I POLINOMI. prof Luca Goldoni Liceo scientifico A.F. Formiggini Sassuolo c

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1 I POLINOMI prof Luca Goldoni Liceo scientifico A.F. Formiggini Sassuolo c PREMESSA In questa breve dispensa di carattere teorico si vogliono raccogliere alcuni risultati relativi alla TEORIA DEI POLINOMI, che siano di complemento a quanto già studiato nel corso d algebra.alcuni risultati ( esempio il Teorema Fondamentale dell Algebra)sono forniti senza dimostrazione,se essa richiede conoscenze di molto superiori a quanto è trattato nei corsi del Liceo.Quando possibili si è fatto qualche cenno ad argomenti di ricerca,(per esempio i Polinomi a quadrato sparso) per fare capire che la Matematica non è qualcosa di definitivo ma anzi vive sui problemi non risolti. RISULTATI RIGUARDANTI GLI ZERI DEI POLINOMI TEOREMA 1 Se P (x) Z[x] e se P (x) ha grado n allora P (x) ha al massimo n zeri. DIMOSTRAZIONE Se α Z è tale che P (α) = 0 allora, per il teorema del resto si ha: P (x) = (x α)q(x) con Q(x) che ha grado n 1.Supponiamo dunque che P (x) abbia più di n zeri.avremmo: P (x) = (x α 1 )(x α 2 )...(x α m )T (x) dove per ipotesi m > 0 e T (x) è un polinomio di grado t 0.Questo però è assurdo poichè il primo membro è un polinomio di grado n < m m + t 1

2 TEOREMA 2 Ogni polinomio P (x) R[x] di grado dispari ha almeno uno zero in R. (dimostrazione omessa). TEOREMA 3 Ogni polinomio P (x) C[x] ha almeno uno zero in C.Tale teorema viene detto anche TEOREMA FONDAMENTALE DELL ALGEBRA. (Dimostrazione omessa). RISULTATI RIGUARDANTI L IRRIDUCIBILITA DEI POLINOMI. CRITERIO DI EISENSTEIN Se P (x) è un polinomio monico a coeficienti interi del tipo: P (x) = x n + a n 1 x n a 0 se ognuno dei suoi coefficienti,eccetto il primo, sono divisibili per un numero primo p e se a 0 non è divisibile per p 2 allora il polinomio è iriducibile. DIMOSTRAZIONE La faremo in un caso particolare di un polinomio di grado 5 al solo scopo di chiarire qual è la sua natura.risulterà evidente dalla stessa, che il caso è solo apparentemente particolare e che nel caso generale si procede esattamente nello stesso modo. Sia dunque: P (x) = x 5 + a 1 x 4 + a 2 x 3 + a 3 x 2 + a 4 x + a 5 e supponiamo per assurdoche esista una fattorizzazione di P (x) per esempio che sia: sviluppando i calcoli si ha: P (x) = (x 2 + ax + b)(x 3 + cx 2 + dx + e) x 5 + (a + c)x 4 + (ac + b + d)x 3 + (ad + bc + e)x 2 + (ae + bd)x + be e poichè p a 5 avremo che p be.siccome però p 2 a 5 allora o p b e p e o viceversa.supponiamo che p b.allora poichè per ipotesi p a 4 avremo che : p (ae + bd) e poichè per dimostrazione precedente p b ne segue che p ae.ma siccome p e allora p a.a questo punto l assurdo è ragiunto in quanto per ipotesi p a 3 e quindi p (ad + bc + e) e ciò è impossibile in quanto,a causa del fatto che per dimostrazione precedente p ad e p bc si avrebbe p e contro l ipotesi. 2

