Leonardo Sasso. Nuova Matematica. a colori. Geometria. Quaderno di recupero. Edizione BLU per la riforma. Primo biennio

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1 Leonardo Sasso Nuova Matematica a colori Geometria Quaderno di recupero Edizione LU per la riforma. Primo biennio

2 Leonardo Sasso Nuova Matematica a colori Geometria Quaderno di recupero Edizione LU per la riforma. Primo biennio

3 internet: Redattore responsabile: Redazione: Tecnico responsabile: Progetto grafico: opertina: Ricerca iconografica per la copertina: Impaginazione: isegni: Monica Martinelli Giovanni Malafarina Gian attista Vivalda arla evoto Simona Speranza ristina olombo M.T.M. Leprechaun rt irector: Nadia Maestri L autore ringrazia le professoresse Sandra Piolanti, Paola Ravaioli e Patrizia llara per la preziosa collaborazione e consulenza didattica. Ringrazia, inoltre, i professori Giuseppe Vasta, Maria ngela Garozzo, Federica ente, ngela onti, Silvia Valente, Marco scanio, Emilio Schinetti, Renato Grande per l attenta lettura dei testi. Proprietà letteraria riservata 2011 e gostini Scuola Sp Novara 1ª edizione: gennaio 2011 Printed in Italy Foto copertina: MSO OT/amanaimages/orbis L Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel rispetto del L 74/92 sulla trasparenza nella pubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi possibile intenzione o effetto promozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna parte del materiale protetto da questo copyright potrà essere riprodotta in alcuna forma senza l autorizzazione scritta dell Editore. Fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/ fascicolo di periodico dietro pagamento alla SIE del compenso previsto dall art. 68, comma 4, della legge 22 aprile 1941 n.633. Le riproduzioni ad uso differente da quello personale potranno avvenire, per un numero di pagine non superiore al 15% del presente volume/fascicolo, solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da IRO orso di Porta Romana, Milano . aidro@iol.it; Eventuali segnalazioni di errori, refusi, richieste di chiarimento di funzionamento tecnico dei supporti multimediali del corso o spiegazioni sulle scelte operate dagli autori e dalla asa Editrice possono essere inviate all indirizzo di posta elettronica deagostiniscuola@deagostiniscuola.it. Stampa: GF-Italia Peschiera orromeo (MI) Ristampa: nno:

4 Indice TEM Indice Scheda 1 PINO EULIEO 1 Ripasso 1 Verifica delle conoscenze 3 Esercizi guidati 4 Esercizi da svolgere 6 Scheda 2 LL ONGRUENZ LL MISUR 9 Ripasso 9 Verifica delle conoscenze 10 Esercizi guidati 11 Esercizi da svolgere 12 Scheda 3 ONGRUENZ NEI TRINGOLI 13 Ripasso 13 Verifica delle conoscenze 15 Esercizi guidati 16 Esercizi da svolgere 19 Scheda 4 RETTE PERPENIOLRI E PRLLELE 21 Ripasso 21 Verifica delle conoscenze 23 Esercizi guidati 25 Esercizi da svolgere 28 Scheda 5 QURILTERI 30 Ripasso 30 Verifica delle conoscenze 32 Esercizi guidati 33 Esercizi da svolgere 36 TEM Scheda 6 ISOMETRIE 37 Ripasso 37 Verifica delle conoscenze 38 Esercizi guidati 39 Esercizi da svolgere 40 TEM Scheda 7 IRONFERENZ E ERHIO 43 Ripasso 43 Verifica delle conoscenze 47 Esercizi guidati 49 Esercizi da svolgere 51 III

5 Indice Scheda 8 POLIGONI INSRITTI E IROSRITTI 54 Ripasso 54 Verifica delle conoscenze 56 Esercizi guidati 57 Esercizi da svolgere 58 TEM Scheda 9 RE 60 Ripasso 60 Verifica delle conoscenze 61 Esercizi guidati 61 Esercizi da svolgere 62 Scheda 10 TEOREMI I PITGOR E I EULIE 64 Ripasso 64 Verifica delle conoscenze 65 Esercizi guidati 65 Esercizi da svolgere 67 TEM E Scheda 11 TEOREM I TLETE E SIMILITUINE 70 Ripasso 70 Verifica delle conoscenze 72 Esercizi guidati 73 Esercizi da svolgere 77 Scheda 12 OMOTETIE E SIMILITUINI 82 Ripasso 82 Verifica delle conoscenze 83 Esercizi guidati 84 Esercizi da svolgere 85 -ROM Scheda 13 OMPLEMENTI I GEOMETRI 87 Ripasso 87 Verifica delle conoscenze 88 Esercizi guidati 89 Esercizi da svolgere 90 IV

6 Ripasso 1 Scheda Il metodo assiomatico-deduttivo OMNE he cos è un assioma? he cos è un concetto primitivo? he cos è un teorema? RISPOSTE Una proposizione che si pone alla base di una teoria matematica senza darne una giustificazione. Sono le «regole del gioco». Un concetto che viene assunto senza darne una definizione, supponendone una conoscenza intuitiva. Una proposizione che si deduce dagli assiomi (e dai teoremi precedentemente dimostrati). Unità 1 Piano euclideo he cosa significa affrontare lo studio della geometria secondo il metodo assiomatico-deduttivo? Quali concetti abbiamo assunto come primitivi? Quali enti geometrici sono stati definiti tramite quelli primitivi? Quali sono gli assiomi che abbiamo assunto come fondamento della geometria euclidea? Significa scegliere alcuni concetti primitivi e alcuni assiomi e dedurre tutte le altre proprietà delle figure geometriche a partire da essi. I concetti di punto, retta e piano. I segmenti; le semirette e i semipiani; gli angoli. Rivedi le definizioni! Gli assiomi che abbiamo assunto possono essere suddivisi in tre gruppi. 1. ssiomi di appartenenza della retta e del piano 2. ssiomi d ordine 3. ssiomi di partizione del piano Sai enunciare almeno un assioma per ciascun gruppo? I segmenti TERMINE EFINIZIONE ISEGNO Segmento di estremi e La figura formata da tutti i punti della retta (orientata) compresi tra e, inclusi e. Segmenti consecutivi ue segmenti che hanno in comune soltanto un estremo. Segmenti adiacenti ue segmenti consecutivi che appartengono alla stessa retta. Gli angoli TERMINE EFINIZIONE ISEGNO ngolo iascuna delle due parti in cui il piano resta diviso da due semirette aventi la stessa origine, incluse le semirette stesse. angoli ngoli consecutivi ue angoli che hanno lo stesso vertice e hanno in comune soltanto i punti di un lato. e consecutivi, 1

