ESERCIZIO 11 - TUTORATO PROPAGAZIONE A.A. 06/07

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1 ESERO - TUTORTO PROPGONE.. 6/7 8-9/5/7 Eserciio ( punti / 8) Prova scritta di propagaione ( parte) R R Ω R 5mΩ R ε r 5mΩ.pF f ris 5GH Nel risuonatore di figura tutte le linee sono riempite con un dielettrico di coste dielettrica ε. Determinare il minimo valore di per il quale il circuito risuona a 5 GH, e calcolare il relativo fattore di merito. r SOUON.7773 mm Q 9

2 Soluione: l risuonatore in figura è un risuonatore reale con perdite. algono le stesse premesse viste nell eserciio precedente del tutorato (eserciio ). n questo eserciio una stima molto grossolana del fattore di merito si calcola come: Q stima 5 3 R 667 Possiamo allora provare ad applicare la tecnica perturbativa per lo studio del risuonatore. l circuito ideale è quello in cui le due resistene vengono approssimate con dei corti circuiti ( che è la loro migliore approssimaione visto che sono molto piccole rispetto all impedena caratteristica delle linee di trasmissione). l circuito a cui applicare la tecnica perturbativa è allora il seguente: Naturalmente per il calcolo di energia e potena dissipata occorre alimentare il risuonatore, ovvero fissare il valore di una corrente o di una tensione. Nel nostro caso tale scelta è ricaduta sulla corrente del corto circuito di istra denominata.

3 ) alcolo di. l testo chiede di calcolare la lunghea minima affinché il circuito risuoni a 5 GH. Scelta una seione arbitraria del circuito, dobbiamo imporre le due condiioni per avere risonana, cioè: s r s r e Y Y n genere, salvo casi particolari, nelle condiioni in cui le due impedene o le due ammettene non vanno contemporaneamente ad infinito ne basta una sola. onsiderata la presena della capacità in parallelo, utiliiamo la condiione sulle ammettene: a istra della seione vedo una linea di trasmissione chiusa in corto circuito, quindi di ammettena: s Y j ( ) 3

4 a destra della seione vedo il parallelo della susceta capacitiva con una linea di trasmissione lasciata a circuito aperto: r Y j ω j ( ) Dove ω e sono pulsaione alla risonana e coste di propagaione sulle due linee (uguale per entrambe perché le due linee sono uguali in quanto hanno stessa impedena e materiale dielettrico): 9 ω π f π rad s ε r ω m c lla risonana la somma di queste due ammettene deve essere nulla: j ( ) j ω j ( ) Questa relaione è sufficiente per determinare tutte le frequene di risonana del circuito in quanto le due impedene non vanno mai contemporaneamente all infinito.

5 Posto per comodità T ( ), dobbiamo risolvere: j T j ω j T T ω T T ω T notare che T non è soluione dell equaione (quindi la raionaliaione dell equaione non elimina soluioni possibili). a soluione per T vale: T, ω ± ω di conseguena arc arc (.855) (.693) nπ n π n n (.5 ) (3.5 ) mm mm a lunghea minima per la quale il circuito risuona a 5 GH vale allora:.7773 mm 5

6 B) alcolo dell energia elettromagnetica. Poiché alla risonana l energia elettrica totale è uguale all energia magnetica totale immagainata nel circuito, cioè: e m llora l energia elettromagnetica totale si può calcolare come: em e m lla risonana è allora sufficiente calcolare un solo tipo di energia, elettrica o magnetica, per avere tutta l energia elettromagnetica immagainata nel circuito complessivo. calcoli successivi faranno riferimento alla figura illustrata di seguito: 6

7 Supponiamo di voler calcolare l energia magnetica del circuito; per una generica linea di lunghea d e di induta per unità di lunghea pari a, questa si calcola come: m d d Nel nostro caso, le due linee in cui calcolare l energia magnetica preseno stessa lunghea calcolata al punto precedente e stessa induta per unità di lunghea di valore: ω 7. nh m andamento della corrente sulla linea di istra e secondo il sistema di riferimento in figura vale: cos( ) mentre l andamento della corrente sulla linea di destra, sempre secondo il sistema di riferimento in figura vale: ( ) j ( ) 7

