla seconda estrazione è la numero j}, con j =, 2,, 4,, 6, si ha: a) P (A B 2 ) = P (B 2 A )P (A ) = 6 = 0 b) P (A 2 B ) = P (B A 2 )P (A 2 ) = 6 = 0 quindi P ((A B 2 ) (A 2 B )) = c)0 d) e)tramite gli eventi A disp = {La pallina estratta alla prima estrazione è dispari }, B disp = {La pallina estratta alla seconda estrazione è dispari }, si ha: P (A disp B disp ) = P (B disp A disp )P (A disp ) = 2 6 = 6 0 = f)p ((A B ) (A 4 B 2 ) (A 2 B 4 ) (A B )) = 4 ( 0 ); infatti, ad esempio, P (A B ) = P (B A )P (A ) = 6 = 0 e così per gli altri eventi. g)da risolvere in modo analogo. h) Tramite l evento C = {Le due estrazioni forniscono due numeri consecutivi }, si ha: P (C A 2 ) = 2 ; allo stesso modo P (C A ) = P (C A 4 ) = P (C A ) = 2 in quanto P (C A 2 ) = P ((B A 2 ) (B A 2 )) = P (B A 2 ) + P (B A 2 ) = + = 2 P (C A ) = P ((B 4 A ) (B 2 A )) = P (B 4 A ) + P (B 2 A ) = + = 2 P (C A 4 ) = P ((B A 4 ) (B A 4 )) = P (B A 4 ) + P (B A 4 ) = + = 2 e mentre P (C A ) = P (B 2 A ) = P (C A 6 ) = P (B A 6 ) =. Per la formula di partizione dell evento certo si ha P (C) = P (C A )P (A ) + P (C A 2 )P (A 2 ) + P (C A )P (A ) + P (C A 4 )P (A 4 ) + P (C A )P (A ) + P (C A 6 )P (A 6 ) = 6 ( ) = II metodo L insieme degli eventi possibili, Ω, è dato dalle coppie rappresentanti le disposizioni semplici di 6 elementi di classe 2; esse sono in numero pari a D(6, 2) = 6 = 0. La coppia (i, j) Ω sta a significare

10 0 che il risultato della prima estrazione è la pallina i, mentre la pallina j è il risultato della seconda estrazione. a) La sola coppia (, 2) risponde alla situazone descritta, dunque la probabilità cercata è D(6,2) = 0. b) Rispondono alla situazione descritta le sole coppie (, 2) e (2, ), dunque la probabilità cercata è D(6,2) + D(6,2) = 2 0. c) + d) L estrazione è senza rimpiazzo, quindi il secondo numero estratto è sicuramente diverso dal primo. Nell insieme degli eventi possibili, esistono solo coppie (i, j) con i j. e) Rispondono alla situazione descritta le sole coppie (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), dunque la probabilità cercata è 6 D(6,2) =. f) Rispondono alla situazione descritta le sole coppie (, ), (4, 2), (2, 4), (, ), dunque la probabilità cercata è 4 D(6,2) = 2. g) Rispondono alla situazione descritta le sole coppie (6, ), (, 2), (4, ), (, 4), (2, ), (, 6), dunque la probabilità cercata è 6 D(6,2) =. h) Rispondono alla situazione descritta le sole coppie (, 2), (2, ), (2, ), (, 2), (, 4), (4, ), (4, ), (, 4), (, 6), (6, ), dunque la probabilità cercata è 0 D(6,2) =. Esercizio 4. [.0 b) di [4]] La probabilità richiesta è ( ) 4 = corrisponenti alle sequenze di estrazioni (R=rossa, B=bianca) RRRRB, RRRBR, RRBRR, RBRRR, BRRRR ( ( 4) = numero di sottoinsiemi di cinque estrazioni con 4 elementi fissati.) Esercizio. Una scatola contiene varie lampadine di tipi diversi. La probabilità che una lampadina duri più di 000 ore è pari a 0.7 per il tipo, 0.4 per il tipo 2, 0. per il tipo. Il 20% delle lampadine nella scatola è di tipo, il 0% di tipo 2, il restante 0% di tipo. a) Determinare la probabilità che una lampadina scelta a caso duri più di 000 ore. b) Sapendo che la lampadina scelta dura più di 000 ore, calcolare la probabilità condizionata che si tratti di una lampadina di tipo j=,2,. Svolgimento. Tramite gli eventi A = {La lampadina scelta dura più di 000 ore} e F j = {La lampadina scelta è di tipo j}, con j =, 2,, si ha a) b) = P (A) = P (A F )P (F ) + P (A F 2 )P (F 2 ) + P (A F )P (F ) = = 0.4 P (F j A) = P (A F j) P (A) quindi P (F A) = 4 4, P (F 2 A) = 2 4, P (F A) = 4. F ormula di Bayes = P (A F j )P (F j ) P (A) Esercizio 6. Una popolazione si compone per il 40% di fumatori (F) e per il 60% di non fumatori (N). Si sa che il 2% dei fumatori e il 7% dei non fumatori sono affetti da malattia respiratori (M). a) Determinare la probabilit che un individuo scelto a caso sia affetto da malattia. b) Determinare la probabilit che un individuo affetto da malattia respiratoria sia un fumatore. Svolgimento. a) P(F)=0.4 P(N)=0.6 P (M F ) = 0.2 P (M N) = 0.07 quindi P (M) = P (M F ) + P (M N) = P (F )P (M F ) + P (N)P (M N) = b) Per la formula di Bayes si ha P (M F )P (F ) P (F M) = P (M)

