VERIFICA DELL ARCO VERIFICA DELLA CURVA DELLE PRESSIONI CON IL METODO MÈRY. CORSO DI PROGETTAZIONE DI SISTEMI COSTRUTTIVI Prof. Michele M.

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1 VERIFICA DELL ARCO VERIFICA DELLA CURVA DELLE PRESSIONI CON IL METODO MÈRY CORSO DI PROGETTAZIONE DI SISTEMI COSTRUTTIVI Prof. Michele M. Lepore

2 Archi e volte

3 Archi e volte

4 Archi e volte

5 Statica degli archi

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7 Spessore dell imposta analitico b oppure e b 3 6

8 Intervento Incremento della componente verticale R S P1 P2 e > b 6 46/75

9 Dissesti di un arco a) arco ribassato,stabile,ma che potrebbe manifestare lesioni in corrispondenza in prossimità della chiave (rischio di ulteriore abbassamento) b) arco a tutto sesto, si ripete lo schema precedente, ma evidenziando la possibilità di ulteriori cernierizzazioni alle imposte.(rischio di sfiancamento della parte centrale a causa dell esplosione delle reni). c) arco ogivale che rappresenta l arco con il meccanismo di collasso più pericoloso: cedimento delle arcate, conseguente innalzamento della chiave e sfiancamento delle reni.

10 Dissesti

11 L arco Aspetti base del comportamento strutturale Come si costruisce un arco 10/75

12 Il materiale pietra Proprietà principali: Scarsa resistenza a trazione Fragile Stabilità ottenuta per compressione Verifica dell equilibrio GEOMETRIA e DISTRIBUZIONE delle masse garantiscono il corretto flusso delle forze nelle sezioni resistenti Verifica di resistenza Le sollecitazioni nelle sezioni devono essere minori delle resistenze dei materiali 12/75

13 Equilibrio e resistenza La sezione rettangolare è tutta compressa se il centro di pressione cade all interno del terzo medio

14 Equilibrio e resistenza Nel caso di due corpi appoggiati l uno sull altro con vincolo di semplice contatto non può sussistere equilibrio se il risultante cade fuori dalla sezione.

15 Gli studi sull arco Gli studi condotti sull arco nel corso del XIX secolo riguardavano prevalentemente la forma da conferire all arco per garantire la centratura dello sforzo normale in corrispondenza delle facce a contatto tra un concio e l altro Mèry mostrò che il problema della determinazione del regime statico di un arco poteva essere risolto utilizzando un poligono di equilibrio a passaggio obbligato per due punti: il terzo medio inferiore nella sezione di imposta e il terzo medio superiore nella sezione in chiave, con retta d azione orizzontale (per arco simmetrico e simmetricamente caricato e vincolato) In questo modo noti i carichi esterni, era possibile ottenere l andamento della curva delle pressioni.

16 Metodo di Mèry La verifica dell arco consiste nell accertare che nelle sue sezioni non siano presenti forze di trazione Per un arco con sezione trasversale rettangolare, bisogna verificare che la curva delle pressioni sia contenuta all interno della fascia delimitata dal terzo medio di tutte le sezioni trasversali (nocciolo centrale d inerzia).

17 h1 Qa P3 P5 P2 P1 h METODO GRAFICO DI NAVIER -MERY (1928) retta d'azione della risultante R VERIFICA DI STABILITA' DI UN ARCO SIMMETRICO E SIMMETRICAMENTE CARICATO solido estradossale riduzione delle altezze dei solidi in funzione del rapporto tra i due pesi specifici (solido portato/solido resistente)! max P1 h'= h ("1/"0) superficie estradossale! max nocciolo centr. d'inerzia P2 Q P3 sezione resistente P4 sezione in chiave! min = 0 P5 superficie intradossale curva delle pressioni K R risultante del peso dell'arco e della muratura sovrastante Q Q H1 H (arbitrario) S'' poligono funicolare di H R S P4 S'' S retta d'azione di R poligono delle forze Pi - R = P1+P2+P3+P4+P5

18 Metodo di Mèry Si determinano i carichi agenti sull arco, considerando le parti di sovrastruttura che competono ad ogni singolo concio ed applicando la forza nel baricentro della regione relativa. P 5 P 4 P 3 P 2 P 1 P 6