8 Poiché l energia sarà calcolata in riferimento ad un unico parametro circuitale, nel nostro caso è stata scelta la corrente sul corto circuito di istra ( ), è utile riferire tute le grandee circuitali a tale parametro. n particolare si può legare il valore della tensione, sul circuito aperto a destra, alla corrente, sul cortocircuito a istra, sfrutdo il fatto che le tensioni in uscita dalle due linee è la stessa e pari a : per la linea di istra vale: j ( ) per la linea di destra vale: cos( ) conseguena: ( ) j ( ) cos ( ) j Quindi anche la corrente è esprimibile in funione di : ( ) ( ) ( ) Noti gli andamenti delle correnti lungo le linee, siamo in grado di calcolare l energia magnetica. 8

9 9 Nella linea a istra abbiamo: d d m cos d cos pj Nella linea a destra viceversa: d d m d cos pj

10 energia magnetica totale vale dunque: m pj pj pj 78 m m Mentre l energia elettromagnetica totale vale: em pj nj m l calcolo dell energia elettromagnetica sarebbe così concluso ma, a fini didattici, è utile calcolare anche l energia elettrica immagainata nel circuito e verificare che sia uguale, come deve essere in condiioni di risonana, a quella magnetica. Supponiamo di voler calcolare l energia elettrica del circuito; per una generica linea di lunghea d e di capacità per unità di lunghea pari a, questa si calcola come: e d d Nel nostro caso, le due linee in cui calcolare l energia magnetica preseno stessa lunghea calcolata al punto precedente e stessa capacità per unità di lunghea di valore: ω 7. pf m

11 nalogamente a quanto già visto per le correnti, l andamento della tensione sulla linea di istra può scriversi come: j mentre quello della tensione sulla linea di destra vale: cos e tenendo conto del legame tra e cos j Noti gli andamenti delle tensioni lungo le linee, siamo in grado di calcolare l energia elettrica. Nella linea a istra abbiamo: d d e d cos pj

12 Nella linea a destra viceversa: cos d d e cos d pj Oltre all energia elettrica immagainata nelle due linee, è presente anche l energia elettrica immagainata nella capacità che contribuisce all energia elettrica totale del circuito; questa vale: j e pj

13 energia elettrica totale vale dunque: e pj pj 8 ( ) e e e che come si vede coincide con quella magnetica. Mentre l energia elettromagnetica totale si può calcolare anche come: em pj nj e

14 ) alcolo della Potena dissipata e del Fattore di Merito. Ricordando ora che il fattore di merito si calcola come Q ω P D em rimane da calcolare la potena dissipata nel risuonatore che è evidentemente la potena dissipata dalle due resistene presenti nel circuito; per il principio di sovrapposiione degli effetti, la potena totale dissipata sarà la loro somma. Ricordando che per quanto riguarda il calcolo della potena dissipata, occorre assumere la stessa configuraione di tensione e corrente del risuonatore ideale, allora nella resistena R scorrerà una corrente uguale a SX, mentre nella resistena R scorrerà una corrente uguale a DX (secondo lo schema circuitale seguente). SX DX

15 a potena dissipata da R vale: P R R SX dove e quindi SX ( ) cos( ) P ( ) R R SX R cos. m iceversa la potena dissipata da R vale: P R R DX dove e quindi DX ( ) ( ) ( ) P ( ) ( ) R R DX R 3. 7 m a potena totale dissipata vale dunque: P D P m m (. 3.7) R PR

16 nfine il fattore di merito vale: Q ω P D em s J 9 questo punto, considerato che il fattore di merito ottenuto con la tecnica perturbativa è effettivamente grande, significa che i risultati ottenuti sono corretti. errore commesso è dell ordine di 5.5. Q 6