Alcune tecniche sensor-less per motori sincroni

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1 Alcune tecniche sensor-less per motori sincroni Sandro Calligaro 5 giugno 2011 Sensorless Sostituzione delle misure meccaniche (posizione, velocità tipicamente tramite encoder/resolver) con relative stime ottenute a partire dalle misure delle grandezze elettriche. Controllo (vettoriale) di velocità in assenza del sensore meccanico di posizione/velocità, la cui misura viene sostituita da una stima, a partire da grandezze elettriche che devono venire comunque misurate per eettuare il controllo di corrente (coppia). Figura 1: Schema di controllo vettoriale con sensore di posizione. 1

2 Si usano quindi: Figura 2: Schema di controllo vettoriale sensor-less. la macchina in sé come sensore (sinonimo di sensor-less è self-sensing) l'inverter per generare e misurare i segnali necessari processamento del segnale per la stima a partire dai segnali provenienti dall'inverter Motivi Minore costo Maggiore robustezza rispetto ai guasti (encoder e resolver insieme ai loro collegamenti sono elementi deboli dell'azionamento, in senso sia meccanico che elettrico) Incremento richiesta di motori sincroni, anche per applicazioni dove non è richiesta elevata dinamica/precisione (vista la domanda di ecienza energetica) Aree di funzionamento Si possono distinguere tre aree di funzionamento: velocità nulla e molto bassa alta velocità riconoscimento iniziale della polarità 2

3 Principi sici I fenomeni elettrici direttamente legati alla posizione (ossia, in termini di equazioni, i legami tra la parte del sistema elettrica e quella meccanica) sono: tensione indotta (B-EMF = forza contro-elettromotrice): richiede movimento del rotore cos θme λ mgαβ = Λ mg sin θ me Salienza magnetica (distribuzione spaziale dell'induttanza vista dalle fasi di statore non uniforme, L d L q ): in motori non isotropi o a causa di saturazione in quelli isotropi: richiede la presenza di corrente LΣ + L L αβ = cos (2θ me ) L sin (2θ me ) L sin (2θ me ) L Σ L cos (2θ me ) Figura 3: Spaccato del rotore di un IPMSM. N.B. Esistono soluzioni sensorless molto semplici, applicate da molto tempo con successo, tra queste il controllo scalare dell'asincrono e l'uso dei cosiddetti motori Brush-Less DC, che sono in genere motori a tensione indotta trapezoidale (o sinusoidali usati impropriamente come se, invece, fossero trapezoidali). In quest'ultimo caso, in particolare, è suciente conoscere il sestante nel quale il rotore si trova, invece che la posizione vera e propria. Per il FOC nell'asincrono è necessaria una stima della posizione (e dell'ampiezza) del usso di rotore, che in ogni caso non potrebbe essere misurato. Il vettore di usso però non è direttamente vincolato alla posizione meccanica del rotore stesso (come invece è nel sincrono). Inoltre, la richiesta di precisione non è sempre così stringente, pertanto le tecniche sensor-less per asincroni sono applicate abbastanza di frequente negli azionamenti commerciali per asincroni (in controllo di velocità). 3

4 Dispositivi disponibili in un normale azionamento Inverter trifase a tensione impressa (frequenze di switching tipicamente sopra i 5 khz), con controllo digitale (microprocessore + periferiche). Sensori di corrente su 2 fasi / 3 (costo!) Misura di tensione sul bus DC: considerata insieme ai riferimenti dati al modulatore SV-PWM, costituisce il valore di tensione media equivalente nel periodo (le distorsioni principali sono dovute a dead-time e ritardo nell'attuazione del riferimento). Per le correnti: le misure sono aette da rumore, ripple (per ridurne l'inuenza si campiona nel punto di simmetria del pattern PWM), oset (compensabile con misure a vuoto, a meno di eetti termici) ed errore di scala (in particolare sbilanciamento tra le misure sulle due (tre) fasi) Per le tensioni: u dq u αβ t U a, t b, t c DC inverter u abc media u αβ u dq. L'inverter introduce un ritardo e i tempi morti (in particolare per tensioni piccole e per correnti prossime allo zero) una distorsione non lineare e non completamente compensabile. Annotiamo la notazione Negli schemi si trovano θ r e ω r al posto di θ me e ω me I vettori e le matrici sono sottolineati x αβ, x α, x β sono il vettore e i suoi elementi nel riferimento stazionario (come fosse con l'apice s ) x dq, x d, x q sono il vettore e i suoi elementi nel riferimento sincrono col rotore (come fosse con l'apice r ) ˆx sono le grandezze o gli assi stimati. Quindi x ˆdˆq, x ˆd, xˆq sono le grandezze negli assi stimati (calcolati con la direzione stimata) cos θ sin θ T (θ) è una rotazione di un angolo θ in avanti T (θ) =. sin θ cos θ Se si tratta delle trasformazioni classiche (Park e Park inversa), sono indicate con T αβ dq e T dq αβ s è l'operatore di derivazione nel tempo d /dt L'esempio dell'osservatore in Fig. 8,9 è in grandezze complesse invece che vettoriali, con x α + jx β le grandezze relative all'iniezione hanno pedice i 4

