Lezione 7 Collisioni tra particelle e loro effetti

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1 Lezione 7 Collisioni tra particelle e loro effetti G. Bosia Universita di Torino 1

2 Processi collisionali Le collisioni tra particelle sono i meccanismi che danno origine ai processi di diffusione e di trasporto di particelle ed energia nel plasma. Sono inoltre responsabili per la resistività macroscopica del plasma. L analisi di questi processi e complessa perché gli effetti macroscopici sono il risultato integrato di diversi tipi di collisione fra particelle di velocità e masse diverse, che incidono a angoli diversi delle collisioni In un plasma coesistono due o più specie di particelle ionizzate (elettroni e vari tipi di ioni che possono interagire con collisioni a lungo range (lunghezza di scala : λ D = (T/n) 1/2 cm -3 ) elastiche, come le collisioni columbiane e-e, e-i, i-i. o anelastiche (scambio di carica, ricombinazione-ionizzazione, (lunghezza di scala: raggio di Bohr : a 0 ~ cm), reazioni nucleari (lunghezza di scala : cm). L incidenza sui fenomeni macroscopici dipende dalle sezioni d urto dei vari processi. I processi collisioni Coulumbiani (scattering Rutherford) sono i meccanismi a piu alta sezione d urto in plasmi termonucleari e saranno pertanto presi in considerazione.in questa lezione. 2

3 Scattering Rutherford Il processo di scattering Rutherford tra una particella di massa m 1 e carica Z 1 e ed una particella di massa m 2 e carica Z 2 e studiata imponendo la conservazione di energia ed impulso durante la collisione. Richiamiamo le formule fondamentali: Il moto nel sistema di riferimento del centro di massa delle due particelle che collidono puo essere rappresentato da quella di una particella fittizia di massa ( ridotta ) (VII-1) µ m 1 m 2 m 1 + m2 v m.1 v.1 + m.2 v.2 m.1 + m.2 Z 1 Z 2 e 2 b 0 µ v 2 in moto nel campo di forze. Se il campo di forza e columbiano F( r) ~ r --2, la traiettoria e iperbolica con direzione asintotica (VII-2) tan θ 2 b 0 ( v ) Dove b e il parametro d urto e b 0 il parametro corrispondente ad un impatto a 90 b con q.1 q.2 b.0 4 π ε.0 1 µ v 2 3

4 Scattering Rutherford Le particelle che incidono con un parametro d urto b - b+db sono deflesse ad un angolo θ θ+dθ, ovvero nell angolo solido dω = 2π sin(θ) dθ. Pertanto la sezione d urto differenziale relativa alla diffusione nell angolo θ, dσ sara : (VII- 3) dσ =2πbdb =2πb(db/dθ) db Se si introduce la sezione d urto di diffusione per unita di angolo solido (VII- 4) σ = (dσ/dω) = (b db/dθ )/sin(θ) Si arriva alla sezione d urto di diffusione (VII- 5) σ b sin θ 2 4 q 1 q 2 8 π ε 0 µ v 2 sin θ Geometria di scattering che Rutherford utilizzò per dimostrare la struttura orbtale dell atomo di H. 4

5 Effetti delle collisioni Note : 1) La forte dipendenza da θ della sezione d urto fa prevedere che, nel nostro caso di collisioni multiple, l effetto dello scattering a piccoli angoli sia molto piu importante di quelli di scattering a grandi angoli. 2) σ cresce come v 4. Dato che le collisioni che avvengono per unita di tempo e proporzionale a <vσ>, e prevedibile che gli effetti collisionali diminuiscano all aumentare della temperatura. A parità di densità in un plasma di alta temperatura ci sono meno collisioni. Questo effetto ha conseguenze pratiche importanti. 3) Se fissiamo v e θ, σ decresce all aumentare del parametro di collisione b. Pertanto dovremo attenderci che per collisioni con b > λ D non vi sia una significativa interazione collisionale tra particelle. 4) Il parametro b 0 e assunto come lunghezza di scala di avvicinamento tra le particelle che collidono e dipende dal tipo di particelle che urtano. Per una collisione elettroneprotone µ ~ m e, b 0 ~ e 2 /m e v 2, e σ 90 ~ π b 0 = π e 2 /m e v 2 Pertanto in un plasma di protoni ed elettroni avvengono tre tipi di collisione con parametri d urto diverse: ione ione, elettrone-elettrone, elettrone-ione, ione-elettrone) 5

6 Effetti delle collisioni 6) In un plasma completamente ionizzato lo scattering a 90 in seguito ad urto singolo e molto meno probabile di una deflessione finale a 90 gradi dovuta ad una successione stocastica di deflessioni a piccoli angoli, perché il raggio di interazione effettivo di una singola carica e ~ λ D e per plasmi a temperature di interesse termo nucleare e λ D >> b 0. La maggior parte degli eventi di diffusione avviene pertanto ad angoli << 90 6

