Progetto di travi in c.a.p isostatiche Il predimesionamento della Sezione - 3

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1 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione Corso di Cemento Armato Precompresso A/A Progetto di travi in c.a.p isostatiche Il predimesionamento della Sezione - 3

2 Per il calcolo definitivo di una sezione in cemento armato precompresso è necessario determinare il valore dello sforzo normale di progetto assieme alla sua eccentricità. A tale scopo è necessario distinguere le solite due condizioni progettuali: Precompressione totale Precompressione limitata Il valore di N e di e p si determinano a partire da opportune condizioni imposte sulle tensioni

3 Precompressione Totale Nel caso di precompressione totale la sezione risulta interamente compressa sia a vuoto che in esercizio. Con riferimento alle condizioni per cui il momento dovuto al peso proprio è di entità limitata o preponderante si possono distinguere i due casi noti:

4 Precompressione Totale Tale condizione comporta che a vuoto il centro di pressione coincide con il punto di nocciolo inferiore. In esercizio il centro di pressione coincide con il punto di nocciolo superiore. Tali condizioni si esprimono analiticamente: Vuoto Esercizio

5 Precompressione Totale Vuoto Esercizio Sottraendo la seconda alla prima si ottiene l espressione dello sforzo di precompressione in esercizio, assieme alla eccentricità del cavo e p. N e e p k i M G N e 1 M G M pq k s k i

6 Precompressione Totale N, e p?????

7 Precompressione Totale Calcolo caratteristiche geometrichedella sezione: Area sezione: A c = 0,2100 m 2 Area armatura di precompressione A ap = 1430 mm 2 Momento d inerzia: I g = 1, m 4 Punti di nocciolo: k s =0.201 cm, k i =0,190 m Calcolo sollecitazioni: Le sollecitazioni in mezzeria sono: Peso proprio: Carico variabile: M g = (1/8) A c c L 2 = 110,9 KN m M q = 500 KN m Siamo quindi nel caso M g < 20% di M g +M p+q

8 Precompressione Totale Calcolo sforzo di precompressione: Lo sforzo di precompressione può essere determinato applicando la (6.11) 1 : (1 0.8) N e 1336 KN Calcolo posizione cavo risultante: Applicando la (6.11) 2 si ottiene infine la posizione del cavo: e p m kn, m

9 Precompressione Totale In tal caso si può tentare di applicare la procedura del caso precedente, con il rischio che la posizione del cavo risultante cada al di fuori dalla sezione. Per evitare questa eventualità è necessario prefissare la posizione del cavo risultante in maniera che essa rispetti le condizioni di copriferro minimo. Rimane così da determinare l unica incognita del problema, ossia lo sforzo di precompressione N i e p y i d min N e M G M pq e p k s N i N e

10 Precompressione Totale

11 Precompressione Limitata Nel caso di precompressione limitata, si ammette che sia in fase iniziale che in esercizio ci sia trazione al lembo superiore e inferiore, rispettivamente. In tal caso i centri di pressione a vuoto e in esercizio risultano essere ovviamente esterni al nocciolo centrale d inerzia.

12 Precompressione Limitata Questi, noti in letteratura come punto limite inferiore e superiore, si possono determinare osservando che la tensione di trazione nasce ad opera di una variazione di momento interno che sposta il centro di pressione dai punti di nocciolo inferiore e superiore ai rispettivi punti limite. La loro espressione è la seguente: k i W s ct,i N e k s W i ct,e N e

13 Precompressione Limitata

14 Precompressione Limitata: procedura di calcolo di N e

15 Precompressione Limitata

16 Precompressione Limitata

17 Precompressione Limitata

18 Precompressione Limitata Affinché la sezioni risulti verificata è necessario che i moduli di resistenza a flessione superiore ed inferiore rispettino le condizioni 6.7 e 6.8: W W s id s id (1 ) M ct, e (1 ) M cc, i G M G ct, i M ct, e pq pq m cm C m cm 3 La sezione risulta dunque ben dimensionata.