5 Stimatori ed osservatori Dal punto di vista controllistico, uno stimatore è un sistema in catena aperta, capace di ricavare la stima di una grandezza a partire da altre, misurate, rifacendosi ovviamente alle equazioni del sistema reale. La soluzione più comunemente adottata consiste nella costruzione di un osservatore, ossia di uno schema di stima in anello chiuso (closed-loop), che come noto è caratterizzata da maggiore robustezza. Si tratta in pratica dello stimatore di una grandezza che viene anche misurata, così che dal confronto tra la misura e la stima si ottiene un segnale di errore che va a correggere ulteriormente la stima. E' possibile anche mettere in retroazione una grandezza (ad es. una corrente) ed osservarne un'altra (ad es. la posizione) facendo regolare a zero l'errore tra stima della corrente e corrente misurata. Immaginando un algoritmo a tempo discreto, ad ogni passo le stime di posizione e velocità vengono immesse in un modello che, riproducendo il sistema elettrico, ricava valori attesi delle stesse grandezze che vengono misurate. Il confronto di queste ultime variabili con i valori misurati viene utilizzato per correggere la stima al passo successivo, tramite un regolatore (solitamente un semplice PI o PID). I metodi basati su osservatore, anche in varianti più o meno complesse, sono molto diusi e trovano impiego anche nel controllo di motori asincroni tramite sensore, nei quali la conoscenza della posizione non dà automaticamente la conoscenza della direzione del usso di rotore. Principi di funzionamento Nel caso di uno stimatore si processano le misure per ottenere un vettore in direzione dell'angolo di rotore (cos-sin), da cui tramite il calcolo dell' atan o più frequentemente con una PLL si ottiene una stima della posizione (non in retroazione, quindi virtualmente senza ritardo di fase). Figura 4: Schema di una PLL vettoriale (o in quadratura). 5

6 Nel caso degli osservatori si ricerca un segnale che sia almeno approssimativamente proporzionale all'errore di stima (nell'intorno dello zero). In questo modo è possibile far inseguire alla stima la misura corretta. Osservatori usati: Luenberger (vedi Figg. 5,6), Model Reference Adaptive Control, Extended Kalman Filter,... Figura 5: Osservatore di Luenberger semplice. Figura 6: Osservatore di Luenberger con feed-forward di coppia. Richiamo del modello di un motore sincrono generico Modello nel riferimento stazionario vα iα = R v s + s β i β o in forma vettoriale con λα λ β (1) v αβ = R s i αβ + sλ αβ (2) λ αβ = λ Lαβ + λ mgαβ (3) 6