7 Scheda 1 Ripasso Tema Le nozioni di base della geometria, TERMINE EFINIZIONE ISEGNO ngoli adiacenti ngolo nullo ue angoli consecutivi tali che i lati non comuni appartengono alla stessa retta. L angolo formato da due semirette coincidenti che non contiene altri punti oltre alle semirette. e adiacenti angolo nullo ngolo piatto iascuno dei due angoli formati da due semirette opposte. angolo piatto ngolo giro L angolo formato da due semirette coincidenti, che coincide con l intero piano. angolo giro a b ngoli opposti al vertice ue angoli (convessi) tali che i lati dell uno sono i prolungamenti dei lati dell altro. e opposti al vertice ttenzione! Se una figura F è tale che, comunque scelti due punti P e Q appartenenti a F, il segmento PQ è interamente contenuto in F, la figura si dice convessa; altrimenti si dice concava. I poligoni OMNE RISPOSTE ESEMPI he cos è un poligono? Si chiama poligono la figura formata da una poligonale chiusa e non intrecciata e da tutti i suoi punti interni. poligono vertice lato he cos è una diagonale di un poligono? E una corda? Una diagonale di un poligono è un segmento che congiunge due suoi vertici non consecutivi. Una corda è un segmento che congiunge due punti del contorno del poligono appartenenti a lati distinti. corda diagonale he cos è un angolo interno aun poligono? E un angolo esterno? Un angolo interno a un poligono è un angolo individuato da due lati consecutivi del poligono e dal vertice in comune. iascuno dei due angoli adiacenti aun angolo interno si dice angolo esterno al poligono. angolo interno angolo esterno 2

8 Verifica delle conoscenze 1 Scheda ompleta e poni le crocette sulle affermazioni corrette Þ1 In matematica, i termini di cui non si dà una definizione si riferiscono a concetti che vengono detti... Per esempio, nello studio della geometria, abbiamo assunto come concetti... quelli di Þ 2 Le proposizioni che si assumono all inizio di una teoria matematica senza darne una dimostrazione si chiamano... Le proposizioni che vengono dimostrate si chiamano... Þ3 La geometria che studiamo si chiama euclidea perché... Þ 4 a. La retta è costituita da... punti. b. Per due punti distinti di un piano quante rette passano?... Questa affermazione: si può dimostrare a partire dagli assiomi, quindi è un teorema è stata assunta come assioma c. ata una retta r appartenente a un piano, esiste certamente un... appartenente a che non appartiene a... Unità 1 Piano euclideo Questa affermazione: si può dimostrare a partire dagli assiomi, quindi è un teorema è stata assunta come assioma Þ 5 Una relazione si dice d ordine quando è... e... Quante relazioni d ordine totale è possibile definire sulla retta? una due tre infinite Questa affermazione: si può dimostrare a partire dagli assiomi, quindi è un teorema è stata assunta come assioma Þ 6 Se due rette distinte hanno un punto in comune si dicono... ue rette che non hanno punti d intersezione si dicono... Þ 7 ue rette distinte possono avere in comune al massimo... punto. Questa affermazione: si può dimostrare a partire dagli assiomi, quindi è un teorema è stata assunta come assioma Þ 8 Un punto O appartenente a una determinata retta la divide in due parti; ciascuna di queste due parti, incluso il punto O, èchiamata... della... Þ 9 Quante semirette restano individuate su una retta da due punti? nessuna due quattro più di quattro Þ 10 Si chiama semipiano ciascuno dei due sottoinsiemi in cui un piano resta diviso da una..., inclusa la retta stessa. La retta si chiama... del semipiano. Þ 11 Se P è un punto interno a uno dei due semipiani aventi come origine la retta r e Q è interno al semipiano opposto, allora il segmento PQ interseca certamente... Questa affermazione: si può dimostrare a partire dagli assiomi, quindi è un teorema è stata assunta come assioma Þ 12 Si chiama figura geometrica ogni sottoinsieme di... del piano. Þ13 Un angolo piatto è concavo o convesso? ::::::::::::::::::::::::: E un angolo giro? ::::::::::::::::::::::::: 3

9 Scheda 1 Verifica delle conoscenze Tema Le nozioni di base della geometria Þ14 a. Un poligono di cinque lati si chiama :::::::::::::::::::::::::. b. Un ettagono è un poligono avente :::::::::: lati. c. Un poligono avente sei lati si chiama ::::::::::. d. Un decagono è un poligono avente :::::::::: lati. Vero o falso? Þ15 per tre punti distinti non passa mai una retta V F Þ16 due semirette aventi la stessa origine si dicono opposte V F Þ17 l intersezione di due semipiani non è mai vuota V F Þ 18 se il segmento PQ ha esattamente un punto in comune con la retta r, diverso da P edaq, allora P e Q non possono appartenere allo stesso semipiano avente come origine r V F Þ19 se due segmenti hanno uno e un solo punto in comune, allora sono certamente consecutivi V F Þ20 se due angoli hanno in comune soltanto il vertice, allora sono certamente consecutivi V F Þ21 esistono angoli consecutivi ma non adiacenti V F Þ22 esistono angoli adiacenti ma non consecutivi V F Þ23 in un pentagono si possono tracciare esattamente cinque diagonali distinte V F Þ24 in un esagono si possono tracciare esattamente sei diagonali distinte V F Þ25 ogni segmento è convesso V F Þ26 ogni angolo è convesso V F Scheda 1 Esercizi guidati Þ 1 onsidera la sequenza: 10, 30, 70, 150,...,... e cerca di individuare i due termini successivi. Hai utilizzato un ragionamento di tipo induttivo o deduttivo?... Spiega che cosa significa affrontare la geometria secondo un metodo ipotetico deduttivo: Þ 2 onsidera le seguenti condizioni che regolano alcune operazioni bancarie. a. Un bonifico bancario è un operazione tramite cui si trasferiscono dei soldi da un conto corrente a un altro. b. Un bonifico effettuato dal proprio conto a una banca italiana viene effettuato con una commissione di 1 euro. c. Per un bonifico effettuato dal proprio conto a una banca estera, la banca trattiene una commissione di 3 euro. d. Le commissioni trattenute vengono scalate dal conto corrente. Ora rispondi alle seguenti domande. e. Fra le precedenti proposizioni, ce ne sono alcune che potrebbero essere assunte come definizioni?... Se sì, che cosa definiscono?... f. Fra le precedenti proposizioni, ce ne sono alcune che potrebbero essere assunte come assiomi?... Se sì, quali?... g. alle proposizioni c. e d., assunte come assiomi, si può dedurre un teorema. Qual è questo teorema? 4...

