La struttura nucleare dell atomo

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1 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza Lezione 1 La struttura nucleare dell atomo

2 L esperimento di Rutherford J.J. Thomsons aveva estratto dall atomo particelle cariche negativamente. Essendo neutro, l atomo doveva contenere delle cariche positive. Si pone il problema di come queste siano distribuite. L esperimento di Rutherford e collaboratori del 1910 dimostrò che la carica positiva è concentrata in un nucleo (puntiforme entro la risoluzione dell esperimento) Introdurremo il concetto di sezione d urto e la trattazione quantistica del processo di scattering. A. Andreazza - a.a. 015/16

3 L esperimento di Rutherford Nel 1910 due assistenti di Rutherford, H. Geiger e E. Marsden, iniziarono sotto la direzione di Rutherford, una serie di esperimenti a Manchester. Con questi esperimenti fu misurata la sezione d urto di diffusione delle particelle α da parte degli atomi del bersaglio. L osservazione che destò l interesse di Rutherford fu la relativa abbondanza di particelle α diffuse a grande angolo. 3 A. Andreazza - a.a. 015/16

4 Urto non relativistico tra due particelle Conservazione del momento v o = v α + m t m α vt m α vo = m α vα + m t vt v o = v α + m t m v t + m t vt v α m α α v o vα v t Conservazione dell energia cinetica 1 m αv o = 1 m αv α + 1 m tv t m v v v t o = a + t ma v m + = v v t = m t v m t + v t v α + m t m v t + m t vt v α α m α α α t a vt ma v t " 1 m t m α ' = v & t v α 4 A. Andreazza - a.a. 015/16

5 Urto non relativistico tra due particelle In base alla relazione v t " 1 m t m α ' = v & t v α Se m t <m α m t m a 1- > 0 v t v α > 0 le due particelle escono nella stessa direzione Se m t >m α m t m a 1- < 0 v t v α < 0 le due particelle tendono a uscire in direzioni opposte 5 A. Andreazza - a.a. 015/16

6 L esperimento di Rutherford Nel modello di Thomson dell atomo + - Sappiamo che l elettrone è molto leggero (misura e/m) Se l urto fosse con l elettrone m t m α 10 4 vo = v α + m t m α vt v α La particelle α non sarebbe apprezzabilmente deviata dall elettrone Si può verificare che neppure la carica positiva uniformemente distribuita sulle dimensioni dell atomo deflette apprezzabilmente la particella α 6 A. Andreazza - a.a. 015/16

7 L esperimento di Rutherford Supponiamo che l atomo abbia un nucleo molto piccolo ma molto pesante ad esempio se consideriamo l oro (A=197, m t ~ 10 5 MeV) v t " 1 m t m α ' = v & t v α v " t 1 m t m α ' = v & t v α cosθ v t v α m t m α 50 Inoltre v o = v α + m t m α v t v t m α m t v t v α v α + m t m α " m α ' m t & v α v t m α m t v α = v α + 4 m α m t v α v α Pertanto il momento del nucleo dopo l urto è 1 m t m α m t m α v o v α v t m α m t v α m t v t m α v α m t v t m α v o Significa che la particella α può addirittura rinculare indietro m α vo m α v o m t v t m α v o 7 A. Andreazza - a.a. 015/16

8 L esperimento di Rutherford L esperimento consiste nella misura del numero di particelle α deviate in funzione dell angolo di deflessione: dω È necessario determinare quantitativamente: la probabilità che una particelle α venga deflessa in un certo angolo solido il tasso di eventi effettivamente atteso concetto di sezione d urto 8 A. Andreazza - a.a. 015/16

9 Scattering coulombiano Fino a questo punto abbiamo fatto dei ragionamenti qualitativi Si può fare un calcolo quantitativo con interazione fra la particella α e il nucleo di tipo Coulombiano b = parametro d impatto b m α vo La traiettoria è un ramo di un iperbole χ ο Ci sono due costanti del moto r χ r o θ z V ( r ) = 1 ZZ α e 4πε o r θ = angolo di scattering L energia totale:il campo è conservativo E 1 m αv o = 1 Utilizziamo le coordinate polari r e χ m αv +U ( r ) Le coordinate del punto di massimo Il momento angolare: la forza è avvicinamento sono r o e χ o diretta lungo r e ha momento nullo L = r m v r F vogliamo trovare la relazione fra b e θ = 0 9 A. Andreazza - a.a. 015/16

