ELEMENTI. a colori. di MATEMATICA LEONARDO SASSO GEOMETRIA. Quaderno di recupero

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1 ELEMENTI di MTEMTI LEONRDO SSSO a colori Quaderno di recupero GEOMETRI

2 Simboli utilizzati nel testo N Z Q R Z þ Q þ R þ Z þ 0 Q þ 0 R þ 0 INSIEMI NUMERII insieme dei numeri naturali, compreso lo zero insieme dei numeri interi insieme dei numeri razionali insieme dei numeri reali (Z ) insieme dei numeri interi positivi (negativi) (Q ) insieme dei numeri razionali positivi (negativi) (R ) insieme dei numeri reali positivi (negativi) insieme dei numeri interi positivi, compreso lo zero insieme dei numeri razionali positivi, compreso lo zero insieme dei numeri reali positivi, compreso lo zero INSIEMI 2 appartiene =2 non appartiene j tale che : tale che 9 esiste 8 per ogni x insieme vuoto è contenuto è strettamente contenuto [ unione \ intersezione n differenza U complementare dell insieme rispetto all insieme U (a, b) coppia ordinata prodotto cartesiano LOGI V vero F falso ¼ equivalenza tra proposizioni p negazione della proposizione p _ o ^ e ) se... allora (implicazione), se e solo se (doppia implicazione)... si deduce che RELZIONI E FUNZIONI R relazione f :! funzione da a f : x 7! y funzione f che associa all elemento x l elemento y f 1 funzione inversa di f g f funzione composta di f e g LGER ¼ uguale 6¼ diverso circa uguale < minore > maggiore minore o uguale maggiore o uguale più o meno jxj valore assoluto di x a n potenza n-esima di a np ffiffi a radice n-esima di a M..D. massimo comune divisore m.c.m. minimo comune multiplo.e. condizioni di esistenza discriminante GEOMETRI k parallelo? perpendicolare coincidente ffi congruente ¼ : equivalente simile misura della grandezza v! vettore S x simmetria rispetto all asse x S O simmetria rispetto all origine S y simmetria rispetto all asse y S y¼x simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante S r simmetria rispetto alla retta r S P simmetria rispetto al punto P T! v traslazione di vettore! v R O, rotazione di centro O e angolo di rotazione! O,k omotetia di centro O e rapporto di omotetia k LFETO GREO Minuscolo alfa beta gamma delta epsilon " zeta eta teta, # iota cappa lambda mu nu xi omicron o pi ro sigma tau ipsilon fi chi psi omega! Maiuscolo lfa eta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Teta Iota appa Lambda Mu Nu Xi Omicron Pi Ro Sigma Tau Ipsilon Fi hi Psi Omega E Z H I K M N O P T X

3 ELEMENTI di MTEMTI a colori LEONRDO SSSO Quaderno di recupero GEOMETRI

4 internet: Proprietà letteraria riservata 2006 De gostini Scuola Sp Novara 1ª edizione: gennaio 2007 Printed in Italy L Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel rispetto del DL 74/92 sulla trasparenza nella pubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi possibile intenzione o effetto promozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna parte del materiale protetto da questo copyright potrà essere riprodotta in alcuna forma senza l autorizzazione scritta dell Editore. Fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/fascicolo di periodico dietro pagamento alla SIE del compenso previsto dall art. 68, comma 4, della legge 22 aprile 1941 n.633. Le riproduzioni ad uso differente da quello personale potranno avvenire, per un numero di pagine non superiore al 15% del presente volume/fascicolo, solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da IDRO Via delle Erbe, Milano . aidro@iol.it; Eventuali segnalazioni di errori o refusi e richieste di chiarimenti sulle scelte operate dagli autori e dalla asa Editrice possono essere inviate all indirizzo di posta elettronica della redazione. Stampa: Stige - San Mauro Torinese (TO) Edizione: I II III IV V VI nno:

5 Indice Tema Scheda 1 IL METODO SSIOMTIO E I PRIMI 1 SSIOMI DELL GEOMETRI Ripassiamo 1 Prova tu 1 Scheda 2 I SEGMENTI 3 Ripassiamo 3 Prova tu 3 Scheda 3 GLI NGOLI 4 Ripassiamo 4 Prova tu 5 Scheda 4 I POLIGONI 7 Ripassiamo 7 Prova tu 7 Scheda 5 L ONGRUENZ 8 Ripassiamo 8 Prova tu 9 Scheda 6 MISURE DI SEGMENTI E DI NGOLI 10 Ripassiamo 10 Prova tu 10 Scheda 7 TRINGOLI: LINGUGGIO 11 E LSSIFIZIONE Ripassiamo 11 Prova tu 11 Scheda 8 RITERI DI ONGRUENZ 12 PER I TRINGOLI Ripassiamo 12 Prova tu 12 Scheda 9 LE PROPRIETÀ DEL TRINGOLO 15 ISOSELE Ripassiamo 15 Prova tu 15 Scheda 10 LE DISUGUGLINZE FR 16 GLI ELEMENTI DI UN TRINGOLO Ripassiamo 16 Prova tu 16 Scheda 11 RETTE PERPENDIOLRI 18 Ripassiamo 18 Prova tu 18 Scheda 12 RETTE PRLLELE 20 Ripassiamo 20 Prova tu 20 Scheda 13 PROPRIETÀ DEGLI NGOLI 22 NEI POLIGONI Ripassiamo 22 Prova tu 22 Scheda 14 LTRI RITERI DI ONGRUENZ 24 Ripassiamo 24 Prova tu 24 Scheda 15 TRPEZI 26 Ripassiamo 26 Prova tu 26 Scheda 16 PRLLELOGRMMI 27 Ripassiamo 27 Prova tu 27 Scheda 17 PRLLELOGRMMI PRTIOLRI 29 Ripassiamo 29 Prova tu 29 Scheda 18 IL PIOLO TEOREM DI TLETE 31 Ripassiamo 31 Prova tu 31 Scheda finale Tema 33 esercizi di recupero riassuntivi Tema Scheda 1 L IRONFERENZ E IL ERHIO: 35 LE DEFINIZIONI FONDMENTLI Ripassiamo 35 Prova tu 36 Scheda 2 L IRONFERENZ E LE ORDE 37 Ripassiamo 37 Prova tu 37 Scheda 3 L RETT E L IRONFERENZ 39 Ripassiamo 39 Prova tu 39 Scheda 4 POSIZIONE REIPRO 41 DI DUE IRONFERENZE Ripassiamo 41 Prova tu 41 Scheda 5 NGOLI L ENTRO E NGOLI 43 LL IRONFERENZ Ripassiamo 43 Prova tu 44 III

6 Scheda 6 POLIGONI INSRITTI E IROSRITTI 46 UN IRONFERENZ Ripassiamo 46 Prova tu 47 Scheda 7 POLIGONI REGOLRI 48 Ripassiamo 48 Prova tu 48 Scheda 8 I PUNTI NOTEVOLI DI UN TRINGOLO 49 Ripassiamo 49 Prova tu 49 Scheda finale Tema 51 esercizi di recupero riassuntivi Tema Scheda 1 EQUIVLENZ E REE 53 Ripassiamo 53 Prova tu 54 Scheda 2 L LUNGHEZZ 55 DELL IRONFERENZ E L RE DEL ERHIO Ripassiamo 55 Prova tu 55 Scheda 3 IL TEOREM DI PITGOR 56 Ripassiamo 56 Prova tu 56 Scheda 4 I TRINGOLI 58 ON GLI NGOLI DI 30,60 E90 O ON GLI NGOLI DI 45,45 E90 Ripassiamo 58 Prova tu 58 Scheda finale Tema 60 esercizi di recupero riassuntivi Tema D Scheda D1 IL TEOREM DI TLETE 62 Ripassiamo 62 Prova tu 62 Scheda D2 IL TEOREM DELL ISETTRIE 64 Ripassiamo 64 Prova tu 64 Scheda D3 POLIGONI SIMILI 65 Ripassiamo 65 Prova tu 65 Scheda D4 RITERI DI SIMILITUDINE 66 PER I TRINGOLI Ripassiamo 66 Prova tu 66 Scheda D5 I TEOREMI DI EULIDE 68 Ripassiamo 68 Prova tu 68 Scheda D6 I TEOREMI DELLE ORDE, 70 DELLE SENTI E DELLE TNGENTI Ripassiamo 70 Prova tu 70 Scheda D7 PROLEMI DI PPLIZIONE 71 DELL LGER LL SIMILITUDINE Ripassiamo 71 Prova tu 71 Scheda finale Tema D 74 esercizi di recupero riassuntivi Tema E Scheda E1 LE PRINIPLI ISOMETRIE 76 Ripassiamo 76 Prova tu 76 Scheda E2 PROPRIETÀ DELLE ISOMETRIE 79 Ripassiamo 79 Prova tu 79 Scheda E3 OMOTETIE E SIMILITUDINI 80 Ripassiamo 80 Prova tu 80 Scheda finale Tema E 82 esercizi di recupero riassuntivi SHEDE FINLI Scheda finale 1 onoscenze 84 Scheda finale 2 bilità 88 Scheda finale 3 Dimostrazioni 90 RISPOSTE D LUNI ESERIZI 91 IV