11 Esercizio 7. [C0.6 di [4]] Φ(x) = Φ( x) Φ( x) = Φ(x) P (X < 6) = P (Z < 6 6 ) = P (Z < ) = Φ() = = P (X > 66) = P (Z > 66 6 ) = P (Z > ) = Φ() = 0. P (X < ) = P (Z < 6 ) = P (Z < 8 ) = P (Z <.6) = Φ(.6) = = P (X > 69) = P (Z > 69 6 ) = P (Z > 8 ) = P (Z < 8 ) = Φ(.6) = = P (9 < X < 6) = P ( 9 6 < Z < 6 6 ) = P ( 2 < Z < 2 ) = Φ( 2 ) Φ( 2 ) = Φ( 2 ) ( Φ( 2 )) = 2Φ( 2 ) = 2Φ(0.4) = = Esercizio 8. [0. di [4]] P (X 6) = P (Z < 6 70 ) = P (Z 9 ) = P (Z.8) = P (Z.8) = Φ(.8) = = P (6 < X < 67) = P ( 6 70 < Z < ) = P ( 9 < Z < ) = P (.8 Z 0.6) = Φ( 0.6) Φ(.8) = Φ(0.6) + Φ(.8) = Φ(.8) Φ(0.6) = = P (7 < X < 79) = P ( 7 70 < Z < ) = P (0.6 Z.8) = Φ(.8) Φ(0.6) = = P (X 79) = P (X 79) = P (Z ) = P (Z 9 ) = P (Z.8) = Φ(.8) = = 0.9. La percentuale della popolazione con altezza inferiore a 6cm eguaglia il %; si ha 00 : percentuale = T otale : parte da cui parte = (percentuale T otale)/00 = = 22, reclute; analogamente per gli altri intervalli. Esercizio 9. Una ditta produce bulloni difettosi con probabilità del 20%; gli articoli, poi, sono venduti in confezioni da pezzi ciascuna. Determinare la probabilità che in una confezione vi sia al più un bullone difettoso. Svolgimento. Si supponga che un difetto si presenti in uno dei bulloni indipendentemente dagli altri 2; si può usare, quindi, lo schema successo-insuccesso con n= p=0.2. Con tali considerazioni, il numero X di bulloni difettosi ha legge binomiale Bin(, 0.2) e la probabilità richiesta vale ( ) ( ) P (X = 0) + P (X = ) = = Esercizio 40. Sia data una semente con germinabilità del 90%; si vuole calcolare la probabilità che su 00 semi ne germinino più di 96 (v. Teorema del limite centrale). Svolgimento. Si ha p = 0.9, pq = 0.09, n = 00; si richiede che sia N > 96 con np = 90 e npq =. Risulta, usando l approssimazione normale, P (N > 96) = P ( N 90 > ) = P ( N 90 > 2) 2π + 2 e x2 2 dx 0.02

