5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI. Circuiti magnetici

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1 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI (ultima modifica 27/10/2017) Circuiti magnetici Nei problemi relativi ai circuiti elettrici si richiede di determinare la differenza di potenziale V e le correnti I nei diversi rami e elementi della rete elettrica dovute alla presenza di generatori di tensione e di corrente. Analogamente i problemi relativi ai circuiti magnetici riguardano la determinazione dei flussi magnetici Φ e intensità di campi magnetici H nelle diverse parti dei circuiti causate dalle correnti che circolano nelle bobine avvolte intorno ai nuclei magnetici (amperspire). M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 1

2 Circuiti magnetici Un circuito elettrico è un insieme opportunamente coordinato di materiali elettrici, avente lo scopo di stabilire un determinato andamento (o percorso) della corrente elettrica I, generata da una adeguata f.e.m. E ( forza elettro-motrice) analogamente un circuito magnetico è un insieme opportunamente coordinato di materiali magnetici, avente lo scopo di stabilire un determinato andamento (o percorso) del flusso magnetico indotto generato da una adeguata f.m.m. NI (forza magneto-motrice) M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 2

3 Circuiti magnetici con percorsi delle linee di flusso principale che si svolgono nel ferro e nei traferri. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 3

4 Per esempio problemi relativi ai circuiti magnetici si hanno nei: Trasformatori Generatori Motori Relays Dispositivi di registrazione magnetica L analisi dei circuiti magnetici è basata su le due equazioni fondamentali generali della magnetostatica: B 0 con H B M A H J μ m 0 M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 4

5 Facendo l integrale superficiale della relazione: H J e applicando il teorema di Stokes, si ottiene la legge della circuitazione di Ampere. Se NI sono le amperspire concatenate con un tubo di flusso di un circuito, applicando il teorema della circuitazione ad una linea l del vettore contenuta nel tubo, si ha: S H ds l H dl S J ds NI l H dl NI f m m è chiamata forza magneto motrice (f.m.m.), si misura in [A] o [As] (amperspire) ed è analoga alla forza elettromotrice (fem) in un circuito elettrico. m m M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 5 f

6 Convenzioni di segno: regola di Maxwell La corrente che circola in una spira crea un campo magnetico le cui linee di forza si chiudono su se stesse intorno alla corrente che le produce. La linea di forza che passa per il centro della spira è tangente all asse della spira. Il verso positivo nell asse dell induttore é quello in cui avanza una vite destrogira, che ruota nel verso positivo di percorrenza della corrente nella spira: B I + B I + I + I B B M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 6

7 Per un tubo di flusso di sezione elementare ds: H dl NI B dl NI 1 d ds dl NI Se il tubo di flusso è di sezione finita S e se si può assumere B costante: 1 dl NI S dove 1 S 1 dl H H -1 è la riluttanza magnetica e è la permeanza magnetica. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 7

8 Si noti l analogia con la relazione, valida per un conduttore metallico, che lega le grandezze del campo elettrico: I 1 γs dl E dove: R * * * * l l 1 γs * dl * Ω è la resistenza e G 1 R è la conduttanza elettrica. Tali relazioni sono analoghe a quelle ottenute per un circuito magnetico, che legano le grandezze del campo magnetico: 1 S dl NI 1 S dl H -1 M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 8

9 Circuito elettrico S sezione circuito realizzato con materiale conduttore di resistività Circuito magnetico S* sezione del toro magnetico realizzato in materiale ferromagnetico con permeabilità I + E NI l lunghezza del circuito l* lunghezza media della linea di forza o di flusso Legge di Ohm E=RI con R= ρ (l*/s*) resistenza elettrica Legge di Hopkinson NI= con = 1/ (l/s) Riluttanza Magnetica M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 9

10 Se si può ritenere che tutto il flusso sia incanalato dentro il tubo di flusso di sezione S, la riluttanza diventa uguale a: 1 l dl S S e la relazione precedente diventa: I circuiti magnetici possono essere analizzati applicando gli stessi principi e legge validi per i circuiti elettrici, dove per le analogie esistenti tra i due circuiti, le grandezze corrispondenti sono: Circuiti magnetici f m m = NI [As] l NI Circuiti elettrici E [V] [Wb/m 2] I [A] [H -1 ] R [] [H/m] [S/m] M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 10

