Superconduttività II

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1 Superconduttività II Nicola Semprini Cesari La teoria di London & London Campi elettrici e magnetici nei superconduttori Carica elettrica puntiforme Distribuione piana di carica Distribuione piana di corrente Filo rettilineo percorso da corrente Onde elettromagnetiche Interpretaione quantomeccanica Quantiaione del flusso magnetico

2 Teoria fenomenologica di London-London La prima teoria della superconduttività, in seguito detta del I tipo, fu formulata da F. e H. London nel 935. Si tratta di una teoria basata sulla elettrodinamica classica che descrive le proprietà allora note della superconduttività (assena di resistena ed effetto Meissner). La teoria assume che all interno del SC vi siano cariche elettriche in grado di muoversi sena interaioni reticolari (resistena ohmica nulla). Vengono inoltre imposte condiioni ad hoc affinchè sia descritto l effetto meissner. assena di resistena Teoria del Conduttore v m ( nev) m e m ne ne dobbiamo ora imporre le giuste condiioni affinchè sia descritto l effetto Meissner. Consideriamo l equaione di Farada m m m d dl dl ds ( ) ds B ds ( B) ds ne ne ne dt l l S() l S( l) S( l) S( l) ne / m B+ K l effetto Meissner richiede che nei punti interni di un sup.cond. B a meno che nel punto non vi sia una corrente elettrica. Dunque deve essere B se il che richiede K ne / m B equaioni costitutive di London Teoria del m ne / m B Superconduttore ne ρ quaioni di Mawell nel vuoto quaioni di Mawell nel vuoto 7/3/6 Nicola Semprini Cesari

3 Campi elettrici e magnetici nei superconduttori secondo la teoria di London ρ B B B µ + µε ρ ε Nel SC un campo elettrico determina una acceleraione delle cariche. Nel conduttore solo una velocità costante. µ B µ Nel SC si possono avere correnti elettriche con campi magnetici staionari. Nel vuoto solo con campi magnetici variabili. m µ ne le proprietà fisiche del SC sono completamente descritte da (fattore di London) 7/3/6 Nicola Semprini Cesari 3

4 ρ B B B µ + µε ρ ε Carica elettrica puntiforme nel SC ( µ ) µ µ ρ ρ µε ρ ρ ρ t i e µε Nel vuoto una carica ferma da luogo ad un campo elettrico costante. Nel SC la carica ferma da luogo ad oscillaioni nel suo valore e quindi a campi elettrici oscillanti. Nel SC i campi elettrici longitudinali (generati da cariche elettriche) sono sempre variabili col tempo (OK controllato anche con le equaioni generali della propagaione del campo elettrico, l effetto Farada non contribuisce ed il campo non viene smorato esponenialmente) µ B µ ρ ε m µ ne il valore della carica locale oscilla sinusoidalmente con valori estremi pari alla carica depositata (oscillaioni di plasma, assena di dissipaione). Stesso meccanismo del conduttore dove però la carica diminuirebbe esponenialmente (effetti dissipativi). Monopolo oscillante (praticamente impossibile da realiare nel vuoto) che non emette onde elettromagnetiche. 7/3/6 Nicola Semprini Cesari 4

5 ρ B B B µ + µε ρ ε µ B µ Piano di carica ferma nel SC Il piano carico determina normale e uniforme su tutto lo spaio (I-Ma), determina variabile col tempo ma uniforme (I-Lon) e quindi non si ha campo magnetico (II-Lon). Dalla IV-Ma si ha vogliamo studiare più in dettaglio il fenomeno utiliando una geometria più semplice µ µ + µε µ + µε + µε m µ ne i σ e ε i campi e sono uniformi e ε ε ε collineari su tutto lo spaio e per le correnti invece abbiamo variabili nel tempo secondo una legge sinusoidale (oscillaioni µ + µ ε µ + µ ε + ε plasma) ma in controfase. Come nel caso precedente possiamo t i σ concludere che, a differena del i e ε ε ε ε ε vuoto, una distribuione di carica ferma da luogo a campi elettrici longitudinali (generati da cariche elettriche) variabili nel tempo 7/3/6 Nicola Semprini Cesari 5 t σ SuperC Y

