Esempi di spazi di probabilità

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1 Esempi di spazi di probabilità Luca La Rocca 1 ottobre 2018 Se lanciamo una moneta e osserviamo la faccia che mostra quando atterra, supponendo senz altro che il lancio vada a buon fine, possiamo prendere come spazio campionario Ω = {croce, testa}. Dopo di che prenderemo come famiglia degli eventi la σ-algebra di tutte le parti di Ω: F = (Ω) = {, {croce}, {testa}, {croce, testa}}. L unica possibile alternativa, con questo spazio campionario, sarebbe la σ-algebra banale F = {, Ω}, ma questa non coglierebbe alcun aspetto aleatorio del fenomeno modellato (né qui né in altri casi). Potremo infine assegnare una probabilità su F assegnando P{testa} = p e trovando P{croce} = 1 p (oltre che P( ) = 0 e P(Ω) = 1). Per simmetria, supponendo che la moneta sia lanciata onestamente, valuteremo p = 1/2. Se lanciamo un dado a sei facce e osserviamo la faccia che mostra quando smette di rotolare, supponendo senz altro che il lancio vada a buon fine, possiamo prendere come spazio campionario Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, abbinando ogni faccia al punteggio che riporta. Dopo di che tipicamente prenderemo come famiglia degli eventi la σ-algebra di tutte le parti di Ω. In alternativa, 1

2 se ci interessano solo gli eventi B = {2, 4, 6} e D = {3, 6}, possiamo prendere come famiglia degli eventi la σ-algebra F = σ(b, D) = {, {1, 5}, {3}, {2, 4}, {6}, {1, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 5, 6}, {2, 3, 4}, {3, 6}, {2, 4, 6}, {2, 3, 4, 6}, {1, 2, 4, 5, 6}, {1, 3, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}} generata da B e D; essa consiste di tutte e sole le unioni dei loro costituenti: nella prima riga c è l unione banale di zero costituenti (evento impossibile) assieme ai costituenti stessi, B D, B D, B D e B D, nella terza riga ci sono le unioni di due costituenti, nella quarta riga le unioni di tre costituenti e nell ultima riga c è l unione di tutti i costituenti (evento certo). A questo punto, supponendo il dado equilibrato, potremo valutare classicamente P(E) = E Ω, E F, dove E è la cardinalità dell evento di interesse (numero di casi favorevoli) mentre è Ω = 6 la cardinalità dello spazio campionario (numero di casi totali). Se estraiamo una biglia da un urna che contiene una biglia rossa e due verdi e ne osserviamo il colore, immaginando che le biglie siano numerate, possiamo prendere come spazio campionario Ω = {1, 2, 3}, convenendo (per esempio) che la biglia rossa corrisponda al numero uno. Dopo di che, non essendo il numero della biglia effettivamente osservabile, prenderemo come famiglia degli eventi la σ-algebra F = σ(r) = {, {1}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, dove R = {1} è l evento corrispondente all estrazione della biglia rossa. Infine, supponendo che le biglie siano indistinguibili al tatto, valuteremo classicamente P( ) = 0, P{1} = 1 3, P{2, 3} = 2 3 & P{1, 2, 3} = 1. 2

3 L R L R Ω Figura 1: Bersaglio a farfalla definito su un muro da due adesivi sovrapposti. Si noti che otterremmo un modello del tutto equivalente con Ω = {croce, testa}, F = (Ω) e p = P{testa} = 1/3, convenendo che testa corrisponda a rosso. Se scagliamo un dardo contro un bersaglio a farfalla come quello rappresentato in Figura 1, possiamo prendere come spazio campionario una regione di piano euclideo corrispondente al muro sui cui il bersaglio è definito; diciamo Ω = [ 9, 9] [ 6, 6] = { (x, y) R 2 x 9 & y 6 } in un opportuno sistema di coordinate cartesiane. Dopo di che prenderemo come famiglia degli eventi la σ-algebra F = σ(l, R) = {, L R, L R, L R, L R, L, R, L R, L R, R, L, L R, L R, L R, L R, Ω} generata dalle regioni di piano corrispondenti agli adesivi che definiscono il bersaglio e formata da tutte e sole le zone di piano individuate dal bersaglio. A questo 3

4 punto potremo per esempio assegnare P( L R) = 0.12, P( L R) = 0.08, P(L R) = 0.16, P(L R) = 0.64, rispettando il vincolo di somma a uno, in base a una valutazione soggettiva o empirica della nostra bravura nel mirare al corpo della farfalla e della nostra tendenza a sbagliare verso destra; troveremo poi la probabilità di un qualsiasi evento in F sommando le probabilità dei costituenti di L e R che lo esprimono come unione (per esempio P( L) = = 0.20 e P(L R) = = 0.88). Si noti che la famiglia degli eventi in questo esempio corrisponde alla famiglia degli eventi nell esempio del lancio di un dado del quale interessino solo la parità del punteggio e la sua divisibilità o meno per tre (identificando B con L e D con R); in effetti la probabilità che abbiamo appena assegnato potrebbe andare bene per un dado sbilanciato (con un peso sulla faccia 1 opposta alla faccia 6) e usiamo implicitamente il modello del bersaglio a farfalla ogni volta che rappresentiamo due eventi (presi da un qualsiasi spazio di probabilità) in un diagramma di Venn. Se lanciamo una moneta a oltranza, fino a che non otteniamo testa, possiamo prendere come spazio campionario l insieme dei numeri naturali: Ω = N = {1, 2,... }, supponendo che prima o poi una testa esca. Dopo di che potremo prendere come famiglia degli eventi la σ-algebra di tutte le sue parti: F = (N). Potremo quindi assegnare una probabilità su F assegnando P{n} = p n, n = 1, 2,..., sotto il vincolo n N p n = n=1 p n = 1; troveremo la probabilità di un qualsiasi evento A N come P(A) = n A p n. La valutazione p n = 1/2 n, per esempio, fornirà P{2, 4,... } = k=1 1/22k = k=1 1/4k = 1/(1 1/4) 1 = 1/3. 4

5 Se rompiamo un bastone in due parti, possiamo prendere come spazio campionario un intervallo della retta reale: Ω = ]0, 1[ = {ω R 0 < ω < 1}, supponendo per semplicità il bastone di lunghezza unitaria. Dopo di che ci converrà (per ragioni tecniche) considerare come famiglia degli eventi la σ-algebra F = σ(]s, t[ 0 s t 1) generata dai sottointervalli di ]0, 1[. Si noti che per comodità generiamo F, i cui elementi sono detti parti boreliane dell intervallo unitario, a partire dai soli intervalli aperti ]s, t[ = {ω R s < ω < t}, ma F conterrà i singoletti {t} = n=1 ]t 1/n, t + 1/n[ e di conseguenza tutti gli altri tipi di intervalli: [s, t[ = ]s, t[ {s}, ]s, t] = ]s, t[ {t} e [s, t] = ]s, t[ {s} {t}. A questo punto potremo per esempio assegnare P(]s, t[) = t s e ottenere (omettendo le difficoltà tecniche) una probabilità su F. Si noti che questa valutazione di probabilità è adeguata allo specifico esempio (rottura di un bastone) esattamente nella misura in cui (nello specifico esempio) intervalli aventi la stessa lunghezza possono considerarsi equiprobabili (a prescindere dalla loro posizione). 5