7 Collisioni multiple Valutiamo, sulla base dei risultati ottenuti, gli effetti di collisioni multiple in un plasma completamente ionizzato Dalle 2) per piccoli angoli: 2 b.0 q.1 q.2 θ (VII- 6) b 2 π ε.0 b µ v 2 In un processo stocastico di collisioni multiple, la diffusione delle particelle rispetto la direzione di origine avviene secondo l angolo quadratico medio (VII- 7) < θ 2 > θ max θ min θ 2 F( θ) Dove F(θ) e il numero di collisioni ad angolo θ e θ +d θ compresi tra un valore minimo θ min e un valor massimo θ max Se n e la densita di particelle per unita di volume del plasma con cui una particella in arrivo interagisce, il numero di collisioni all angolo θ e θ +d θ e pari al numero di collisioni che avvengono con parametro d urto compreso tra b e b+db e pertanto, su una distanza L: (VII- 8) ( ) dθ n L F θ σ( θ) dθ dω n L 2 π b db 7

8 Sostituendo la 2) e 4) nella 7) si ottiene : Collisioni multiple (VII- 9) <θ 2 > = n L 2 π b.0 θ.max θ.min θ 2 F( θ) dθ b 2.max n L 8 π b.0 b.min 1 b db 2 n L 8 π b.0 lnλ La quantita ln(λ) = viene spesso indicata come logaritmo di Coulomb Λ > per b max --> (ovvero per q min --> 0). Questo e dovuto al lungo range del potenziale columbiano (~1/r). Nel nostro caso tuttavia e stato dimostrato che il raggio di interazione collisionale di una singola carica con quelle circostanti e λ D ed e quindi naturale assumere: b max = λ D Il valore minimo b min (θ < θ max ) si sceglie tenendo conto che, dato l andamento della sezione d urto, si considerano solo piccoli angoli, che corrispondono a parametri di impatto superiori a un certo valore. Se si assume q 1 q 2 (VII-10) b min = b 0 4 π ε 0 (ovvero si considerano solo angoli θ < π/2), 1 µ v 2 8

9 Si ottiene infine : Collisioni multiple (VII-11) Se si pone < θ 2 > = (π/2) 2 nella 9), utilizzando i valori della 10) si ottiene la distanza che un la carica deve percorrere per essere deflessa di 90 in una successione di piccoli urti π L 90 (VII-12) 2 32 n b o ln( Λ) A cui corrisponde una sezione d urto effettiva : (VII-13) 1 σ 90 n L π b 2 0 ln( Λ) Se ora si confronta con la sezione d urto ad urto singolo che produce una deflessione di 90 σ (VII-15) ln( Λ) σ s.90 π e dato che per un plasma termonucleare quantità ln(λ) 20 e molto più probabile che una carica diffonda a 90 per effetto di collisioni multiple che per effetto di una collisione singola 9

10 Effetti delle collisioni Per una collisione elettrone-protone µ ~ m e, b 0 ~ e 2 /m e v 2, e : con σ 90 ~π b 0 = π e 2 /m e v 2 = /W (cm 2 ) W = ½mv 2 (kev) A temperature normalmente ottenute in un plasma di interesse termonucleare σ 90 e molto più grande della sezione d urto di una reazione di fusione. Per esempio se poniamo W = 30 kev σ 90 = cm 2 contro σ D-T = cm 2 Questo mostra che i fenomeni di diffusione, che sono competitivi con il confinamento ordinato del plasma e pertanto sono responsabili dei fenomeni di trasporto dell energia e delle particelle, influiscono in un modo essenziale sulle condizioni di confinamento di un plasma termonucleare. 10

11 Parametri relativi alle collisioni Associati alla lunghezza caratteristica di scattering multiplo ci sono diversi altri parametri : Libero cammino medio di collisione che, se la carica viaggia a velocita v e percorso in un : Tempo collisionale λ mfp = 1/nσ τ coll = λ mfp /v = 1/nvσ Il parametro inverso e la: Frequenza di collisione ν coll = 1/τ coll = nvσ che e il parametro piu usato. In particolare e significativo, per stabilire la collisionalita di un plasma la quantita Frequenza di collisione media <ν coll > = 1/τ coll = n <v σ(v)> 11

12 Valori numerici dei parametri di collisione Il valore numerico dei tempi di collisione dipende dalle componenti del plasma che interagiscono: Per esempio assumendo per l.c.m. la lunghezza L 90 si ottengono le frequenze di collisione elettrone-elettrone e ione-ione (VII-16) (VII-17) 4 ν e.e 3 n e4 4 ν i.i 3 n ( Z i e ) 4 2 π m e T 3 ( ) ln( Λ e ) n e ln( Λ 1.5 e ) cm 3 ev T e 2 π m i T 3 ln( Λ i ) n i Z i T i 1.5 ( ) ( ) ln Λ i cm 3 ev Con ν e.e ν i.i m i me Per plasmi termonucleari di idrogeno Z i = 1; m i = m p T e = T i =10 kev n=10 14 cm -3 ν e.e 5 khz ν p.p 166Hz 12