6 ρ B B B µ + µε ρ ε m Nel vuoto una µ B µ µ Piano di corrente staionaria nel SC La corrente induce B (IV-Ma). B controinduce (II-Lon) e rispetto al vuoto B viene smorato. La propagaione del campo è regolata da ( B) ( B) B B µ B B B B B ne B e per le correnti invece abbiamo le equaioni corrente staionaria genera campi magnetici costanti. Cosa succede nel SC? 7/3/6 Nicola Semprini Cesari 6 ( ) ( ( ) ) B µ e B e sono connessi dalla IV-Ma B L µ L B µ B B B SuperC Y

7 B B µ B µ e e B SuperC Y il campo magnetico costante e le correnti decadono esponenialmente mano a mano che si propagano nel superconduttore (l~ -5 cm) fino ad anullarsi. Si ha una configuraione statica di campo in cui B e sono perpendicolari ed hanno rapporto dei moduli costante (campi duali come e B nell onda elettromagnetica). Se aniché abbiamo una parete a B definito (come accade quando il SC è immerso in un campo magnetico esterno) otteniamo lo stesse equaioni e quindi spieghiamo l effetto Meissner. Poiché nel vuoto la stessa distribuione di correnti darebbe luogo ad un campo magnetico costante ed uniforme in tutto lo spaio concludiamo che il meo SC conferisce un raggio finito alla propagaione del campo magnetico costante. 7/3/6 Nicola Semprini Cesari 7

8 filo rettilineo percorso da corrente costante nel superconduttore ρ B B B µ + µε ρ ε µ B µ campo magnetico diretto sempre lungo iφ e dipendente solo da r. Abbiamo allora le equaioni B µ B Br µ B µ r r r µ ( ( Br)) B r ( ( Br)) ( Br) r( ( Br) + ( Br)) ( Br) r r r r r r r r r r caso r<< r r µ i ( Br) + ( Br) ( Br) ( Br) ( Br) Br B re B e r r r r πr r il campo magnetico nel meo conduttore ha la stessa µ i struttura spaiale del campo nel vuoto, cambia solo la B e dipendena dalla distana dal filo che risulta modulata dal π r fattore di ukawa. Naturalmente anche in questo caso sono presenti correnti di superconduione parallele al filo con lo 7/3/6 stesso Nicola andamento Semprini spaiale. Cesari 8 m µ ne il campo magnetico sulla superfici del filo è diretto lungo iφ e vale (legge di ampere) B µ i π r dalla superficie del filo in poi ci si trova dentro il superconduttore con

9 ρ B B B µ + µε ρ ε µ B µ Piano di corrente accelerata nel SC m µ ne L esempi precedente mostra che in un SC B costante si diffonde nel meo con un raggio finito. Dato che -long è stato già studiato, ci domandiamo cosa succede ad un -trasv costante. il modo più semplice per avere -trasv costante è quello di immaginare un piano di corrente uniformemente accelerata. Si ha allora B lineare col tempo (IV-Ma) ed costante (II-Ma). Le propagaioni di e B sono regolate da ( ) ( ) B ( µ + µ ε ) µ ( B) ( B) B B µ + µ ε B B e B B B B B B e 7/3/6 Nicola Semprini Cesari 9

10 il campo B generato dalla distribuione di corrente si calcola con IV-Ma B L µ L B µ i campi e B devono poi soddisfare la II-Ma µ µ e e µ abbiamo allora le seguenti equaioni per e B B µ µ e e B B SuperC Y I campi B ed -trasv costanti decadono esponenialmente mano a mano che diffondono nel meo SC. I loro moduli hanno un rapporto definito. Tutto va come nel vuoto ad ecceione del termine esponeniale. Concludiamo quindi che il meo SC conferisce un raggio di propagaione finito ai campi magnetici e elettrici-trasversali costanti 7/3/6 Nicola Semprini Cesari

11 onde elettromagnetiche piane nel superconduttore Disaccoppiando le equaioni di Mawell-London dopo facili passaggi si ottiene µε ρ Nelle pagine precedenti abbiamo analiato la propagaione di campi elettrici e magnetici costanti. Lasciamo ora cadere questa limitaione e consideriamo il caso di campi elettrici e magnetici variabili. µ ε + ρ ε fluido B µε B B carico µε assena di carica elettrica ed infinita rigidità del Supponiamo ora di avere, ad un certo tempo, un campo magnetico uniforme sul piano diretto lungo. ssendo tale piano un piano di simmetria sia che B che non potranno che dipendere dalla sola variabile Y. Avremo dunque B(,t) ed (,t) (,t) (,t). Dalla III eq. si ha per il campo magnetico B B B c µε B µε B B siccome siamo interessati a studiare le onde nel superconduttore cerchiamo la soluione nella forma di una onda progressiva (necessariamente piana data la simmetria del problema) 7/3/6 Nicola Semprini Cesari