7 Scheda 1 Il metodo assiomatico e i primi assiomi della geometria ripassiamo Domande he cos è un assioma? he cos è un concetto primitivo? he cos è un teorema? he cosa significa affrontare lo studio della geometria secondo il metodo assiomaticodeduttivo? Quali concetti abbiamo assunto come primitivi? Quali enti geometrici sono stati definiti tramite quelli primitivi? Quali sono gli assiomi che abbiamo assunto come fondamento della geometria euclidea? Risposte Una proposizione che si pone alla base di una teoria matematica senza darne una giustificazione. Gli assiomi sono le «regole del gioco». Un concetto che viene assunto senza darne una definizione, supponendone una conoscenza intuitiva. Una proposizione che si deduce dagli assiomi (e dai teoremi precedentemente dimostrati). Significa scegliere alcuni concetti primitivi e alcuni assiomi e dedurre tutte le altre proprietà delle figure geometriche a partire da essi. I concetti di punto, retta e piano. Il concetto di congruenza tra figure. I segmenti; le semirette e i semipiani; gli angoli. Rivedi le definizioni! Gli assiomi che abbiamo assunto possono essere suddivisi in tre gruppi. 1. ssiomi di appartenenza della retta e del piano 2. ssiomi d ordine 3. ssioma di partizione del piano Sai enunciare almeno un assioma per ciascun gruppo? Scheda 1 Il metodo assiomatico e i primi assiomi della geometria prova tu ompleta e segna con una crocetta le affermazioni corrette, nel caso di più affermazioni. 1 In matematica, i termini di cui non si dà una definizione si riferiscono a concetti che vengono detti... Per esempio, nello studio della geometria, abbiamo assunto come concetti... quelli di Le proposizioni che si assumono all inizio di una teoria matematica senza darne una dimostrazione si chiamano... Le proposizioni che vengono dimostrate si chiamano... 3 onsidera le seguenti condizioni che regolano alcune operazioni bancarie. 1. Un bonifico bancario è un operazione tramite cui si trasferiscono dei soldi da un conto corrente a un altro. 2. Un bonifico effettuato dal proprio conto a una banca italiana viene effettuato con una commissione di 5 euro. 3. Per un bonifico effettuato dal proprio conto a una banca estera la banca trattiene una commissione di 10 euro. 4. Le commissioni trattenute vengono scalate dal conto corrente. Ora rispondi alle seguenti domande: a. Fra le precedenti proposizioni, ce ne sono alcune che potrebbero essere assunte come definizioni?... Se sì, che cosa definiscono?... b. Fra le precedenti proposizioni, ce ne sono alcune che potrebbero essere assunte come assiomi?... Quali?... c. Dalle proposizioni 3 e 4, assunte come assiomi, si può dedurre un teorema. Qual è questo teorema?... 1