10 Scattering Coulombiano m α v o b r χ χ ο Un calcolo lungo ma non difficile permette di ottenere per i calcoli può essere comodo introdurre il raggio classico dell elettrone r e = m θ z r e = e 4πε o m e c b = 1 4πε o ZZ α e E cotθ b = m ec E ZZ α r e cot θ oppure la costante di struttura fine α = α = e 4πε o c b = ZZ α c E α cotθ c = MeVfm 1fm = m 10 A. Andreazza - a.a. 015/16

11 Sezione d urto di Rutherford Dalla relazione tra parametro di impatto e angolo di deflessione: b = ZZ α c E α cotθ ricaviamo la relazione differenziale: db = ZZ α c Le particelle α che vengono diffuse tra un angolo θ e θ+dθ sono quelle che passano in un area: dσ = πbdb = π ZZ α c " E α & " 1 cosθ sin 3 θ E α " 1 &dθ 1 sin θ 'dθ & 11 A. Andreazza - a.a. 015/16

12 Interludio: angolo solido L angolo solido in steradianti (sr) è l area sottesa sulla superficie sferica di raggio unitario. In analogia all angolo in radianti (rad) che è l arco sotteso sulla circonferenza di raggio unitario. Il differenziale dω è dato da: dω = sinθdϕdθ = dϕ d cosθ = sinθ cosθ dϕ dθ a volte si sottintende l integrazione su φ: dω = π sinθdθ Come ci si aspetta: π π π dω = dϕ dθ sinθ = π dθ sinθ 0 1 = π dcosθ = 4π θ θ =sinθdφdθ 1 A. Andreazza - a.a. 015/16

13 Sezione d urto di Rutherford Possiamo quindi costruire una relazione tra l angolo solido in cui le particelle α vengono diffuse e l area in cui sono passate: b = ZZ α c E α cotθ bdϕdb = ZZ α c " E α & db = ZZ α c E α " 1 1 sin θ 1 cosθ " sin 3 &dϕdθ θ 'dθ & dσ 1 cosθ sin 3 θ dϕdθ = 1 cosθ sinθ 4 sin 4 dϕdθ θ = 1 4 = 1 4 sinθ sin 4 θ dϕdθ 1 sin 4 θ dω 13 A. Andreazza - a.a. 015/16

14 Sezione d urto di Rutherford Possiamo quindi dare l espressione per la sezione d urto differenziale dello scattering Coulombiano: dσ dω = " ZZ α 4 c E α ' & 1 sin 4 θ Qual è il significato di questa relazione? Come possiamo collegarla a qualcosa di osservabile? 14 A. Andreazza - a.a. 015/16

15 Sezione d urto Supponiamo di avere un fascio di n o particelle per unità di area incidenti su un atomo: Il numero di particelle diffuse in un angolo solido dω sono quelle che entrano nell area corrispondente: Se il fascio incide su N T atomi: dσ dn( θ ) = n o dσ = n o dσ dn( θ ) = n o N T dω dω In un caso realistico un fascio di N o particelle di sezione S incide su un bersaglio di spessore dz con n T atomi per unità di volume: n o = N o S N T = n T dzs Il numero totale di particelle deflesse nell angolo solido dω sarà: dn( θ ) = N o S n TdzS dσ dω dω dω dω = N o n T dz dσ dω dω Indipendente da S 15 A. Andreazza - a.a. 015/16

16 Sezione d urto Quest ultimo risultato ha una valenza molto più generale: In esperimenti di scattering abbiano accesso solo a stati asintotici: parametri (intensità, quantità di moto...) del fascio incidente parametri (angolo di deflessione, quantità di moto...) delle particelle diffuse entrambi misurati a grandi distanze dalla regione di interazione. Il processo di diffusione viene descritto dal fattore dσ/dω, che ha le dimensioni di una superficie. è una quantità misurabile può essere calcolato a partire da modelli microscopici...anche quando l interpretazione classica che abbiamo usato perde di significato. 16 A. Andreazza - a.a. 015/16