12 B (, t) B e i( k ωt) B B B c ω c ω c k + k ± si devono evitare le onde divergenti esponenialmente ω k ± c ω k + i c ω > ω < B (, t) B e ik ( ωt) k B (, t) B e e iωt k c > c ω / / ω / k / ω / c ω < c/ Nel caso di fenomeni variabili col tempo, la propagaione nel superconduttore (come in qualsiasi altro meo), è caratteriata da due regimi distinti separati da una ben precisa frequena (frequena di taglio). Se il segnale possiede una frequena superiore a quella di taglio allora si propaga liberamente nel meo come un onda piana e progressiva viceversa il segnale decade spaialmente secondo una legge esponeniale e non si ha alcuna propagaione (non si ha infatti la possibilità di mantenere la fase dell onda costante). Il meo si comporta come un filtro passa alto. attraverso le equaioni di Mawell possiamo calcolare i campi correlati e 7/3/6 Nicola Semprini Cesari

13 B B e i( k ωt) k reale o immaginario relaioni analoghe si ottengono per e e,,,, e,,,, i( k ωt ) i( k ωt) il campo elettrico deve soddisfare anche l equaione di Farada. Tenendo conto che ((,t),(,t),(,t)) si ha e i( k ωt) i( k ωt) (,, ) (,, ) (,, ) (,, B e ) il campo elettrico è diretto lungo le negative. I moduli di e B sono vincolati. Se k è reale (propagaione libera) e B sono in fase, se k è immaginario (propagaione smorata) e B sono sfasati di 9 gradi. ik e iω B e i( k ωt) i( k ωt) (,, ) Dalla legge della divergena di si ha inoltre + + lungo e possono esistere solo campi uniformi La corrente deve soddisfare le relaioni di London (I-Lon) µ e µ e iωµ e iωµ i i( k ωt) i( k ωt) i( k ωt) ωµ ω B k la corrente è sempre sfasata di 9 gradi rispetto al campo elettrico. I moduli di ed sono vincolati 7/3/6 Nicola Semprini Cesari 3

14 Riassumendo abbiamo due differenti situaioni regolate dalla frequena del campo nel meo. Se la frequena è inferiore a quella di taglio i moduli dei campi sono soggetti ad attenuaione secondo una legge esponeniale e diffondono nel meo sena propagaione. Se invece la frequena è superiore a quella di taglio non si ha alcuna attenuaione dei campi i quali si propagano liberamente nel meo. Le caratteristiche dettagliate dei campi e le relative leggi di dispersione sono riportate qui sotto. frequena inf a quella di taglio (K im.) frequena sup a quella di taglio (K re.) k iωt i( k ωt) B B e B B e e e ω i B k i k iωt k iωt ωµ k / ω / c B e decrescono spaialmente secondo una legge esponeniale (assena di propagaione) B ed e la direione di propagaione sono mutuamente perpendicolari. è allineato con. B ed hanno moduli reciprocamente vincolati e sono sfasati di 9 gradi. ed hanno moduli vincolati e sono sfasati di 9 gradi. B k e e i( k ωt) i( k ωt) ω B k i ωµ ω / c / B e si propagano nello spaio come onde piane progressive B ed e la direione di propagaione sono mutuamente perpendicolari. è allineato con. B ed hanno moduli reciprocamente vincolati e sono in fase ed hanno moduli vincolati e sono sfasati di 9 gradi. 7/3/6 Nicola Semprini Cesari 4 Y

15 Interpretaione quantomeccanica Cosa succede se interpretiamo i risultati ottenuti per l onda elettromagnetica piana attraverso la meccanica quantica? La meccanica quantica pensa il campo elettromagnetico come formato da un enorme numero di particelle (fotoni) tutte nello stesso stato quantico (insieme di bosoni identici non soggetto alle limitaioni del principio di Pauli). L energia e l impulso di ciascun fotone è dato dalle relaioni ω p k la struttura dei campi elettrici e magnetici di ciascun fotone è identica a quella del campo complessivo ed è quella vista nella pagina precedente. Le relaioni di dispersione di ciascun fotone nei due diversi regimi diventano ω< / < mc k p / ω / c / / /( ) p c + ( / c) c c 4 particella virtuale di massa m / c ω > / > mc k ω / c / p / /( c ) / p c + ( / c) 4 particella reale di massa m / le espressioni delle onde piane corrispondenti a ciascun fotone diventano i t B B e e p p mc c 4 caso statico: fattore esponeniale di ukawa / mc e i ( p t) 7/3/6 Nicola Semprini Cesari 5 B B e p m c c 4 c c i fotoni nel meo equivalgono a particelle massive nel vuoto, W w Z possono essere pensati come fotoni ordinari nel meo di higgs o particelle massive nel vuoto