8 Tema Le nozioni di base della geometria 4 onsidera la sequenza: 10, 30, 70, 150,...,... e cerca di individuare i due termini successivi. Hai utilizzato un ragionamento di tipo induttivo o deduttivo?... he cosa significa affrontare la geometria secondo un metodo ipotetico-deduttivo?... 5 La geometria che studiamo si chiama euclidea perché... 6 a. La retta è costituita da... punti. b. Quante rette passano per due punti distinti di un piano?... Questa affermazione: G si può dimostrare a partire dagli assiomi, quindi è un teorema G è stata assunta come assioma c. Data una retta r appartenente a un piano, esiste certamente un... appartenente a che non appartiene a... Questa affermazione: G si può dimostrare a partire dagli assiomi, quindi è un teorema G è stata assunta come assioma 7 Un relazione si dice d ordine quando è e... Quante relazioni d ordine totale è possibile definire sulla retta? G una G due G tre G infinite Questa affermazione: G si può dimostrare a partire dagli assiomi, quindi è un teorema G è stata assunta come assioma 8 L insieme delle infinite rette del piano che passano per un punto si chiama fascio... di rette. 9 Due rette distinte possono avere in comune al massimo... punto. Questa affermazione: G si può dimostrare a partire dagli assiomi, quindi è un teorema G è stata assunta come assioma 10 Un punto O appartenente a una determinata retta la divide in due parti chiamate... Il punto O si chiama... della Quante semirette restano individuate su una retta da due punti? G nessuna G due G quattro G più di quattro 12 Si chiama semipiano ciascuno dei due sottoinsiemi in cui un piano resta diviso da una..., compresa la retta stessa. La retta si chiama del semipiano. 13 Se P è un punto interno a uno dei due semipiani aventi come origine la retta r e Q è interno al semipiano opposto, allora il segmento PQ interseca certamente... Questa affermazione: G si può dimostrare a partire dagli assiomi, quindi è un teorema G è stata assunta come assioma 14 Si chiama figura geometrica ogni sottoinsieme di... del piano. 15 Vero o falso? a. per tre punti distinti non passa mai una retta V F b. due semirette aventi la stessa origine si dicono opposte V F c. l intersezione di due semipiani non è mai vuota V F d. se il segmento PQ ha esattamente un punto in comune con la retta r, diverso da P edaq, allora P e Q non possono appartenere allo stesso semipiano avente come origine r V F 2

9 Scheda 2 I segmenti ripassiamo Termine Definizione Disegno Segmento di estremi e L insieme di tutti i punti della retta compresi fra e, inclusi e. Scheda 2 I segmenti Segmenti consecutivi Due segmenti che hanno in comune uno e un solo estremo. Segmenti adiacenti Due segmenti consecutivi che appartengono alla stessa retta. ttenzione! Se una figura F è tale che, comunque scelti due punti P e Q appartenenti a F, il segmento PQ è interamente contenuto in F, la figura si dice convessa; altrimenti si dice concava. prova tu 1 Vero o falso? In riferimento alla figura qui a fianco, stabilisci quali affermazioni sono vere e quali false. a. e sono consecutivi V F b. e sono adiacenti V F D c. e D sono consecutivi V F d. e D sono adiacenti V F e. e D sono consecutivi V F [3 affermazioni vere e 2 false] 2 Spiega perché i segmenti e D in ciascuna delle seguenti figure non sono consecutivi. D D D Per ciascuna delle seguenti figure, spiega perché i segmenti e D non sono adiacenti. D D D

10 Tema Le nozioni di base della geometria Scheda 3 Gli angoli ripassiamo Termine Definizione Disegno ngolo ngoli consecutivi iascuna delle due parti in cui il piano resta diviso da due semirette aventi la stessa origine, comprese le semirette stesse. Due angoli che hanno lo stesso vertice e hanno in comune soltanto i punti di un lato. angoli e consecutivi ngoli adiacenti Due angoli consecutivi tali che i lati non comuni appartengono alla stessa retta. e adiacenti ngolo nullo L angolo formato da due semirette coincidenti che non contiene altri punti oltre alle semirette. angolo nullo ngolo piatto iascuno dei due angoli formati da due semirette opposte. angolo piatto ngolo giro L angolo formato da due semirette coincidenti, che coincide con l intero piano. angolo giro a b ngoli opposti al vertice Due angoli tali che i lati dell uno sono i prolungamenti dei lati dell altro. e opposti al vertice 4

