Meccanica Dinamica del punto materiale Moti relativi

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1 Meccanica Dinamica del punto materiale Moti relativi 1

2 Lavoro totale: W Conservazione dell energia meccanica W cons + W non ( E, B E, A In generale sul punto materiale agiscono forze conservative e forze non conservative ) cons E K, B EK, A Wnon cons ( EK, B EK, A) + ( E, B E, A) EM, B EM, A E M NB: Il teorema dell energia cinetica vale per ogni tipo di forza! In presenza di forze non conservative l energia meccanica non si conserva La variazione di energia meccanica è pari al lavoro delle forze non conservative In ogni processo meccanico reale esiste una componente ineliminabile di attrito W < E E attrito M, B M, A < E M, B < EM, A L energia meccanica diminuisce unto su piano scabro con velocità iniziale v, soggetto ad attrito. B Quando si ferma? fin 1 1 ds AD A f dsu mv V fin mv AD W f ds Teorema dell energia cinetica µ Nl D fin mv l fin µ D N v gµ D A

3 Moto del pendolo A - unto di inversione E K Conservazione dell energia meccanica B - unto generico 1 mv velocità massima? E E mgz mgz EK B Conservazione dell energia: 1 mgl (1 cos θ ) mv + mgl (1 cos θ ) 1 gl(1 cos θ) gl(1 cos θ ) v v gl(cosθ cosθ ) θ < θ v max Quantità positiva sotto radice Velocità (quindi E K ) massima per gl(1 cosθ ) er qualunque oscillazione! A θ mgl(1 cos θ ) mgl(1 cos θ ) gl[1 (1 1 θ iccole oscillazioni )] A θ gl θ z z B θ z A L (Studio precedente) er piccole oscillazioni: B mg v( t) Lω θ cos( ωt + φ) ω g L vmax θ / v( t) θ gl cos( ω t + φ) gl

4 Conservazione dell energia meccanica

5 Conservazione dell energia meccanica Teorema dell energia cinetica: W EK, B EK, A E K W er forze conservative: ) ( E, B E, A E E K, B + E, B EK, A + E, A Energia meccanica E M La somma (Energia otenziale) + (Energia Cinetica) di un punto materiale soggetto a forze conservative si conserva durante il moto del punto 1 + costante EM mv E

6 Dinamica del punto materiale Momento di un vettore q M r q M r qsinα r q Momento di un vettore (generico) rispetto a un punto ( polo ): H M 9 r H q α Braccio del vettore Momento angolare L r v Momento angolare Momento del vettore quantità di moto rispetto al polo L r p Unità di misura m ( r v) 1 [kg m s ] [N m s] Momento della forza: Momento della forza M r F F TT F i i r r F i ( r F i ) M i i i i [Nm] Se abbiamo più forze applicate al punto M TT F TT Unità di misura: Il momento della risultante è pari alla somma dei momenti delle componenti

7 L r Momento Angolare e Momento della Forza Moto circolare p F r L r p M r F M Applico periodicamente forza tangenziale F di intensità costante, fino a invertire il moto

8 Dinamica del punto materiale Teorema del momento angolare unto materiale in movimento, soggetto alla forza F Momento angolare rispetto al polo : dr L r mv p Variazione del momento angolare: dl Se è fisso nel sistema di riferimento : dr v v mv dl Teorema del momento angolare Corollario: M forza risultante nulla forza parallela a r Se + r r F M L dv m dv m const F ' L r v F La variazione del momento angolare è pari al momento della forza (risultante) Se il momento della risultante è nullo il momento angolare si conserva

9 t Dinamica del punto materiale Teorema del momento dell impulso dl M Integriamo tra l istante iniziale t e l istante generico t M L( t) L dl Azione del momento della forza nell intervallo di tempo t t M ( r L t F) d L Esplicitiamo legame con l impulso: r M L( t) L L t F Se il tempo di applicazione è molto breve L r J Teorema del momento dell impulso Variazione finita del momento angolare r J La variazione del momento angolare è pari al momento dell impulso L r v F Analogo al teorema dell impulso: t p J F

10 a) er due sistemi di riferimento fissi, dopo traslazione/rotazione degli assi Moti relativi Le leggi fisiche sono indipendenti dalla scelta del sistema di riferimento? (Invarianza delle leggi fisiche) SI, se lo spazio è isotropo e uniforme b) er due sistemi in moto generico l uno rispetto all altro In generale NN c è invarianza delle leggi fisso x z r (t) y r '( t) z' x' in moto ' Relazione fra posizione, velocità, accelerazione del punto misurato dai due sistemi di riferimento y' Consideriamo sistemi di riferimento xyz fisso x y z in moto Velocità di traslazione Velocità angolare ω v '

11 Moti relativi osizione e velocità relative osizione di misurata nei due sistemi di riferimento: r r ' + r ' Velocità (derivata della posizione) misurata nei due sistemi Relazione di oisson: Sono dati due sistemi di riferimento, uno fisso e l'altro in rotazione rispetto al primo; Velocità angolare relativa: dr dr ' + ( ω r ') + rotazione ω Generico vettore nei due sistemi: k k sistema fisso ' dk dk ' + ( ω k ') sistema rotante dr ' traslazione x z r( t) y Velocità di rispetto a ω v r ' ( t) v v r '( t) v' + v ' + ( ω r ') ' + v' v z' ' v ' ω y' Vettore velocità angolare per x y z ura tralsazione v ' v v' + ( ω r ') ura rotazione x' Caso generale: combinazione di un moto rotatorio e un moto traslatorio