16 L onda elettromagnetica si propaga nel meo superconduttore mantenendo inalterata la propria struttura. Ciascun quanto dell onda elettromagnetica può propagarsi secondo due differenti regimi. Se è soddisfatta la relaione < mc (particella virtuale) si ha una attenuaione esponeniale del campo regolata dal 4 fattore di ukawa c/ m c e la relaione energia impulso di particella 4 virtuale pc + mc. Viceversa se è soddisfatta la relaione > mc (particella reale) non si ha attenuaione esponeniale del segnale il quale si propaga liberamente soddisfacendo la relaione energia impulso di particella 4 reale pc + mc. La finitea del raggio d aione del quanto nel regime virtuale e della massività del quanto nel regime reale sono entrambe l effetto della massa apparente acquisita da ciascun quanto all interno del meo superconduttore. Il valore di tale massa è determinato oltre che da costanti naturali fondamentali dalle proprietà intrinseche del meo m / c.. La propagaione dell onda elettromagnetica nel superconduttore mostra un meccanismo dettagliato in grado di fornire, ad un quanto di massa nulla, una massa apparente con tutte le proprietà cinematiche e dinamiche di una massa reale. Lo stesso meccanismo determina inoltre un raggio d aione finito del quanto nel regime virtuale (si ricorderà che la base del meccanismo è la relaione di London tra e B vista a suo tempo). 7/3/6 Nicola Semprini Cesari 6

17 COMMNTO. Una prima assunione basilare nell architettura del modello standard (supportata da una enorme base sperimentale ovviamente) è che i tre campi fondamentali (elettromagnetico, debole, forte) siano vettoriali e regolati da estensioni delle equaioni di Mawell. Tale schema si adatta perfettamente alla interaione elettromagnetica (ovvio!) ed anche a quella forte (oggi si è capito che i quanti di radiaione di tale interaione sono di massa nulla e raggio d aione infinito) mentre sembra in totale conflitto con la interaione debole che possiede quanti di radiaione massivi e raggio d aione finito. Il conflitto viene risolto ammettendo che il vuoto sia in realtà riempito di un meo costituito da cariche deboli in regime di superconduione (campo di Higgs) che attraverso il meccanismo che si è visto (il campo magnetico debole genera una corrente elettrica debole la quale controinduce via legge di Ampere un campo magnetico debole) conferisce una massa apparente ed un raggio d aione finito ai quanti di radiaione del campo. Una seconda assunione basilare nel modello standard (ovviamente supportata dai fatti) è che i quark liberi abbiano masse intrinseche relativamente piccole (mu 4 Mev, md 8 MeV, simmetria chirale). Tale fatto sembra essere in conflitto con la elevata massa degli adroni (mp938 MeV). Il conflitto viene risolto ammettendo che coppie q-anti q riempiano il vuoto (condensato, particella sigma) e che gli adroni (dotati di massa intrinseca piuttosto piccola) acquisiscano la loro massa muovendosi in questo meo. Dunque nel modello standard esistono vari tipi di masse. La massa intrinseca posseduta dalle particelle libere del modello la cui origine è incognita. Le masse apparenti acquisite dalle particelle a causa della presena di un meo materiale nel quale si muovono. Un primo meccanismo di generaione della massa apparente è quello di Higgs che conferisce massa ai mediatori della interaione debole. Un secondo meccanismo è basato sulla particella sigma che conferisce la quasi totalità della massa agli adroni (dunque è il principale meccanismo di generaione della massa ordinariamente intesa). Tali meccanismi sono stati creati in analogia (nel caso del meccanismo di Higgs si tratta di identità completa) con il caso del supercoduttore che abbiamo esaminato. 7/3/6 Nicola Semprini Cesari 7