7 dove λ mgαβ è il vettore di usso dovuto al magnete permanente λ mgαβ = Λ mg cos θme sin θ me (4) La porzione del usso concatenato dovuta alle correnti di statore può essere scritta come λ Lαβ = L αβ i αβ (5) Considerando λ Ldq = L dq i dq T dq αβ λ Ldq = T dq αβ L dq i dq λ Lαβ = T dq αβ L dq T αβ dq i αβ che per confronto con (5) dà L αβ = T dq αβ L dq T αβ dq denendo L Σ Lq+L d 2 e L Lq L d 2 si ottiene LΣ + L L αβ = cos (2θ me ) L sin (2θ me ) L sin (2θ me ) L Σ L cos (2θ me ) (6) Modello nel riferimento sincrono vd id = R v s + q i q oppure, in forma vettoriale v dq = R s i dq + s ω me s ω me ω me s ω me s λd Il usso assume la forma λd Ld 0 id Λmg = + λ q 0 L q i q 0 Semplicazione per l'alta frequenza λ q (7) λ dq (8) (9) λ dq = L dq i dq + λ mgdq (10) Nel modello valido per alte frequenze, intendendo con alte quelle superiori di alcune volte alla frequenza di taglio della serie R-L, ossia ω i 1 τ RL = Rs L Σ, si avrà che le cadute resistive possono essere trascurate, così come le tensioni indotte dalla rotazione del usso del magnete permanente (nell'ipotesi che ω i ω me ). Il modello esposto in (7) diventa quindi s ω v idq = me λ s idq (11) ω me 7

8 dove i due ussi (9), che sono qui solamente dovuti alle correnti, vengono riportati anche nel riferimento di statore: λ idq = T αβ dq λ iαβ (12) λ iαβ = L αβ (θ me ) i iαβ (13) L'espressione delle tensioni nel riferimento di statore a partire da (1) è dunque ancora più semplice: v iαβ = sλ iαβ = s L αβ (θ me ) i iαβ (14) Per ciò che riguarda l'interazione con il sottosistema meccanico, gli eetti dovuti alla iniezione di segnali a frequenza elevata vengono trascurati. Ciò è lecito se si pensa che, per costanti di tempo meccaniche molto più grandi di quelle elettriche (come è per la quasi totalità delle applicazioni), frequenze considerate sopra il taglio per le equazioni elettriche di fase lo saranno a maggior ragione per il comportamento meccanico. In sostanza, si considerano nulle le accelerazioni impresse da segnali elettrici ad alta frequenza. Osservatori basati sulle grandezze fondamentali Generalmente nei metodi più semplici la grandezza vettoriale dalla quale si ricavano le stime di posizione e velocità è il usso del magnete permanente, o la tensione indotta (Back-EMF). Il problema maggiore associato a queste tecniche fa capo al principio di funzionamento: l'osservabilità del usso del magnete permanente (e quindi della posizione meccanica ad esso legata) passa attraverso la tensione che ne deriva, indotta dalla rotazione del magnete permanente. A velocità nulla essa ha modulo nullo, rendendo impossibile la stima, mentre comunque a velocità basse il rapporto segnale-rumore tende a ridursi. Inoltre, è richiesta una buona conoscenza dei parametri elettrici del motore. Tra questi, i più critici sono generalmente la resistenza, che ha una certa variabilità con la temperatura, e le induttanze, se il funzionamento avviene in condizioni di saturazione magnetica. Esistono varie forme di osservatori, che si basano su varie grandezze (forza contro-elettromotrice dovuta al magnete permanente, usso ttizio, usso del magnete permanente,...). Di seguito sono riportati velocemente tre esempi. Flusso del magnete permanente (open-loop) Dal modello elettrico del motore in (1) si evince che, a patto di conoscere in ogni istante i valori di correnti e tensioni, oltre che dei parametri supposti costanti, è possibile ottenere il vettore di usso attraverso l'integrazione delle tensioni indotte: v αβ = R s i αβ + sλ αβ λ αβ = 1 s ( uαβ R s i αβ ) = λmgαβ + L αβ i αβ (15) 8

