Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Prima prova in itinere 21 aprile 2017 Parte B Tema B1

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1 Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Prima prova in itinere 1 aprile 017 Parte B Tema B1 Tempo a disposizione: un'ora e mezza Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi Ogni esercizio va iniziato all'inizio di una pagina Vanno consegnati solo questo foglio e la bella Saranno tolti punti per le risposte non giusticate SOLUZIONI Esercizio 1 A = [ z C: 1 z + 1 i < e arg(z + 1 i) 5π 6 ; π 3 ]} Rappresentare A nel piano di Gauss inclusi o esclusi Indicare con precisione quali bordi dell'insieme sono Si tratta dell'arco di corona circolare centrata in 1 + i, di raggi 1 e compresi tra gli angoli 5π 6 e π (misurati dal centro della corona) Il bordo è contenuto nell'insieme, tranne l'arco di circonferenza esterno (gli estremi dell'arco sono anche loro esclusi 3 dall'insieme) e i π z : z A } Rappresentare B nel piano di Gauss Indicare con precisione quali bordi dell'insieme sono inclusi o esclusi Può risultare più semplice rappresentare prima A = z : z A} e osserverare che allora e i π z : z A } B è la rotazione di angolo π dell'insieme A, inoltre dilatata di un fattore Si tratta quindi dall'arco di corona di centro 4 i, di raggi e 4 compresi tra gli angoli π 3 e π (sempre misurati dal centro della corona) I bordi sono come per A 6 1

2 Esercizio Si consideri il sistema x y + 3z w u = 6 x + y 4z u = 0 3x 4y + 8z 3w u = 9 x y + 8z 4w u = 1 a) Si porti il sistema in forma triangolare Basta eseguire le seguenti mosse di Gauss Anzitutto eliminiamo la x da tutte le equazioni (tranne la prima), ottenendo x y + 3z w u = 6 z 4w 3u = 1 y z + 3w + u = 9 y + z + u = 0 Scambiamo ora la seconda e la terza equazione: x y + 3z w u = 6 y z + 3w + u = 9 z 4w 3u = 1 y + z + u = 0 Dopo aver eliminato la y dall'ultima equazione, abbiamo x y + 3z w u = 6 y z + 3w + u = 9 z 4w 3u = 1 z + 3w + 3u = 9 Moltiplicando inne l'ultima equazione per e poi sottraendo da essa la terza equazione, il sistema assume la forma triangolare x y + 3z w u = 6 y z + 3w + u = 9 z 4w 3u = 1 10w + 9u = 30 b) Si trovino le soluzioni del sistema (se esistono) Dalla forma triangolare è evidente che le soluzioni esistono e dipendono dall'incognita u, che assume il ruolo di parametro arbitrario Si trova facilmente che x = 3 10 u, y = 5 u, z = 3 10 u, w = u

3 Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Prima prova in itinere 1 aprile 017 Parte B Tema B Tempo a disposizione: un'ora e mezza Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi Ogni esercizio va iniziato all'inizio di una pagina Vanno consegnati solo questo foglio e la bella Saranno tolti punti per le risposte non giusticate SOLUZIONI Esercizio 1 A = [ π z C: 1 z 1 + i < e arg(z 1 + i) 6 ; π ]} 3 Rappresentare A nel piano di Gauss Indicare con precisione quali bordi dell'insieme sono inclusi o esclusi Si tratta dell'arco di corona circolare centrata in 1 i, di raggi 1 e compresi tra gli angoli π 6 e π (misurati dal centro della corona) Il bordo è contenuto nell'insieme, tranne 3 l'arco di circonferenza esterno (gli estremi dell'arco sono anche loro esclusi dall'insieme) e i π z : z A } Rappresentare B nel piano di Gauss Indicare con precisione quali bordi dell'insieme sono inclusi o esclusi Può risultare più semplice rappresentare prima A = z : z A} e osserverare che allora B è la rotazione di angolo π e i π z : z A } dell'insieme A, inoltre dilatata di un fattore Si tratta quindi dall'arco di corona di centro 4 + i, di raggi e 4 compresi tra gli angoli π 3 e 5π 6 (sempre misurati dal centro della corona) I bordi sono come per A Esercizio Si consideri il sistema x y + 3z w u = x + y 4z u = 0 3x 4y + 8z 3w u = 3 x y + 8z 4w u = 4 1

4 a) Si porti il sistema in forma triangolare Basta eseguire le seguenti mosse di Gauss Anzitutto eliminiamo la x da tutte le equazioni (tranne la prima), ottenendo x y + 3z w u = z 4w 3u = 4 y z + 3w + u = 3 y + z + u = 0 Scambiamo ora la seconda e la terza equazione: x y + 3z w u = y z + 3w + u = 3 z 4w 3u = 4 y + z + u = 0 Dopo aver eliminato la y dall'ultima equazione, abbiamo x y + 3z w u = y z + 3w + u = 3 z 4w 3u = 4 z + 3w + 3u = 3 Moltiplicando inne l'ultima equazione per e poi sottraendo da essa la terza equazione, il sistema assume la forma triangolare x y + 3z w u = y z + 3w + u = 3 z 4w 3u = 4 10w + 9u = 10 b) Si trovino le soluzioni del sistema (se esistono) Dalla forma triangolare è evidente che le soluzioni esistono e dipendono dall'incognita u, che assume il ruolo di parametro arbitrario Si trova facilmente che x = 3 10 u, y = 5 u, z = 3 10 u, w = u

