Capitolo 3 (ultimo aggiornamento 10/05/04) 3.1 Circuiti magnetici

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1 Capitolo 3 (ultimo aggiornamento 10/05/04) 3.1 Circuiti magnetici Principali grandezze: unità di misura H A/m H/m B T Wb/m 2 Vs m 2 Legge di Biot e Savart con ū versore tangenziale. Teorema della circuitazione B H B P, t H P, t 0 r H/m H P B P I 2r ū H td it Nit m j1 Nj i j Flusso magnetico S B nds Wb con divb 0 in quanto: B nds 0 Sc con Sc superficie chiusa. Il teorema della circuitazione può anche essere scritto così: H td J nds S da cui: roth J Si può inoltre dimostrare che: roth J D t con D Ēvettore spostamento elettrico. 1

2 3.1.2 Curva di magnetizzazione Caratteristiche magnetiche dei materiali Per quanto attiene le caratteristiche magnetiche, i materiali possono essere classificati in: Materiali DIAMAGNETICI r 1 Materiali PARAMAGNETICI r 1 Materiali FERROMAGNETICI r 1 e variabile con H e/o B Per i materiali ferromagnetici si può scrivere: B 0 H 0 rh 0 H 0 H 0 r 1H 0 H B i in cui 0 r 1H è il vettore polarizzazione magnetica B i. Bg è l induzione al ginocchio di saturazione e Hc è il campo coercitivo cioè la forza magneto-motrice necessaria a cancellare il magnetismo residuo. µμαχ µ µ0 Fig.3.1 Fig.3.2 B P Br -HM -Hc H1 H2 +HM -Br Fig.3.3 In figura 3.3 è riportato un ciclo di isteresi simmetrico. 2

3 Br è l induzione residua H 0 Hc campo coercitivo forza magneto-motrice necessaria a cancellare il magnetismo residuo B 0 Ciclo lenticolare Dicesi ciclo lenticolare un ciclo di isteresi non simmetrico (vedi figure 3.4 e 3.5). Fig Perdite nel ferro Densità di energia magnetica Fig.3.5 B db H H Fig.3.6 W 0 B HdB W HB 2 B2 2 H2 2 J/m 3 Mezzo isteretico: aree rappresentative della densità di lavoro scambiato con il generatore elettrico e dissipato sotto forma di calore. 3

4 B B H,B H 0,B'' H,B H Perdite per isteresi Fig.3.7 P T f (area del ciclo)f B 1.62 max f W/m 3 HdB J/m 3 se peso specifico del ferro kg/m 3 P P kfb 1.62 max W/kg Formula di Steimetz L ist J/m 3 P ist M f W/m Legge di Ohm dei circuiti magnetici Dato un solenoide di N spire, come quello di figura e preso un tubo di flusso (cioè un circuito magnetico nel quale il flusso è costante qualunque sia la sezione S : cioè B S B S B S con S S S e conseguentemente B B B, applicando il teorema della circuitazione alla linea mediana chiusa si ha: H d B d B S d S d S R 4

5 R d S Fig.3.8 è la riluttanza di un circuito magnetico lungo a sezione costante S. La permeanza P è l inverso della riluttanza: P R 1 La relazione R NI è chiamata legge di Ohm dei circuiti magnetici o legge di Hopkinson. Dato un un circuito magnetico costituito da due o più tratti di lunghezza diversa, sezione differente e differente permeabilità magnetica, la riluttanza equivalente è pari alla somma delle singole riluttanze: R S R 1 R 2 R 3...Rn Se nel circuito magnetico sono presenti due o più rami in parallelo, la riluttanza è pari a: 1 Rp 1... R 1 1 Rn P p P 1 P 2...Pn 5