10 Esercizi guidati 1 Scheda Þ 3 Spiega perché i segmenti e in ciascuna delle seguenti figure non sono consecutivi Unità 1 Piano euclideo Þ 4 l di sotto di ogni figura, spiega perché i segmenti e non sono adiacenti Þ 5 Le affermazioni nella seguente tabella non sono corrette. Per ciascuna di esse, trova un «controesempio», cioè disegna una figura che evidenzi l inesattezza dell affermazione, e poi correggila. ffermazione inesatta Figura «controesempio» orrezione dell affermazione ue angoli che hanno il vertice in comune sono opposti al vertice. ue angoli che hanno un lato in comune sono consecutivi. ue angoli che hanno il vertice in comune sono consecutivi., 5

11 Scheda 1 Esercizi guidati Tema Le nozioni di base della geometria, ffermazione inesatta Figura «controesempio» orrezione dell affermazione ue angoli aventi due lati che sono uno il prolungamento dell altro, sono adiacenti. Þ 6 Figura ompleta la seguente tabella. È un poligono? Sì No, perché... Sì No, perché... Sì No, perché... Sì No, perché... Scheda 1 Esercizi da svolgere Þ 1 Vero o falso? In riferimento alla figura qui a fianco: a. e sono consecutivi V F b. e sono adiacenti V F c. e sono consecutivi V F d. e sono adiacenti V F e. e sono consecutivi V F Þ 2 In riferimento agli angoli e della figura qui a fianco, stabilisci se e sono consecutivi, adiacenti o opposti al vertice. [3 affermazioni vere e 2 false] Þ 3 In riferimento agli angoli, e della figura qui a fianco, rispondi alle seguenti domande: a. e sono adiacenti? b. e sono consecutivi? c. e sono consecutivi? d. e sono adiacenti? e. e sono opposti al vertice? γ 6

12 Esercizi da svolgere 1 Scheda Þ 4 Þ 5 In riferimento agli angoli ; ; ; della figura qui a fianco, rispondi alle seguenti domande: a. e sono consecutivi? b. e sono adiacenti? c. e sono opposti al vertice? d. e sono consecutivi? ompleta la seguente tabella disegnando, se possibile, angoli che soddisfino le proprietà indicate. γ δ Unità 1 Piano euclideo ue angoli consecutivi, uno concavo e l altro convesso ue angoli adiacenti, entrambi convessi ue angoli adiacenti, entrambi concavi Þ 6 Elenca tutti i segmenti e tutte le semirette che si possono individuare nella figura qui a fianco. Þ 7 Nella figura qui a fianco individua: a. tutti gli angoli; b. tutte le coppie di angoli adiacenti; c. tutte le coppie di angoli consecutivi. E Þ 8 Vero o falso? In riferimento alla figura qui a fianco: a. EF è un poligono V F b. EF è un poligono ma non è convesso V F c. R è una diagonale V F P F E R d. PEQ b è un angolo esterno V F e. c è un solo angolo esterno al poligono di vertice E V F Q Þ 9 isegna un poligono convesso EFGH avente otto lati; poi: a. traccia due diagonali che hanno un punto in comune e una corda che interseca entrambe le diagonali; b. rappresenta l angolo interno di vertice e i due angoli esterni di vertice E. 7

13 Scheda 1 Esercizi da svolgere Tema Le nozioni di base della geometria Þ 10 Þ 11 Stabilisci se le seguenti figure sono convesse o concave. convessa concava convessa concava convessa concava convessa concava Quante diagonali distinte si possono tracciare in un esagono? E in un ettagono? Þ 12 isegna una figura che corrisponda alla seguente descrizione: dati due angoli convessi e consecutivi a Ob b e boc, b traccia una retta r che interseca i lati a, b e c dei due angoli rispettivamente nei tre punti, e. Þ 13 isegna una figura che corrisponda alla seguente descrizione: dati due segmenti adiacenti e, traccia, in semipiani opposti aventi come origine la retta, due semirette r e s, aventi origine rispettivamente in e. Traccia quindi una retta passante per che intersechi le due semirette r e s rispettivamente in P e Q. 8

14 Ripasso 2 Scheda Il concetto di congruenza e le sue conseguenze bbiamo assunto il concetto di congruenza come primitivo. Intuitivamente, due figure sono congruenti se è possibile sovrapporle punto a punto mediante un movimento rigido. Nell insieme dei segmenti (angoli), grazie alla nozione di congruenza, abbiamo definito un ordine, le operazioni di addizione e sottrazione fra segmenti (angoli) e il concetto di multiplo di un segmento (angolo). Inoltre abbiamo assunto, come assioma, che somme e differenze di segmenti (angoli) congruenti sono congruenti. Introdotta la nozione di congruenza, abbiamo potuto introdurre le nozioni di punto medio di un segmento e di bisettrice di un angolo; inoltre abbiamo introdotto nuove definizioni circa gli angoli. TERMINE EFINIZIONE ISEGNO Punto medio di un segmento isettrice di un angolo Il punto di un segmento che lo divide in due segmenti congruenti. La semiretta che divide l angolo in due angoli congruenti. M O bisettrice Unità 2 alla congruenza alla misura ngolo retto iascuno dei due angoli in cui un angolo piatto resta diviso dalla sua bisettrice. angolo retto O ngolo acuto Un angolo minore di un angolo retto. O angolo acuto ngolo ottuso ngoli complementari Un angolo maggiore di un angolo retto e minore di uno piatto. ue angoli la cui somma è un angolo retto. angolo ottuso O e complementari ngoli supplementari ue angoli la cui somma è un angolo piatto. e supplementari La misura dei segmenti e degli angoli OMNE om è definita la misura di un segmento (angolo)? RISPOSTE ato un segmento (un angolo b ) e un segmento u (angolo b U) scelto come unità di misura, si dice misura di (di b ) rispetto a u (a b U) il numero reale non negativo k per cui ffi k uð b ffi k b U)., 9

