Scheda - Le basi della Matematica La Matematica che risolve i problemi

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1 Scheda - Le basi della Matematica La Matematica che risolve i problemi Nota importante Per vericare l'esattezza dei tuoi procedimenti sul calcolo del mcm, del MCD, delle espressioni numeriche puoi usare la tua calcolatrice scientica oppure il software gratuitamente disponibile online all'indirizzo: Figure 1: Uso del programma Geogebra per controllare le operazioni svolte. Per vericare l'esattezza dei tuoi procedimenti sul calcolo delle espressioni numeriche o algebriche e delle equazioni puoi utilizzarre il software Minimath, gratuitamente disponibile online. E' interessante che questo programma ti permette di vedere tutti i passaggi risolutivi!! ( Figure 2: Uso del programma Minimath per controllare le operazioni svolte. 1

2 Problemi ed equazioni Imparare ad utilizzare le equazioni è molto importante, perché esse possono essere utilizzate per risolvere svariati tipi di problemi. Poiché le tipologie di problemi possono essere molto dierenti tra di loro, non è possibile stabilire un iter unico per risolverli, ma possiamo elencare delle indicazioni generali. Per risolvere un problema è necessario tradurlo in un'equazione che ne rappresenti il modello matematico. Per prima cosa, quindi, dobbiamo analizzare il problema individuando i dati importanti e poi procediamo in questo modo: 1. Individuiamo qual è l'obiettivo del problema, ovvero il numero (o i numeri) che bisogna calcolare. 2. A tale numero incognito, ovvero che non si conosce ancora, viene associata una variabile che di solito si indica con la lettera x. Quindi bisogna scrivere esplicitamente il signicato che noi attribuiamo all'incognita x. (Attenzione! Visto che vi sono diverse strade che portano alla risoluzione di un problema, non esiste un modo unico di ssare il signi- cato della variabile x); 3. Poniamo le eventuali condizioni di accettabilità della soluzione, cioè le limitazioni al valore dell'incognita che garantiscono la possibilità di ottenere risultati accettabili. Ad esempio, se con x indichiamo l'età attuale di un ragazzo, dobbiamo scrivere che accetteremo solo età maggiori o uguali a zero, ovvero x Scriviamo l?equazione che rappresenta il problema. Per farlo, dobbiamo utilizzare tutti i dati signicativi che ci sono stati dati o che si possono ricavare implicitamente dal testo. In questo passo è importante saper tradurre le informazioni dal registro espressivo della lingua italiana al registro espressivo della matematica. 5. Risolviamo l'equazione così ottenuta con i metodi matematici a nostra disposizione; 6. Utilizziamo il dato ottenuto dall'equazione per concludere il problema e determinare la sua soluzione. Esempio 1: Un numero naturale è uguale al suo doppio diminuito di 1. Determina tale numero. trovare un numero, è ragionevole porre x = numero da trovare 2

3 Poiché, di solito, la x varia all'interno dei numeri reali, dobbiamo porre le condizioni di accettabilità x N in quanto specichiamo che accetteremo solo numeri interi positivi. Poi scriviamo l'equazione che risolve il problema, ovvero x = 2x 1 x = 1 = x = 1 Esempio 2 - (teniamo conto del tempo): Un padre ha 40 anni e suo glio ne ha 14. Tra quanti anni l'età del padre sarà il doppio dell'età del glio? trovare un periodo in anni, è ragionevole porre x = numero di anni che devono trascorrere a partire da oggi Visto che di solito la x varia all'interno dei numeri reali, dobbiamo porre le condizioni di accettabilità x 0 Tra x anni il padre avrà 40 + x anni ed il glio avrà 14 + x anni. Quindi l'equazione risulta 40 + x = 2 (14 + x) 40 + x = x = x = 12 = x = 12 Esempio 3 - (Problemi con dati non esplicitamente riportati): Un contadino alleva conigli e delle galline. Siccome ama la matematica, un giorno si diverte a contare 48 teste e 136 zampe. Quanti conigli e quante galline possiede quel contadino?. il numero dei conigli e quello delle galline, è ragionevole porre x = numero dei conigli Poiché vi sono 48 teste e tutti sanno che sia i conigli che le galline hanno una sola testa, il numero totale di animali sarà 48. Se i conigli sono x, di conseguenza, le galline saranno 48 x = numero delle galline 3

4 Visto che di solito la x varia all'interno dei numeri reali, dobbiamo porre le condizioni di accettabilità e x 0 condizione per i conigi 48 x 0 = x 48 condizione per le galline Quindi, mettendo a sistema le due condizioni, otteniamo che possiamo accettare la x solo se essa appartiene all'intervallo 0 x 48 Poi scriviamo l'equazione che risolve il problema, ovvero 4x + 2 (48 x) = 136 4x x = 136 = 2x = 40 = x = 20 Abbiamo scoperto di avere 20 conigli e, quindi, 28 galline. 4

5 Esercizi Esercizio 1 Risolvi i seguenti problemi, utilizzando gli strumenti matematici a tua disposizione (equazioni di I, di II grado, sistemi lineari, etc. ) (a) La somma di un numero, dei suoi tre quarti e dei suoi tre quinti è pari a 47. Trova il numero (b) La somma di due numeri è 40. Se al secondo si aggiunge 2 si ottiene il doppio del primo; (c) Due numeri naturali consecutivi sono tali che la somma di un quinto del minore e di un mezzo del maggiore è pari a 18. Determina i due numeri; (d) Le donne che lavorano in una biblioteca sono il triplo degli uomini. Calcola quanti sono gli uomini sapendo che, se ci fossero 20 donne in meno, queste sarebbero la metà degli uomini (e) Lucia e Elena sono sorelle. La somma delle loro età è 31 e Lucia è nata tre anni prima di Elena. Quanti anni ha ciascuna? (f) Un bibliotecario vuole disporre in ordine dei libri di storia sugli scaali di una libreria. Se mette 8 libri su ogni scaale, ne rimane vuoto uno; se invece mette 6 libri su ogni scaale, riempie la libreria ma gli restano fuori 2 libri. Quanti libri deve sistemare il bibliotecario? (g) In un numero di due cifre la cifra delle decine è doppia di quella delle unità. Scambiando le due cifre si ottiene un nuovo numero che è minore del primo di 36. Determina il numero di parten- za. (Suggerimento. Se x è la cifra delle decine e y quella delle unità, il numero è 10x + y) (h) La somma dei quadrati di due numeri pari consecutivi è 580. Quali sono i due numeri? (i) Trova l'età di una persona sapendo che fra due anni la sua età sarà uguale al quadrato della quarta parte dell'età che aveva tre anni fa; 5