Esempi di quesiti di logica (1)

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1 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 1 Esempi di quesiti di logica (1) 1. In ciascuna di sei scatole, numerate da 1 a 6, è contenuto uno (e uno solo) di sei oggetti contrassegnati con a, b, c, d, e, f. Si sa che il numero della scatola che contiene c precede immediatamente quello della scatola che contiene b e che quello della scatola che contiene d è il doppio di quello della scatola che contiene e. Aprendo la scatola 4 si trova che contiene l oggetto d. Quale oggetto contiene la scatola 5? A) a; B) b; C) c; D) e; E) f 2. Alessandra, Federica, Giovanna, Marta e Vittoria sono lottatrici. Nessun loro incontro finisce in parità. Marta è più forte di Giovanna, ma non di Vittoria. Alessandra è più forte di Vittoria, ma non di Federica. Allora necessariamente: A) Marta è più forte di Federica; B) Marta è più forte di Alessandra; C) Vittoria è più forte di Alessandra; D) Alessandra è più forte di Marta; E) Giovanna è più forte di Federica. 3. Esiste una semplice legge che, data la sequenza 9, 11, 14, 18, 23,..., permette di dire che il termine successivo a 23 è: A) 27; B) 28; C) 29; D) 30; E) Se Antonio è italiano allora o Antonio suona il mandolino oppure sua madre è nata a Parigi. Inoltre se la madre di Antonio è nata a Caserta allora Antonio è italiano. Se ne può dedurre che, necessariamente: A) Antonio suona il mandolino se sua madre è nata a Caserta; B) Se la madre di Antonio è nata a Parigi allora Antonio è italiano; C) Se Antonio suona il mandolino allora è italiano; D) Antonio non è italiano se sua madre non suona il mandolino; E) Se Antonio è nato a Caserta allora suona il mandolino. 5. Supponendo vere le affermazioni: i) Gli studenti volenterosi si iscrivono a Ingegneria, ii) Chi si iscrive a Ingegneria è intelligente, iii) Pietro è iscritto a Economia, iv) Andrea è iscritto a Ingegneria, se ne può dedurre una delle affermazioni che seguono. Quale? A) Pietro non è intelligente; B) Gli studenti d Ingegneria si chiamano Andrea; C) Andrea è intelligente; D) Andrea è volenteroso; E) Pietro è volenteroso. 6. Fra Enrico, Flavio, Gennaro e Tullio, due fanno gli idraulici, uno il farmacista e uno l elettricista. Si sa che due di loro sono nati a Roma e uno a Napoli. Si sa poi che Gennaro è idraulico e che Enrico è nato a Milano. Infine si sa che i due idraulici

2 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 2 non sono romani. Allora, solo una delle affermazioni che seguono può essere vera. Quale? A) Gennaro è farmacista; B) Enrico è elettricista; C) Flavio è napoletano; D) Tullio è farmacista; E) Tullio è milanese. 7. Si hanno tre recipienti da 70 litri, numerati da 1 a 3 e parzialmente riempiti. Il contenuto del recipiente 2 è la metà di quello del recipiente 1 e il contenuto del 3 è la metà di quello del 2. Versando il contenuto dei recipienti 2 e 3 nel recipiente 1, quest ultimo si riempie per metà. Ne segue che il contenuto del recipiente 3, espresso in litri, vale: A) 7; B) 5; C) 10; D) 3.5; E) 11.