9 grazie all'inversione di (2). La porzione di usso dovuta al magnete permanente sarà quindi cos (θme ) λ mgαβ = λ αβ L αβ i αβ = Λ mg (16) sin (θ me ) Nel caso di un motore isotropo, ad esempio, l'espressione diventa molto semplicemente λ mgαβ = 1 ( ) uαβ r s i s αβ Ls i αβ (17) E' quindi possibile ricavare la posizione di rotore, che sarà banalmente ( ) λmgβ ˆθ me = arctan (18) λ mgα ˆω me = dˆθ me (19) dt E' evidente che, in presenza di rumore, ricavare la stima della posizione tramite il calcolo dell'arcotangente ed ancor più la velocità tramite derivazione porta a risultati molto rumorosi. Perciò si ricorre spesso ad una PLL vettoriale (Fig. ), che fornisce direttamente le stime di velocità e posizione a partire dalle due componenti di usso. Anche l'applicazione di una PLL può essere vista nel sistema complessivo come un ltraggio piuttosto che un vero e proprio osservatore. L'implementazione di un simile algoritmo di stima (open-loop) sore di grossi problemi per la forte dipendenza dai parametri e dagli errori di misura o di imprecisione nel calcolo numerico. Gli errori, in particolare gli oset, vengono accumulati nell'integrazione, portando la stima a divergere. Per questi motivi, la tecnica di integrazione ad anello aperto è scarsamente utilizzata, anche se esistono metodi più o meno complessi per migliorarne l'adabilità (un esempio semplice è l'uso di un ltro passa-basso in sostituzione dell'integratore). Più usati invece sono gli osservatori, capaci di inseguire il vettore di usso del magnete permanente in modo più robusto. Osservatore delle tensioni indotte Figura 7: Schema di stima tramite osservazione delle tensioni indotte. Per motori sincroni isotropi, le equazioni dinamiche del sistema elettrico, espresse nel riferimento sincrono, risultano semplicate, vista la completa simmetria. Uno degli schemi di stima della posizione e velocità di rotore che risultano più semplici da implementare prevede l'osservazione delle tensioni indotte 9

10 (e αβ = sλ mgαβ ), che costituiscono una coppia seno-coseno in quadratura rispetto al usso del magnete permanente, la cui ampiezza dipende dalla velocità: sin (θme ) e αβ = ω me Λ mg (20) cos (θ me ) Le due tensioni indotte vengono stimate indirettamente dall'osservazione delle correnti (che sono le grandezze sulle quali eettivamente si può operare una retroazione tramite misura). Partendo dall'equazione v αβ = R s i αβ + sl s i αβ + e αβ (21) si può costruire un osservatore avente equazioni s î αβ = 1 L s ( v αβ R s î αβ ê αβ ) + K 1 ( i αβ î αβ ) s ê αβ = K 2 ( i αβ î αβ ) (22) (23) che è semplice discretizzare, andando a sostituire l'operatore di derivazione con un incremento (in simil-c): îα îβ ( 1 + = L s êα v α R s î α ê α ê β vβ R sîβ ê β iα î + = K α 2 i β î β iα î + K α 1 i β î β ) T s (24) T s (25) Costruendo una PLL è possibile ricavare, dalle tensioni indotte, una stima (con una certa banda passante) della posizione e della velocità. Flusso ttizio (o tensione di salienza) Se dalle equazioni della tensione o del usso si isolano tutti i termini dipendenti dalla posizione di rotore, è possibile poi inseguire tali grandezze (si parla in questi casi di tensioni indotte di salienza o di usso ttizio), e si ottiene perciò la stima di un vettore vincolato con la posizione del rotore. Un esempio di osservatore misto (usso del magnete-salienza magnetica) basato sulle grandezze fondamentali è quello in Fig.8, caratterizzato dalle equazioni R u αβ = s + sl d ω me (L d L q ) i ω me (L d L q ) R s + sl αβ + E salαβ (26) d che isola una componente di tensione che contiene informazioni (come direzione del vettore) sulla posizione del rotore: sin (θme ) e salαβ = E sal (27) cos (θ me ) 10

11 Il segnale ottenuto tramite l'osservatore con retroazione sulla corrente è una stima della tensione di salienza, che può quindi essere usata in uno schema con osservatore meccanico come in Fig. 9. Figura 8: Osservatore della tensione di salienza E sal con tramite retroazione di corrente (le grandezze sono nel riferimento di statore, anche se indicate con pedice dq.s 11

12 Figura 9: Osservatore meccanico, ê sal come ingresso. Metodi basati sulla salienza magnetica: iniezione di segnali HF In assenza di tensioni (come potrebbe accadere a velocità nulla) è necessario, al ne di ottenere informazioni sulla distribuzione dell'induttanza, generare usso per il solo scopo della stima. Leggendo le correnti si otterranno quindi informazioni sull'induttanza vista dalle fasi di statore, e da esse informazioni sulla posizione di rotore. Infatti, l'espressione dell'induttanza può essere scomposta in una matrice diagonale ed una matrice simile ad una rotazione LΣ + L L αβ = cos (2θ me ) L sin (2θ me ) (28) L sin (2θ me ) L Σ L cos (2θ me ) LΣ 0 L αβ = 0 L Σ L cos (2θ + me ) L sin (2θ me ) L sin (2θ me ) L cos (2θ me ) (29) 12