18 Superconduttori bucati: quantiaione del flusso Consideriamo un SC come quello della figura immerso in un campo magnetico esterno B. chiaro che nei punti interni alla cavità quando si considera l equaione di London (vedi trasparene precedenti) bisogna prevedere il caso in cui K sia non nullo (K era imposto dall effetto Meissner). + ne / m B K ( ne / m p) + ne / m B K p+ eb m/ ne K l S p ds + e A ds m / ne K ds ψ S S S S ( p+ ea) dl Ψ nh B ds nh/ e / e p dl l S quantiaione di Bohr-Sommerfeld ora se il percorso d integraione l abbraccia la cavità si ha che l impulso e di conseguena il suo integrale si annulla (assena di correnti di superconduione nei punti interni) e quindi nh/ e 7/3/6 Nicola Semprini Cesari 8 S B ds London-London intuirono che la meccanica quantistica era determinante nella descriione di un superconduttore, non furono in grado di formulare una teoria quantistica del superconduione tuttavia, impiegandola nella sua forma più primitiva, predissero questo effetto. l B

19 La prova sperimentale La misura del flusso attraverso un superconduttore forato immerso in un campo magnetico esterno fu compiuta contemporaneamente da Deaver & Fairbank 96, Stanford Universit e Doll & Nabauer 96, Munchen Universit. ΦTot ( h/ e) In realtà gli sperimentatori trovarono che i valori di flusso si posiionavano a valori seminteri per cui conclusero che i portatori di carica nella superconduione avevano carica e! videna sperimentale della esistena delle coppie di Cooper. Come avevano intuito London-London i superconduttori sono governati anche dalle leggi quantomeccaniche. I superconduttori quindi costituiscono sistemi fisici macroscopici governati dalle leggi valide nei sistemi microscopici. Per questo motivo vengono utiliati, oltre che nella costruione di elettromagneti, nella creaione di dispositivi elettronici basati sulla meccanica quantistica (giunioni osephson, squid etc. etc.) e negli esperimenti sui fondamenti della meccanica quantica. ΦTot ( h/ e) Φ h/ e.7 T m 5 7/3/6 Nicola Semprini Cesari 9

20 In quanto precede abbiamo assunto come equaioni costitutive di London del meo super conduttore la relaione ne / m B+ K con la condiione aggiuntiva K necessaria per descrivere l effetto Meissner. In realtà London si spinse più avanti osservando che da cui ne / m B ne / m A ( ne / m A ) ne / m A + φ A ne / m A + φ + φ φ φ ne / m A a questo punto scelse una gauge definita (detta gauge di London) ponendo siccome in condiioni staionarie si deve avere anche otteniamo London scelse la condiione più restrittiva in modo da ottenere la relaione In questo fu probabilmente guidato dal fatto che in un normale conduttore si ha ovvero una relaione per la densità di corrente per cui pensò che pure in un super conduttore (σinfinito, K) dovesse sussistere una relaione per. In ogni caso è chiaro nella relaione di London c è molto di più della semplice ipotesi σinfinito per cui è lecito domandarsi se in natura non vi siano casi in cui σinfinito che tuttavia non sottostanno alla equaione di London (esistono nell effetto Hall quantistico). 7/3/6 Nicola Semprini Cesari σ

21 NOTA: l equaione di London contiene alcuni aspetti che devono essere sottolineati. La descriione delle proprietà elettromagnetiche classiche (non quantistiche) di un superconduttore da un punto di vista logico non richiedono una relaione come quella di London appena esaminata. sufficiente la relaione utiliata nel corso di questo capitolo. Siccome la relaione di London viola in modo evidente l invariana di gauge (facendo comparire direttamente il poteniale vettore A e non le sue derivate) mentre la relaione meno restrittiva che abbiamo utiliato non la viola dobbiamo concludere in ambito classico non si può concludere nulla sulla eventuale violaione della invariana di gauge in un superconduttore. Informaioni a questo riguardo emergono solo in ambito quantistico. La infatti, a causa delle leggi che regolano la scrittura delle leggi quantiche in campi elettromagnetici (leggi di Aharonov-Bohm), emerge una relaione diretta tra densità di corrente e poteniale vettore j ie Ψ Ψ * Ψ Ψ * e ΨΨ * A m ( ) dove la funione d onda deve soddisfare la equaione di G-L. In un superconduttore del I tipo accade che l equaione di G-L determina Ψkost il che comporta che sia allora legato direttamente al poteniale vettore dalla legge di London. Dunque è solo all interno della descriione quantomeccanica della superconduione che le proprità della super counduttività si saldano con la rottura della invariana di gauge. m 7/3/6 Nicola Semprini Cesari

22 Fine