11 Per il teorema della circuitazione e l irrotazionalità del vettore induzione magnetica, sono deducibili i principi fondamentali per i circuiti magnetici, analoghi ai principi di Kirchhoff per le reti elettriche: * ** Φ 0 NI Hl Φ per i nodidel c. m. per le maglie del c. m che affermano che : * la somma algebrica di tutti i flussi magnetici che attraversano un nodo in un circuito magnetico è nulla e che ** lungo un percorso chiuso in un circuito magnetico la somma algebrica delle amperspire è uguale alla somma algebrica dei prodotti delle riluttanze per i relativi flussi. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 11

12 Sebbene esista una analogia formale tra i principi fondamentali per i circuiti magnetici, con i principi di Kirchhoff per le reti elettriche, occorre sottolineare una importante differenza rispetto ai circuiti elettrici. Infatti nei materiali ferromagnetici la permeabilità è funzione della induzione: f ( B ), mentre la conduttività γ si può ritenere indipendente dalla densità di corrente J: 1 l S dl -1 H Riluttanza magnetica R 1 l * S * dl Resistenza elettrica * M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 12

13 1) Per risoluzione del problema diretto si intende: noto il valore NI (causa) determinare (effetto); 2) per la risoluzione del problema inverso: noto (effetto), determinare NI (causa). * ** Φ 0 NI Hl Φ per i nodidel c. m. per le maglie del c. m Quindi la formula ** ( analoga al II principio di Kirchhoff per le maglie) non può essere utilizzata per risolvere il problema diretto del calcolo del flusso corrispondente ad una certa f.m.m. NI, essendo μ indeterminato.. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 13

14 Per risolvere il problema diretto occorre utilizzare la procedura di soluzione del problema inverso, quindi: inizialmente vengono calcolati una serie di valori della f.m.m., per prefissati valori del flusso ( con la procedura di soluzione del problema inverso); si riportano le coppie dei valori in un grafico che rappresenta la caratteristica di magnetizzazione totale del circuito magnetico, che è specifica per ciascun circuito e può essere utilizzata per la soluzione del problema diretto. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 14

15 Comportamento dei materiali magnetici I materiali magnetici possono essere grossolanamente classificati in tre gruppi principali in base al loro valore di permeabilità relativa r o μ della m suscettività magnetica: μ. r 1 χm Un materiale si chiama: μ0 Diamagnetico se r < 1 ( m è un num. negativo molto piccolo), Aria o Vuoto r =1 Paramagnetico se r > 1 ( m è un num. positivo molto piccolo), Ferromagnetico se r >> 1 ( m è un num. positivo molto grande), ricordando la relazione costitutiva per i materiali omogenei ed isotropi: M m H essendo m suscettività magnetica Questa classificazione in funzione della r o m è dovuta: 1. in parte al momento di dipolo magnetico degli atomi del materiale e 2. in parte alla interazione tra gli atomi. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 15 la

16 Diagramma delle caratteristiche magnetiche per diversi tipi di materiali: Diamagnetico r < 1 B = 0 r H= H c. lineare Vuoto e Aria r = 1 B = 0 H= H = 1, H c. lineare Paramagnetico r > 1 B = 0 r H= H c. lineare Ferromagnetico se r >> 1 non lineare, ma linearizzabile a tratti M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 16

17 Diamagnetismo Il diamagnetismo è la proprietà della maggioranza delle sostanze conosciute di essere respinte, anziché attratte da una calamità. Sono diamagnetici: l oro, l antimonio, il bismuto, mercurio, argento bismuto, alcool etilico, rame, diossido di carbonio, azoto. Esso è principalmente dovuto al movimento orbitale degli elettroni all interno di un atomo e come tale è comune a tutte i materiali. In assenza di un campo magnetico esterno, le correnti microscopiche associate al moto degli elettroni nell'atomo danno luogo a momenti magnetici che si compensano, con il risultato che nella maggior parte dei casi l'atomo non presenta momento magnetico. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 17

18 Quando agisce un campo magnetico esterno, il moto degli elettroni viene perturbato e compare un debole momento magnetico che è opposto al campo esterno. In base a tale fenomeno si può affermare che il diamagnetismo é presente in tutte le sostanze, ma può essere mascherato da effetti predominanti. Si può verificare che una baretta (rod) di materiale diamagnetico in presenza di un campo magnetico si dispone in direzione perpendicolare alla direzione delle linee di flusso del campo: M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 18