13 Figura 10: Flusso iniettato e componenti di corrente conseguenti. Perchè iniezione? Perché vengono usati dei segnali di test, per eettuare una misura della distribuzione dell'induttanza (salienza magnetica di rotore). Questi vengono sommati (sovra imposti) a quelli fondamentali (necessari al controllo di corrente per la generazione di coppia) questi metodi sono applicabili anche a velocità nulla, perché il segnale viene iniettato comunque. Per questo nello schema generale di un azionamento sensorless (Fig. ) c'è una tensione in uscita dal blocco di stima, che porta i segnali di test da iniettare. Perché ad alta frequenza? Per non generare movimento apprezzabile (l'inerzia meccanica fa da ltro passa-basso), per distinguere i segnali elettrici di test da quelli fondamentali, ed essere abbondantemente al di sopra della banda degli anelli di controllo di corrente e velocità (che altrimenti tenderebbero ad opporsi all'iniezione, vedendola come un disturbo), e per avere più banda a disposizione del segnale necessario alla stima. Può essere fatto il paragone con un sistema di telecomunicazioni in modulazione di ampiezza: tramite l'inverter si genera una portante (usso in alta frequenza), che viene modulata dalla posizione del rotore. Demodulando opportunamente il segnale modulato (correnti misurate), si ottengono informazioni sulla posizione del rotore. La scelta della frequenza del segnale da iniettare vede un trade-o tra banda (alzando la frequenza si ha a disposizione maggiore banda per il segnale utile alla stima) ed ampiezza della corrente misurata, che a parità di tensione cala proporzionalmente alla frequenza stessa (comportamento induttivo). 13

14 Vari metodi Esistono vari metodi di iniezione (INFORM, Transient excitation (zero sequence), PWM excitation,...) ne vedremo due ad iniezione sinusoidale, che possono essere considerati maggiormente promettenti dal punto di vista dell'adabilità e sono più semplici dal punto di vista teorico ed implementativo (vettore di usso rotante e usso pulsante). Vettore di tensione rotante La tecnica basata sull'iniezione di un vettore di campo rotante ad alta velocità venne presentata per la prima volta dal Prof. R.D. Lorenz e dal suo gruppo di ricerca alla University of Wisconsin (Madison) nei primi anni '90. La variazione di usso necessaria per ottenere sulle fasi di statore un segnale utile alla stima è realizzata facendo ruotare un vettore di tensione di modulo costante a velocità angolare molto elevata rispetto alla pulsazione elettrica raggiungibile dal rotore. In questo modo si hanno, nelle due fasi di statore αβ, due componenti di usso sinusoidali ad alta frequenza, che risultano essere in quadratura. Conoscendo la direzione nella quale il usso è stato generato, ed individuando dalle misure la direzione del vettore di corrente risultante si riesce a risalire al relativo sfasamento, che dà l'informazione sull'angolo di rotore. Quindi, confrontando tale angolo con quello stimato si ottiene il desiderato segnale di errore, secondo lo schema di Fig. 11. Figura 11: Schema dell'anello di retroazione per la stima con iniezione di usso rotante. Spesso ci si riferisce a questa tecnica come saliency image tracking in quanto si elaborano entrambe le componenti di corrente per calcolare il prodotto vettoriale, in modo simile a quello in cui si individua la correlazione tra immagini. Tracciando sul piano α, β le tracce delle tensioni iniettate e delle relative correnti, si può vedere che le tensioni formano un cerchio, mentre le correnti un'ellisse, il cui asse maggiore è allineato con la direzione ad induttanza minore (asse d del rotore). 14

