Foglio di Esercizi 4 (con Risposte) 30 ottobre 2017

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1 Matematica per Farmacia, a.a. 201/18 Foglio di Esercizi 4 (con Risposte) 30 ottobre 201 Esercizio 1 (dal libro di Villani - Gentili). Per stabilire l età di un reperto di sostanza organica, di origine animale o vegetale, si misura la concentrazione di carbonio 14 C (quindi il rapporto tra la quantità di questo isotopo e la quantità totale di carbonio presente nella sostanza). Il metodo si basa sui due fatti seguenti, avvalorati da numerose ricerche sperimentali e considerazioni teoriche: La concentrazione di 14 C è rimasta invariata dalle epoche piú remote fino ad oggi, dipendendo da una reazione nucleare che avviene continuamente nell alta atmosfera e causata da raggi cosmici. Poiché dopo la morte dell organismo non non si verifica piú nessun apporto di 14 C, si ha che, mentre la quantità di carbonio presente nella sostanza in esame rimane sostanzialmente inalterata nel tempo, la quantità di 14 C diminuisce progressivamente a causa del decadimento radioattivo. Sapendo che il tempo di dimezzamento del carbonio 14 C presente in una sostanza è di circa 530 anni, determinare approssimativamente l età di due reperti per i quali la concentrazione di 14 C risulta pari al 12%, rispettivamente allo 0, 2% di quella degli analoghi organismi viventi. [Suggerimento: Dobbiamo capire quanti tempi di dimezzamento sono passati. Dopo un tempo di dimezzamento la quantità, dimezzandosi, risulta moltiplicata per 1/2 = 50 %, quindi dopo n tempi di dimezzamento, risulta moltiplicata per (1/2) n.] Risposte: Vogliamo che risulti (1/2) n = 12 % = 12/100 2 n = 100/12 log(2 n ) = log(100/12) n log 2 = log(100/12) n = log(100/12) log 2 3, 06 quindi sono passati circa 3 tempi di dimezzamento, quindi anni. Analogamente nel secondo caso (0, 2 % = 2/1000, quindi 1000/2 = 500, si ottiene n = log(500) log 2 8, 9 9 tempi di dimezzamento, quindi = anni. Esercizio 2. Ricordiamo che si definisce ph, o indice di ioni idrogeno, di una sostanza il numero ph = log([h + ]) = log 10 ([H + ]) dove [H + ] è la concentrazione di ioni idrogeno (o, piu accuratamente, [H 3 O + ], concentrazione di ione idronio) in mol/l (moli per litro). Calcolare il ph di concentrazioni pari a 3, , 8, e 0, 2 10 mol/l: ph corrispondente nei tre casi: [(log 3, 9) 5] 4, 41, [(log 8, 4) 8], 08, [(log 0, 2) ], 5. se ordiniamo dalla piú piccola alla piú grande le concentrazioni e poi dal piú piccolo al piú grande i ph trovati, cosa osserviamo? l ordine delle concentrazioni a partire dalla piú piccola è : 0, 2 10 = 2, 10 8 < 8, < 3, , mol/l. Invece i corrispondenti ph sono ordinati in ordine inverso: [(log 3, 9) 5] 4, 41 < [(log 8, 4) 8], 08 < [(log 0, 2) ], 5, infatti la funzione log 10 x è crescente, quindi la sua opposta è decrescente. sapendo che il ph del sangue umano oscilla tra i valori, 3 e, 44, trovare delle stime (per eccesso e per difetto) della concentrazione di ioni [H + ] del sangue:

2 2 ph = log([h + ]) 10 ph = 10 log([h+ ]) = [H + ]. Quindi 10,44 [H + ] 10,3 3, [H + ] 4, Esercizio 3. La popolazione di una regione è raddoppiata in 12 anni. Calcolare la percentuale, supposta costante, di accrescimento annuo. Risposta: Ogni anno la popolazione aumenta di una percentuale sconosciuta, a, quindi il valore iniziale viene moltiplicato per (1+a). Dopo 12 anni il valore iniziale sarà moltiplicato per (1+a) 12. Quindi sarà raddoppiata se (1 + a) 12 = 2 (1 + a) = 2 1/12 a = 2 1/12 1 1, = 0, 059 0, 06 = 6% (per trovare a ho applicato la funzione inversa dell elevamento alla 12, quindi la radice 12-esima o, equivalentemente, l elevamento alla 1/12). Esercizio 4. (con risposte) Sia g(x) = 6x x 2 8. Allora: (1) g è crescente per x (, 3] e decrescente per x [3, + ). infatti il grafico della funzione è una parabola con concavità rivolta verso il basso e vertice per x = 3. Oppure posso osservare che g (x) = 6 2x 0 x 3. Definiamo f (x) := ln ( g(x) ). Allora (2) f è definita nell insieme D = (2, 4) (3) f è crescente per x (2, 3] e decrescente per x [3, 4) infatti componendo la funzione g con una funzione crescente (ln x), nell insieme di definizione della funzione composta gli intervalli di crescenza rimangono invariati. (4) Come si comporta la funzione agli estremi dell insieme di definizione di f? lim x 2 + ln ( g(x) ) = lim y =0 + ln y = e lim x 4 ln ( g(x) ) = lim y =0 + ln y = (5) Determinare eventuali intervalli in cui il grafico della funzione è al di sopra dell asse delle x: la funzione ha massimo per x = 3 e si ha f (3) = ln 1 = 0, quindi la funzione non è positiva in nessun punto dell insieme D. Oppure potevo discutere la diseguaglianza: f (x) > 0 ln(6x x 2 8) > 0 6x x 2 8 > 1 (x 3) 2 = 6x x 2 9 > 0 mai verificata essendo per ogni x D (ma anche per ogni x R): (x 3) 2 0. (6) Disegnare il grafico di f : vedere il primo grafico in Foglio4Es5 sulla pagina di elearning2. () L insieme immagine di f è (, 0] (8) dire se f ha massimo SI NO e, in caso affermativo dire quanto vale 0 dove è assunto x = 3 se è relativo o assoluto: assoluto (9) dire se f ha minimo SI NO Esercizio 5. ( ) In una torrefazione ci sono due qualità diverse di caffé. La prima qualità costa 3, 0 euro all etto; la seconda costa 2, 05 euro all etto. Un cliente ordina 1, 2 chilogrammi di caffé, chiedendo una miscela a 2, 30 euro all etto. Come deve essere miscelato il caffé delle due qualità?

3 RISULTATO: in etti, x della prima qualità, y della seconda: Ho un sistema { { x + y = 12 x + y = , 0 x + 2, 05 y = 2, x y = 260 { x = , 94 y = , 06 In caso di dubbio, sostituire la soluzione nel sistema per verificare che sia esatta (a parte le approssimazioni) Esercizio 6. Rappresentare graficamente, in un riferimento cartesiano, gli insiemi definiti dalle seguenti disuguaglianze o uguaglianze: (1) y 4 e x + y < 4. Se è nota l equazione della circonferenza, rappresentare: (2) x 2 + 6x + y 2 < 2; (3) 4x 2 + 4y + 4y 2 c nei casi c =, c = 0, c = 2, c = 1, c = 1/8; (4) x 2 + 8y 2 = 2 e poi 8x 2 + y 2 = 2. Dire quali regioni troviamo sostituendo all uguaglianza, successivamente, uno dei seguenti simboli:, <,, >. RISULTATO: (1) (vedere link alla Foto della lavagna sulla pagina di elearning2) (2) cerchio di centro ( 3, 0) e raggio 11, senza il bordo (quindi tutti i punti interni alla circonferenza, ma non quelli della circonferenza). (3) ai casi c =, c = 0, c = 2, c = 1, c = 1/8, corrispondono rispettivamente il cerchio, incluso il bordo, di centro (0, 1/2) e raggio 2, quello con lo stesso centro e raggio 1/2, l insieme vuoto, il solo punto (0, 1/2) e un cerchio con lo stesso centro dei precedenti e raggio 4 2. (4) x 2 + 8y 2 = 2 x 2 /2 + 4y 2 = 1 è una ellisse con semiasse delle ascisse a = 2, semiasse delle ordinate b = 1/2 < a, quindi i fuochi sono sull asse delle x (c = a 2 b 2 = 2 (1/4) = 2 F + = ( 2, 0) e F = (, 0). Nel secondo caso abbiamo un ellisse con i fuochi sull asse delle y e semiassi scambiati rispetto al primo caso. Sostituendo all uguaglianza il simbolo: troviamo tutti i punti dell ellisse e quelli interni ad essa, < troviamo solo i punti interni all ellisse, troviamo tutti i punti dell ellisse e quelli esterni ad essa, > troviamo solo i punti esterni all ellisse. Esercizio. Si veda il file Piramide.pdf tra gli esercizi. I due alberi della figura costituiscono le cosí dette piramidi dell età: al centro di ciascuna compare l arco di età (di 5 anni), sul lato sinistro, in questo caso, la percentuale della popolazione maschile nell arco di età corrispondente a ciascuna riga, espressa sia numericamente, che con un rettangolo di lunghezza proporzionale alla percentuale stessa, 3 2 :