11 prova tu 1 In riferimento agli angoli e della figura qui a fianco, poni una crocetta sulle affermazioni corrette. a e sono consecutivi b e sono adiacenti c e non sono né adiacenti né consecutivi 2 In riferimento agli angoli, e della figura qui a fianco, poni una crocetta sulle affermazioni corrette. a e sono adiacenti b e sono opposti al vertice c e sono consecutivi γ Scheda 3 Gli angoli 3 In riferimento agli angoli ; ; ; della figura qui a fianco, poni una crocetta sulle affermazioni corrette. a e sono consecutivi b e sono adiacenti c e sono opposti al vertice γ δ 4 a. Esistono angoli consecutivi ma non adiacenti? G Sì, per esempio:... G No, perché... b. Esistono angoli adiacenti ma non consecutivi? G Sì, per esempio:... G No, perché... 5 Le definizioni nella seguente tabella non sono corrette. Per ciascuna di esse, trova un «controesempio», cioè disegna una figura che evidenzi l inesattezza della definizione, e poi correggila. DEFINIZIONE INESTT FIGUR «ONTROESEMPIO» DEFINIZIONE ORRETT Due angoli che hanno il vertice in comune sono opposti al vertice. Due angoli che hanno un lato in comune sono consecutivi. (continua tabella) 5

12 Due angoli che hanno il vertice in comune sono consecutivi. Tema Le nozioni di base della geometria Due angoli aventi due lati che sono uno il prolungamento dell altro, sono adiacenti. 6 Un angolo piatto è concavo o convesso?... E un angolo giro?... 7 ompleta la seguente tabella disegnando, se possibile, angoli che soddisfino le proprietà indicate. Due angoli consecutivi, uno concavo e l altro convesso Due angoli adiacenti, entrambi convessi Due angoli adiacenti, entrambi concavi 6

13 Scheda 4 I poligoni ripassiamo Domande Risposte Esempi he cos è un poligono? Data una poligonale chiusa e non intrecciata, in cui ogni vertice appartiene esattamente a due lati della poligonale, si chiama poligono la figura formata dalla poligonale e dai punti al suo interno. poligono vertice lato Scheda 4 I poligoni he cos è una diagonale di un poligono? E una corda? Una diagonale di un poligono è un segmento che congiunge due suoi vertici non consecutivi. Una corda è un segmento che congiunge due punti del contorno del poligono appartenenti a lati distinti. corda diagonale he cos è un angolo interno aun poligono? E un angolo esterno? Un angolo interno a un poligono è un angolo individuato da due lati consecutivi del poligono e dal vertice in comune. Ogni angolo adiacente a un angolo interno si dice esterno al poligono. angolo interno angolo esterno prova tu 1 ompleta la seguente tabella. Figura È un poligono? G Sì G No, perché... G Sì G No, perché... G Sì G No, perché... G Sì G No, perché... 2 ompleta: a. Un poligono di cinque lati si chiama... b. Un ettagono è un poligono avente... lati c. Un poligono avente sei lati si chiama... d. Un decagono è un poligono avente... lati 3 Disegna un poligono convesso DEFGH avente otto lati. Poi traccia: a. due diagonali che hanno un punto in comune e una corda che interseca entrambe le diagonali; b. l angolo interno di vertice e gli angoli esterni di vertice E. 7

14 Scheda 5 La congruenza Tema Le nozioni di base della geometria ripassiamo 3 bbiamo assunto il concetto di congruenza come primitivo. Intuitivamente, due figure sono congruenti se è possibile sovrapporle punto a punto mediante un movimento rigido. 3 Nell insieme dei segmenti (angoli), grazie alla nozione di congruenza, abbiamo definito un ordine, le operazioni di addizione e sottrazione fra segmenti (angoli) e il concetto di multiplo di un segmento (angolo). Inoltre abbiamo assunto, come assioma, che somme e differenze di segmenti (angoli) congruenti sono congruenti. 3 Introdotta la nozione di congruenza, abbiamo potuto introdurre le nozioni di punto medio di un segmento e di bisettrice di un angolo; inoltre abbiamo introdotto nuove definizioni circa gli angoli. Termine Definizione Disegno Punto medio di un segmento Il punto di un segmento che lo divide in due segmenti congruenti. M isettrice di un angolo La semiretta che divide l angolo in due angoli congruenti. O bisettrice ngolo retto iascuno dei due angoli in cui un angolo piatto resta diviso dalla sua bisettrice. angolo retto O ngolo acuto Un angolo minore di un angolo retto. O angolo acuto ngolo ottuso Un angolo maggiore di un angolo retto e minore di uno piatto. angolo ottuso O ngoli complementari Due angoli la cui somma è un angolo retto. e complementari ngoli supplementari Due angoli la cui somma è un angolo piatto. e supplementari 8

