Prova di geometria differenziale del , I parte VERSIONE A

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1 Prova di geometria differenziale del , I parte VERSIONE A Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio.. Si descriva l atlante stereografico sulla sfera S 2 (), con le relative funzioni di transizione. 2. Si descriva l atlante affine su P (C), con la relative funzioni di transizione. 3. Si dimostri che S 2 è naturalmente diffeomorfo a P (C). 4. Usando tale diffeomorfismo, si definisca la mappa di Hopf (z, w) S 3 () C 2 H(z, w) S 2 (/2) R 2 R e la esprima esplicitamente, motivando ogni passaggio. 5. Si definiscano le sfere di Berger ( SU(2), g ɛ ) per ɛ > 0 e si dimostri che le metriche g ɛ sono invarianti a sinistra. 6. Si dia la definizione di metrica biinvariante su un gruppo di Lie e si stabilisca per quali valori di ɛ > 0 la metrica g ɛ è biinvariante, con dimostrazione. Esercizio 2.. Si dia la definizione di curvatura sezionale di una varietà Riemanniana (M, g). 2. Si consideri su un aperto U R 2 una metrica Riemanniana della forma g = ψ ( (dx) 2 + (dy) 2), ove ψ = ϕ 2 > 0 è C e se ne determini la curvatura (sezionale), esplicitando tutti i passaggi.

2 3. Si determini la curvatura del semipiano di Poincaré-Lobatchevski. 4. Si dia la definizione di seconda forma fondamentale e si enunci il Teorema Egregium di Gauss per superfici P R Data una superficie P R 3 e un punto p P, si discuta il legame tra la posizione relativa nell intorno di p della superficie e del suo piano tangente affine in p, T a p P R Sia P R 3 una superficie compatta. Si dimostri che esiste un punto p P nel quale la curvatura è > 0. 2

3 Prova di geometria differenziale del , II parte VERSIONE A Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio.. Sia P R n+ un ipersuperficie. Si dia la definizione di mappa di Gauss di P, quindi se ne determini il differenziale d p G in p P. 2. Si dimostri l asserto precedente su d p G. 3. Si enunci il Teorema di Hadamard. 4. Lo si dimostri. 5. Alla luce del Teorema di Hadamard, stabilire se esiste un immersione del toro T 2 R 3 tale che la metrica indotta ha curvatura scalare ovunque positiva, e nel caso trovarla esplicitamente. 6. Si determinino la connessione di Levi-Civita, il tensore di curvatura, il tensore di Ricci e la curvatura scalare delle sfere di Berger. Esercizio 2.. Si dia la definizione di geodetica in una varietà Riemanniana (M, g). 2. Sia Gun gruppo di Lie con algebra di Lie g e sia X g. Si descrivano le curve integrali di X, dimostrando che sono definite su tutto R e che sono traslati di sottogruppi a parametro di G. 3. Si caratterizzino le geodetiche su un gruppo di Lie dotato di una metrica biinvariante (G, ϕ). 4. Determinare le geodetiche sul semipiano di Poincaré-Lobatchevski, con dimostrazione. Esercizio 3. Sia (M, g) una varietà Riemanniana.. Enunciare il Lemma di Gauss. 2. Dimostrarlo.

4 Prova di geometria differenziale del , I parte VERSIONE A Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio.. Si dia la definizione di gruppo di Lie, di metrica Riemanniana invariante a sinistra e di metrica Riemanniana biinvariante su G. 2. Si dia la definizione di campo vettoriale invariante a sinistra su G e si dimostri che la collezione g di tutti i campi vettoriali invarianti a sinistra su G forma una sottoalgebra di X(G), isomorfa come spazio vettoriale a T e G. 3. Si dimostri che per ogni prodotto scalare Euclideo γ : T e G T e G R esiste ed è unica una metrica Riemanniana ϱ su G invariante a sinistra tale che ϱ e = γ. 4. Sia G = SU(n). Si descriva il fibrato tangente di G e si utilizzi la funzione Ψ(A, B) =: ) (A 2 traccia t ( B A, B Mn (C) ) per definire in modo naturale una metrica Riemanniana bi-invariante su G. 5. Si dimostri che SU(2) con tale metrica è naturalmente isometrico a S 3 (). 6. Si definiscano le sfere di Berger e si dimostri che tale metriche Riemanniane su SU(2) sono/non sono invarianti a sinistra/biinvarianti (specificare). Esercizio 2. Sia (M; g) una varietà Riemanniana.

