SISTEMI AEROSPAZIALI I

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1 SISTEMI AEROSPAZIALI I SBOBINATURE ANNO ACCADEMICO 2016/2017 Professore Giancarlo Rufino d Sbobinature realizzate da Ignazio Esposito e Cardellino Giada con la collaborazione di : Gagliardi Giuseppe, Fiorentino Salvatore, Fauci Giuseppe, Cinque Giampietro, Avallone Luigi

2 1 Le seguenti sbobinature sono state realizzate durante l anno accademico 2016/2017 Le seguenti sbobinature non sono sufficienti da sole per sostenere l esame ed è necessario seguire il corso e confrontarle con ciò che è detto dal professore ampliando gli argomenti con il libro consigliato dal professore. La versione non ha subito revisioni ed è probabile che ci siano errori che vanno corretti, anche se è facile individuarli studiando. ( Sfruttatelo come un esercizio ;) ) Inoltre è d obbligo riferire che queste sbobinature iniziano direttamente dalla quinta lezione, in quanto le prime 4 sono di introduzione, anche se per l esame è necessario saperle comunque Buon lavoro!

3 4/10/2016 Vogliamo studiare i SISTEMI DINAMICI: fenomeni che evolvono nel tempo. Per formalizzare lo studio dei sistemi dinamici ci concentriamo sui fenomeni fisici e sui dispositivi individuando le grandezze che caratterizzano tale fenomeno o dispositivo e le relazioni di esse. Tale fase è quella di individuazione delle Variabili del sistema ( Grandezze che variano in funzione del tempo ). Considerando i legami tra le variabili notiamo che molte derivano dalle leggi della fisica che governano tale fenomeno. Operando in questo modo facciamo una rappresentazione grafica del sistema come un rettangolo con due frecce: Una entrante ed una uscente. INPUT SISTEMA OUTPUT Ingresso ( Input ): Cause del fenomeno. Uscita ( Output ) Conseguenze ed effetti del fenomeno. In più bisogna identificare un altro tipo di variabili: VARIABILI DI STATO le quali sono un gruppo di variabili che insieme rappresentano la condizione del sistema. Indicheremo Variabili di ingresso u Variabili di uscita y Variabili di stato x x(t) Ogni sistema è caratterizzato da svariate evoluzioni, Le variabili di stato non sono solo un insieme di parametri scalari che descrivono solo la condizione del sistema ma prima di tutto, non essendo univocamente determinate, devono essere sufficienti a costruire l evoluzione del sistema, avendo scelto le variabili note ( Stato iniziale e input al sistema nello stato iniziale ). ORDINE DEL SISTEMA: L ordine del sistema è il numero intero m minimo di variabili di stato ( grandezze scalari ) necessario per costruire l evoluzione dello stesso essendo noti lo stato iniziale e l input del sistema nello stato iniziale.

4 Formalizziamo i tre vettori delle variabili del sistema u = [u 1, u 2,, u k ] T y = [y 1, y 2,, y l ] T x = [x 1, x 2,, x m ] T Si noti che m è l ordine del sistema T sta per Trasposta. sta ad indicare che il vettore in questione è un vettore colonna. Come si può ricostruire l evoluzione del sistema? Considero le leggi della fisica e le componenti determinanti scrivendo un equazione differenziale del 1 ordine avendo come incognite le funzioni di stato. x 1 (t) = f 1 (x 1 (t), x 2 (t),, x m (t), u 1 (t), u 2 (t),,, u k (t), t) x { 2 (t) = f 2 (x 1 (t), x 2 (t),, x m (t), u 1 (t), u 2 (t),,, u k (t), t) x m (t) = f m (x 1 (t), x 2 (t),, x m (t), u 1 (t), u 2 (t),,, u k (t), t) Queste sono le equazioni di stato del sistema che ci indicano istante per istante come il nostro sistema evolve. Le equazioni differenziali sono m quanto l ordine del sistema. A tali relazioni si affiancano altre relazioni riguardo l uscità del sistema: y 1 (t) = g 1 (x 1 (t), x 2 (t),, x m (t), u 1 (t), u 2 (t),,, u k (t), t) y { 2 (t) = g 2 (x 1 (t), x 2 (t),, x m (t), u 1 (t), u 2 (t),,, u k (t), t) y l (t) = g l (x 1 (t), x 2 (t),, x m (t), u 1 (t), u 2 (t),,, u k (t), t) NOTA BENE: Non sono equazioni differenziali! Costituiscono le equazioni dell uscita data dalla condizione del sistema e dall input dato al sistema in quell istante e dal tempo. Riscriviamo i due sistemi in forma vettoriale e compatta: EQ. DI STATO: x (t) = f(x(t), u(t), t) EQ. DI USCITA: y(t) = g(x(t), u(t), t) Per analizzare un sistema dinamico quindi bisogna individuare le grandezze che caratterizzano il sistema, organizzare effetti e variabili di stato, scrivere la regola secondo cui evolve il sistema tramite un sistema di equazioni differenziali del 1 ordine. A questo punto posso analizzare il tutto.