19 Metodo di Mèry Su ciascun concio si proietta la quota parte di competenza del carico gravante sull arco; in particolare si ritiene che le strisce così ottenute non siano collaboranti, così da porsi in condizioni di maggiore sicurezza. Di ciascun concio e di ciascuna striscia di competenza si determina il peso proprio e si individua il baricentro, cioè il punto di applicazione del peso proprio. Per semplicità il concio viene considerato di forma trapezia, rettificando i lati curvi e approssimandoli così a due lati rettilinei paralleli. Per la determinazione del baricentro si può procedere con un metodo grafico, riportando la misura del segmento di estradosso sulla retta individuata dall intradosso, determinando così il punto R; di seguito si prolunga la retta individuata dall estradosso, in direzione opposta rispetto al punto R, della quantità pari al segmento di intradosso: ciò permette di individuare la posizione del punto S. A questo punto, se si traccia il segmento TU che congiunge i punti medi dei lati approssimanti estradosso e intradosso si ha che il baricentro G del concio risulta localizzato all intersezione della congiungente RS con TU. Determinazione per via grafica del baricentro di un concio.

20 Metodo di Mèry Essendo l arco simmetrico e simmetricamente caricato e vincolato, si può limitare lo studio a metà di esso, applicando nella sezione di chiave la forza trasmessa dalla restante parte. P 3 P 2 P 1 H P 4 P 5 P 6

21 Metodo di Mèry Tale forza ha retta d azione orizzontale (ortogonale alla sezione cui è applicata) e si considera applicata al terzo medio superiore della sezione stessa. P 3 P 2 P 1 H P 4 P 5 P 6

22 Metodo di Mèry Si noti che sulla verticale passante per il baricentro del riempimento si assumerà collocata la forza concentrata che rappresenta la porzione di sovraccarico di competenza del concio. Noti tutti i pesi si determina la risultante delle forze agenti su ciascuna porzione (peso del concio, peso del riempimento ed eventuale sovraccarico) e la relativa retta di applicazione. Ricondotta dunque ogni porzione a una sola forza, della quale è nota la retta d azione, si può passare alla costruzione della curva delle pressioni applicando in modo reiterato la regola del parallelogramma a tutte le forze che via si incontrano, costruendo così il poligono delle successive risultanti. Allo scopo, se si calcola in base a condizioni di equilibrio del semiarco la spinta in chiave, Q, (pensata applicata al limite del terzo medio superiore e ipotizzata perfettamente orizzontale per ragioni di simmetria) basta prolungare la retta d azione della spinta stessa fino a incontrare la forza P1 (che tiene conto di tutte le forze applicate al primo concio). Costruzione del poligono delle successive risultanti a partire da un valore noto della spinta in chiave Q. Si costruisce il triangolo delle forze riportando i segmenti o 1m 1 e m 1n 1 proporzionali a Q e a P 1 e si ottiene così il primo lato della curva; lo si prolunga fino a incontrare P 2 e si ripete poi la costruzione fino ad esaurire i pesi P i.

23 Metodo di Mèry Se non è noto il valore della spinta in chiave la curva delle pressioni può essere determinata come segue: si costruisce il poligono delle forze a partire da un polo H qualsiasi (arbitrario) ; sia R la risultante dei pesi che competono a ciascun concio, rappresentata, per esempio, dalla forza 5-0; scelto il poligono delle forze si costruisce agevolmente il poligono funicolare e si individua così la posizione della risultante dei pesi, R. Si impone quindi l equilibrio dell arco nel rispetto delle ipotesi di Mery: R deve essere equilibrata da 2 forze, una delle quali è la spinta orizzontale in chiave, Q (passante per il limite superiore del terzo medio); l altra è la spinta alle reni, S, che passa per il limite inferiore del terzo medio. Per equilibrio le tre forze devono incontrarsi in un unico punto, G; in tal modo si determinano le rette d azione q e s di Q e S, che possono quindi essere calcolate mediante scomposizione di R. La scomposizione di R consente di determinare il polo H 1 ; il poligono funicolare individuato da questo è unico (soddisfa tre condizioni) ed è la curva delle pressioni. Costruzione delle curva delle pressioni quando non è noto il valore della spinta in chiave, Q.

24 Metodo di Mèry Il poligono funicolare così ottenuto rappresenta la curva delle pressioni, che descrive a livello locale e globale l equilibrio dell arco. Proprietà fondamentali delle curva delle pressioni (c.d.p.): 1. La c.d.p. è determinata se sono noti tre punti per i quali debba passare: ciò è conseguenza del fatto che il poligono funicolare passante per tre punti è unico. 2. Se in un arco, due c.d.p. passano per uno stesso punto, allora tutti gli altri punti comuni si trovano sull orizzontale passante per il primo punto comune. 3. Due punti posti a quota diversa determinano una sola c.d.p. 4. Aumentando o diminuendo l intensità della spinta in chiave la c.d.p. si alza o si abbassa. 5. Cambiando il punto di applicazione della spinta (a parità del valore di questa) la c.d.p. si sposta parallelamente a se stessa. Curve delle pressioni di un arco corrispondenti ai valori minimo e massimo della spinta. 6. Fra tutte le possibili c.d.p. in un arco, ve ne sono due, notevoli, che corrispondono alla minima e alla massima spinta.