17 Sezione d urto Consideriamo: un bersaglio di spessore dz e densità n T (bersagli per unità di volume) un fascio di particelle di area S l intensità del fascio è il numero di particelle incidenti per unità di tempo I o (particelle/s) Il numero N T di particelle del bersaglio colpite dal fascio è N T = n T V = n T Sdz Il numero di interazioni al secondo dn/dt è proporzionale a: numero di particelle incidenti al secondo I o numero di particelle del bersaglio N T La costante di proporzionalità è definita dal rapporto fra una superficie σ, detta sezione d urto, e l area del fascio S dn dt = I on T Sdz σ S dn dt = I on T dzσ I o S n T = ρ A N A dz dn dt = I σ on T S 17 A. Andreazza - a.a. 015/16

18 Assorbimento e lunghezza di interazione Il tasso di particelle diffuse si traduce in una diminuzione dell intensità I del fascio: dn di I ( z ) = n Tσ dz dt = di = In Tdzσ fascio Se la diminuzione del numero di particelle nel fascio non è trascurabile, l intensità varia con la profondità secondo la legge: 0 L dz z I ( z ) = I 0 e n Tσ z = I 0 e µz dove µ=n T σ prende il nome di coefficiente di assorbimento. Analogamente si può introdurre la lunghezza d interazione (detta anche libero cammino medio) λ = 1 µ = 1 n T σ I ( z ) = I 0 e z λ 18 A. Andreazza - a.a. 015/16

19 Assorbimento e lunghezza di interazione Se lo spessore z è piccolo (z λ): il fascio uscente è ridotto in intensità di un fattore 1-z/λ la probabilità di scattering di un particella del fascio è z λ = n T zσ prodotto della densità superficiale n T z per la sezione d urto σ La densità di centri di scattering dipende dalla densità del materiale: n T = ρ A N A spesso si esprime λ normalizzata per la densità: λ = 1 n T σ = A ρn A σ λρ ( ) = A N A σ dipende dal materiale, ma non dallo stato dello stesso ha le dimensioni di una densità superficiale. 19 A. Andreazza - a.a. 015/16

20 Misura della sezione d urto Supponiamo di potere considerare il bersaglio sottile (condizione che si verifica molto frequentemente) E ciò è equivalente alla condizione n T dzσ 1 in queste condizioni per una ben definita condizione sperimentale 0 ad es. una fissata energia del fascio, una fissata accettanza angolare ΔΩ il numero N o di particelle del fascio è misurato con un rivelatore monitor il numero di interazioni n è misurato con il rivelatore inoltre sono ovviamente conosciuti lo spessore del bersaglio dz la densita n T di atomi/nuclei bersaglio (target) ρ è la densità, A il numero di massa atomico e N A il numero di Avogadro La sezione d'urto allora è dσ dω = 1 1 ΔΩ n T dz n T = ρ A N A se gli errori su tutte le grandezze sono trascurabili escluso l'errore statistico su n, l'errore statistico sulla sezione d'urto è n N o rivelatore Δσ σ = n n = 1 n monitor N.B.: ΔΩ = area rivelatore/distanza A. Andreazza - a.a. 015/16 θ

21 Scattering quantistico (cenni) Nella meccanica quantistica un urto viene descritto nel modo seguente: Una particella (pacchetto d onda) propaga senza interagire Si avvicina ad un bersaglio Potenziale a corto range Interagisce Nello stato finale possiamo avere La particella non ha interagito Un pacchetto che propaga senza interagire nella stessa direzione della particella incidente La particella ha interagito Un pacchetto che propaga in una direzione differente 1 A. Andreazza - a.a. 015/16

22 Scattering quantistico (cenni) La probabilità di transizione da uno stato iniziale i, ad uno stato finale f, causata dall interazione con un potenziale V, è descritta dalla regola d oro di Fermi: P = π f V i ρ ( E f ) Dove compaiono: l elemento di matrice f V i = drψ * f ( r )V ( r )ψ i r ( ) la densità di stati finali: (spazio delle fasi) ρ ( E f ) Come funzioni d onda possiamo prendere quelle di una particella libera: p ψ ( r ) e ip r i = m α v o ( ) p f = m α v o sinθ cosϕ sinθ sinϕ cosθ ( ) A. Andreazza - a.a. 015/16