3 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 3 Esempi di quesiti di matematica (1) 1) Quanto vale 9 1/2? A) 1/3; B) 3; C) 9/2; D) -1/9 ; E) 81 2) Per quali x è verificata la disequazione 1/(x +2)+1/(x +4)> 0? A) qualunque x; B) x< 4 oppure 3 <x< 2; C) nessuno; D) 4 <x< 3 oppure x> 2; E) x> 5/2 3) Da log a x 3 = 3 segue? A) x = 1; B) a =1/x 3 ; C) a =3x; D) a = x; E) x =3 4) Il polinomio x 3 +3x 2 4 è esattamente divisibile per: A) x 4; B) x 1; C) x + 1; D) x 2; E) x +3 5) Qual è la distanza dall origine del centro della circonferenza x 2 + y 2 2x 4y +1=0? A) 2; B) 3; C) 3; D) 5; E)0 6) Un angolo α, tale che π<α<3π/2, ha seno uguale a -1/4. Allora il suo coseno vale? A) 3/4; B) 5/4; C) -5/4; D) 15/4; E) - 15/4 7) Per quali x è verificata la disequazione x 2 10x +16> 0? A) 3 <x<4; B) 2 <x<3; C) nessuno; D) x<2ox>8; E) 6 <x<8 8) Per quali x è verificata la disequazione x 4 +4x 3 +6x 2 +4x +1< 0? A) x<0; B) nessuno; C) x>0; D) 1 <x<0; E) qualunque x 9) Quanto vale ? A) 5 12 ; B) 5 7 ; C) 5; D) 5 4/3 ; E) ) Un uomo investe in banca un capitale X che gli rende un interesse annuo ɛ. Reinvestendo ogni anno il capitale maggiorato degli interessi, dopo cinque anni raggiunge un capitale X. Supponendo noto X, quanto vale X? A) X /(1 + 5ɛ); B) X /[5(1 + ɛ)]; C) X /(1 + ɛ) 5 ; D) i dati sono insufficienti; E) X (1 + ɛ)/5 11) Quali soluzioni ha l equazione 2 x2 4 =1/16? A) 1; B) ± 2; C) nessuna; D) ±2; E) 0 12) Il figlio di Anna ha un quinto degli anni della madre e fra due anni avrà un quarto degli anni che avrà la madre. Quanti anni ha attualmente Anna? A) 40; B) 46; C) 28; D) 30; E) 36

4 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 4 13) La retta che forma un angolo di π/6 con l asse x e passa per il punto (1, 1) ha equazione? A) y =(x 1)/ 3+1; B)y =1+x; C) y = x +1/ 3; D) y = x 3 1; E) y = x/ ) Il luogo dei punti le cui coordinate x, y soddisfano le disuguaglianze x 0,y 0, y 1 x, è? A) un quadrato di lato 1; B) una circonferenza di raggio 1; C) un quadrato di lato 1/2; D) un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza 1; E) tale luogo non esiste 15) Il sistema di equazioni x 2y =3e3x 6y = 4 ha le soluzioni? A) x =2ey = 4; B) x =1ey = 5; C) x = 1 ey = 1; D) nessuna; E) x =3ey =6

5 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 5 Esempi di quesiti di scienze (1) 1) Un condensatore, inizialmente scarico, viene collegato ad un generatore, avente forza elettromotrice (f.e.m.) continua f, tramite un resistore. La d.d.p. ai capi del condensatore, una volta raggiunto l equilibrio: A) è uguale a f; B) è uguale alla differenza fra la f.e.m. e la caduta di tensione sul condensatore; C) è la metà di f; D) è uguale alla d.d.p. ai capi del resistore; E) ha un valore che dipende dalla capacità. 2) Fra due fili conduttori disposti in aria parallelamente, percorsi da correnti continue di ugual intensità e di ugual verso: A) si esercita una forza; B) si ha uno scambio di cariche elettriche; C) non si esercita alcuna forza; D) si esercita una forza che cambia verso periodicamente; E) i dati sono insufficienti per le previsioni precedenti. 3) Un punto materiale si muove su una circonferenza e, a partire da un qualunque istante, in un secondo compie un arco uguale al raggio. Si può dire che: A) l accelerazione del punto è zero; B) l enunciato è assurdo; C) la velocità angolare è funzione crescente del tempo; D) la velocità angolare vale 1 rad/s; E) il periodo, espresso in secondi, vale π. 4) Un corpo è appoggiato su un piano orizzontale scabro. Al corpo è applicata una forza orizzontale da 2 N che non risulta sufficiente a spostarlo. Circa la forza d attrito si può dire che: A) ha intensità uguale a 2 N; B) ha intensità maggiore di quella della forza applicata; C) ha intensità minore di quella della forza applicata; D) ha intensità nulla; E) ha intensità superiore a quella della forza d attrito dinamico. 5) Una nave si muove in linea retta con velocità costante. All interno di una cabina, un viaggiatore fa un esperimento consistente nel lanciare verticalmente un corpo e nell osservare la posizione in cui esso ricade. Supponendo che il viaggiatore possa compiere misure molto precise, egli troverà che, rispetto alla posizione di lancio, il corpo ricade: A) nella stessa posizione; B) un po più indietro nella direzione di marcia; C) più avanti o più indietro a seconda che la velocità della nave sia minore o maggiore di 9.8 m/s; D) un po più avanti nella direzione di marcia; E) non si può rispondere se non si conosce la velocità di lancio. 6) Un raggio di luce monocromatica che si propaga in aria incontra una superficie piana di separazione fra l aria e un vetro omogeneo. Si può dire che: A) scegliendo opportunamente l angolo d incidenza può aversi riflessione totale; B) si verifica il fenomeno della diffrazione; C) esiste certamente un raggio rifratto; D) la luce riflessa viene focalizzata; E) il raggio che procede nel vetro è curvo.