15 Scheda 2 Ripasso Tema Le nozioni di base della geometria, OMNE he differenza c è fra il concetto di misura e lunghezza (ampiezza) di un segmento (angolo)? RISPOSTE La lunghezza (ampiezza) di un segmento (angolo) è la classe di equivalenza alla quale appartiene (rispetto alla suddivisione in classi operata dalla relazione di congruenza). La misura di un segmento (angolo) è un numero reale non negativo. Potremo dire, per esempio, che: la lunghezza del segmento è 5 cm (ciò significa che appartiene alla classe a cui appartiene il segmento multiplo del cm secondo il numero 5); oppure che la misura di, rispetto al cm, è 5. nalogamente potremo dire, per esempio, che: l ampiezza di un angolo retto è 90, di un angolo piatto 180, di un angolo giro 360 ; la misura, in gradi, di un angolo retto è 90, di un angolo piatto è 180, di un angolo giro 360. ttenzione! Sono diffuse espressioni del tipo «la misura di un segmento è 5 cm» (che va intesa nel senso che la misura del segmento è 5, rispetto al cm) oppure «la lunghezza del segmento è 5» (forma concisa della forma più corretta: «la misura della lunghezza del segmento è 5»). Esse sono accettabili purché vengano ben interpretate. Scheda 2 Verifica delle conoscenze ompleta Þ 1 La relazione di congruenza è riflessiva,... e..., quindi è una relazione d equivalenza. Þ2 La somma di due segmenti adiacenti e è il segmento.... Þ 3 Per somma di due segmenti non adiacenti e, si intende la somma di due segmenti... ad e, ma adiacenti fra loro. Þ 4 Il multiplo secondo un numero naturale n 1 di un segmento è la somma di... segmenti congruenti ad. Þ 5 La differenza di due segmenti e, con >, èil segmento che, addizionato a, dàcome risultato.... Þ 6 La somma di due angoli adiacenti a b Ob e b b Oc è l angolo.... Þ 7 Per somma di due angoli non adiacenti e, si intende la somma di due angoli... ad e ma adiacenti fra loro. Þ8 Il multiplo secondo un numero naturale n 1 di un angolo è la somma di... angoli congruenti ad. Þ9 La differenza di due angoli e, con >,èl angolo che, addizionato a, dàcome risultato.... Þ10 L ampiezza dei due angoli in cui un angolo retto resta diviso dalla sua bisettrice è.... Þ11 L ampiezza dei due angoli in cui un angolo piatto resta diviso dalla sua bisettrice è.... Þ 12 L ampiezza del complementare di un angolo di 15 è Þ 13 L ampiezza del supplementare di un angolo di 130 è....

16 Esercizi guidati 2 Scheda Þ 1 ompleta la seguente tabella in cui ti guidiamo a svolgere una semplice dimostrazione. Passi ue segmenti e, appartenenti alla stessa retta orientata nel verso da a, sono tali che precede, precede e precede. imostra che, se ffi, allora ffi. Rappresenta la situazione descritta dal problema con un disegno. Individua l ipotesi. Individua la tesi. ompleta la seguente traccia di dimostrazione. In base alla definizione di differenza tra segmenti: ffi :::::::::: ffi :::::::::: I due segmenti e risultano allora la differenza di segmenti rispettivamente congruenti (infatti ffi :::::::::: per ipotesi e ffi per la proprietà riflessiva della relazione di congruenza), dunque sono :::::::::::::::::::: Unità 2 alla congruenza alla misura Þ 2 ompleta la seguente tabella. u u u E F Misura di rispetto a u ¼... Misura di rispetto a u ¼... Misura di EF rispetto a u ¼... Þ 3 Fai riferimento alla figura qui a fianco. a. ome sono gli angoli e? omplementari Opposti al vertice Supplementari b. ome sono gli angoli e? omplementari Opposti al vertice Supplementari c. Sapendo che ¼ 15, calcola le ampiezze degli altri angoli. ¼ :::::::::: ¼ :::::::::: ¼ :::::::::: γ δ Þ 4 ompleta la seguente tabella in cui ti guidiamo a risolvere un problema sul calcolo delle ampiezze di alcuni angoli. Passi ue angoli supplementari e sono tali che è il quadruplo di. Qual è l ampiezza dell angolo formato dalle bisettrici di e? Rappresenta la situazione descritta dal problema con un disegno Scrivi le relazioni tra e fornite dal testo e determina le loro ampiezze. Sappiamo che ¼ 4 e che þ ¼ :::::::::: Se ne deduce che þ 4 ¼ :::::::::: ) 5 ¼ :::::::::: ) ¼ :::::::::: Pertanto ¼ 180 ¼ ::::::::::::::: etermina infine l ampiezza dell angolo formato dalle bisettrici di e. L ampiezza dell angolo formato dalle bisettrici di e è uguale a: 2 þ 2 ¼ :::::::::: 11

17 Scheda 2 Esercizi da svolgere Tema Le nozioni di base della geometria Þ 1 Þ 2 Vero o falso? a. due angoli supplementari sono consecutivi V F b. due angoli adiacenti sono supplementari V F c. un angolo ottuso viene diviso dalla bisettrice in due angoli acuti V F d. due angoli opposti al vertice non possono essere retti V F e. due angoli supplementari sono adiacenti V F f. due angoli complementari non nulli sono necessariamente acuti V F ostruisci con riga e compasso i segmenti indicati al di sotto di ciascuna delle seguenti figure. + 2 e 3 Þ 3 ostruisci gli angoli indicati al di sotto di ciascuna delle seguenti figure. + 5( ) Þ 4 ompleta la seguente tabella disegnando angoli che soddisfino le proprietà descritte. ue angoli complementari opposti al vertice ue angoli supplementari non adiacenti ue angoli consecutivi, uno acuto e l altro ottuso Þ 5 Siano,, e E quattro segmenti con adiacente a, adiacente a e adiacente a E, tali che ffi E e è il punto medio di. imostra che ffi E e ffi E. Þ 6 Siano a Ob, b boc b e c Od b tre angoli con boc b adiacente ad aob b e c Od b adiacente a boc. b Siar la bisettrice dell angolo aob b e s la bisettrice dell angolo c Od. b imostra che roc b ffi bos. b Þ 7 L angolo è 2 3 di un angolo piatto e l angolo è 1 di un angolo retto. Qual è l ampiezza (in gradi) dell angolo 4 þ? E dell angolo? [142,5 ; 97,5 ] Þ 8 ue angoli complementari e sono uno il quadruplo dell altro. etermina: a. l ampiezza di ciascuno dei due angoli; b. l ampiezza dell angolo formato dalle bisettrici di e. [a. 18,72 ; b. 45 ] 12 Þ 9 ue angoli e sono uno il triplo dell altro e l ampiezza dell angolo formato dalle bisettrici di e è 24. Quali sono le ampiezze di e? [12,36 ]

18 Ripasso 3 Scheda Triangoli e criteri di congrenza lassificazione rispetto ai lati lassificazione rispetto agli angoli Un triangolo si dice: isoscele se ha due lati congruenti; equilatero se ha i tre lati congruenti; scaleno se i lati sono a due a due non congruenti. Un triangolo si dice: acutangolo se tutti i suoi angoli sono acuti; ottusangolo se ha un angolo ottuso; rettangolo se ha un angolo retto. TRINGOLI triangolo isoscele triangolo equilatero triangolo scaleno triangolo acutangolo triangolo ottusangolo triangolo rettangolo Unità 3 ongruenza nei triangoli Segmenti notevoli ltezza relativa a un lato: il segmento che partendo dal vertice opposto a quel lato incontra il lato stesso o il suo prolungamento formando due angoli retti. isettrice uscente da un vertice: il segmento costituito dai punti della bisettrice dell angolo avente quel vertice che appartengono al triangolo. Mediana relativa a un lato: il segmento che congiunge il vertice opposto a quel lato con il punto medio del lato stesso. altezza relativa a bisettrice uscente da mediana relativa a H L M RITERIO I ONGRUENZ PROLE IN SIMOLI I criterio di congruenza ue triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati el angolo tra di essi compreso. ' ' ' ffi 0 0, ffi 0 0, b ffi 0 b 0 0 ) ffi II criterio di congruenza ue triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato egliangoli a essi adiacenti. ' ' ' ffi 0 0, b ffi 0 b 0 0, b ffi 0 b 0 0 ) ffi III criterio di congruenza ue triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti. ' ' ' ffi 0 0, ffi 0 0, ffi 0 0 ) ffi