19 Materiali diamagnetici non sono magneticamente permeabile come l'aria o il vuoto, ossia le linee di forza magnetiche non possono penetrare materiali diamagnetici così facilmente come possono penetrare l'aria o il vuoto. Questi materiali sono in realtà respinti dai campi magnetici. Quando una barretta di materiale diamagnetico è posta in un campo magnetico, tende ad allinearsi perpendicolarmente alla direzione delle linee di campo magnetico, o linee di forza. Infatti, il termine diamagnetico deriva dalle parole greche che significano magnetico di traverso (across magnetic.) Poichè le forze diamagnetiche sono molto deboli, la loro forza repulsiva da sola può mantenere in sospensione solo gli oggetti più leggeri. Ma in presenza di un forte campo magnetico, invece, alcuni materiali diamagnetici come bismuto, argento e grafite hanno una forza repulsiva abbastanza elevata da mantenere sospeso il proprio peso. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 19

20 Paramagnetismo Il paramagnetismo è la proprietà caratteristica di alcune sostanze che presentano permeabilità magnetica assoluta costante e poco maggiore di quella del vuoto ( r poco maggiore di 1). Il paramagnetismo è dovuto principalmente ai momenti dei magnetici dovuti allo spin degli elettroni ( movimento rotatorio su se stessi). Le sostanze paramagnetiche vengono leggermente attratte da una calamita. Sono sostanze paramagnetiche: alluminio, platino, manganese, cromo, palladio oltre alle loro leghe e sali disciolti e gas come l ossigeno e l aria. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 20

21 Il paramagnetismo si riscontra in quei materiali che presentano condizioni di asimmetria per cui i loro atomi o le loro molecole manifestano un momento magnetico intrinseco. A causa dell'agitazione termica il momento magnetico medio è nullo, tuttavia sotto l'azione di un campo magnetico esterno si verifica un fenomeno di parziale orientazione delle molecole con la comparsa di un momento magnetico risultante concorde al campo esterno, ma comunque di piccola intensità. Si può verificare che una baretta (rod) di materiale diamagnetico in presenza di un campo magnetico si dispone in direzione perpendicolare alla direzione delle linee di flusso del campo: M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 21

22 Materiali paramagnetici hanno una permeabilità magnetica leggermente maggiore dell aria o del vuoto, una proprietà che li induce ad essere debolmente attratti dai campi magnetici. Quando una barretta di materiale paramagnetico è posta in un campo magnetico, si allinea con le linee di forza, in direzione parallela. Il termine paramagnetico deriva dalle parole greche che significano (alongside magnetic) lungo il fianco magnetico. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 22

23 Ferromagnetismo Proprietà di alcune sostanze allo stato puro o in lega, di presentare, quando siano sottoposte all azione di un campo magnetico, permeabilità magnetica variabile e proporzionale al campo stesso (fenomeno dell isteresi). Sono materiali ferromagnetici: il ferro, il cobalto, il nichel e le leghe come le leghe nichel-ferro, acciaio fuso, lamiere di acciaio dolce, lamiera al silicio, numetal (lega con nichel, rame cromo e manganese). Studiando il reticolo cristallino si ha che quando i momenti elementari degli elettroni e degli atomi che compongono tali materiali presentano una orientazione privilegiata dovuta alla presenza di un campo magnetico, la somma di tutti i momenti elementari raggiunge valori notevoli. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 23

24 La maggior parte di essi presentano un campo magnetico residuo una volta cessato il campo magnetico esterno, e alcuni si trasformano in magneti permanenti (acciai al carbonio, al tungsteno, al cobalto al Ni-Co, Ferrite di Bario). Il comportamento ferromagnetico è strettamente legato alla temperatura. Se la temperatura aumenta sensibilmente, aumenta con essa l agitazione termica degli ioni alterando tutta la struttura cristallina cosi che i momenti magnetici non sono più orientati e il materiale passa allo stato paramagnetico. La temperatura caratteristica di questo passaggio è detta punto di Curiè ed è molto elevata (per il ferro vale 775 ) M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 24

