CORSO DI RECUPERO E CONSERVAZIONE DEGLI EDIFICI A.A L arco in muratura. Ing. Emanuele Zamperini

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1 CORSO DI RECUPERO E CONSERVAZIONE DEGLI EDIFICI A.A L arco in muratura

2 L ARCO Terminologia di base (concio di) chiave estradosso piano di imposta sezione alle reni spalla o piedritto 30 freccia o monta corda o luce intradosso spalla o piedritto

3 CENNI STORICI SU DIMENSIONAMENTO E VERIFICA DEGLI ARCHI IN MURATURA L evoluzione del dimensionamento e della verifica degli archi in muratura (e più in generale di tutte le strutture) può essere schematizzata in tre fasi principali: Metodi empirico-grafici; Metodi basati sulla meccanica del corpo rigido; Metodi basati sulla meccanica del corpo deformabile.

4 METODI EMPIRICO-GRAFICI (1) «Le proporzioni tra le singole parti della struttura, riscontrate idonee nella pratica costruttiva, costituivano un codice formale che veniva applicato indipendentemente dalle dimensioni» (ANTONINO GIUFFRÈ, 1986) Sono metodi che si basano su regole proporzionali dedotte dall osservazione di strutture esistenti. Il progresso della tecnica costruttiva passa necessariamente dal superamento di tali regole ottenuto con la sperimentazione su modelli o su strutture reali, oppure dall osservazione dei dissesti creatisi in strutture dimensionate con tali regole. Regole proporzionali indipendenti dalle dimensioni dell oggetto

5 METODI EMPIRICO-GRAFICI (2) Leonardo da Vinci propose una regola per il dimensionamento dello spessore di un arco: «L arco non si romperà se la corda dell archi di fori non toccherà l arco di dentro». La cosiddetta regola di Deran consentiva di dimensionare i piedritti di un arco: si tracciano all intradosso dell arco tre segmenti uguali; si proseguono i due laterali verso l esterno raddoppiandone la lunghezza; l asse verticale passante per l estremo esterno del segmento individua lo spessore del piedritto. La regola aveva senso solo perché inserita in un più ampio sistema di rapporti proporzionali fra le parti della costruzione (ad es. luce dell arco/altezza del piedritto). Entrambe le regole, anche se prive di un significato meccanico davano dei risultati a favore di sicurezza e consentivano p.e. di avere spessori dell arco e del piedritto inferiori per gli archi a sesto acuto.

6 METODI EMPIRICO-GRAFICI (3) Viollet-le-Duc afferma che l arco a sesto acuto sia nato dall osservazione delle lesioni che si presentavano più comunemente negli archi a tutto sesto. I costruttori vedendo aprirsi delle fessure all intradosso dell arco in chiave hanno compreso che quella parte dell arco non era soggetta a compressione e quindi era inutile. Hanno quindi spostato più in alto la chiave dell arco. Viollet-le-Duc e la nascita dell arco a sesto acuto

7 METODI BASATI SULLA MECCANICA DEL CORPO RIGIDO (1) L arco, struttura iperstatica, viene reso isostatico ipotizzando la presenza e la posizione di lesioni (cerniere plastiche) I metodi basati sulla meccanica del corpo rigido, infatti, individuano i possibili meccanismi di collasso e studiano l arco nelle condizioni di equilibrio limite (studio a collasso incipiente). I principali meccanismi di collasso per l arco sono: Rottura per scivolamento della parte centrale dell arco (studiato da De La Hire e De Belidor); Rottura flessionale della porzione centrale dell arco (Coulomb e Mascheroni). Entrambi i meccanismi possono generarsi solo in presenza di rotazione dei piedritti. Rottura per scivolamento Rottura flessionale

8 METODI BASATI SULLA MECCANICA DEL CORPO RIGIDO (2) Meccanismo di rottura per scivolamento La rottura dell arco avviene per scivolamento della porzione centrale individuata da due angoli di 45. Questo meccanismo può verificarsi solo in presenza di rotazioni dei piedritti

9 METODI BASATI SULLA MECCANICA DEL CORPO RIGIDO (3) Meccanismo di rottura flessionale La rottura dell arco avviene per flessione, con l apertura di fessure posizionate all intradosso in chiave ed all estradosso alle reni. La sezione più sollecitata è presa per convenzione a 30 sul piano orizzontale ma dovrebbe essere individuata di volta in volta a seconda della distribuzione dei carichi agenti sull arco.

10 METODI BASATI SULLA MECCANICA DEL CORPO DEFORMABILE (1) I metodi basati sulla meccanica del corpo deformabile studiano l equilibrio della struttura iperstatica assieme alla sua deformabilità, possono quindi valutare anche gli spostamenti dei vari punti della struttura. Per studiare la deformabilità delle strutture sono necessari i dati riguardanti il comportamento dei materiali costitutivi. L elevata incertezza connessa alla difficoltà di individuare correttamente questi valori e la loro variabilità all interno della struttura rende spesso l esito delle elaborazioni di difficile interpretazione.