19 Scheda 3 Ripasso Tema Le nozioni di base della geometria ttenzione! Negli enunciati dei tre criteri di congruenza è essenziale l avverbio ordinatamente. Esso indica che i lati congruenti devono essere opposti ad angoli congruenti e gli angoli congruenti a lati congruenti. Proprietà dei triangoli isosceli TEOREMI PROLE In un triangolo isoscele (cioè avente due lati congruenti), gli angoli adiacenti alla base sono congruenti. Se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora il triangolo è isoscele e ha come base il lato adiacente agli angoli congruenti. TEOREMI IN SIMOLI In un triangolo isoscele, l altezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice. H H altezza H H H H isuguaglianze tra gli elementi di un triangolo TEOREM PROLE IN SIMOLI Teorema dell angolo esterno Ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascuno degli angoli interni a esso non adiacenti. γ > > Relazioni fra gli angoli e i lati di un triangolo Se in un triangolo due lati non sono congruenti, allora anche gli angoli opposti non sono congruenti e al lato maggiore sta opposto l angolo maggiore. nalogamente, se in un triangolo due angoli non sono congruenti, allora anche i lati opposti non sono congruenti e all angolo maggiore sta opposto il lato maggiore. c a b γ >¼) a > b a > b ¼) > isuguaglianza triangolare Ogni lato di un triangolo è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza (la differenza, naturalmente, va effettuata sottraendo dal lato maggiore il lato minore). c a b b c < a < b þ c a c < b < a þ c a b < c < a þ b 14

20 Verifica delle conoscenze 3 Scheda Vero o falso? Þ1 un triangolo è l intersezione di tre semipiani V F Þ2 ogni triangolo è convesso V F Þ3 ogni triangolo scaleno è ottusangolo V F Þ4 ogni triangolo isoscele è acutangolo V F Þ5 ogni triangolo equilatero è anche isoscele V F Þ6 ogni triangolo isoscele è anche equilatero V F Þ7 due triangoli equilateri con un lato rispettivamente congruente sono congruenti V F Þ8 due triangoli rettangoli isosceli con le ipotenuse congruenti sono sempre congruenti V F Þ9 due triangoli con due angoli rispettivamente congruenti sono sempre congruenti V F Þ10 due triangoli rettangoli isosceli con un cateto rispettivamente congruente sono sempre congruenti V F Þ11 due triangoli rettangoli con un cateto rispettivamente congruente sono sempre congruenti V F Þ12 due triangoli rettangoli con i due cateti rispettivamente congruenti sono sempre congruenti V F Test Þ 13 Nei triangoli e 0 0 0, nella figura qui sotto a destra, gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo sono congruenti. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? I due triangoli sono congruenti in base al primo criterio di congruenza I due triangoli sono congruenti in base al secondo criterio di congruenza I due triangoli sono congruenti in base al terzo criterio di congruenza I due triangoli possono non essere congruenti ' ' ' Unità 3 ongruenza nei triangoli Þ 14 Nei triangoli e 0 0 0, nella figura qui sotto, gli elementi contrassegnati con lo stesso simbolo sono congruenti. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? I due triangoli sono congruenti in base al primo criterio di congruenza ' ' I due triangoli sono congruenti in base al secondo criterio di congruenza I due triangoli sono congruenti in base al terzo criterio di congruenza I due triangoli possono non essere congruenti Þ 15 ffinché due triangoli siano congruenti, avere un lato e gli angoli a esso adiacenti ordinatamente congruenti è una condizione: Þ 16 necessaria ma non sufficiente sufficiente ma non necessaria necessaria e sufficiente né necessaria né sufficiente ffinché due triangoli siano congruenti, avere gli angoli ordinatamente congruenti è una condizione: necessaria ma non sufficiente sufficiente ma non necessaria necessaria e sufficiente né necessaria né sufficiente ' Þ 17 ffinché due triangoli siano congruenti, avere i lati ordinatamente congruenti è una condizione: necessaria ma non sufficiente sufficiente ma non necessaria necessaria e sufficiente né necessaria né sufficiente 15

21 Scheda 3 Esercizi guidati Tema Le nozioni di base della geometria Negli esercizi 1-2-3, fai riferimento al seguente teorema: «sia P un triangolo; prolunga P, dalla parte di P, di un segmento P congruente a P; prolunga P, dalla parte di P, di un segmento P congruente ad P. imostra che ffi e ffi». Þ 1 Individua l ipotesi e la tesi del teorema e contrassegna nella figura con uno stesso simbolo gli elementi che sono congruenti per ipotesi: Þ 2 IPOTESI:... TESI:... ompleta le parti mancanti e indica con una crocetta le risposte corrette. a. Nei due triangoli P e P, per quale ragione risulta P ffi... e P ffi...? Per ipotesi Perché somme di segmenti congruenti Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti b. Nei due triangoli P e P, per quale ragione risulta b P ffi b P? Per ipotesi Perché opposti al vertice Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti c. In base a quale criterio i due triangoli P e P sono congruenti? Primo criterio di congruenza Secondo criterio di congruenza Terzo criterio di congruenza d. al punto c. segue che ffi... Per quale ragione? Per ipotesi Per i criteri di congruenza dei triangoli Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti e. In base a quale criterio i due triangoli P e P sono congruenti? Primo criterio di congruenza Secondo criterio di congruenza Terzo criterio di congruenza f. al punto e. segue che ffi... Per quale ragione? Per ipotesi Per i criteri di congruenza dei triangoli Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti P Þ 3 Scrivi in forma discorsiva la dimostrazione del teorema di cui nell esercizio 1 hai espresso ipotesi e tesi, tenendo conto dei passi suggeriti nell esercizio precedente. Negli esercizi 4-5-6, fai riferimento al teorema che ha come modello la figura qui sotto, l ipotesi e la tesi qui di seguito. IPOTESI: M ffi M, M b ffi, b ffi e M ffi TESI: M b ffi b 16 Þ 4 ompleta il seguente enunciato a parole del teorema corrispondente all ipotesi e alla tesi indicate. «ato un triangolo,... sulla base, siam la... Un triangolo è tale che è la bisettrice di... e... imostra che...». M