25 Materiali ferromagnetici sono molto più permeabili magneticamente rispetto all aria e al vuoto. Essi hanno una permeabilità relativa μ r più di mille volte maggiore di quella dell aria. Nella tabella sono riportati i valori del campo H e della permeabilità relativa μ r per una induzione magnetica B =1.2 [Wb/m 2 ] per alcuni materiali ferromagnetici. Acciaio fuso B=1.2 [Wb/m 2 ] H= 620 [A/m] μ r = 1550 Lamiere di acciaio dolce B=1.2 [Wb/m 2 ] H= 800 [A/m] μ r = 1200 Lamiere al Silicio B=1.2 [Wb/m 2 ] H= 700 [A/m] μ r = 1370 Con leghe di Ferro e Nichel si riesce ad ottenere valori di permeabilità relativa μ r massima compresi tra e M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 25

26 La permeabilità relativa μ r assume un valore diverso da zero per H =0, detto permeabilità iniziale relativa μ r in e un valore massimo μ rmax in corrispondenza del valore di H del punto P 0 di intersezione della curva di magnetizzazione con la tangente passante per l origine degli assi (P 0 giace approssimativamente in corrispondenza del punto iniziale del ginocchio di saturazione) che si chiama permeabilità massima relativa H B B r 0 r 0 B H M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 26

27 Analogamente a come si comportano le barrette di materiale paramagnetico in presenza di un campo magnetico, le barrette di materiali ferromagnetico si dispongono nella direzione del campo magnetico o nella direzione delle linee di flusso del campo magnetico. Tuttavia, i materiali ferromagnetici sono fortemente attratti da campi magnetici e possono essere magnetizzati facilmente per cui essi sono classificati separatamente dai paramagnetici. La parola ferro, contenuta nel termine ferromagnetico è derivato dalla parola latina ferrum usata per definire il metallo ferro, ma sono ferromagnetici anche il nichel, cobalto, e varie leghe di questi metalli. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 27

28 Per determinare sperimentalmente la funzione B = f(h) si può operare su un provino toroidale: N 1 N 2 Provino Toroidale R G C G galvanometro balistico C convertitore A amperometro V generatore di tensione in c.c. R v resistenza variabile + V A R v I M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 28

29 In realtà poiché un provini toroidale è difficile da realizzare si utilizza l apparecchio di Epstein che realizza un circuito magnetico, di dimensioni definite dalle norme, utilizzando pacchi di lamierini del materiale che si intende esaminare: M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 29

30 Elementi principali del apparecchio di Epstein realizzato formando un circuito chiuso mediante sovrapposizione di lamierini che vengono inseriti all interno di 4 bobine perfettamente serrate sui 4 lati di lamierini e collegate tra di loro in serie M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 30

31 Variando R varia la costante I 1 nelle spire N 1 e con l amperometro è possibile misurare I 1. Applicando il teorema della circuitazione lungo il cerchio direttore l 0 del provino di materiale ferromagnetico: l H 1 dl 0 N 1I1 H 1 l N 1 I 1 H 1 N 1I l 1 Per ciascun valore di I 1 si leggono negli strumenti i valori di I 1 e B 1 e si calcola H 1. Le prove vanno eseguite anche per I 1 = 0 per cui H 1 = 0 e invertendo le polarità della corrente con il convertitore, per ottenere valori negativi di I. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 31

32 Le grandezze magnetiche variano secondo l andamento riportato nel grafico: B [T] Br Hc Si noti che: H [As/m] quando la corrente I 1 = 0 H 1 = 0, ma B 1 0, ovvero B 1 = B r : è presente un magnetismo residuo; per annullare l induzione residua B, occorre applicare u campo inverso, applicando una corrente di segno contrario e aumentandola sino a che B=0, ossia H = -H c. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 32

33 B r é l induzione residua H c è il campo necessario ad annullare il magnetismo residuo e si chiama forza coercitiva. I magneti permanenti sono caratterizzati da un elevato valore di induzione residua B r e di forza coercitiva H c. B Dall esame del grafico si comprende come non è costante. H Infatti essendo tg nel primo e nell ultimo tratto della curva, μ è costante (andamento rettilineo); mentre in corrispondenza del ginocchio della curva di isteresi, μ (pendenza della curva) varia punto per punto. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 33

34 Per ottenere una determinata f m.m. si può utilizzare l energia elettrica fornita da un certo numero di spire N attraversate dalla corrente I: NI H l mp mp A H fe l fe oppure si può inserire nel circuito magnetico un tronco di magnete permanente (m.p.) in grado di fornire la f.m.m. richiesta. Tale f.m.m. impressa A è ceduta dal magnete permanente, che è stato sottoposto precedentemente ad un ciclo di isteresi e ha così accumulato energia magnetica. Occorre considerare tale energia con il segno negativo per tener conto del fatto che l energia è fornita dal sistema e non da un sistema esterno. NI Φ La relazione diventa:. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 34 A S Φ