15 Il usso che viene imposto nel riferimento si statore ha la forma λ iαβ = V i cos (ωi t) ω i sin (ω i t) (30) e può essere visto come la rotazione di un vettore di ampiezza costante alla velocità angolare ω i, ad esempio come: Vi λ iαβ = T (ω i t) ω i (31) 0 La corrente dovuta a tale usso può essere ottenuta dall'inversione della matrice delle induttanze in (13): i iαβ = L 1 αβ λ i αβ = V ( i/ω i cos (ωi t) L 2 Σ L Σ L2 sin (ω i t) + L cos (2θme ω i t) sin (2θ me ω i t) (32) Il segnale contiene due componenti ad alta frequenza, una di ampiezza costante rotante nello stesso senso del usso iniettato, l'altra, di ampiezza minore, che si muove nell'altro senso con fase legata alla posizione del rotore. Le correnti misurate, ltrate passa-banda per eliminare le componenti fondamentali estranee alla stima, vengono elaborate calcolando la trasformazione inversa ( T 2ˆθ me + ω i t π 2 attesa (vedi Fig. 12) T ), che porta il riferimento ad essere sincrono con la corrente ( 2ˆθ r + ω i t π ) i 2 iαβ = V i/ω i L Σ L 2 Σ L2 + V i/ω i L L 2 Σ L2 ) ( ) sin ( 2ω i t 2ˆθ me π ) cos 2ω i t 2ˆθ me π (θ sin 2 me ˆθ ) me cos 2 (θ me ˆθ ) (33) me con I i0 = Vi ω i T L Σ L 2 Σ L2 e I i1 = Vi ω i ( 2ˆθ me + ω i t π ) 2 L. L 2 Σ L2 ( ) i iαβ = I i0 sin ( 2ω i t 2ˆθ me π ) cos 2ω i t 2ˆθ me π +I i1 sin 2 (θ me ˆθ ) me cos 2 (θ me ˆθ ) (34) me La componente diretta ha contenuto in bassa frequenza proporzionale al seno di due volte l'errore di stima (sin 2 (θ me ˆθ ) me ), proprio delle tecniche di stima basate sulla salienza magnetica, e viene quindi usata per correggere la stima in un osservatore, come in Fig

16 Le tensioni necessarie per ottenere l'eccitazione con vettore rotante sono calcolabili dall'espressione del usso che si vuole imporre (35), per semplice derivazione: v i αβ = s λ iαβ = V i sin (ωi t) cos (ω i t) e devono essere sommate ai riferimenti di tensione generati dai regolatori di corrente, per essere attuate dall'inverter. Uno dei problemi di questo metodo è la possibile presenza di un oset di errore a regime anche a velocità nulla. Ciò si spiega con il fatto che, a dierenza di quanto detto sopra, nelle implementazioni reali la conoscenza esatta della direzione corrente del vettore di usso λ iαβ non è disponibile in quanto l'iniezione è aetta per lo meno da ritardi (dovuti all'inverter, al campionamento e ai ltraggi). Pertanto la posizione rilevata si riferisce ad un angolo di iniezione inesatto, il cui errore viene trasferito, in assenza di compensazione, alla stima di posizione. Inoltre, prove sperimentali eettuate al ne del confronto tra varie tecniche evidenziano su questo tipo di iniezione di segnale la maggiore inuenza dei tempi morti, come problema principale, assieme ad altre caratteristiche negative ma meno pesanti quali il più elevato rumore acustico. (35) Flusso pulsante Figura 12: Schema di stima per iniezione di vettore rotante. Il metodo adottato è quello proposto da Corley e Lorenz, valido per tutti i motori che presentino salienza spaziale di rotore (come appunto il motore a magneti sepolti). Esso prevede l'imposizione di un usso in direzione dell'asse ˆq stimato, la cui intensità varia sinusoidalmente ad una frequenza nota (al di sopra della banda trattata dal controllo di coppia) per poter estrarre informazioni relative alla posizione di rotore. In particolare, come risultato dell'iniezione, è possibile 16