5 . Si definisca l operatore forma di una ipersuperficie N M e si dimostri che è un endomorfismo autoaggiunto di T N. 2. Si enuncino le relazioni di Gauss e Codazzi-Mainardi. 3. Le si dimostrino. 4. Si discutano gli invarianti curvatura di una varietà Riemanniana prodotto (M, g) (N, h); specificare se tale prodotto può avere curvatura sezionale costante, motivando la risposta. 5. Si determini al variare di k j N e di r j R + se S k (r ) S k 2 (r 2 ) è di Einstein (definire) e se ha curvatura sezionale/scalare costante. 6. Si calcolino le curvature scalari e sezionali delle seguenti superfici in R 3, dotate della metrica indotta: un toro, con raggi interno ad esterno r > 0 e a > r; il cilindro definito dall equazione X 2 + Y 2 = b 2 > 0 Descriverne il tensore di Ricci? 2

6 Prova di geometria differenziale del , II parte VERSIONE A Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio. Siano (M, g) e (N, h) varietà Riemanniane e sia f : M N una sommersione Riemanniana. Siano M e N le rispettive connessioni di Levi-Civita.. Siano X, Y X(M) campi vettoriali su N, con sollevamenti orizzontali X e X, Ỹ X(N), si decrivano con dimostrazione le componenti orizzontale e verticale di ÑỸ. X [ ] 2. Si determini la componente orizzontale del commutatore X, Ỹ. 3. Si definisca la curvatura della sommersione e si dimostri che la definizione è ben posta. 4. Si enunci la formula di O Neill e Gray che lega le curvature di f, M e N. 5. La si dimostri. Esercizio 2. Sia (G, ϱ) un gruppo di Lie dotato di una metrica Riemanniana biinvariate.. Si descrivano gli invarianti Riemanniani di (G, ϱ) (connessione di Levi- Civita, tensore di curvatura, eccetera), con dimostrazione. 2. Può esistere una sommersione Riemanniana (G, ϱ) (H, ψ) tra gruppi di Lie (G, ϱ), (H, ψ) come sopra, ma con G semisemplice e H Abeliano? Esercizio 3. Sia (M, g) una varietà Riemanniana e sia c : H M una curva C.. Si discuta la nozione di derivata covariante, di trasporto parallelo e di campo vettoriale parallelo lungo C.

7 2. Si enunci il legame tra trasporto parallelo e connessione di Levi-Civita. 3. Lo si dimostri. 4. Si dimostri esplicitamente che un cono nello spazio Euclideo tridimensionale è isometrico a una regione piana e si discuta il trasporto parallelo lungo i paralleli e i meridiani (generatrici) del cono. 5. Si dia la definizione di geodetica e si descrivano le geodetiche del cono e del cilindro in R 3. 2

8 Prova di geometria differenziale del , I parte VERSIONE A Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato Esercizio.. Si dia la definizione di metrica Riemanniana, di sommersione Riemanniana e di immersione Riemanniana. 2. Si definisca la mappa di Hopf, la si descriva in opportune coordinate locali e si dimostri che è una sommersione Riemanniana, precisando rispetto a quali metriche. 3. Si consideri il sottoinsieme aperto del piano Cartesiano {( ) } x U =: R 2 : < xy < y e la metrica Riemanniana g su di esso rappresentata, nel riferimento standard ( x, y ) dalla matrice ( ) xy. xy Sia π : U R la restrizione della proiezione (x, y) t x; si descrivano gli spazi tangenti orizzontale e verticale per π rispetto a g e si stabilisca se π è una sommersione Riemanniana da (U, g) a (R, can), ove can è la metrica Euclidea canonica. Esercizio 2 Sia (M, g) una varietà Riemanniana.. Si dia la definizione di connessione, di connessione simmetrica e di connessione metrica rispetto a g, quindi si enunci il teorema fondamentale della geometria Riemanniana.

9 2. Lo si dimostri. 3. Si definiscano i coefficienti di Christoffel rispetto a una data carta locale su M e li si esprima in termini del tensore metrico e delle sue derivate, dimostrando tale relazione. 4. Si consideri la metrica Riemanniana su R 3 rappresentata, nel riferimento standard, dalla matrice + y x Si determinino le rappresentazioni matriciali degli operatori x, y, z (tensori di tipo ( ) t ). Tali operatori sono autoaggiunti? Esercizio 3. Si dia la definizione di funzione distanza r : M R e di operatore forma S ad essa associata, dimostrando che S è autoaggiunto e che S(N ) = 0, ove N =: grad(r). 2. Si enuncino le relazioni di Gauss e Codazzi-Mainardi e si enunci e dimostri il teorema Egregium di Gauss. 3. Si dia la definizione di metrica a simmetria rotazionale e si i discutano in dettaglio le proprietà e gli invarianti trattati di una metrica siffatta. 4. Si dimostri che il luogo x S = y : z = + x 4 + 3x e y y 5 z è una varietà differenziale 2-dimensionale e se ne dermini la curvatura. 2