35 A Φ che si può esprimere nel seguente modo: fe fe fe fe mp fe H l =-H l H = - mp mp fe fe mp l mp 0 r l mp 0 r l mp H = cb mp H l B l si tratta della equazione di una retta passante per l'origine e con pendenza negativa. P B l r l fe essendo c= costante 0 mp mp B l H Tale retta, che esprime il teorema della circuitazione ci consente di determinare il punto di lavoro P del magnete, come intersezione della caratteristica del magnete permanente nel tratto della relativo alla smagnetizzazione (H negativo), e della retta: H = cb M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 35 mp mp

36 Condizioni al contorno per i campi magnetostatici Se il vettore B o H attraversa una superficie di separazione di due mezzi quando nessuno dei due é un conduttore perfetto, si ha una rifrazione delle linee di B o di H : H H B 0 H J Applicando le equazioni fondamentali generali della magnetostatica è possibile determinare le componenti normale e tangenziale del campo nei due mezzi. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 36

37 Condizioni al contorno per i campi magnetostatici 1 h B1 a n1 S H 1 b c H 2 w a d μ 1 mezzo 1 h μ 2 mezzo 2 a n2 B 2 2 Le relazioni tra le componenti tangenziali e normali del campo H si ottengono integrando la I e la II relazione e applicando alla I il Teorema della Divergenza e alla II il Teorema di Stokes B 0 H J B dv 0 V H ds J d S S S B ds 0 S H dl I C M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 37

38 Dalla I equazione: B 0, applicando il Teorema della Divergenza a un volume elementare cilindrico V disposto in corrispondenza della interfaccia, come per i campi elettrostatici per la densità di corrente: V B dv A BdA 0 dove V è il volume racchiuso dalla superficie A elementare disposta in corrispondenza della interfaccia dei due materiali. Trascurando i contributi sulla superficie laterale del cilindro elementare, si può facilmente dimostrare che: B 1n =B 2n [T] e 1 H 1n = 2 H 2n [A/m] M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 38

39 Considerando anche II equazione, espressa in forma integrale applicando il Teorema di Stokes, si ottiene la seconda condizione al contorno per le componenti del campo magnetostatico, infatti: H J A ds dl 2 H J d S H J d S m S S C S [A] Infatti per il Teorema di Stokes: Hds H dl S Quindi se si calcola l integrale lineare lungo un percorso elementare chiuso che passi per entrambi i mezzi e trascurando i contributi relativi ai tratti di percorso normali alla interfaccia, si ottiene: H t1 -H t2 =J sm ossia la componente tangenziale del campo H è discontinua lungo una interfaccia, quando sono presenti correnti sulla superficie. C M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 39

40 H t1 -H t2 =J sm Se la densità di corrente superficiale è uguale a zero: H t1 -H t2 =0 La componente tangenziale di di quasi tutti i mezzi fisici. H è continua attraverso il contorno La componente tangenziale di H è discontinua se il mezzo presenta una interfaccia con un conduttore e solo quando questo è attraversato da correnti elettriche. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 40

41 Quando la densità di corrente superficiale J sm è uguale a zero, essendo: B= H dalle relazioni trovate: H t1 =H t2 e B 1n = B 2n esprimendo B in funzione di H, si ottiene: B 1n = B 2n [T] 1 H 1n = 2 H 2n tan tan M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 41

42 tan tan H H Se la densità di corrente superficiale J sm è nulla, il campo H attraversando una superficie di separazione tra due mezzi forma un angolo 2 con la normale alla superficie, che diminuisce ( 2 < 1 ) passando da un mezzo a permeabilità 1 ad un mezzo a permeabilità 2, ciò comporta che: 2 < 1, ossia la direzione del campo in un punto di una interfaccia, tende ad avvicinarsi alla direzione della normale alla superficie in quel punto, passando in un mezzo a permeabilità più bassa. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 42