22 Esercizi guidati 3 Scheda Þ 5 ompleta le parti mancanti e indica con una crocetta la risposta corretta. a. In base a quale criterio i triangoli M e M sono congruenti? Primo criterio di congruenza Secondo criterio di congruenza Terzo criterio di congruenza Proprietà transitiva della congruenza b. In base a quale criterio i triangoli M e sono congruenti? Primo criterio di congruenza Secondo criterio di congruenza Terzo criterio di congruenza Proprietà transitiva della congruenza c. a a. e b. segue che il triangolo M è congruente al triangolo. Per quale ragione? Primo criterio di congruenza Secondo criterio di congruenza Terzo criterio di congruenza Proprietà transitiva della congruenza d. al punto c. segue che b M ffi :::::::::: Per quale ragione? Per ipotesi Per i criteri di congruenza dei triangoli Perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti Unità 3 ongruenza nei triangoli Þ 6 Riscrivi la dimostrazione del teorema espresso nell esercizio 4 in forma discorsiva, tenendo conto dei passi suggeriti nell esercizio precedente. Þ 7 Fai riferimento alla figura qui a fianco (P è un punto interno al triangolo ). a. Prolunga P e indica con Q il suo punto d intersezione con il lato. b. In base al teorema dell angolo esterno, puoi affermare che b P > b Q. quale triangolo è stato applicato il teorema? P Q PQ Q c. In base al teorema dell angolo esterno applicato al triangolo Q, puoi dire che: b Q >... e b Q >... d. In base a quanto dimostrato in b. e c., che cosa puoi concludere a proposito degli angoli b P e b?... Negli esercizi 8-9, fai riferimento al seguente teorema: «Sia 0 un quadrilatero in cui ffi 0 e ffi 0. imostra che l angolo esterno di vertice è maggiore di ciascuno dei due angoli in cui la diagonale divide l angolo b 0». Þ 8 In riferimento alla figura qui a fianco, riscrivi in simboli l ipotesi e la tesi del teorema. IPOTESI:... e... TESI:... e... γ P Þ 9 ompleta la seguente dimostrazione guidata del teorema. a. In base al teorema... applicato al triangolo... puoi dire che: ' >... b. I due triangoli e 0 sono... per il... criterio di congruenza; in particolare:... ffi Quindi è anche: >... 17

23 Scheda 3 Esercizi guidati Tema Le nozioni di base della geometria Negli esercizi 10-11, fai riferimento al teorema che ha come modello la figura sotto, l ipotesi e la tesi riportata di seguito. Þ 10 IPOTESI: TESI: b < b < P þ P ompleta il seguente enunciato a parole del teorema corrispondente all ipotesi e alla tesi indicate. «Sia un triangolo e P un punto... al triangolo; dimostra che, se..., allora il segmento è minore della somma delle... di P da...». Þ 11 ompleta la seguente dimostrazione guidata del teorema. a. all ipotesi b < b, puoi dedurre che: <... b. Per la disuguaglianza triangolare applicata al triangolo P, puoi dedurre che: P <... c. onfrontando le due disuguaglianze, ottieni che: <... <... e quindi... Þ 12 ompleta la seguente tabella, in cui ti guidiamo a dimostrare un teorema. Passi ato un angolo a b Ob, conduci la bisettrice r dell angolo. onsidera un punto P su tale bisettrice e traccia due semirette, aventi origine in P, e giacenti in semipiani opposti rispetto alla bisettrice, che formano con OP angoli congruenti. Indica con Q e R, rispettivamente, i punti d intersezione di tali semirette con a e b. Sia S un punto di OP; dimostra che RS ffi QS. Figura Q a O S P r R b Ipotesi ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Tesi ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: imostrazione I due triangoli OPQ e ::::::::::::::: hanno: OP in comune :::::::::: ffi :::::::::: per ipotesi :::::::::: ffi :::::::::: per :::::::::: quindi sono congruenti per il ::::::::::::::::::::::::::::::. In particolare, PQ ffi ::::::::::. I due triangoli PQS e ::::::::::::::: hanno: PS in comune :::::::::: ffi :::::::::: per ipotesi PQ ffi :::::::::: per la precedente dimostrazione Quindi sono congruenti per il ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::; in particolare RS ffi ::::::::::. 18

24 Esercizi guidati 3 Scheda Þ 13 Passi Figura ompleta la seguente tabella, in cui ti guidiamo a dimostrare un teorema. In un triangolo, isoscele sulla base, traccia le mediane M e N. Indica con P il loro punto d intersezione e dimostra che il triangolo P è isoscele sulla base. N P M Unità 3 ongruenza nei triangoli Ipotesi ffi :::::::::: N ffi :::::::::: M ffi :::::::::: fpg ¼ M \ :::::::::: Tesi P ffi :::::::::: imostrazione I due triangoli N e M hanno: N ffi M in quanto :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: in comune b ffi b perché ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Quindi i due triangoli sono :::::::::::::::::::: per il :::::::::::::::::::::::::. In particolare M b ffi ::::::::::::::: a quanto appena dimostrato, segue che P b ffi :::::::::::::::. Quindi il triangolo P è :::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::. Esercizi da svolgere 3 Scheda Þ 1 ato un triangolo, siap la bisettrice di. b Siano Q e R, rispettivamente, i punti appartenenti ad ead, tali che PQ b ffi PR. b imostra che Q ffi R. Þ 2 ato un triangolo, isoscele sulla base, prolunga, dalla parte di, di un segmento E, e, dalla parte di, di un segmento, in modo che ffi E. imostra che ffi E. Þ 3 ato un triangolo, isoscele sulla base, disegna, esternamente al triangolo, un triangolo, isoscele sulla base. onsidera un punto qualsiasi P sul segmento e dimostra che P ffi P. Þ 4 imostra che il triangolo che si ottiene congiungendo i punti medi dei lati di un triangolo isoscele è anch esso isoscele. Þ 5 Sia un triangolo isoscele sulla base. Sul prolungamento di dalla parte di considera un punto P e sul prolungamento di dalla parte di un punto Q, in modo che P ffi Q. imostra che Q ffi P. Þ 6 Sia un triangolo rettangolo di ipotenusa. Prolunga il cateto, dalla parte di, di un segmento P ffi e l ipotenusa, dalla parte di, di un segmento Q ffi. imostra che PQ b ffi PQ. b Þ 7 imostra che, in due triangoli congruenti, le due bisettrici relative a due angoli congruenti sono congruenti. Þ 8 Sia un triangolo isoscele sulla base. Indica con N e M, rispettivamente i punti medi di e. onsidera un punto P sull altezza del triangolo relativa ad e dimostra che i due segmenti PN e PM sono congruenti. 19