17 recuperare un segnale nel riferimento di rotore che, per piccoli errori di stima dell'angolo di rotore, è in prima approssimazione proporzionale ad esso. In questo modo, costruendo un anello di retroazione come in Fig. 13, è possibile correggere la stima risultante da un osservatore, ossia costruire un algoritmo che, impiegando un regolatore per processare l'errore, tenda ad inseguire l'angolo (ed implicitamente la velocità angolare) del motore. Figura 13: Schema dell'anello di retroazione per la stima con iniezione di usso pulsante in direzione ˆq. Iniettando lungo la direzione ˆq (in quadratura rispetto a quella stimata ˆd ) un campo di intensità variabile sinusoidalmente nel tempo λi ˆd = V i 0 sin (ω i t) (36) ω i 1 λ iˆq con V i opportuno valore di tensione, e ω i sucientemente alta da rispettare le ipotesi in, si ottiene, trasformando nel riferimento di statore, ) λiα (ˆθme = V i sin (ω λ i t) cos ) (37) iβ ω i sin (ˆθme Secondo il modello semplicato per l'alta frequenza (13), i ussi sono in relazione con le correnti solamente tramite l'induttanza L αβ : λ iαβ = L αβ i iαβ (38) 17

18 Sostituendo il usso imposto in (36) ed invertendo l'ultima equazione si ricavano le correnti di statore dovute all'iniezione in alta frequenza: iiα V i L sin (2θ me = i iβ L 2 Σ sin (ω i t) ˆθ ) ) me L Σ sin (ˆθme L2 L Σ L cos (2θ me ˆθ ) ) me + L Σ cos (ˆθme (39) Nel riferimento sincrono stimato (solidale con la direzione stimata), tali correnti diventano ii ) ˆd = T αβ ˆdˆq i iαβ = T ( ˆθ me i iαβ (40) ii ˆd i iˆq i iˆq V i = ω i (L 2 Σ L2 ) sin (ω it) che, denendo I i0 = Vi ω i ii ˆd i iˆq L Σ L 2 Σ L2 e I i1 = Vi ω i L sin 2 (θ me ˆθ ) me L Σ L cos 2 (θ me ˆθ ) me L L 2 Σ L2 = sin (ω i t) I i0 I i1 cos I i1 sin 2 (θ me ˆθ ) me (41) possono essere espresse come 2 (θ me ˆθ ) me (42) La componente diretta della corrente ad alta frequenza è modulata in ampiezza dal seno del doppio dell'errore di stima. Sapendo che il seno, per piccoli valori dell'argomento, è approssimabile con quest'ultimo, si può aermare che la corrente i i ˆd, opportunamente demodulata per eliminare la variazione sinusoidale (sin (ω i t) ) può essere considerata un segnale di errore valido per un osservatore di stato (del tipo di Luenberger) per posizione e velocità del rotore. Lo stimatore, nella sua forma classica più semplice, ha la struttura di Fig. 14, dove si riconosce l'osservatore vero e proprio (a destra) e l'elaborazione delle correnti per l'ottenimento del segnale di errore. Le correnti, dopo un ltraggio passa-banda per distinguerle dalle fondamentali, vengono demodulate tramite un mixer, con la tecnica detta heterodyning. Tale operazione risulta in un segnale in alta frequenza, che viene ltrato, e in una componente proporzionale al seno di due volte l'errore di stima. 18

19 Figura 14: Schema di stima classico (demodulazione heterodyning) per iniezione di vettore pulsante. Riferendosi ancora alle equazioni semplicate, ed in particolare a (12), si conoscono le espressioni delle tensioni indotte dai ussi deniti in (36): vi ˆd s ˆω = me λdi (43) s v iˆq ˆω me Per ottenere il usso λ i ˆdˆq voluto, quindi, le tensioni necessarie saranno vi ˆd s ˆω = me Vi 0 ω i sin (ω ˆω me s i t) = V ˆω me sin (ω i t) ω i 1 i cos (ω i t) v iˆq Si adotteranno quindi le tensioni v i ˆd ω i = V ˆω me sin (ω i t) i cos (ω i t) v iˆq che, una volta riportate nel riferimento αβ, saranno imposte come riferimento per l'inverter, sommate alle tensioni fondamentali. A causa del ritardo presente nella catena di iniezione-misura che costituisce la retroazione dell'errore di stima (dovuto principalmente all'implementazione digitale ed al ritardo con cui l'inverter attua le tensioni di riferimento), come nel caso dell'iniezione di usso rotante si ha un errore statico, in questa tecnica si evidenzia un errore proporzionale alla velocità. Tale errore scaturisce dal fatto che, in sostanza, si va a confrontare l'angolo stimato attualmente con quello iniettato in un istante precedente. É comunque possibile inserire una compensazione lineare, adottando il segnale di velocità stimata ed una taratura sperimentale per il ritardo. Questa compensazione deve naturalmente essere attuata al di fuori dell'anello di retroazione della stima, al solo ne di fornire un valore maggiormente preciso per il controllo di corrente. Riconoscimento iniziale della polarità λ qi (44) (45) Si può osservare che, guardando al modello ideale, le tecniche basate sulla salienza magnetica non permettono di individuare il verso degli assi. Infatti, nelle 19