43 In particolare se il mezzo 1 non è un materiale magnetico (come l aria) e il mezzo 2 é ferromagnetico (come il ferro) 2 >> 1 = 0, e tan 2 2 per la relazione: tan : 1 1 tan 2 tende a 0 2 sarà circa uguale a 90. Ciò significa che per angolo arbitrario di incidenza del campo 1, il campo magnetico nel mezzo ferromagnetico diventa quasi parallelo alla interfaccia, essendo 2 >> 1. Se il mezzo 1 é ferromagnetico e il mezzo 2 é aria 2= 0 << 1, risulta che tan 2 tende a 0 e 2 =0 ; cioé se il campo magnetico passa da un mezzo ferromagnetico all aria, le linee di flusso assumono nell aria una direzione quasi normale alla interfaccia. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 43

44 M B/ 0 M M 0 B/ 0 H B μ M M B/ 0 a) Campo magnetico preesistente B/μ 0 e campo magnetico prodotto dal corpo ferromagnetico con un Momento magnetico M b) Campo risultante deviato dal campo indotto con Momento magnetico M M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 44

45 Induttanze e induttori Si considerano due circuiti elementari C 1 e C 2 costituiti da due spire chiuse poste in vicinanza l una rispetto all altra come riportato in figura: I 1 C 1 C 2 Se una corrente I 1 circola in C 1, un campo magnetico B1 si concatena anche con il circuito C 2 messo in prossimità di C 1, passando attraverso la superficie S 2 delimitata dal contorno C 2. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 45

46 Si definisce il flusso indotto dalla corrente I 1 sul circuito C 2 come flusso mutuo 12 : Φ B 12 1 d s 2 B S 2 Wb 1 Dalla fisica si sa che se una corrente varia nel tempo da 0 a I 1, genera quindi un flusso variante 12 *** nel circuito 2 e produce una forza elettromotrice o tensione indotta e in C 2, calcolabile con la legge della induzione elettromagnetica di Faraday : d e dt Quando la corrente si stabilizza sul valore I, la f.e.m e si annulla. *** Il flusso 12 esiste anche quando I 1 è una corrente costante in regime permanente, ma essendo costante non induce una forza elettromotrice o tensione indotta S 2 dφ se dφ = 0 e = - 0 dt M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 46

47 Relazione costitutiva tra il flusso indotto 12 e la corrente I 1 In base alla legge di Biot-Savart, B 1 é direttamente proporzionale a I 1, quindi anche 12 sarà proporzionale a I 1, attraverso un fattore di proporzionalità L 12 : B I Φ B S L I1 dove L 12 è chiamata mutua induttanza tra i due circuiti C 1 e C 2, e si misura in henry [H]. Se il circuito C 2 ha N 2 spire il flusso concatenato c12 dovuto a 12 è: c12 = N 2 12 per cui l espressione generalizzata del flusso concatenato sarà: c12 =L 12 I 1 [Wb] L 12 è uguale al rapporto tra il flusso magnetico concatenato con un circuito quando in un circuito disposto in prossimità, circola una corrente unitaria 12 L c 12 I1 M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 47

48 Nelle espressioni del flusso è implicito che la permeabilità del mezzo non cambi con la corrente, ossia che il mezzo sia lineare. La definizione più generale di L 12 è: c12 L 12 [H] I1 dove c12 rappresenta l aliquota del flusso magnetico prodotto da I 1 che si concatena con la bobina C 2. Il flusso totale concatenato con C 1 dovuto alla corrente I 1 è: c11 = N 1 c11 > N 1 12 da cui, si definisce autoinduttanza del circuito C 1, per un mezzo lineare, il rapporto tra il flusso magnetico concatenato per unità di corrente che circola nello stesso circuito: c 11 L11 [H] I 1 M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 48

49 Reciprocamente quando il circuito inducente è C 2 e quello indotto è il numero C 1, il coefficiente di mutua induzione é: c21 L 21 [H] I2 e il coefficiente di autoinduzione è: Φ c22 L 22 = [H] I2 Si dimostra come L 12 = L 21 =M, essendo M il coefficiente di mutua induzione o mutua induzione, ossia il rapporto tra flussi concatenati e le rispettive correnti. I coefficienti di autoinduzione si chiamano rispettivamente: L 1 =L 11 e L 2 =L 22 M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 49