25 Scheda 3 Esercizi da svolgere Tema Le nozioni di base della geometria Þ 9 In un triangolo, isoscele sulla base, considera un punto P su e un punto Q su, in modo che P ffi Q. etto R il punto d intersezione di P ediq, dimostra, nell ordine che: a. il triangolo R è isoscele sulla base ; b. i triangoli R e R sono congruenti; c. la semiretta R è la bisettrice di b. Þ 10 In un triangolo, isoscele sulla base, traccia l altezza H. onsidera un qualsiasi punto P su H e dimostra che P ffi P. Þ 11 In riferimento alla figura qui sotto, rispondi alle seguenti domande. a. Qual è l ampiezza di b? b. Quale fra i tre lati del triangolo ha lunghezza minima? Perché? c. Quale fra i tre lati del triangolo ha lunghezza massima? Perché? Þ 12 Può esistere un triangolo i cui lati sono lunghi 10 cm, 12 cm e 15 cm? E un triangolo i cui lati sono lunghi 7 cm, 11 cm e 3 cm? Giustifica le tue risposte. Þ 13 Sia un triangolo isoscele sulla base e P un punto interno a. imostra che P > P. Þ 14 Sia un quadrilatero convesso. imostra che ciascun lato è minore della somma di tutti gli altri. (Suggerimento: traccia una delle due diagonali di ) 20

26 Ripasso 4 Scheda Rette perpendicolari e parallele OMNE RISPOSTE ESEMPI Quando due rette si dicono perpendicolari? he cos è l asse di un segmento? Quando sono incidenti e, incontrandosi, formano quattro angoli retti. L asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio. s r asse M r s Unità 4 Rette perpendicolari e parallele he cos è la proiezione di un punto P su una retta r? E che cos è la distanza di P da r? La proiezione di P su r è il punto d intersezione di r con la perpendicolare condotta da P a r. La distanza di P da r è il segmento che ha come estremi il punto P e la sua proiezione su r. distanza di P da r P H r he cos è la proiezione di un segmento su una retta r? È il segmento 0 0 che ha per estremi le proiezioni 0, 0 dei punti e su r. ' ' ' ' r Quando due rette si dicono parallele? Quando non hanno punti d intersezione oppure coincidono. s r r s Si può dimostrare l esistenza di una retta passante per un punto P e parallela a una retta data? Sì: la retta passante per P perpendicolare alla perpendicolare per P a una retta r è parallela a r. n P s r n r e s n r s Si può dimostrare l unicità di una retta passante per un punto P e parallela a una retta data? No, occorre assumerla come assioma della geometria euclidea. P s r Non possono esistere due rette distinte passanti per P e parallele a r. ttenzione! 1. Invece di dire che H è la proiezione di un punto P su una retta r si dice anche che H è il piede della perpendicolare condotta da P alla retta r. Inoltre, con il termine «distanza di P da r» a volte non si indica il segmento PH,malamisura del segmento PH. 2. L assioma tramite cui si assume l unicità della retta passante per un punto e parallela a una data retta si chiama «assioma della parallela» o «quinto postulato di Euclide». 21

27 Scheda 4 Ripasso Tema Le nozioni di base della geometria riterio di parallelismo ue rette tagliate da una trasversale sono parallele se e solo se formano una coppia di angoli: alterni interni congruenti oppure alterni esterni congruenti oppure corrispondenti congruenti oppure coniugati interni supplementari oppure coniugati esterni supplementari Proprietà degli angoli nei poligoni TEOREM PROLE ESEMPI ngoli esterni di un triangolo L ampiezza di ciascun angolo esterno di un triangolo è la somma delle ampiezze degli angoli interni non adiacenti. γ γ = + Somma degli angoli interni di un triangolo La somma delle ampiezze degli angoli interni di un triangolo è sempre uguale a 180. γ + + γ = 180 ngoli acuti di un triangolo rettangolo Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari. + γ = 90 γ Somma degli angoli interni di un poligono La somma delle ampiezze degli angoli interni di un poligono di n lati è uguale a ðn 2Þ180. δ γ n = 4, quindi + + γ + δ = = (4 2) 180 = 360 Somma degli angoli esterni di un poligono La somma delle ampiezze degli angoli esterni di un poligono (uno per ciascun lato) è sempre 360, indipendentemente dal numero dei lati del poligono. + + γ + δ = 360 δ γ 22

28 Ripasso 4 Scheda ltri criteri di congruenza TEOREM PROLE IN SIMOLI Secondo criterio generalizzato riterio di congruenza per i triangoli rettangoli ue triangoli aventi un lato e due angoli ordinatamente congruenti sono congruenti. ue triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti, rispettivamente, un cateto el ipotenusa. ffi 0 0, b ffi b 0, b ffi b 0 ) ffi ' ' ' ' Unità 4 Rette perpendicolari e parallele ffi 0 0, ffi 0 0, b ffi b 0 ffi 2 ) ffi ' ' ttenzione! Nel secondo criterio generalizzato, è essenziale l avverbio «ordinatamente»: è essenziale, cioè, che il lato congruente sia opposto, nei due triangoli, a due angoli congruenti. Verifica delle conoscenze 4 Scheda Þ 1 Vero o falso? a. sia r una retta; se P 2 r allora esistono infinite rette per P perpendicolari a r V F b. se r? s e s? t, allora anche r? t V F c. le bisettrici di due angoli supplementari sono perpendicolari V F d. se è un triangolo isoscele, sulla base, allora appartiene all asse di V F e. sia H la proiezione di P su una retta r e Q un punto di r diverso da H, allora PQ > PH V F [3 affermazioni vere e 2 false] Þ 2 Fai riferimento alla figura qui a fianco e rispondi alle seguenti domande. a. Quali degli angoli 1, 2, 3 e 4 sono congruenti, se k? 2 b. Quali degli angoli 1, 2, 3 e 4 sono congruenti, se k? 3 c. Quale angolo è supplementare a, b se k? d. Quale angolo è supplementare ad, b se k? 1 4 Þ 3 ompleta, facendo riferimento alla figura qui a fianco: a. se 1 ffi 2, allora sono parallele le due rette...; b. se 2 ffi 5, allora sono parallele le due rette...; c. se 3 e 4 sono supplementari, allora sono parallele le due rette...; d. se 3 ffi 6, allora sono parallele le due rette...; e. se 4 e 7 sono supplementari, allora sono parallele le due rette...; f. se 6 ffi 7, allora sono parallele le due rette... a 1 b c d e 23