15 prova tu 1 La relazione di congruenza è riflessiva,... e... Quindi è una relazione: G d ordine G d equivalenza 2 ompleta le seguenti frasi. a. La somma di due segmenti e adiacenti è il segmento... b. Per somma di due segmenti e D non adiacenti si intende la somma di due segmenti... ad e D, ma adiacenti fra loro. c. Il multiplo secondo un numero naturale n 1 di un segmento è la somma di... segmenti congruenti ad. d. La differenza di due segmenti e D, con > D, èil segmento che, addizionato a D, dàcome risultato... e. ostruisci i segmenti indicati al di sotto di ciascuna delle seguenti figure. Scheda 5 La congruenza D D + D 2 e 3D D D 3 Due segmenti e D, appartenenti a una stessa retta orientata nel verso da a, sono tali che ffi D. Inoltre precede, precede e precede D. a. Disegna due segmenti e D che soddisfino tali condizioni. b. ompleta: ffi ::::::: e D ffi ::::: c. Giustifica perché si può affermare che e D sono congruenti. 4 ompleta le seguenti frasi. a. La somma di due angoli adiacenti abob e bboc è l angolo... b. Per somma di due angoli e non adiacenti si intende la somma di due angoli... ad e ma adiacenti fra loro. c. Il multiplo secondo un numero naturale n 1 di un angolo è la somma di... angoli congruenti ad. d. La differenza di due angoli e, con >,èl angolo che, addizionato a, dàcome risultato... e. ostruisci gli angoli indicati al di sotto di ciascuna delle seguenti figure. + 5( ) 5 Vero o falso? a. due angoli supplementari sono consecutivi V F b. due angoli adiacenti sono supplementari V F c. un angolo ottuso viene diviso dalla bisettrice in due angoli acuti V F d. due angoli opposti al vertice non possono essere retti V F 6 Disegna sul tuo quaderno: a. due angoli complementari opposti al vertice; b. due angoli supplementari non adiacenti; c. due angoli consecutivi, uno acuto e l altro ottuso. 9

16 Scheda 6 Misure di segmenti e di angoli Tema Le nozioni di base della geometria ripassiamo Domande om è definita la misura di un segmento (angolo)? he differenza c è fra il concetto di misura e lunghezza (ampiezza) di un segmento (angolo)? Risposte Dato un segmento (un angolo b) e un segmento u (un angolo bu) scelto come unità di misura, si dice misura di (di b) rispetto a u (a bu) il numero reale non negativo per cui ffi u ðb ffi bu). La lunghezza (ampiezza) di un segmento (angolo) è la classe di equivalenza alla quale appartiene (rispetto alla suddivisione in classi operata dalla relazione di congruenza). La misura di un segmento (angolo) è un numero. Potremo dire, per esempio, che: la lunghezza di è 5 cm (ciò significa che appartiene alla classe a cui appartiene il segmento multiplo del cm secondo il numero 5); oppure che la misura di, rispetto al cm, è 5. nalogamente potremo dire, per esempio, che: l ampiezza di un angolo retto è 90, di un angolo piatto 180,diun angolo giro 360 ; la misura, in gradi, di un angolo retto è 90, di un angolo piatto è 180, di un angolo giro 360. ttenzione! Sono diffuse espressioni del tipo «la misura di un segmento è 5 cm» (che va intesa nel senso la misura del segmento è 5, rispetto al cm) oppure «la lunghezza del segmento è 5» (forma concisa della forma più corretta: «la misura della lunghezza del segmento è 5»). Esse sono accettabili purché vengano ben interpretate. prova tu 1 ompleta la seguente tabella. u u D u E F Misura di rispetto a u ¼... Misura di D rispetto a u ¼... Misura di EF rispetto a u ¼... 2 Qual è l ampiezza del complementare di un angolo di 15? a 75 b 165 c 345 d nessuna delle precedenti 3 Qual è l ampiezza del supplementare di un angolo di 130? a 40 b 50 c 230 d nessuna delle precedenti 4 Qual è l ampiezza dei due angoli in cui un angolo retto resta diviso dalla sua bisettrice? Fai riferimento alla figura qui a fianco. a. ome sono gli angoli e? G complementari G opposti al vertice G supplementari b. ome sono gli angoli e? G complementari G opposti al vertice G supplementari c. Sapendo che ¼ 15, calcola le ampiezze degli altri angoli. ¼ :::::::::: ¼ :::::::::: ¼ :::::::::: γ δ