50 Quando si ha un accoppiamento perfetto per cui i flussi dispersi 1d e 2d sono nulli, ossia quando i flussi mutuamente concatenati coincidono con i flussi totali, (bobine concentriche perfettamente serrate), risulta che: 1d = c11 - c12 =0 e 2d = c22 - c21 =0 per cui: c11 = c12+ 1d con 1d =0 e c22 = c21+ 2d con 2d =0 Per i flussi si ha: L I MI L M Φ = Φ Φ = = Φ = = N2 N1 N2 N1 L I MI L M Φ = Φ Φ = = Φ = = N1 N2 N1 N2 Moltiplicando le due ultime relazioni trovate membro a membro si ottiene la condizione di accoppiamento perfetto: L L M M L L M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 50

51 In generale nei casi reali si hanno dei flussi dispersi e l accoppiamento non è perfetto per cui: L L > M M < L L Si definisce coefficiente di accoppiamento K: M K= con K=0 1, M= K L L LL K quando l'accoppiamento tende a essere perfetto Il segno dipende dal senso di avvolgimento delle spire e dal verso delle correnti. Si definisce inoltre il coefficiente di dispersione dell accoppiamento mutuo : 2 σ = 1 - K M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 51

52 La tensione indotta di mutua induzione può essere concorde o discorde con la tensione di autoinduzione, cioè con la tensione indotta in un circuito dal flusso magnetico variabile prodotto dall'intensità di corrente circolante nel circuito stesso. Quindi il segno di M può essere sia: Positivo: quando le tensioni indotte di mutua induttanza sono concordi con le tensioni di autoinduttanza, che Negativo: quando le tensioni indotte di mutua induttanza sono discordi con le tensioni di autoinduttanza. Poiché i circuiti sono rappresentati con schemi bidimensionali e il verso delle correnti in una spira è visualizzabile solo con un disegno tridimensionale, per definire i segni dei flussi concatenati, i due circuiti accoppiati si rappresentano convenzionalmente con due bipoli utilizzando il simbolo delle induttanze e contrassegnando con un pallino i terminali. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 52

53 La mutua induttanza tra due circuiti mutuamente accoppiati M>0 M è positiva quando le correnti che attraversano le due induttanze sono entrambe entranti in corrispondenza dei rispettivi pallini, M<0 M è negativa nel caso contrario. Per esempio: I1 I 2 I1 I 2 M > 0 M < 0 I1 I 2 I1 I 2 M < 0 M > 0 M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 53

54 Esempi di accoppiamento tra due spire elementari 1 e 2: M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 54

55 L autoinduttanza per una spira o un circuito dipende: dalla forma geometrica e dalla natura fisica del materiale del conduttore con il quale è stata realizzata la spira o il circuito, e dalla permeabilità del mezzo. In un mezzo lineare l autoinduttanza non dipende dalla corrente nella spira I o nel circuito ne dalla intensità del campo magnetico H o dal flusso. Essa esiste ( può essere definita) indipendentemente dal fatto che la spira o circuito siano aperti o chiusi, o che siano posti in prossimità di un altro circuito o spira. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 55

56 Un conduttore disposto secondo una certa forma (come un filo conduttore avvolto intorno ad un nucleo) per fornire una certo valore di autoinduttanza, è chiamato induttore. Come il condensatore è in grado di immagazzinare energia elettrica, analogamente un induttore è in grado di immagazzinare energia magnetica. Per induttanza L di un induttore i-esimo si intende la sua l autoinduttanza L ii. M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 56

57 La procedura generale per determinare l autoinduttanza di un induttore (analoga a quella per la determinazione della capacità di un condensatore) è la seguente: 1. Stabilire il sistema di coordinate appropriato in base alla geometria dell induttore (coordinate cartesiane, cilindriche e sferiche); 2. Assumere il valore della corrente I nel filo conduttore; 3. Determinare B in funzione della corrente per mezzo della legge della circuitazione di Ampere, B dl μ I, l' se B si può ritenere costante lungo il percorso chiuso scelto l che si concatena con la corrente, μoi dl' ar altrimenti la legge di Biot-Savart: B T 2 4π R l' o M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 57

58 4. Nota B, calcolare il flusso che si concatena con ciascuna spira, attraverso l integrazione: Φ S B d s dove S è l area sulla quale corrente stabilita. B esiste e si concatena con la 5. Calcolare il flusso concatenato c moltiplicando il flusso per il numero delle spire: c =N. 6. Calcolare L dal rapporto: Φ c L= I M. Usai 5c_EAIEE_ CIRCUITI MAGNETICI 58