20 tecniche ad iniezione di segnale l'informazione ricavata è una funzione sinusoidale di 2θ me, quindi il regolatore può trovarsi a regime in due punti di equilibrio ugualmente stabili (errore di posizione θ me ˆθ me pari a 0 o π), oltre alla periodicità elettrica nel singolo periodo meccanico. Le possibilità, sicamente, di ottenere informazioni sulla polarità a rotore fermo sono legate alla saturazione dovuta al usso del magnete: con una corrente positiva sull'asse saturato la corrente satura ancor di più il ferro, viceversa con una corrente negativa. La dierenza di comportamento viene misurata tramite: Iniezione di impulsi di tensione costante e durata ssata sulle tre fasi, e misura della variazione di corrente conseguente. Nella direzione del magnete, con verso concorde le fasi di statore vedono induttanza inferiore rispetto al verso opposto, quindi maggiore corrente a parità di usso ( Λ = V T, Λ = L I) Iniezione sinusoidale e inseguimento della 2^ armonica ad alta frequenza, dovuta appunto alla non linearità del fenomeno di saturazione (applicabile facilmente insieme alla stima). La realizzabilità di queste tecniche, pur basate su eetti del secondo ordine (e quindi su segnali relativamente piccoli) viene dal fatto che possono essere applicate a rotore fermo e fuori dal controllo di coppia (quindi mediando su più misure o ltrando maggiormente), come inizializzazione, sfruttando poi una delle altre tecniche di stima per mantenere l'inseguimento. N.B. : Con rotore quasi fermo è possibile usare l'iniezione di corrente in varie forme (sinusoidale, impulsiva,...) per misurare uno spostamento tramite una tecnica di stima. 20

21 Tabella riassuntiva + : vantaggio, - : svantaggio, o : indierente Grandezze fondamentali - Applicabile solo per velocità sucientemente alta (per l'avviamento si impone un vettore di corrente che viene fatto ruotare velocità crescente a partire da zero, in open-loop, in modo da essere inseguito dal rotore) + Applicabile a quasi tutti i tipi di motore + Esistono versioni semplici da implementare (come l'open-loop con LPF invece che integratore), collaudate anche industrialmente + Buona precisione a regime (con segnali poco rumorosi), soprattutto ad alta velocità (i segnali misurati, essendo quelli fondamentali, hanno buona ampiezza) + Non necessita di segnali ulteriori rispetto al controllo usuale - Forte dipendenza dai parametri + Riconoscimento automatico della polarità del magnete Iniezione HF + Applicabile anche a rotore fermo o Applicabile in via di principio solo a motori con rotore anisotropo (IPM, REL), ma è stata usata con successo su SM-PMSM e IM grazie alla salienza causata da saturazione (che però è un eetto del secondo ordine, dicilmente modellabile e inoltre dipendente dalla corrente) - Nonostante non sia particolarmente complicata, è poco utilizzata in ambito industriale (forse per l'ancora scarsa diusione degli IPM) 1 - Ad alta velocità peggiora la stima (l'ampiezza dei segnali utili è costante, quella dei disturbi aumenta), ad alto carico intervengono fenomeni di saturazione che introducono errori di posizione. - Deve essere riservata una quota della tensione e della corrente per i segnali di test, che dissipano inoltre una piccola potenza. In alcuni casi si genera rumore acustico fastidioso + Buona robustezza rispetto alle variazioni dei parametri. In particolare ottenere una stima iniziale a rotore fermo non richiede un complesso tuning dei guadagni dell'osservatore. Sore di dipendenza dalla saturazione - Esistono tecniche per il riconoscimento della polarità grazie all'iniezione, ma sono basate sulla saturazione e quindi su fenomeni del secondo ordine

22 Lyx (What You See Is What You Mean)