25 Metodo di Mèry Costruito il poligono funicolare dei carichi esterni relativa a metà arco, il problema si risolve utilizzando un poligono di equilibrio a passaggio obbligato per due punti: il terzo medio inferiore nella sezione di imposta e il terzo medio superiore nella sezione in chiave. K P 4 P 3 P 2 P 1 H O P 5 P 1 P 6 R P 2 P 3 R P 4 4 P 5 Poligono funicolare P 6 Poligono delle forze

26 Metodo di Mèry Per l equilibrio il poligono dei vettori deve risultare chiuso e le rette d azione devono concorrere in un medesimo punto (K) La retta d azione della reazione d imposta deve passare per K e per il terzo medio inferiore della sezione stessa. P 6 P 5 K P 4 P 3 P 2 P 1 H curva delle pressioni P 1 H Q P 2 P 3 P 4 S P 5 S P 6

27 Metodo di Mèry Si può costruire la curva delle pressioni, utilizzando il poligono funicolare costruito sul polo Q Il poligono funicolare costruito utilizzando il polo Q rappresenta il poligono delle successive risultanti, cioè la curva delle pressioni. P 6 P 5 P 4 P 3 P 2 P 1 H curva delle pressioni P 1 H Q P 2 P 3 P 4 S P 5 S P 6 23/75

28 Metodo di Mèry

29 Determinazione della risultante dei carichi La sua retta d azione può essere determinata ricorrendo alla ricerca grafica del baricentro del trapezio ( FIGURA 6b), anche se la modesta differenza tra le basi può giustificare il suo posizionamento sulla mezzeria della striscia di carico. In modo del tutto analogo si calcolano e si posizionano i pesi P 2, P 3, P 4, P 5 competenti ai conci 2, 3, 4, 5. Risultante R dei carichi Il peso P 1, composto con il peso proprio G, determina il peso R 1 competente al concio 1. Si ha: R 1 = 13,15 + 3,57 = 16,72 kn La retta d azione r 1 si può individuare per via grafica ( FIGURA 6c). In modo del tutto analogo si calcolano e si posizionano i carichi R 2, R 3, R 4, R 5 competenti ai conci 2, 3, 4, 5. L intensità della risultante dei carichi vale: R = R 1 + R 2 + R 3 + R 4 + R 5 = 91,31 kn La sua retta d azione r è individuata dal poligono funicolare F, che ha per lati le parallele alle proiettanti tracciate dal polo O e connette le rette d azione r 1, r 2, r 3, r 4, r 5 delle risultanti parziali ( FIGURA 6d). Andamento della sollecitazione Proiettando i vertici del poligono delle forze dal polo Ol si ottiene il poligono delle successive risultanti dell arco: la proiettante I / r c è la somma delle forze che precedono la retta d azione r 1 delle forze che agiscono sul concio 1 (la sola R c ); la proiettante II è la somma delle forze che precedono la retta d azione r 2 delle forze che agiscono sul concio 2 (R c e R 1 ), e così via. Le successive proiettanti rappresentano dunque, in modulo, direzione e verso, le sollecitazioni che competono ai conci, mentre il poligono funicolare Fl rappresenta la spezzata delle rette d azione delle successive risultanti, che ne definisce l andamento sull arco. Se questo fosse suddiviso in un numero infinito di conci, la spezzata sarebbe una curva continua, detta curva delle pressioni. Fatta eccezione per la sezione di chiave, nella sezione generica dell arco la sollecitazione è inclinata, producendo taglio e sforzo normale eccentrico; il centro di pressione si mantiene interno al terzo medio, o ne esce di poco. Se la curva delle pressioni si mantiene compresa nella striscia dei terzi medi, il centro di pressione è in ogni sezione interno al nocciolo centrale d inerzia. Tutte le sezioni dell arco sono soggette, oltre che a modesti sforzi di taglio, a sola compressione. 6 Metodo di Mèry

30 Metodo di Mèry

31 d Metodo di Mèry

32 Metodo di Mèry

33 Il riempimento fa avvicinare la curva delle pressioni alla linea media dell'arco, quindi ha un effetto stabilizzante

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37 Fine