23 Scattering quantistico (cenni) La sezione d urto sarà proporzionale alla probabilità di transizione: L elemento di matrice: dσ dω P f V i f V i = drψ * f ( r )V ( r )ψ i ( r ) = dre p f r ZZ α e 4πε 0 r e = ZZ αe 4πε 0 i i p i r dr 1 r e i ( p i p f ) r = ZZ αe 4πε 0 dr 1 r e i q r dove abbiamo introdotto il momento trasferito q=p i -p f ( ) q = m α v o sinθ cosϕ sinθ sinϕ 1 cosθ q = m α v o ( 1 cosθ ) = m α v o 4sin θ = 8m α E sin θ 3 A. Andreazza - a.a. 015/16

24 Scattering quantistico (cenni) Per calcolare l integrale, usiamo le formule: dxe αx = 1 α e αx 1 e αx & x 1 x L elemento di matrice diventa: per svolgere l integrale, possiamo scegliere liberamente l asse z usiamolo diretto lungo q: = ZZ αe 4πε 0 4π q f V i ZZ αe 4πε 0 Otteniamo la stessa relazione del caso classico i + dxe αx 0 dr 1 r e = 1 α i q r = ZZ αe dϕ dcosθ drr 1 qr cosθ 4πε 0 r e = π ZZ αe + 1 dr dcosθ re 4πε i qr cosθ = π ZZ αe drr i + " ( ' e 4πε 0 iqr & qr e i * qr + - = π ZZ αe " ( ' 0 ), 4πε 0 iq & iq " + ' )* iq &,- 4 A. Andreazza - a.a. 015/16

25 Sezione d urto di Rutherford La sezione d urto totale si può ricavare da quella differenziale per integrazione: π π σ = dϕ sinθ dθ dσ 0 0 dω Nel caso dello scattering Coulombiano è facile rendersi conto che l integrale non è convergente per piccoli angoli: σ = π " ZZ α c 4 E α & π 0 sinθ dθ sin 4 θ = 8π ZZ α c " 4 E α & Effetto del grande range delle forze elettromagnetiche: per quanto grande sia b, c è sempre almeno una piccola deviazione. In realtà per b maggiore della dimensione atomica, gli elettroni schermano completamente la carica nucleare. L effetto di schermo si inizia a sentire già a partire dagli orbitali più interni. La formula per la sezione d urto escludendo un piccolo angolo: σ ( θ > θ 1 ) = 4π ZZ α c " 4 E α ( 1 & * ) sin θ , 1 0 d ( sinθ ) sin 3 θ 5 A. Andreazza - a.a. 015/16

26 Interludio: Nobel per la Fisica A. Andreazza - a.a. 015/16

27 Interludio: Nobel per la Fisica 015 Neutrini interagiscono solo debolmente: hanno sezioni d urto molto piccole: σ ν N s = energia nel centro di massa νn ad alte energie G F s = G F m N E ν = GeV 3 E ν e moltiplicando per (ħc) /π: σ = O( GeV 1 E ν ) ( ) = O G F " s π (c) & Usando la sezione d urto: σ ( ν N) = cm /GeVE ν cm / GeV) ANL, PRD 19, 51 (1979) ArgoNeuT, PRL 108, (01) BEBC, ZP C, 187 (1979) BNL, PRD 5, 617 (198) CCFR (1997 Seligman Thesis) CDHS, ZP C35, 443 (1987) GGM-SPS, PL 104B, 35 (1981) GGM-PS, PL 84B (1979) IHEP-ITEP, SJNP 30, 57 (1979) IHEP-JINR, ZP C70, 39 (1996) MINOS, PRD 81, 0700 (010) NOMAD, PLB 660, 19 (008) NuTeV, PRD 74, (006) SciBooNE, PRD 83, (011) SKAT, PL 81B, 55 (1979) TK, PRD 87, (013) Calcolare il libero cammino medio di un neutrino da 1 GeV in Fe. -38 σ CC / E ν ( N µ ν µ X 0. ν µ N µ + X E ν (GeV) 7 A. Andreazza - a.a. 015/16