6 3.3 Analogia tra un circuito magnetico ed uno elettrico E RI NI R f.e.m. E in V f.m.m. NI in As resistenza R in riluttanza R in H 1 corrente I in A flusso in Wb Si Ricorda che: LI L /I e d d e con flusso concatenato. Quindi nei circuiti magnetici formalmente si possono applicare tutte le leggi dei circuiti elettrici ad esempio il I e il II principio di Kirchhoff, il metodo delle maglie, il metodo dei nodi etc. I circuiti magnetici che si incontrano nella pratica sono assimilabili, in prima approssimazione, a tubi di flusso, per cui: 1) il materiale di cui sono costituiti deve avere la più elevata possibile, 2) i traferri (o interferri) devono essere i più piccoli possibile (perchè in serie!). Si definiscono flussi dispersi quei flussi che, generati da un avvolgimento (NI), lungo il circuito magnetico, riescono a "scavalcare" una parte più o meno grande del circuito stesso. Per risolvere un circuito magnetico si deve fare sempre ricorso alla legge di Hopkinson ovvero al teorema della circuitazione: NI R n h1 H h h m k1 Nk I k "H" prende il nome di d.d.p.m., mentre "N h I h " prende il nome di f.m.m. Il valore che assume l induzione magnetica nella sezione di un circuito magnetico è data dal rapporto: B 1 ; B S 2 etc.. 1 S 2 Nei circuiti a "" costante la riluttanza è costante, mentre nei circuiti in cui I è necessario fare ricorso alla curva di prima magnetizzazione. 6

7 3.4 Coefficiente di auto e mutua induzione Ricordando la legge di Lenz (con L indipendente dal tempo): et d dli L di se tra due circuiti magnetici vicini si ha accoppiamento di linee di flusso, detto 12 il flusso generato dal primo circuito che si concatena anche con le N 2 spire del secondo, si potrà scrivere: 12 M12 I 1 i1 φ1 φ2 Fig.3.9 Analogamente, se il circuito 2 è percorso dalla corrente I 2 si avrà che una quota parte del flusso generato da esso si concateni con le N 1 spire del primo: 21 M21 I 2 Si può dimostrare che, in assenza di movimento reciproco tra i due circuiti e avendo supposto che i circuiti siano indeformabili: M 21 M 12 Mentre il coefficiente di autoinduzione ( o induttanza) è sempre positivo, M può essere positivo o negativo a seconda dei versi delle correnti che scorrono nei due avvolgimenti, se cioè esse danno luogo a flussi concordi o discordi. Relazione costitutiva del bipolo induttore ut d t con L I L dit N2 R N2 S 7

8 Relazione costitutiva del doppio bipolo induttore di u 1 t L 1 t 1 u 2 t M di 1 t M di 2 t L 2 di 2 t parallelo di induttori Fig.3.10 serie di induttori Fig.3.11 Lp 1 L 1 1 L2 1 L S L 1 L 2 Fig.3.12 Energia magnetica immagazzinata in un induttore Wm L 1 2 Li2 1 2 i Energia magnetica in due induttori mutuamente accoppiati: Wm 1 2 L 1 i 1 2 Mi 1 i L 2 i 2 2 Coefficiente di accoppiamento (K) M K L 1 L 2 se K 1 si ha accoppiamento perfetto. 8

9 3.5 Induttore toroidale La determinazione dell induttanza di un avvolgimento di N spire posto attorno ad un toro di sezione S con raggio medio rm e permeabilità magnetica vale: L i NBS i Fig con R 1 2r m S 3.6 Induttori solenoidali lunghi N2 R SN2 2rm La determinazione dell induttanza di un avvolgimento di N spire posto attorno ad un cilindro di sezione costante S e permeabilità magnetica costante ( solenoide) si ottiene come segue: L i N i Fig.3.14 NNi ir N2 R N2 S 9