5 SPAZIO DEGLI STATI Spazio vettoriale per cui varia il vettore di stato: insieme di tutti i valori dello stato in corrispondenza delle condizioni del sistema. E uno spazio di dimensione m. Ogni punto dello spazio degli stati è un possibile stato e pertanto una possibile condizione del sistema. RISPOSTA DEL SISTEMA x = x(t) È una possibile legge di variazione nello spazio degli stati, ovvero una possibile evoluzione del sistema. TRAIETTORIA NELLO SPAZIO DEGLI STATI E l insieme dei punti nello spazio degli stati corrispondenti ad una possibile risposta del sistema. Per convenienza si considera il dominio trasformato ( la trasformata di Laplace ) L{u(t)} L{y(t)} Per caratterizzare meglio l uscita consideriamo l uscita come l insieme dei parametri osservabili dall esterno del sistema. SISTEMI PARTICOLARI SISTEMI LINEARI In questo caso sia l equazione di stato che quella di uscita sono lineari rispetto all ingresso. Ricordiamo che x: m 1 y: l 1 u: k 1

6 DEF Un sistema si dice lineare se l equazione di stato e quella d uscita possono essere scritte come: x (t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) m 1 m m m 1 m k k 1 y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) l 1 l m m 1 l k k 1 I sistemi lineari godono di una importante proprietà. PROPRIETA DI SOVRAPPONIBILITA DEGLI EFFETTI Preso un sistema lineare e supposto di avere x 1 (t)e u 1 (t) e x 2 (t) u 2 (t) che soddisfano l equazione di stato. y 1 (t) uscita HP x 1 (t) u 1 (t) x 2 (t) u 2 (t) VERIFICANO L EQUAZIONE DI STATO y 2 (t) uscita Allora TH x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) u(t) = u 1 (t) + u 2 (t) ANCHE QUESTE VERIFICANO L EQUAZIONE DI STATO y(t) = y 1 (t) + y 2 (t) uscita Formalizzando x 1(t) = A(t)x 1 (t) + B(t)u 1 (t) x 2(t) = A(t)x 2 (t) + B(t)u 2 (t) x 1 (t) + x 2(t) = A(t)( x 1 (t) + x 2 (t) ) + B(t)( u 1 (t) + u 2 (t) )

7 Considerata una generica posizione iniziale x 0, u(t) e costruiti due problemi: 1. x 10 = x 0 u 1 = 0 x 1 (t) 2. x 20 = 0 u 2 = u(t) x 2 (t) Forzante Nulla Condizioni iniziali nulle Questi due problemi hanno nomi particolari: 1. PROBLEMA A FORZANTE NULLA Soluzione: RISPOSTA LIBERA, questo poiché il problema non è sottoposto a forzante 2. PROBLEMA A CONDIZIONI INIZIALI NULLE Soluzione: RISPOSTA FORZATA Quindi in generale quando abbiamo un problema di un sistema lineare questo è la somma di un problema a risposta libera e di uno a risposta forzata. NB Ciò vale solo per i sistemi lineari! SISTEMI TEMPO-INVARIANTI ( TI Time Invariant ) DEF Un sistema è detto tempo-invariante se le sue equazioni di stato e di uscita si possono scrivere così: x (t) = f (x(t), u(t)) y(t) = g (x(t), u(t)) PROPRIETA DI INVARIANZA RISPETTO ALLA TRASLAZIONE Hp: x 1 (t) è risposta del sistema per t > 0 { x 0 in t = 0 u 1 (t) in t > 0 Th: x 0 in t 0 > 0 u 2 (t) = u 1 (t t 0 ) con t > t 0 Risposta x 2 (t) = x 1 (t t 0 ) con t > t 0 DIM x 1 (0) = x 0 x (t) = f(x 1 (t), u 1 (t)) Vero per ipotesi