17 Scheda 7 Triangoli: linguaggio e classificazione ripassiamo lassificazione rispetto ai lati lassificazione rispetto agli angoli TRINGOLI Un triangolo si dice: 3 isoscele se ha due lati congruenti; 3 equilatero se ha i tre lati congruenti; 3 scaleno se i lati sono a due a due non congruenti. triangolo isoscele triangolo equilatero triangolo scaleno Un triangolo si dice: 3 acutangolo se tutti i suoi angoli sono acuti; 3 ottusangolo se ha un angolo ottuso; 3 rettangolo se ha un angolo retto. triangolo acutangolo triangolo ottusangolo triangolo rettangolo Scheda 7 Triangoli: linguaggio e classificazione Segmenti notevoli 3 ltezza relativa a un lato: il segmento che partendo dal vertice opposto a quel lato incontra il lato stesso o il suo prolungamento formando due angoli retti. 3 isettrice uscente da un vertice: il segmento costituito dai punti della bisettrice di quell angolo che appartengono al triangolo. 3 Mediana relativa a un lato: il segmento che congiunge il vertice opposto a quel lato con il punto medio del lato stesso. altezza relativa a bisettrice uscente da mediana relativa a H L M prova tu 1 ompleta: a. un triangolo con un angolo di 155 è... b. un triangolo si dice scaleno se... c. se un triangolo è tale che ffi, allora è... sulla base... d. in un triangolo, M è il punto di tale che M ffi M: allora M è una... 2 Disegna un triangolo ottusangolo e traccia l altezza relativa a uno dei lati adiacenti all angolo ottuso. 3 Disegna un triangolo acutangolo isoscele e traccia le mediane relative ai lati congruenti. 4 Vero o falso? a. un triangolo è l intersezione di tre semipiani V F b. ogni triangolo è convesso V F c. ogni triangolo scaleno è ottusangolo V F d. ogni triangolo isoscele è acutangolo V F e. un triangolo equilatero è anche isoscele V F f. ogni triangolo isoscele è anche equilatero V F [3 affermazioni vere e 3 false] 11

18 Scheda 8 riteri di congruenza per i triangoli Tema Le nozioni di base della geometria ripassiamo riterio di congruenza I criterio di congruenza parole Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati el angolo tra di essi compreso. In simboli ffi 0 0, ffi 0 0, b ffi 0 b 0 0 ) ffi ' ' ' II criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e gli angoli a essi adiacenti. ' ' ffi 0 0, b ffi 0 b 0 0, b ffi 0 b 0 0 ) ) ffi ' III criterio di congruenza Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti. ' ' ' ffi 0 0, ffi 0 0, ffi 0 0 ) ffi ttenzione! Negli enunciati dei tre criteri di congruenza è essenziale l avverbio ordinatamente. Esso indica che i lati congruenti devono essere opposti ad angoli congruenti e gli angoli congruenti a lati congruenti. prova tu 1 Nei triangoli e 0 0 0, gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo sono congruenti. 2 Nei triangoli e 0 0 0, gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo sono congruenti. ' ' ' ' ' ' 12 Puoi dire che i due triangoli sono congruenti? G Sì, in base al... criterio G No Puoi dire che i due triangoli sono congruenti? G Sì, in base al... criterio G No