10 3.7 Linea bifilare La determinazione dell induttanza di una linea bifilare di lunghezza costituita da due conduttori rettilinei di raggio r 0 paralleli, posti ad una distanza h tra i rispettivi centri, si opera attraverso la valutazione del flusso concatenato: Fig.3.15 c h i r0 2x dx 2 i ln r h 0 portando in conto il flusso interno c e la simmetria del circuito, si ha: c 8 i si ha: L 2 c c i ln h r Perdite per correnti parassite ovvero eddy currents ovvero correnti di Foucault H Fig

11 hp. di lavoro 1) w h ; 2) si trascura la smagnetizzazione prodotta dalle correnti indotte nel blocco del materiale; 3) il cammino della corrente I è assunto puramente resistivo; 4) B Bm sin t è diretto ortogonalmente alla superficie h, w cioè è parallelo ad "l". Assumendo: r resistenza del generico circuito elementare indicata nella figura 3.16, trascurando i due tratti lunghi w, è pari a:: r 2h ldx h lunghezza del circuito e resistività del materiale costituente il blocco e ldx sezione investita dalla corrente I B h2x Ē j La potenza dissipata per effetto Joule nel blocco varrà: P w/2 dp 0 w/2 E 2 0 r w/ h/ldx w/2 4 2 f 2 B 2 h 2 4x 2 ldx 0 2h 22 f 2 B 2 h4l w/2 x 2 2 f 2 dx Bm 2 h4lw 3 2 f 2 Bm 2 W 2 hlw W/m avendo sostituito a B l induzione massima Bm Bm 2 B per cui si ottiene: P P peso P wlh W/kg ovvero introducendo il peso dell unità di volume, peso specifico, si ha: P 2 f 2 Bm 2 w 2 hlw K f2 Bm 2 w 2 6hlw Si noti che le perdite per correnti parassite dipendono, a parità di ogni altra condizione, dal quadrato dello spessore w. Cifra di perdita Per i soli materiali ferromagnetici si introduce la cifra di perdita come la somma di due termini relativi alle perdite per isteresi e per correnti parassite: 11

12 C K 1 f2 Bm 2 w 2 K 2 Bm 1.62 f W/kg w spessore del lamierino La cifra di perdita è valutata per una frequenza di rete pari a f 50Hz, e una Bmax 1 T oppure 1.5 T(Tesla 3.9 Effetto pelle a) Caso di conduttore circolare Con riferimento alla figura, nell ipotesi di un cavo circolare massiccio percorso da corrente continua con densità di corrente J uniformemente distribuita sulla sezione, avendo suddiviso la sezione in n corone circolari equiaree, si avrà: Fig.3.17 L 1 1 I 1 con 1 1int 1est Ln n In n est e int 0 Per l ipotesi di J costante sulla sezione perchè in corrente continua e perchè le resistenze dei due circuiti sono identiche I 1 In; seperòlacorrenteèalternata, allora interviene anche la componente reattiva: L 1 1 I Ln n 1 In con L 1 Ln perchè: est al conduttore 1 è maggiore di est al conduttore n Se è la pulsazione della corrente che interessa il conduttore, si avrà: Ż 1 r 1 jl 1 Żn rn jln con L 1 Ln e r 1 rn r Come si evince chiaramente dallo schema circuitale di figura, con gli "n" rami in parallelo, la corrente si distribuisce in modo disuniforme sulla sezione e, più precisamente, tenderà a disporsi sul bordo esterno piuttosto che all interno, per cui si 12

13 avrà che: Rca Rcc 1 b) Caso di un semipiano conduttore indefinito Più in generale, considerando un semipiano di conducibilità investito da un campo magnetico con legge di variazione del tipo: Bt Bm sin t Fig.3.19 si definisce profondità di penetrazione, 2 intendendo con tale parametro quantificare lo spessore di conduttore effettivamente interessato dalle correnti indotte dal campo magnetico variabile. Dopo 4 5 si ha un effetto schermante completo. Nel caso del rame a 30 Cu30 si avrà: per f 50Hz per f 1MHz 16. 7m 9. 4mm 13