4 4 sull altro lato, il destro in questo caso, la percentuale della popolazione femminile nell arco di età corrispondente a ciascuna riga, espressa sia numericamente, che con un rettangolo di lunghezza proporzionale alla percentuale stessa. Il primo albero si riferisce alla popolazione di Italiani residenti nel paese il 10 giugno 1911, il secondo dei residenti il 1 o gennaio I due alberi sono degli istogrammi. Dedurre quante piú informazioni possibile da ciascuno di essi e dal loro confronto. In particolare, sapendo in quali anni l Italia era in guerra e sapendo che negli anni 60 c è stata una grossa crescita economica, si possono vedere effetti di questi fenomeni sull albero di destra? OSSERVAZIONI: In entrambi gli alberi, nei primi anni di vita la percentuale dei maschi è piú alta di quella delle femmine e questo fenomeno si inverte al crescere dell età (fenomeno ben noto ai demografi). Nell albero del 2001, la percentuale dei maschi rimane maggiore fino ai 39 anni circa, c è quasi parità nella fascia e poi è piú alta la percentuale delle donne (infatti le donne hanno una aspettativa di vita piú lunga). L albero del 2001 è piú stretto in corrispondenza della fascia d età 55-59, in quanto si tratta di persone nate durante la seconda guerra mondiale, quindi in un periodo di scarsa natalità. L albero del 2001 ha un rigonfiamento nella fascia anni, corrispondente alle persone nate negli anni 60-0, mostrando l elevato numero di nascite nel periodo del boom economico. L albero del 1911 ha una struttura a piramide (le percentuali decrescono nel tempo), quello del 2001 è piú stretto per le fasce d età fino ai 24 anni, rigonfio al centro ed ha maggiori percentuali sulle fasce d età piú alte. Questo fenomeno mostra come vi sia stata una forte riduzione delle nascite ed anche un allungamento della speranza di vita. Esercizio 8. Per il seguente sistema lineare nelle incognite x e y, stabilire se esistono soluzioni e, in caso affermativo, determinarle, al variare del parametro k R: { 3x + 2ky = 1 + k kx + 6y = 4 Risposte: ( 3 2k det k 6 ) = 18 2k 2 = 2(9 k 2 ) 0 k ±3. Quindi se k ±3 la soluzione esiste unica e con il metodo di Cramer ottengo x = (6 2k)/2(9 k 2 ) = 1/(3 + k), y = (4 k)/[2(3 k)]. Se k = +3, sostituendo a k il suo valore, il sistema diventa { 3x 6y = 2 3x + 6y = 4. che non ha soluzioni, come si vede per sostituzione oppure osservando che il primo membro della prima equazione è uguale all opposto del primo membro della seconda, ma allora dovrebbe esserci la stessa relazione tra i secondi membri, cioé 2 = 4 assurdo..

5 Se k = +3, sostituendo a k il suo valore, il sistema viene ad avere due equazioni uguali, quindi equivale ad una sola equazione, quindi ha infinite soluzioni (tutti i punti della retta avente quell equazione): 3x+6y = 4 y = x/2 + 2/3 (punti del piano) (x, y) = (x, x/2 + 2/3), x R ( 1 soluzioni). 5