8 x 2(t = t o ) = x 1 (t t 0 ) = x 1 (0) = x 0 Vediamo se vale per gli istanti successivi x 2 = f (x 2 (t), u 2 (t)) x 1(t t 0 ) = f (x 1 (t t 0 ), u 1 (t t 0 )) Detto t = t t 0 con t > 0 x 1(t ) = f(x 1 (t ), u 1 (t )) Questa è l equazione di stato scritta in termini di x 1 e x 2 Se il sistema non fosse Tempo-Invariante, questo non varrebbe, dunque facciamo gli stessi passaggi ma senza l ipotesi del sistema Tempo-Invariante. x 2 = f (x 2 (t), u 2 (t), t) Sostituendo x 2 in funzione di come definisco per ipotesi x 1(t t 0 ) = f(x 1 (t t 0 ), u 1 (t t 0 ), t) Il primo termine dipende da t t 0, mentre il secondo dipende da t, dunque l uguaglianza non sussiste. x 1(t ) = f(x 1 (t), u 1 (t ), t) Quindi soltanto se non c è la dipendenza dal tempo si verifica un invarianza della risposta traslando le condizioni iniziali del sistema. SISTEMI LINEARI TEMPO-INVARIANTI ( LTI Linear Time Invariant ) DEF Un sistema lineare si dice LTI se le sue equazioni di stato e di uscita possono essere scritte come: x (t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Notiamo che A, B, C, D sono costanti nel tempo. Ovviamente valgono sia la sovrapposizione degli effetti che l invarianza rispetto alla traslazione.

9 7/10/2016 Abbiamo visto come impostare il problema di uno stato del sistema lineare con le relative equazioni di ingresso e d uscita x (t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) Equazione di stato y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) Equazione di uscita stato Residuo/Resto Se abbiamo una condizione iniziale x 01 e una forzante u 1 (t) ai quali corrisponde una risposta x 1 (t) e una condizione iniziale x 02 e una forzante u 2 (t) ai quali corrisponde una risposta x 2 (t) Imponendo poi come condizione iniziale la somma x 01 + x 02 u 1 (t) + u 2 (t) x 1 (t) + x 2 (t) Condizione iniziale Input La risposta del sistema sarà la somma NB Ogni contributo in ingresso determina parte della risposta in uscita indipendentemente dal resto qualsiasi siano gli altri contributi in ingresso: Il sistema è lineare ESEMPIO Sistema Massa-Molla-Smorzatore Viscoso

10 f(t) è la forza applicata ad m, η(t) è l ascissa lineare che misura lo spostamento della massa Andiamo a costruire la rappresentazione tramite un equazione di stato: Individuiamo le grandezze del sistema: PARAMETRI COSTANTI: Massa inerziale, coefficienti k e b della molla e dello smorzatore GRANDEZZE VARIABILI: Posizione della massa η(t) e la forza applicata f(t) La relazione che determina l evoluzione del sistema è la legge di Newton f = m a NB Nella relazione appena scritta f f(t), infatti f è la risultate di tutte le forze agenti sulla massa, non la forza applicata f(t)! mη (t) + bη (t) + kη(t) = f(t) Possiamo a questo punto ragionare su come definire un vettore di stato, cioè lo stato di questo sistema in modo tale da poter scrivere la regola dell evoluzione del sistema come un insieme di equazioni differenziali del 1 ordine dipendenti dallo stato del sistema e dall ingresso. Posso inserire la forza applicata nell ingresso x (t) = f(x(t), u(t), t) x = [? ] STATO = INCOGNITA u = [? ] INGRESSO = INCOGNITA u(t) = [f(t)] = u INGRESSO Vettore 1x1 Devo scegliere le componenti del vettore di stato per scrivere la regola di evoluzione del sistema, la quale è un equazione differenziale scalare del 2 ordine. x (t) = f(x(t), u(t), t) è invece una relazione vettoriale del 1 ordine. Dobbiamo trasformare l ultima equazione citata in un equazione del tipo Scrivo mη (t) + bη (t) + kη(t) = f(t) x (t) = x 1(t) = f 1 (x, u, t) x 2(t) = f 2 (x, u, t) { x m(t) = f m (x, u, t) (Ӂ) EQUAZIONE VETTORIALE A m COMPONENTI DIVIENE UN SISTEMA AD m EQUAZIONI SCALARI