19 Negli esercizi 3-4-5, fai riferimento al seguente teorema: «sia P un triangolo; prolunga P, dalla parte di P, di un segmento PD congruente a P; prolunga P, dalla parte di P, di un segmento P congruente ad P. Dimostra che ffi D e ffi D» 3 Individua l ipotesi e la tesi del teorema e contrassegna nella figura con uno stesso simbolo gli elementi che sono congruenti per ipotesi: ipotesi:... tesi:... 4 ompleta le parti mancanti e indica con una crocetta le risposte corrette. a. Nei due triangoli PD e P, per quale ragione risulta P ffi... e DP ffi...? G per ipotesi G perché somme di segmenti congruenti G perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti b. Nei due triangoli PD e P, per quale ragione risulta bpd ffi bp? G per ipotesi G perché opposti al vertice G perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti c. In base a quale criterio i due triangoli PD e P sono congruenti? G primo criterio di congruenza G secondo criterio di congruenza G terzo criterio di congruenza d. Dal punto c. segue che D ffi... Per quale ragione? G per ipotesi G per i criteri di congruenza dei triangoli G perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti e. In base a quale criterio i due triangoli P e PD sono congruenti? G primo criterio di congruenza G secondo criterio di congruenza G terzo criterio di congruenza f. Dal punto e. segue che ffi... Per quale ragione? G per ipotesi G per i criteri di congruenza dei triangoli G perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti D P Scheda 8 riteri di congruenza per i triangoli 5 Riscrivi la dimostrazione del teorema espresso nell esercizio 3 in forma discorsiva, tenendo conto dei passi suggeriti nell esercizio precedente. Negli esercizi 6-7-8, fai riferimento al teorema che ha come modello la figura qui di fianco, l ipotesi e la tesi riportate di seguito. ipotesi: tesi: M ffi M, Mb ffi Db, ffi e M ffi D bm ffi bd D M 6 ontrassegna nella figura gli elementi congruenti per ipotesi e completa il seguente enunciato a parole del teorema corrispondente all ipotesi e alla tesi indicate. «Dato un triangolo,... sulla base, sia M la... Un triangolo D è tale che è la bisettrice di... e... Dimostra che...». 13

20 Tema Le nozioni di base della geometria 7 ompleta le parti mancanti e indica con una crocetta la risposta corretta. a. In base a quale criterio i triangoli M e M sono congruenti? G primo criterio di congruenza G secondo criterio di congruenza G terzo criterio di congruenza G proprietà transitiva della congruenza b. In base a quale criterio i triangoli M e D sono congruenti? G primo criterio di congruenza G secondo criterio di congruenza G terzo criterio di congruenza G proprietà transitiva della congruenza c. Da a. e b. segue che il triangolo M è congruente al triangolo D. Per quale ragione? G primo criterio di congruenza G secondo criterio di congruenza G terzo criterio di congruenza G proprietà transitiva della congruenza d. Dal punto c. segue che bm ffi :::::::::: Per quale ragione? G per ipotesi G per i criteri di congruenza dei triangoli G perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti 8 Riscrivi la dimostrazione del teorema espresso nell esercizio 6 in forma discorsiva, tenendo conto dei passi suggeriti nell esercizio precedente. 9 Dato un triangolo, sia P la bisettrice di b. Siano Q e R, rispettivamente, i punti appartenenti ad ead, tali che bpq ffi bpr. Dimostra che Q ffi R. 10 Dato un triangolo, isoscele sulla base, prolunga, dalla parte di, di un segmento E, e, dalla parte di, di un segmento D, in modo che D ffi E. Dimostra che D ffi E. 11 Sai scrivere due teoremi che abbiano le stesse ipotesi dei teoremi espressi negli esercizi 9 e 10 e si dimostrino analogamente, ma abbiano una tesi diversa? 12 esercizio guidato Dato un angolo abob, conduci la bisettrice r dell angolo. onsidera un punto P su tale bisettrice e traccia due semirette, aventi origine in P, e giacenti in semipiani opposti rispetto alla bisettrice, che formano con OP angoli congruenti. Indica con Q e R, rispettivamente, i punti d intersezione di tali semirette con a e b. Sia S un punto di OP; dimostra che RS ffi QS. ipotesi:... tesi:... dimostrazione 3 Dimostra che i due triangoli OPQ e... sono congruenti. 3 Deduci che PQ ffi... 3 Dimostra che i triangoli PQS e... sono congruenti. 3 Deduci che RS ffi... O Q R a b S P r Dato un triangolo, isoscele sulla base, disegna, esternamente al triangolo, un triangolo D, isoscele sulla base. onsidera un punto qualsiasi P sul segmento D e dimostra che P ffi P.