12 Accelerazione (derivata della velocità) misurata nei due sistemi di riferimento v Moti relativi Accelerazione relativa v' + v' + ( ω r ') dk dk ' y + ( ω k ') x dv ' d v dr ' + ( ω v' ) + ' + ω + ( ω r ' ) a a' + a ' + ω ( ω r ') + ω v' Relazione di oisson dvv a a'+ a t + a C at a t a C Se x y z non è in rotazione: z r( t) a' + ω ( ω r ') ω v' ω a a' + a r ' ( t) r '( t) a C ossiamo scrivere l accelerazione come somma di tre componenti: Accelerazione di Coriolis v z' x' ' y' Accelerazione di trascinamento '

13 Moti relativi Sistemi di riferimento inerziali S Sistema di riferimento in cui valga la legge d inerzia er un punto materiale non soggetto a forze: v costante Sistema inerziale ( sufficientemente isolato da non subire alcuna interazione) Consideriamo un altro sistema di riferimento S1 in moto rettilineo uniforme rispetto a S, non rotante v ' cost. a ' ω a a' + a ' + ω ( ω r ') + ω v' a ' a t a C Se l accelerazione di è nulla in S, lo sarà anche in S1 Anche S1 è inerziale Identificato un sistema inerziale S, tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme rispetto a S sono inerziali ma ma ' F La legge della dinamica si applica con gli stessi valori di forza e accelerazione ma v S1 v ' x' z' ' x z S y' v Relatività Galileiana Non è possibile stabilire con misure dinamiche se uno di essi è in quiete o in moto y

14 Moto relativo «Se un uomo si trova su una nave chiamata A, la quale sia mossa di moto regolare, velocemente o lentamente, e se quest'uomo non vede altro che un'altra nave chiamata B, la quale si muova con moto esattamente uguale a quello di A, nella quale egli si trova, dico che sembrerà a quest'uomo che nessuna delle due navi si muova. E se A è immobile e B si muove, gli sembrerà che a muoversi sia B; e se A si muove e B è immobile, ancora gli sembrerà che A sia immobile e che B si muova... Dico dunque che se, delle due parti del mondo suddette, quella superiore fosse oggi mossa di moto diurno, come è, e quella inferiore no, e domani avvenisse, al contrario, che a muoversi di moto diurno fosse quella inferiore, e l'altra, ossia il cielo, no, ecc., noi non potremmo affatto percepire questo mutamento, ma tutto sembrerebbe essere a modo, per quanto riguarda ciò, oggi e domani. E a noi sembrerebbe sempre che la parte in cui ci troviamo fosse in quiete e l'altra sempre in moto, così come a un uomo che si trovi su una nave in movimento sembra che a muoversi siano gli alberi fuori della nave. E similmente se un uomo fosse in cielo, supposto che esso fosse moto di moto diurno, e se quest'uomo, portato in volta dal cielo, vedesse chiaramente la terra e percepisse distintamente i monti, le valli, i fiumi, le città e i castelli, gli sembrerebbe che la terra fosse mossa di moto diurno, così come sembra del cielo a noi che siamo in terra...» Giovanni Buridano ( ) (Marshall Clagett, La scienza della meccanica nel medioevo, Feltrinelli 197, p. 647)

15 Relatività Galileiana «Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d acqua, e dentrovi de pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. sservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, né, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso poppa, che se voi fuste situati per l opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella lor acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accaderà che si riduchino verso la parete che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, rattenendosi per aria, saranno state separate; e se abbruciando alcuna lagrima d incenso si farà un poco di fumo, vedrassi ascender in alto ed a guisa di nugoletta trattenervisi, e indifferentemente muoversi non più verso questa che quella parte. E di tutta questa corrispondenza d effetti ne è cagione l esser il moto della nave comune a tutte le cose contenute in essa ed all aria ancora, che per ciò dissi io che si stesse sotto coverta; ché quando si stesse di sopra e nell aria aperta e non seguace del corso della nave, differenze più e men notabili si vedrebbero in alcuni de gli effetti nominati» Galileo Galilei ( ) Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, tolemaico e copernicano

16 In S vale F Moti relativi Sistemi di riferimento inerziali ma a ' e/o ω a a' + a ' + ω ( ω r ') + ω v' Se il sistema S1 non è inerziale? ma' F a t a a'+ a t + a C ma ma'+ ma t + ma C ma m F F t F t a C Forza vera C a C In un sistema inerziale le forze apparenti sono nulle Forze apparenti Non corrispondono a interazioni fisiche reali (4 forze fondamentali) In sistemi non-inerziali la legge di Newton non è più valida La forza effettivamente applicata al punto non è proporzionale all accelerazione osservata La descrizione del moto di in un sistema non-inerziale risulta complicata dalla presenza di forza apparenti