29 Scheda 4 Verifica delle conoscenze Tema Le nozioni di base della geometria Þ4 Quanti angoli ottusi può avere al massimo un triangolo? ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Þ5 La somma delle ampiezze degli angoli interni di un quadrilatero è ::::::::::::::::::::::::::::::. Þ 6 La somma delle ampiezze degli angoli interni di un poligono dipende dal numero dei lati del poligono? ::::::::::::::: Ela somma delle ampiezze degli angoli esterni? ::::::::::::::: Þ 7 Qual è l ampiezza di ciascuno degli angoli interni di un triangolo equilatero? ::::::::::::::: E l ampiezza di ciascuno degli angoli esterni? :::::::::::::::::::: Þ 8 Qual è la somma delle ampiezze degli angoli interni di un ottagono? :::::::::::::::::::: Qual è la somma delle ampiezze degli angoli esterni di un ottagono? :::::::::::::::::::: Test Þ 9 Quale delle seguenti proprietà non si può dimostrare e abbiamo dovuto assumere come assioma? l esistenza della retta passante per un punto e perpendicolare a una retta assegnata l unicità della retta passante per un punto e perpendicolare a una retta assegnata l esistenza della retta passante per un punto e parallela a una retta assegnata l unicità della retta passante per un punto e parallela a una retta assegnata Þ 10 In riferimento alla figura qui a fianco, quale affermazione è corretta? 1 e 2 sono alterni interni 1 e 2 sono alterni esterni 3 e 2 sono corrispondenti a b c nessuna delle precedenti affermazioni è esatta Þ 11 Quale delle seguenti non è una condizione necessaria e sufficiente perché due rette, tagliate da una trasversale, siano parallele? vere due angoli alterni interni congruenti vere due angoli alterni esterni congruenti vere due angoli corrispondenti congruenti vere due angoli coniugati interni congruenti Þ 12 Nei triangoli disegnati nella figura qui sotto a destra, gli angoli contrassegnati con lo stesso simbolo sono congruenti. Possiamo dire che i due triangoli sono congruenti? Sì, in base al primo criterio di congruenza Sì, in base al secondo criterio di congruenza generalizzato Sì, in base al terzo criterio di congruenza Non possiamo affermare che i due triangoli sono congruenti Þ 13 In un triangolo, l ampiezza di b è 15 e l ampiezza di b è 35. Qual è l ampiezza di? b Nessuna delle precedenti Þ 14 In un triangolo, isoscele sulla base, l ampiezza dell angolo al vertice è 20. Qual è l ampiezza di ciascuno degli angoli adiacenti ad? Þ 15 In quale dei seguenti poligoni la somma delle ampiezze degli angoli esterni è 200? In un decagono In ogni poligono In un poligono di 20 lati In nessun poligono ' ' ' 24 Þ 16 In un poligono la somma degli angoli interni è 1620 ; quanti lati ha il poligono?

30 Esercizi guidati 4 Scheda Negli esercizi 1-2-3, fai riferimento al teorema che ha come modello la figura sotto e come ipotesi e tesi quelle specificate. IPOTESI: TESI: è un triangolo acutangolo, H ffi K, H? e K? è isoscele sulla base Þ 1 ompleta l enunciato del teorema: «Sia un triangolo acutangolo e siano H e K le ::::::::::::::::::::::::: relative ai lati ::::::::::::::::::::::::::::::. imostra che, se il triangolo KH è :::::::::::::::::::: sulla base ::::::::::, allora è :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::». Þ 2 ompleta e indica con una crocetta le risposte esatte. a. In base alle ipotesi si può affermare che i triangoli H e K hanno: due lati e l angolo compreso ordinatamente congruenti un lato e gli angoli adiacenti ordinatamente congruenti i tre lati ordinatamente congruenti nessuna delle precedenti risposte è corretta b. i conseguenza si può affermare che H e K sono: congruenti per il primo criterio congruenti per il secondo criterio congruenti per il terzo criterio nessuna delle precedenti risposte è corretta c. ome conseguenza di quanto dimostrato nel punto precedente si può affermare che: ffi, quindi è isoscele b ffi b, quindi è isoscele nessuna delle precedenti risposte è corretta Þ 3 Scrivi in forma discorsiva la dimostrazione del teorema espresso nell esercizio 1 seguendo i passi suggeriti nell esercizio precedente. K K H H Unità 4 Rette perpendicolari e parallele Þ 4 onsidera la figura sotto: è un triangolo isoscele sulla base e il lato obliquo è stato prolungato di un segmento, congruente a. a. Indica nella figura con l ampiezza degli angoli alla base del triangolo e con l ampiezza degli angoli alla base del triangolo isoscele. b. Quanto vale, in funzione di e, la somma delle ampiezze degli angoli del triangolo? þ 2 þ þ 2 2 þ 2 c. In base al teorema sulla somma delle ampiezze degli angoli interni di un triangolo, a che cosa deve essere uguale 2 þ 2?... he cosa puoi dedurre a proposito di þ?... d. Tenendo conto di quanto ricavato nei punti precedenti, che cosa puoi dedurre dell angolo? b he è retto he è acuto he l ampiezza di b dipende da e Negli esercizi 5-6-7, fai riferimento al teorema che ha come modello la seguente figura e come ipotesi e tesi quelle indicate qui di seguito. ' P P' ' ' IPOTESI: b ffi b 0, b ffi b 0 ffi 2, P ffi 0 P 0, P b ffi P b e 0 b 0 P 0 ffi P 0 b 0 0 TESI: ffi

31 Scheda 4 Esercizi guidati Tema Le nozioni di base della geometria Þ 5 ompleta l enunciato del teorema che ha le ipotesi e la tesi indicate nella pagina precedente: «due triangoli rettangoli sono... se hanno congruenti, ordinatamente un angolo... e...». Þ 6 ompleta le parti mancanti e indica con una crocetta le risposte corrette. a. I due triangoli P e 0 0 P 0 sono congruenti. Per quale ragione? Per il primo criterio di congruenza Per il secondo criterio di congruenza Per il secondo criterio di congruenza generalizzato Per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli b. Si può affermare che ffi :::::::::: Per quale ragione? Per ipotesi Perché elementi corrispondenti nei triangoli congruenti... e... Perché opposti ad angoli congruenti per ipotesi Perché opposti ai segmenti P e 0 P 0, congruenti per ipotesi c. I due triangoli e sono congruenti: Per il primo criterio di congruenza Per il secondo criterio di congruenza Per il secondo criterio di congruenza generalizzato Per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli Þ 7 Scrivi in forma discorsiva la dimostrazione del teorema espresso nell esercizio 5, seguendo i passi suggeriti nell esercizio precedente. Þ 8 ompleta la seguente tabella in cui ti guidiamo a svolgere una dimostrazione. Passi Figura ato un triangolo, isoscele sulla base, traccia da la retta perpendicolare ad che incontra il prolungamento di nel punto E e da la retta perpendicolare a, che incontra il prolungamento di nel punto. imostra che ffi E. E Ipotesi ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Tesi ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: imostrazione I triangoli e E hanno: l angolo b in comune; b ffi :::::::::: perché :::::::::::::::; ffi :::::::::: perché è un triangolo :::::::::::::::. Pertanto i triangoli considerati sono congruenti in base al ::::::::::::::: criterio di congruenza. In particolare ffi :::::::::::::::, quindi ffi E in quanto differenze di ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::. 26