3 NOTA Dovrebbe essere abbastanza evidente perchè il caso trattato è facilmente generalizzabile: si parte sempre dal termine noto e si sfrutta il fatto che esso è divisibile per p ma non per p 2 ;da ciò si arriva per passi successivi,tenuto conto della divisibilità per p dei vari a i ad un coefficiente che presenta un certo numero di fattori tuttidivisibili per p (per dimostrazione precedente) e da un termine che abbiamo dedotto al primo passaggio non essere divisibile per p.ciò costituisce l assurdo. CRITERIO DEI VALORI PRIMI Se P (x) è un polinomio di grado n a coefficienti interi, se esistono 2n + 1 valori interi k per i quali P (k) è primo, allora P (x) è irriducibile. DIMOSTRAZIONE Se fosse P (x) = F (x)g(x) con F (x) e G(x) polinomi di grado r ed con r + s = n,allora essendo per ipotesi P (k) essendo k uno dei 2n + 1 valori dell ipotesi, avremmo che F (k) = ±1 al massimo 2r volte (per il teorema 1 di questa dispensa) e G(k) = ±1 al massimo 2s volte. Ma 2r + 2s = 2n quindi se il polinomio assume 2n + 1 dovrebbe accadere che il numero complessivo di volte in cui i due fattori assumono valore ±1 è 2n + 1 il che è assurdo.dunque la tesi è provata. Il criterio è stato migliorato da O.Ore con il seguente criterio: CRITERIO DI ORE Se P (x) è un polinomio di grado n a coefficienti interi, se esistono n + 5 valori interi k per i quali P (k) è primo, allora P (x) è irriducibile.(dimostrazione omessa) 3

4 TEOREMA DI COHN Se P (x) = a n x n + a n 1 x n a 0 è un polinomio i cui coefficienti appartengono ad se il numero: A = {0, 1, 2...9} a n 10 n + a n 1 10 n a 0 è primo allora il polinomio è irriducibile. (dimostrazione omessa) TEOREMA DI COHN GENERALIZZATO Se P (x) = a n x n + a n 1 x n a 0 è un polinomio i cui coefficienti appartengono ad con 2 < b < 10; se il numero: A = {0, 1, 2...b} a n b n + a n 1 b n a 0 è primo allora il polinomio è irriducibile. NOTA Il teorema è piuttosto recente essendo stato dimostarto dall americano M.Filaseta in collaborazione con altri nel 1979 CRITERIO DI O.PERRON Se P (x) è un polinomio di grado n a coefficienti interi, del tipo: e se P (x) = x n + a n 1 x n a 0 a n 1 > a n a allora P (x) è irriducibile.(dimostrazione omessa). 4

5 RISULTATI VARI TEOREMA 1 Se x 1 allora: P (x) = 1 + x + x x n P (x) = xn+1 1 x 1 DIMOSTRAZIONE: Moltiplicando P (x) per x si ha: xp (x) = x + x x n+1 da cui: e quindi: da cui: xp (x) P (x) = x n+1 1 (x 1)P (x) = x n+1 1 P (x) = xn+1 1 x 1 DEFINIZIONE 1 ALCUNI RISULTATI DI RICERCA Un polinomio P (x) si dice a quadrato sparso se P 2 (x) ha un numero di termini strettamente minore di quello di P (x). La domanda è esistono polinomi a quadrato sparso? La rispostaè si anche se il loro grado deve essere necessariamente 11(risultato provato da J. Abbot nel 2002).Sono stati trovati alcuni polinomi di grado 12 dei quali qui ne riporteremo uno solo: P (x) = (125x x 5 10x 4 + 4x 3 2x 2 + 2x + 1)( 110x 6 + 1) esso ha 13 termini ma il suo quadrato ne ha solo 12. Come si vede si tratta di un polinomio che non ha alcun tipo di simmetria nei coefficienti.l autore di 5

6 queste dispense si è posto il problema se esistono polinomi a quadrato sparso del tipo: con P (x) = a 0 x 2n + a 1 x 2n 1 + a 2 x 2n a 2n 2 x 2 + a 2n 1 x + a 2n a 0 = a 2n a 1 = a 2n 1 a 2 = a 2n 2 e la risposta è stata si, anche se la tecnica impiegata sicuramente non ha permesso si trovare il grado minimo di tali polinomi e anche se si tratta di polinomi a coefficienti non interi.il migliore di essi ha grado 48, ha 49 termini e il suo quadrato soltanto 45 termini. 6