11 METODI BASATI SULLA MECCANICA DEL CORPO DEFORMABILE (2) Principali problemi connessi all uso di questi metodi Difficoltà ad individuare il comportamento meccanico delle murature storiche: incertezza nei valori di E, n, etc. e nella valutazione della anisotropia della disomogeneità e della non linearità del comportamento dei materiali; Difficoltà a tener conto delle discontinuità presenti nella struttura muraria, siano esse di natura costruttiva (giunti, intercapedini, canne fumarie) o legate a dissesti (lesioni spesso invisibili ad occhio nudo o con geometria difficilmente rilevabile); Difficoltà a governare modelli di calcolo molto complessi e quindi necessità di verifiche anche sommarie e semplificate della validità dei risultati ottenuti. Problemi per la modellazione di: Comportamento meccanico (individuazione dei valori, anisotropia, disomogeneità) Discontinuità (costruttive, legate a dissesti)

12 IL METODO DI MERY (1) Il metodo di Mery è un metodo di verifica di tipo grafico nel quale l arco iperstatico è reso isostatico collocando tre cerniere plastiche nelle sezioni di massima sollecitazione flessionale. La situazione considerata è quella in cui si ha l annullamento degli sforzi di compressione all estradosso dell arco nelle sezioni alle reni ed all intradosso nella sezione di chiave. L annullamento degli sforzi ad un lembo si ha con una distribuzione triangolare degli sforzi; ad una distribuzione triangolare degli sforzi corrisponde una risultante che passa ad un terzo dell altezza della sezione dalla parte delle fibre compresse: è in questa posizione che vengono collocate le cerniere plastiche. apertura della lesione apertura della lesione Il giunto in chiave si apre all intradosso La risultante è al limite superiore del terzo medio Il giunto alle reni si apre all estradosso La risultante è al limite inferiore del terzo medio

13 IL METODO DI MERY (2) Ipotesi per l applicabilità del metodo di Mery: 1. L arco deve essere a tutto sesto e simmetrico; 2. I carichi devono essere distribuiti simmetricamente; 3. Lo spessore dell arco deve essere uniforme; 4. L arco deve essere costituito da materiale sufficientemente rigido e resistente a compressione, così che i tratti compresi fra le lesioni siano assimilabili a corpi rigidi. Se la linea delle pressioni della parte di arco compresa tra le due fessure è in ogni punto interna al terzo medio, allora l arco può essere considerato sicuro.

14 IL METODO DI MERY (3) Fasi di applicazione del metodo di Mery: 1. Si definisce la geometria reale dell arco; 2. Si omogeneizzano tutti i materiali ed i carichi esterni al materiale costituente l arco; 3. Si suddivide l arco in conci (in genere 6-10 conci); 4. Si calcolano le risultanti dei carichi gravanti su ciascun concio; 5. Si costruisce la risultante di tutti i carichi e le reazioni in chiave ed alle reni; 6. Si costruisce la curva delle pressioni; 7. Si verifica che la curva sia interna al terzo medio; 8. Si verificano le sollecitazioni nei vari conci.

15 IL METODO DI MERY (4) VERIFICA DELLE SOLLECITAZIONI. Individuazione delle azioni: 1 - Si individua l azione interna in una data sezione (attraverso il poligono delle successive risultanti); 2 - La si scompone in azione assiale ed azione di taglio; 3 - Si individua l eccentricità della sollecitazione. R T t e N

16 IL METODO DI MERY (5) VERIFICA DELLE SOLLECITAZIONI. Sforzi dovuti a PRESSOFLESSIONE: (ipotesi di materiale non resistente a trazione) s n-max = N/A + M/W = N/A + (N e)/w N / A M / W e t/6 Sezione interamente reagente. t t/3 t/6 t/6 t/3

17 IL METODO DI MERY (6) VERIFICA DELLE SOLLECITAZIONI. Sforzi dovuti a PRESSOFLESSIONE: (ipotesi di materiale non resistente a trazione) N = ½ [ 3 ( t / 2 e ) ] S s n-max s n-max = 2 N / [ 3 ( t / 2 e ) S ] e t/6 Sezione parzializzata. t t/6 e t/2 - e N t/3

18 IL METODO DI MERY (6) VERIFICA DELLE SOLLECITAZIONI. Sforzi dovuti al TAGLIO: valori massimi (ipotesi di materiale non resistente a trazione) t max = 3 / 2 T / ( t S ) con e t/6 t max = 3 / 2 T / [ 3 ( t / 2 e ) S ] con e t/6 Zone compresse T = 2 / 3 t max ( t S )

19 IL METODO DI MERY (7) VERIFICA DELLE SOLLECITAZIONI. Sforzi dovuti al TAGLIO: valori medi (ipotesi di materiale non resistente a trazione) t media = T / ( t S ) con e t/6 t media = T / [ 3 ( t / 2 e ) S ] con e t/6 La resistenza dipende dalla coesione e dall attrito (modello di Coulomb) t res. = a N / ( t S ) con e t/6 t res. = a N / [ 3 ( t / 2 e ) S ] con e t/6 Dove a è il coefficiente d attrito muratura su muratura

20 IL CRITERIO DI HEYMAN (*) «Se esiste una linea delle pressioni per l arco completo che sia in equilibrio con i carichi applicati, incluso il peso proprio, e che risulti ovunque interna allo spessore dell arco in ogni punto e in corrispondenza di ogni sezione, allora l arco può considerarsi in condizioni di sicurezza». Il criterio è basato sulle seguenti ipotesi: 1- Non può avvenire rottura per scorrimento tra due conci o in una generica sezione (resistenza allo scorrimento infinita); 2- La muratura ha resistenza a trazione nulla; 3- La muratura ha resistenza a compressione infinita. Il criterio è applicabile ad archi con geometria (archi policentrici, ribassati, a sesto acuto, ) e distribuzione dei carichi qualsiasi (anche asimmetrica). Se l analista riesce a trovare una curva delle pressioni completamente interna allo spessore dell arco, questo sarà almeno altrettanto bravo a trovarsene una da sé e quindi rimanere in equilibrio (A. Giuffré). (*): Criterio enunciato in JACQUES HEYMAN, The Masonry Arch, Ellis Horwood, Chichester, 1982.