13 Valori numerici dei parametri di collisione Le frequenze di collisione danno una misura della velocità degli scambi energetici all interno della stessa specie e t6ra specie diverse. Le collisioni elettrone ione ν e.i hanno frequenze abbastanza vicine a quelle elettroneelettrone (ν e.i ~ ν e.2 ) perché la massa ridotta della collisione e circa uguale a quella elettronica e n e Z i = n e. Le differenze sono dovute a fattori numerici che appaiono nei log(λ). Le collisioni ione-elettrone hanno invece frequenze di collisione diverse, perché l angolo di diffusione nel sistema di riferimento del laboratorio e molto diverso da quello nel centro di massa Si può dimostrare che: (VII-18) ν i.e m e m i ν ei m e ν m i.i i 13

14 Perdite di energia per collisione Nel corso di una singola collisione, l energia cinetica e l impulso della particella sono modificati. La variazione di energia cinetica di una particella di massa m 1 e velocità v 1, deflessa ad un angolo θ da una massa m 2 inizialmente a riposo, si ricava dalla cinematica della collisione alla Rutherford (VII-16) K θ Si e anche visto che l effetto collisionale più importante a provocare la diffusione delle particelle a grande angolo e quello di collisione multipla. Per calcolare le perdite di energia e pertanto necessario sommare le perdite elementari per tutti i parametri d urto. Per piccoli angoli di scattering (b/b 0 = b/ b 90 >>1) si ottiene : (VII-17) ossia: (VII-18) Si definisce una frequenza di collisione per perdita di energia : 14

15 Perdite di impulso per collisione. La variazione di impulso (in direzione x) di una particella di massa m 1 e velocità v 1, deflessa ad un angolo θ da una massa m 2 inizialmente ferma (v 2 = velocità dopo l urto), si ricava dalla cinematica della collisione alla Rutherford (VII-19) θ Per il calcolo delle perdite di impulso e pertanto necessario sommare le perdite elementari per tutti i parametri d urto come fatto per le perdite di energia cinetica. Per piccoli angoli di scattering (b/b 0 = b/ b 90 >>1) si ottiene : (VII-20) Pertanto la frequenza di collisione per perdite di impulso e : 15

16 Rapporti fra frequenze di collisione Si noti che il rapporto : (VII-21) ν K ν p vale: (VII-22) se se se Dalla terza condizione si deduce che lo scattering di elettroni causa prevalentemente con una variazione di angolo 16

17 Sommario di frequenze di collisione Applicando le formule precedenti per il caso di collisioni tra elettroni e ioni, si ottiene: (VII-23) La frequenza di collisione per perdite di energia e un indice di velocità di scambio di energia e di rallentamento delle componenti del plasma. Viene utilizzato per calcolare i tempi di equilibrio delle temperature the specie diverse La frequenza di collisione per perdite di impulso e un indice della perdita di velocità in una direzione. Viene utilizzata per calcolare la mobilità, la viscosità la resistività e la diffusione particelle e di energia. 17

18 Frequenze di collisione per una distribuzione maxwelliana di particelle Nelle pagine precedenti si sono calcolate le frequenze di collisione per urti in cui una delle particelle e a riposo. Il calcolo degli stessi parametri per un plasma in equilibrio termodinamico si ottiene mediando le quantità ottenute su una distribuzione di velocita di tipo maxwelliano : (VII-24) Per esempio la perdita totale di impulso per elettroni che perdono impulso per collisioni con ioni e data da (VII-25) con; (VII-26) come calcolato precedentemente 18

19 Frequenze di collisione per un plasma maxwelliano Si ottiene per le perdite di impulso : (VII-27) E per le perdite di energia: (VII-28) 19

20 Effetti di Run Away Un elettrone veloce che si muove in un plasma perde momento ed energia cinetica per collisioni con elettroni ed ioni con frequenze di collisione : (VII-29) In assenza di altre forze l equazione del moto e (VII-30) ossia si muove sotto l effetto di una forza di attrito (VII-31) : 20

21 Si noti che: Effetti di Runaway Per Z=1 la perdita di velocità e 2/3 sugli elettroni e 1/3 sugli ioni La forza di attrito decresce con la velocità Se il plasma e in un campo elettrico E, gli elettroni sono accelerati da una forza (VII-32) E sono possibili due casi : gli elettroni sono decelerati gli elettroni sono accelerati Pertanto al di sopra di una energia (VII-33) gli elettroni sono continuamente accelerati e la forza di attrito decresce progressivamente 21

22 Resistenza di plasma Un insieme di elettroni in campo elettrico e accelerato dal campo e rallentato dalle collisioni. Dato che il movimento degli elettroni e di insieme essi non perdono impulso per collisioni e-e ma solo per collisioni con gli ioni del plasma.la legge del moto e pertanto: (VII-34) A velocità costante : (VII-35) Il moto genera una corrente: (VII-36) Il plasma si comporta come un mezzo conduttore con conduttività : (VII-37) 22

23 Resistività di plasma Pertanto: (VII-38) Ossia : (VII-39) Che viene chiamata Resistività di plasma Note: η e inversamente proporzionale a T 3/2 η non dipende dalla densità del plasma 23

24 Resistività di Spitzer (VII-39) 24