10 Esame di geometria differenziale del 7/2/203 - prova II Esercizio Sia M R n un ipersuperficie orientata. Definire la mappa di Gauss e l operatore forma di M, e descrivere la relazione che intercorre tra di essi. Dimostrare tale relazione. Discutere il legame tra la convessità di M in un punto m M (definire) e la positività o negatività nel medesimo punto dell operatore forma. Discutere la relazione tra l operatore forma e l operatore di curvatura di M. Dedurre che se le curvature sezionali di un ipersuperficie M sono tutte positive ɛ 2 > 0, allora tale è anche l operatore di curvatura di M. Tale condizione è soddisfatta da tutte le varietà Riemanniane? Enunciare il teorema di Hadamard. Dimostrarlo. Esercizio 2 Dare la definizione di geodetica in una varietà Riemanniana (M, g) e definire il campo vettoriale geodetico associato a g. Dimostrare esistenza e unicità di una geodetica su (M, g) con opportune condizioni iniziali (discutere). Discutere la mappa esponenziale e determinare il differenziale di exp m nell origine. Esercizio 3 Discutere le geodetiche su una superificie di rotazione.

11 Esame di geometria superiore del 2 Febbraio prova I Nel seguito, (M, g) denota una generica varietà Riemanniana. Esercizio Sia N M una sottovarietà differenziale. Sia ι : N M l inclusione.. Si dia la definizione di metrica indotta h = ι (g) su M, spiegando perchè è effettivamente una metrica Riemanniana. 2. Si enunci il teorema fondamentale della geometria Riemanniana e si dia la definizione di connessione di Levi Civita di (M, g). 3. Sia descriva la connessione di Levi-Civita N di (N, h) in termini di quella di (M, g). 4. Si dimostri la caratterizzazione precedente. 5. Si consideri un ipersuperficie P R k e sia v R k fissato. Si definisca V : P R k ponendo V (p) =: Π p (v), ove Π p : R r T p P è il proiettore ortogonale. Dimostrare che V X(P ) e dato W X(P ) determinare P W V in termini dell operatore forma di P. Esercizio 2. Si dia la definizione di operatore forma di un ipersuperficie P M e si dimostri che definisce un endomorfismo autoaggiunto di T p P, p P. 2. Si enunci l equazione di curvatura radiale. 3. La si dimostri. 4. Sia dia la definizione di superficie di rotazione e se ne determini la curvatura Gaussiana (sezionale).

12 Esercizio 3 Si consideri la metrica Riemanniana g = ( + x 2 y 2 ) [(dx) 2 + (dy) 2 ] su R 2.. Calcolare i coefficienti di Christoffel di (R 2, g). 2. Calcolare la curvatura (sezionale) di (R 2, g). 3. Determinare il gradiente grad(f), l Hessiano H(f) e il Laplaciano (f) (rispetto a g) per una generica f C (R 2 ). 4. Calcolare la divergenza rispetto a g di X = ( + 2x). x y 2

13 Esame di geometria superiore del 2 Febbraio prova II Esercizio. Si enunci il Teorema Egregium di Gauss per superfici in R Lo si dimostri. 3. Si usi il Teorema Egregium per calcolare la curvatura della sfera di raggio r in R Si usi il teorema Egregium per determinare la curvatura Gaussiana (o sezionale) del luogo in R 3 definito dalla relazione x 2 y 2 + 2z 2 = (si spieghi se e perchè è una sottovarietà). 5. Sia P R k un ipersuperficie. Sia dia la definizione di seconda forma fondamentale e se ne discuta in dettaglio la relazione con la posizione di P rispetto allo spazio tangente affine in un dato p P. Sia P R k+ un ipersuperficie. Esercizio 2. Sia dia la definizione di mappa di Gauss Γ P di P, stabilendo se in generale è univocamente definita e se è globalmente definita. 2. Se P è compatta, connessa e e orientabile e se l operatore forma di P è ovunque non degenere, dimostrare che Γ P è iniettiva / suriettiva / biunivoca / un omeomorfismo / un diffeomorfismo (scegliere tutte le opzioni che sono corrette in generale). 3. Sia P R 3 una superficie astrattamente diffeomorfa a un toro (cioè il diffeomorfismo non è indotto da una trasformazione di R 3 in sè). Può essere che la mappa di Gauss di P è un diffeomorfismo? Che è un diffeomorfismo locale?