5 Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Prima prova in itinere 1 aprile 017 Parte B Tema B3 Tempo a disposizione: un'ora e mezza Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi Ogni esercizio va iniziato all'inizio di una pagina Vanno consegnati solo questo foglio e la bella Saranno tolti punti per le risposte non giusticate SOLUZIONI Esercizio 1 A = [ π z C: 1 z + i < e arg(z + i) 3 ; 5π 6 ]} Rappresentare A nel piano di Gauss inclusi o esclusi Indicare con precisione quali bordi dell'insieme sono Si tratta dell'arco di corona circolare centrata in i, di raggi 1 e compresi tra gli angoli π 3 e 5π (misurati dal centro della corona) Il bordo è contenuto nell'insieme, tranne l'arco 6 di circonferenza esterno (gli estremi dell'arco sono anche loro esclusi dall'insieme) e i π z : z A } Rappresentare B nel piano di Gauss Indicare con precisione quali bordi dell'insieme sono inclusi o esclusi Può risultare più semplice rappresentare prima A = z : z A} e osserverare che allora e i π z : z A } B è la rotazione di angolo π dell'insieme A, inoltre dilatata di un fattore Si tratta quindi dall'arco di corona di centro + 4i, di raggi e 4 compresi tra gli angoli 7π 6 e 4π 3 (sempre misurati dal centro della corona) I bordi sono come per A 1

6 Esercizio Si consideri il sistema x y + 3z w u = x + y 4z u = 0 3x 4y + 8z 3w u = 3 x y + 8z 4w u = 4 a) Si porti il sistema in forma triangolare Basta eseguire le seguenti mosse di Gauss Anzitutto eliminiamo la x da tutte le equazioni (tranne la prima), ottenendo x y + 3z w u = z 4w 3u = 4 y z + 3w + u = 3 y + z + u = 0 Scambiamo ora la seconda e la terza equazione: x y + 3z w u = y z + 3w + u = 3 z 4w 3u = 4 y + z + u = 0 Dopo aver eliminato la y dall'ultima equazione, abbiamo x y + 3z w u = y z + 3w + u = 3 z 4w 3u = 4 z + 3w + 3u = 3 Moltiplicando inne l'ultima equazione per e poi sottraendo da essa la terza equazione, il sistema assume la forma triangolare x y + 3z w u = y z + 3w + u = 3 z 4w 3u = 4 10w + 9u = 10 b) Si trovino le soluzioni del sistema (se esistono) Dalla forma triangolare è evidente che le soluzioni esistono e dipendono dall'incognita u, che assume il ruolo di parametro arbitrario Si trova facilmente che x = 3 10 u, y = 5 u, z = 3 10 u, w = u

7 Università degli Studi di Bergamo Scuola di Ingegneria Corso di Geometria e Algebra Lineare Prima prova in itinere 1 aprile 017 Parte B Tema B4 Tempo a disposizione: un'ora e mezza Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi Ogni esercizio va iniziato all'inizio di una pagina Vanno consegnati solo questo foglio e la bella Saranno tolti punti per le risposte non giusticate SOLUZIONI Esercizio 1 A = [ z C: 1 z + i < e arg(z + i) π ]} 3 ; π 6 Rappresentare A nel piano di Gauss inclusi o esclusi Indicare con precisione quali bordi dell'insieme sono Si tratta dell'arco di corona circolare centrata in + i, di raggi 1 e compresi tra gli angoli π 3 e π (misurati dal centro della corona) Il bordo è contenuto nell'insieme, tranne l'arco di circonferenza esterno (gli estremi dell'arco sono anche loro esclusi 6 dall'insieme) e i π z : z A } Rappresentare B nel piano di Gauss Indicare con precisione quali bordi dell'insieme sono inclusi o esclusi Può risultare più semplice rappresentare prima A = z : z A} e osserverare che allora e i π z : z A } B è la rotazione di angolo π dell'insieme A, inoltre dilatata di un fattore Si tratta quindi dall'arco di corona di centro 4i, di raggi e 4 compresi tra gli angoli π 6 e π 3 (sempre misurati dal centro della corona) I bordi sono come per A 1

8 Esercizio Si consideri il sistema x y + 3z w u = 4 x + y 4z u = 0 3x 4y + 8z 3w u = 6 x y + 8z 4w u = 8 a) Si porti il sistema in forma triangolare Basta eseguire le seguenti mosse di Gauss Anzitutto eliminiamo la x da tutte le equazioni (tranne la prima), ottenendo x y + 3z w u = 4 z 4w 3u = 8 y z + 3w + u = 6 y + z + u = 0 Scambiamo ora la seconda e la terza equazione: x y + 3z w u = 4 y z + 3w + u = 6 z 4w 3u = 8 y + z + u = 0 Dopo aver eliminato la y dall'ultima equazione, abbiamo x y + 3z w u = 4 y z + 3w + u = 6 z 4w 3u = 8 z + 3w + 3u = 6 Moltiplicando inne l'ultima equazione per e poi sottraendo da essa la terza equazione, il sistema assume la forma triangolare x y + 3z w u = 4 y z + 3w + u = 6 z 4w 3u = 8 10w + 9u = 0 b) Si trovino le soluzioni del sistema (se esistono) Dalla forma triangolare è evidente che le soluzioni esistono e dipendono dall'incognita u, che assume il ruolo di parametro arbitrario Si trova facilmente che x = 3 10 u, y = 5 u, z = 3 10 u, w = 9 10 u