28 Ripasso di relatività ristretta Nomenclatura fattori relativistici 8 tetravettori: metrica β = v c 0 < β <1 γ = " 1 ' intervallo: x = c t x y z g µν = 1 ' 1 ' massa invariante: p = E p x c p y c p z c 1 ' & boost : trasformazione in un sistema di riferimento che si muove a velocità β rispetto a quello in cui sono definite le variabili x µ = Λ µ ν x ν p µ = Λ µ ν p ν Λ µ ν = 1 1 β γ >1 x µ = ( ct x y z ) p µ = ( E p x c p y c p z c ) γ 0 0 γβ & ( ( ( γβ 0 0 γ '( A. Andreazza - a.a. 015/16

29 Ripasso di relatività ristretta Energia, massa, momento consideriamo una particella in quiete: Sistema del centro di massa ( ) p µ = Mc e facciamo un boost in un sistema di riferimento in cui si muove a velocità β: p µ = ( γmc 0 0 γβmc ) E = γmc γ = E Mc p = γβmc γβ = p Mc p = ( Mc ) ( γ γ β ) = ( Mc ) γ ( 1 β ) = ( ) 1 ( Mc 1 β 1 β ) = ( Mc ) se abbiamo diverse particelle, possiamo calcolare il momento totale: " s = P = massa del sistema P µ = E i p i c ' ' γ CM = E i s β CM = p i c i i & i i i β = pc E E i 9 A. Andreazza - a.a. 015/16

30 Scattering relativistico Consideriamo una particella di massa m 1 e energia E 1 che incide su una particelle m a riposo: I tetramomenti delle particelle sono: " p 1 = E p 1,0 = E 1 m 1 ' & Il sistema del centro di massa ha tetramomento: p CM = E 1 + m 0 0 p 1,0 Verifica di consistenza p = ( m ) ( ) s = m 1 + m E 1 + m β CM = 1 β CM p 1,0 γ CM = E + m 1 E 1 + m s p =1 1,0 (E 1 + m ) = (E 1 + m ) (E 1 m 1 ) = m + m E 1 + m 1 = 1 (E 1 + m ) (E 1 + m ) γ CM N.B.: variabili con * sono valutate nel sistema del centro di massa. * p CM ( ) = s = γ CM E 1 + m β CM p 1,0 0 0 p 1,0 β CM (E 1 + m ) " & I tetramomenti nel sistema del centro di massa sono: p * 1 = γ ( CM E 1 β CM p 1,0 0 0 p 1,0 β CM E ) 1 p * = ( γ CM m 0 0 γ CM β CM m ) = 1 s ( ) = 1 E 1 m + m m p 1,0 s ( (E 1 + m )m 0 0 p 0,1 m ) 30 A. Andreazza - a.a. 015/16

31 Scattering relativistico Dopo l urto, nel sistema del centro di massa le particelle si allontaneranno con stessa energia e momento, ma deflesse di un angolo θ * : I tetramomenti delle particelle sono: p 1 * = 1 ( E 1 m + m 1 m p 1,0 sinθ * 0 m p 1,0 cosθ * ) s ( (E 1 + m )m p 0,1 m sinθ * 0 p 0,1 m cosθ * ) p * = 1 s Ritornando nel sistema del laboratorio: p 1 = 1 s = " & ( ' ( ) γ CM " E 1 m + m 1 + β CM m p 1,0 cosθ * m p 1,0 sinθ * 0 γ " CM m p 1,0 cosθ * + β CM E 1 m + m 1 ( E 1 + m )(E 1 m + m 1 )+ m p 0,1 cosθ * s ( " = E 1 1 m p * 0,1 1 cosθ * * se ) 1 ( ) ' & m p 1,0 s sinθ * 0 m p 1,0 " ( sinθ * 0 p 1,0 1 E + m 1 )m s s ( E 1 + m )m p 1,0 cosθ * + p 1,0 ( E 1 m + m 1 ) s ( 1 cosθ * )' & + - -, ) + * & & Riflessione indietro solo se m 1 <m 31 A. Andreazza - a.a. 015/16