14 Esercizio 2 Sia (G, ρ) un gruppo di Lie compatto con una metrica biinvariante.. Si determini la derivata covariante X Y con X, Y g X(G) (campi vettoriali invarianti a sinistra). 2. Se X e Y sono linearmente indipendenti, si dimostri che sec(x, Y ) 0 e sec(x, Y ) = 0 se e solo se Discutere in dettaglio le geodetiche di G, legandole ai sottogruppi a un parametro; dimostrare in particolare che sono definite su tutta la retta reale. 4. Dare un esempio di gruppo di Lie nel quale le geodetiche sono tutte chiuse (ossia periodiche come mappe R G), uno in cui tutte le geodetiche sono non chiuse (ossia iniettive come mappe R G) e infine uno in cui le geodetiche sono talvolta chiuse e altre no. 2

15 Esame di geometria superiore del 26 Febbraio prova I Nel seguito, (M, g) denota una generica varietà Riemanniana. Esercizio. Si enunci il teorema fondamentale della geometria Riemanniana e si dia la definizione di connessione di Levi Civita di (M, g). 2. Si dimostri il Teorema suddetto. 3. Si calcoli la connessione di LC (ossia, se ne descrivano i coefficienti di Christoffel) della metrica standard di R 2 nelle seguenti carte locali: La carta standard su R 2, data dalle coordinate lineari (x, y); il sistema di coordinate polari (r, ϑ) su U =: R 2 \ (, 0]; la carta locale ϕ : V R 2 R 2 ove V = R R + e ϕ(x, y) =: (x ln(y) 2, ln(y)) (è davvero una carta e se sì perchè?). Esercizio 2. Si dia la definizione di gruppo di Lie G e di campo vettoriale invariante a sinistra su di esso. 2. Siano X, Y X(G) invarianti a sinistra; si dimostri che anche [X, Y ] lo è. 3. Si dia la definizione di metrica Riemanniana invariante a sinistra e di matrica Riemanniana biinvariante su G. 4. Si dimostri che ogni gruppo di Lie ammette una metrica invariante a sinistra. 5. Definire U(n) GL(C, n) e dimostrare che ϱ A (B, C) =: traccia (A B t) (B, C T A U(n)) definisce una metrica biinvariante su U(n).

16 6. Dimostrare o confutare con un controesempio, con argomenti dettagliati, la seguente affermazione: se G è un gruppo di Lie compatto e ϱ è una metrica invariante a sinistra su G, allora ϱ è biinvariante. Esercizio 3 Sia (M, g) una varietà Riemanniana.. Si dia la definzione di tensore di curvatura R di (M, g) e si dimostri che è effettivamente un tensore (ossia C (M)-multinieare). 2. Calcolare i coefficienti di R in una carta locale. 3. Enunciare la prima identità di Bianchi. 4. Dimostrarla. 2

17 Esame di geometria superiore del 26 Febbraio prova II Nel seguito, (M, g) denota una generica varietà Riemanniana. Esercizio. Si dia la definizione di metrica a simmetria rotazionale e si dimostri che r è una funzione distanza. 2. Si calcolino i principali invarianti di una metrica a simmetria rotazionale. Esercizio 2. Sia g λ =: λ g, per λ > 0. Si determinino la connessione di Levi-Civita e i tensori di curvatura di tipo ( 3) e ( 0 4) di (M, gλ ). 2. Si determinino la curvatura sezionale, il tensore di Ricci e la curvatura scalare di (M, g λ ). 3. Sia (N, h) una seconda varietà Riemanniana; si descrivano la connessione di Levi-Civita M N e il tensore di curvatura R M N di (M N, g h) in termini di M, N, R M e R N (con dimostrazione). 4. Siano v T m M e w T n N; si determini sec(v, w). 5. Si stabilisca se esiste un isometria Riemanniana tra (M N, g h) e un aperto U S k (r) per qualche r (argomentare la risposta). Esercizio 3. Si dia la definizione di derivata covariante lungo una curva liscia γ : [a, b] M e di trasporto parallelo di un vettore P t0,t.

18 2. Si dimostri che il trasporto parallelo è un isomorfismo unitario (specificare). 3. Si determini la dimensione dello spazio dei campi vettoriali paralleli lungo γ, con dimostrazione. 4. Si esprima la derivata covariante X Y in termini del trasporto parallelo di??? lungo le curve integrali di???, con dimostrazione. 5. Si dia la definizione di geodetica e si determinino le geodetiche del semipiano di Poincaré-Loba chevskij (motivando la risposta) 2