Appendice - Cenni di Teoria degli Errori

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1 Appendice - Cenni di Teoria degli Errori 8.5 Definizione di errore e scarto quadratico medio Supponiamo di avere effettuato una misura di distanza e di avere ottenuto questa serie di risultati: 1 a misura 20,153 m 2 a misura 20,152 m 3 a misura 20,151 m 4 a misura 20,154 m 5 a misura 20,157 m 6 a misura 20,516 m Supponiamo ancora di conoscere il valore reale di tale misura, potremmo in questo caso definire come ERRORE la differenza tra il valore misurato e quello reale. Cioè: ERRORE VERO = VALORE REALE VALORE MISURATO 243

2 Appendice - Cenni di Teoria degli Errori Purtroppo, nella pratica operativa non si conosce il valore reale e, per questo, tramite la teoria degli errori si perviene a definire un ambito di accettabilità delle misure. Il valore reale viene in pratica sostituito dal valore plausibile, definendo quindi l errore di una misura singola (empirica) come la quantità ad essa omogenea e generalmente piccola, che rappresenta il suo scostamento dal valore plausibile. Si ha quindi: δ = x - ɛ ove δ = errore x = valore più plausibile ɛ = valore misurato al valore δ viene comunemente dato il nome di scarto. Gli errori si classificano in funzione delle cause che li generano: 1. Errori grossolani. 2. Errori sistematici. 3. Errori accidentali. I primi non preoccupano, perchè sono facilmente eliminabili. Si veda ad esempio il sesto valore misurato nella tabella precedente; è chiaro che tale valore è affetto da errore di scambio dell 1 con il 5 dovuto alla errata trascrizione. I secondi dipendono da circostanze non fortuite, presentano infatti un carattere di regolarità nel segno, entità e successione. Derivano ad esempio da errata taratura degli strumenti usati, da errori di apprezzamento personale e così via.

3 8.6 Distribuzione di Gauss 245 I terzi sono stati definiti osservando che in pratica, dopo aver eliminato gli errori grossolani e quelli sistematici, rimangono comunque degli errori accidentali dovuti al caso. Viene comunque accettato generalmente il concetto che tali errori si annullano, eseguendo molte volte la stessa misura, per il fatto che essi hanno la stessa probabilità di presentarsi in segno negativo o positivo. Ciò significa che la loro influenza sul risultato finale medio tende ad annullarsi all aumentare del numero di misure effettuate. In pratica si ha che gli errori sono indifferentemente negativi o positivi; ad ogni errore + λ, corrisponderà con grande approssimazione un errore - λ Nella realtà non si ha una netta distinzione tra errori sistematici ed accidentali; ripetendo più volte la misura gli accidentali tendono ad annullarsi, mentre i sistematici si sommano. 8.6 Distribuzione di Gauss La distribuzione degli errori dovuti al caso o alla accidentalità è stata determinata con osservazioni sperimentali. Figura 8.10: Distribuzione di Gauss

4 Appendice - Cenni di Teoria degli Errori Effettuando un grande numero di misure si è dedotto l andamento di un grafico così costruito: nelle ascisse, come origine, il valore medio della misura M e gli scarti positivi o negativi; in ordinata il numero delle misure che presentano il corrispondente scarto in ascissa. II massimo valore della curva sull asse delle ordinate ci dà una idea della precisione, rappresentando il numero di misure con scarto nullo rispetto alla media. Caratteristiche del diagramma: gli scarti per eccesso o difetto hanno la stessa frequenza, quindi la curva è simmetrica; la curva tende asintoticamente a zero su entrambi i lati, esisterà quindi un limite per gli scarti; gli scarti più piccoli sono più frequenti di quelli grandi; l equazione della curva è: y = h e b2 x 2 ove h = 1 π m 2 la curva interseca l asse y nel punto (O, h) e il parametro h si chiama precisione si hanno due punti di flesso corrispondenti ai valori

5 8.6 Distribuzione di Gauss 247 x = ± 1 h 2 La quantità m = 1 h 2 rappresenta l errore quadratico medio. tra m e -m sono compresi il 68,3% delle misure tra 2m e -2m sono compresi il 95,5% delle misure tra 3m e -3m sono compresi il 99,7% delle misure L errore quadratico medio m viene usato convenzionalmente per definire l attendibilità di una misura e il suo calcolo viene effettuato nel modo seguente: 1) si calcolano gli scarti dalla media: scarti della media = valore medio valore osservato 2) si calcola m con la formula: V i = M L i ±m = V 2 i n 1 ove n = numero delle osservazioni spesso il simbolo V 2 i viene sostituito da [vv] (quadratello). Questo valore m così derivato, è un valore teorico. In pratica, avendo rilevato dall esperienza che la precisione della media di misure cresce proporzionalmente alla radice di n (numero delle misure), si ha: m M = m [vv] = N n(n 1) ove m M si definisce scarto quadratico medio della media.

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