32 Scattering relativistico Dopo l urto, nel sistema del centro di massa le particelle si allontaneranno con stessa energia e momento, ma deflesse di un angolo θ * : I tetramomenti delle particelle sono: p 1 * = 1 ( E 1 m + m 1 m p 1,0 sinθ * 0 m p 1,0 cosθ * ) s p * = 1 s ( (E 1 + m )m p 0,1 m sinθ * 0 p 0,1 m cosθ * ) Ritornando nel sistema del laboratorio: p = 1 s " = ' ) ( ( ) γ CM E 1 m + m β CM m p 1,0 cosθ * & m p 1,0 sinθ * 0 γ CM m p 1,0 cosθ * + β CM E 1 m + m ( E 1 + m )(E 1 m + m ) m p 0,1 cosθ * s ( " = m 1+ p * 0,1 * s ) ( 1 cosθ * )' m p 1,0 & s m p 1,0 s sinθ * 0 ( E sinθ * 0 p 1 + m )m 1,0 s ( E 1 + m )m p 1,0 cosθ * + p 1,0 ( E 1 m + m ) s ( 1 cosθ * ) + - -, & *, + ' ' & 3 A. Andreazza - a.a. 015/16

33 Scattering relativistico La massima energia cinetica T max persa dalla particella incidente con energia cinetica T 1 =E 1 -m 1 è: T max = m p m " ( m 1 +T 1 ) m 1 0,1 = m " E 1 m 1 m = = T m 1 +T 1 s m m 1 + m 1 + m + E 1 m 1 + m 1 m + T 1 m m 1 + m ( ) ( ) + T 1 m casi particolari: fotone incidente: m 1 =0 E T max = E γ γ m + E γ m 1 =m T max = T 1 Osservazione In tutte questa derivazione abbiamo usato m invece mc, p invece di pc. D ora in poi frequentemente misureremo masse, momenti ed energie in unità di energia: Conversione implicita usando le opportune potenze di c. Bisogna ricordarsi di effetture la conversione quando ci si confronta con altre unità di misura. 33 A. Andreazza - a.a. 015/16

34 La scoperta del neutrone Dopo la scoperta del nucleo atomico, ci si pone il problema della sua composizione: Masse dei nuclei circa multiple della massa del nucleo di idrogeno Cariche dei nuclei multiple della carica elementare Il protone p: m p = MeV/c = kg Q p = +e = C Ma m Nucleo /m p > Z non può essere composto da soli p l ipotesi che il nucleo contenga e per neutralizzare parte dei p non regge: una particella confinata nel nucleo deve avere un momento: ΔxΔp Δp Δx Δx 1fm Δp 00MeV / c per un e, l energia cinetica sarebbe: T = E m e c = p c + m e c 4 m e c pc Molto maggiore delle energie dei fenomeni nucleari N.B.: funziona per il p: p c + m p c 4 m p c = 1MeV 34 A. Andreazza - a.a. 015/16

35 La scoperta del neutrone Nelle interazioni α-be viene osservata la produzione di radiazione: neutra in grado di trasferire >5 MeV di energia cinetica ai protoni. In esperimenti con diversi tipi di bersaglio Chadwick dimostra che si tratta di radiazione particellare, con massa simile a quella del protone. Il neutrone n: m n = MeV/c Q n = 0 35 A. Andreazza - a.a. 015/16

36 La scoperta del neutrone La chiave della misura è l alto momento trasferito da questa radiazione a nuclei atomici. La massima energia cinetica T max trasferita dalla particella incidente con energia cinetica T 1 =E 1 -m 1 è: ( ) m T max = T m 1 +T 1 1 m 1 + m ( ) + T 1 m Curie e Joliot osservano un energia di rinculo dei p di ~5 MeV: Se fosse radiazione γ: m 1 =0, m ~1 GeV E T max = E γ E γ 5 MeV = γ E γ 50MeV m + E γ 1 GeV + E γ Chadwick verifica l andamento atteso usando altri nuclei Ad esempio su 14 N, m ~14 GeV, per fotoni ci si aspetterebbe: 50 MeV T max 50MeV 14 GeV + 50 MeV = 350keV Il valore osservato è molto maggiore ~1 MeV. L osservazione di Curie-Joliot si spiega con: m n m p T max T n Grande per una reazione nucleare. Compatibile con l energia disponibile nella reazione 4 He+ 9 Be 1 C+n 36 A. Andreazza - a.a. 015/16

37 Il neutrone Massa m n = ± MeV m n -m P = ± MeV Vita media τ n = ± 1.1 s Decadimento n p + e +ν e ν e : particella neutra interagisce solo debolmente massa trascurabile (<1 ev) 37 A. Andreazza - a.a. 015/16