19 Precompressione Limitata Con questi dati si determina il valore di N e la posizione del cavo risultante mediante le 6.13,14 e Essendo il caso tratto di precompressione limitata è necessario procedere per iterazioni. Come valore iniziale dello sforzo di precompressione consideriamo N e =1125kN calcolata in fase di predimensionamento. Iterazioni Indiceiterazioni k i (kn) k s (kn) N e (kn) 1 0,043-0, ,050-0, ,051-0, ,051-0, ,051-0,

20 Precompressione Limitata

21 Diagramma di Magnel In alternativa al procedimento prima illustrato è possibile determinare la coppia N ed e mediante un diagramma sintetico detto diagramma di Magnel. Per la sua determinazione si utilizzando le diseguaglianze che esprimono le condizioni di sicurezza imposte dalla normativa:

22 Diagramma di Magnel Dalle precedenti si possono ricavare quattro diseguaglianze in termini di N e ed eccentricità e, che individuano un area entro la quale scegliere i valori nel rispetto delle condizioni di sicurezza. Ad esempio dalla prima delle precedenti si ricava la seguente relazione: ct,i N e A N e e M G W s W s ct,i N e A N ee M G W s W s M G W s ct,i N e M G W s ct,i N e 1 A e W s e W s A 1) 1 1 e W s A N e M G W s ct,i

23 Diagramma di Magnel Dalla seconda delle precedenti.. cc,i N e A N e e M G W i W i 1 M G W i cc,i N e M G W i cc,i N e A e W i e W i A 2) 1 1 e W i A N e M G W i cc,i

24 Diagramma di Magnel Dalla terza.. ct,e N e A N ee M M G pq W i W i M G M pq W i ct,e N e e W i A 3) 1 N e e W i A M G M pq W i ct,e

25 Diagramma di Magnel Dalla quarta.. cc,e N e A N ee M M G pq W s W s M G M pq W s cc,e N e e W s A 4) 1 N e e W s A M G M pq W s cc,e

26 Diagramma di Magnel (esercizio 6.3) 0,003 Serie1 0,002 1/N e 1 Area ammissibile Secondo la relazione 0,001 1) ,001 e 0,002 0,003

27 Diagramma di Magnel (esercizio 6.3) Serie1 Serie2 0,003 0,002 Area ammissibile Secondo le relazioni 0,001 1) E 2) ,001 1/N e 2 1 e 0,002 0,003

28 Diagramma di Magnel (esercizio 6.3) Serie1 Serie2 Serie3 0,003 0,002 1/N e 3 Area ammissibile Secondo le relazioni 1), 2) e 3) 1 0, e 0,001 0,002 La pendenza negativa della retta 3) impone che la diseguaglianza cambi di segno 0,003

29 Diagramma di Magnel (esercizio 6.3) Serie1 Serie2 Serie3 Serie4 0,003 0,002 1/N e , e 0,001 0,002 0,003 L area individuata dalle 3 disequazioni È l area ammissibile entro la quale dovrà cadere il punto di progetto. Nel caso dell esercizio 6.3 il punto prima determinato può essere considerato ammissibile

30 Diagramma di Magnel (esercizio 6.3) Serie1 Serie2 Serie3 Serie4 0,003 0,002 1/N e 3 e lim 1 4 0, e 0,001 0,002 0,003 Se necessario, è possibile prefissare un valore massimo dell eccentricità, e max, definendo in tal modo un area progettuale ridotta

31 Diagramma di Magnel (esercizio 6.3) Serie1 Serie2 Serie3 Serie4 N max N min 0,003 0,002 0,001 1/N e e lim e 0,001 0,002 0,003 Dal diagramma è possibile determinare il valore minimo (N min ) e massimo (N max ) dello sforzo normale

32 Diagramma di Magnel (esercizio 6.3) Serie1 Serie2 Serie3 Serie4 N max 0,003 0,002 0,001 1/N e e im= e max e 0,001 0,002 e min E inoltre possibile determinare il valore minimo (e min ) e massimo (e max ) dell eccentricità. 0,003