12 P (84 < N < 96) = P ( < N 90 < = P ( 6 < N ) < 6 N 90 ) = P ( 2 2) Φ(2) Φ( 2) = Φ(2) ( Φ(2)) = 2Φ(2) = = Facendo uso della Legge binomiale si ha, invece, P (N > 96) = P (N = 97) + P (N = 98) + P (N = 99) + P (N = 00) ( ) ( ) = (0.9) 97 (0.) (0.9) 98 (0.) ! = (0.9) 97 (0.) + 97!! ( ) 00 (0.9) 99 (0.) ( ) 00 (0.9) 00 ( !99 00 (0.9) 98 (0.) !00 98!2! 99!! (0.9)99 (0.) + (0.9) 00 =... P (84 < N < 96) = P (N = 8) + P (N = 86) + P (N = 87) + P (N = 88) + P (N = 89) + P (N = 90) + P (N = 9) + P (N = 92) + P (N = 9) + P (N = 94) + P (N = 9) =... Esercizio 4. Risolvere, al variare del parametro k R, il seguente sistema lineare. Applicare la regola di Cramer, quando possibile; altrimenti, procedere per sostituzione. S : { x (k )y = k kx 2(k )y = k R Svolgimento. Il determinante della matrice dei coefficienti del sistema è (k ) k 2(k ) = (k )(k 2) Per k k 2, usando la regola di Cramer, si ha: k (k ) 2(k ) (k )( 2k) k x = = = 2k k (k ) (k )(k 2) k 2 ; y = k (k ) k 2(k ) k 2(k ) = ( k)( + k) k = k + (k )(k 2) k 2 Per k = il sistema S diviene che ha soluzione (x, y) = (, y), y R. Γ : { x = x = Per k = 2 il sistema S diviene Dalla prima equazione si ha γ : sostituendo questa nella seconda equazione si ha da cui si vede che il sistema è incompatibile. { x y = 2 2x 2y = x = 2 + y; (4) 4 + 2y 2y = ; ()

13 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Esercizio 42. Tracciare il diagramma della funzione Svolgimento. f(x) = x x +.. La funzione, essendo un quoziente di polinomi, è definita se x + 0, ovvero è definita nell insieme D = {x R : x }. 2. La funzione non è pari, ovvero f(x) f( x); essa non è neanche dispari, ovvero f( x) f(x).. La funzione è t.c. f(x) = 0 sse x =, f(0) = ovvero il grafico di f interseca gli assi cartesiani nei punti P = (, 0), Q = (0, ). 4. La funzione è negativa nell intervallo ((, ) (, + )), positiva altrove.. Poiché risulta: * lim x ± f(x) = lim x ± x( + x ) x(+ x ) * lim x ± f(x) = 6 0 ± = ± = lim x ± + x + x = si conclude che le rette y = e x = sono, rispettivamente, asintoto orizzontale e asintoto verticale per il grafico. 6. Risulta f (x) = 6 (x + ) 2 Dallo studio del segno di f segue che la funzione è sempre decrescente nel suo campo di esistenza. 7. In tutti i punti del campo di esistenza f è derivabile. 8. f (x) = 2 (x + ). Dallo studio del segno di f, si deduce che f rivolge la concavità verso il basso in (, ), rivolge la concavità verso l alto in (, + ), Segue in figura il grafico della funzione. Si osservi che è x x+ = + 6 i seguenti passaggi g(x) g(x + ) = x+ Riferimenti bibliografici x+, quindi il grafico di f(x) si può ottenere anche dal grafico di g(x) = x con 6 6 6g(x + ) = x+ + 6g(x + ) = + x+. [] Baldi P., Calcolo delle probabilità e statistica, McGraw-Hill. [2] Benedetto D., Degli Esposti M., Maffei C., Matematica per le scienze della vita, Casa Editrice Ambrosiana. [] Cammarota C., Elementi di Calcolo e di Statistica, L.S.D.; capitolo II, [4] Gentili G., Villani V., Matematica, McGraw-Hill.

14 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI 4 Figura : Grafico delle funzioni dell esercizio 42. [] Malafarina G., Matematica per i precorsi, III edizione, MCGraw-Hill. [6] Pozio A., Matematica, corso di laurea in Farmacia a.a. 20/206, piattaforma e-learning. [7] Ross S., Calcolo delle probabilità, Apogeo [8] Villani V., Matematica per discipline bio-mediche, McGraw-Hill.