6 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 6 7) Quale delle seguenti equazioni può descrivere la posizione x di un punto dotato di moto armonico, in funzione del tempo t? A) x = sin(t); B) x = B cos(t), dove B è una lunghezza; C) x = B cos 2 (2πat), dove B è una lunghezza e a l inverso di un tempo; D) x = B cos(2πat), dove B è una lunghezza e a un tempo; E) x = B cos(2πat 2 ), dove B è una lunghezza e a un accelerazione. 8) L intensità della forza di gravitazione universale di Newton fra due elementi puntiformi di masse m e M, con M>m, posti a distanza D l uno dall altro, è: A) proporzionale a D; B) inversamente proporzionale a D; C) inversamente proporzionale a D 2 ; D) maggiore per m che per M; E) proporzionale a m e inversamente proporzionale a M. 9) Un pendolo ideale viene lasciato libero, con velocità iniziale nulla, da una posizione in cui il filo di sospensione è disposto orizzontalmente. Durante il moto, il pendolo: A) compie un giro completo intorno al punto di sospensione; B) non raggiunge più una posizione in cui il filo sia orizzontale; C) raggiunge periodicamente delle posizioni in cui il filo è orizzontale; D) giunge nel punto di quota minima dopo mezzo periodo; E) dissipa energia meccanica. 10) Nella formazione di un legame chimico sono interessati: A) tutti gli elettroni atomici; B) gli elettroni atomici più esterni; C) gli elettroni atomici a più bassa energia; D) gli elettroni dei soli atomi metallici; E) gli elettroni dei soli atomi non-metallici.

7 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 7 Risposte corrette ai quesiti (1) Logica 1)C 2)D 3)C 4)A 5)C 6)D 7)B Matematica 1)A 2)D 3)D 4)B 5)D 6)E 7)D 8)B 9)B 10)C 11)E 12)D 13)A 14)D 15)D Scienze 1)A 2)A 3)D 4)A 5)A 6)C 7)C 8)C 9)C 10)B

8 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 8 Soluzioni dei quesiti di logica (1) 1. Se d è nella scatola 4, e è nella scatola 2. L accoppiamento scatole-oggetti si presenta come nello schema sotto ? e? d?? Le uniche posizioni in cui possono trovarsi gli oggetti c e b (che devono essere contigui) sono 5 e 6. Dunque, la scatola 5 contiene c (risposta C). 2. Indichiamo col simbolismo x<yl asserzione che la lottatrice y è p i ù forte di x, e indichiamo ciascuna delle lottatrici con la rispettiva iniziale. Allora le informazioni del testo si possono sintetizzare con le relazioni: G<M<V, V <A<F. Queste, concatenate, forniscono l ordinamento G<M<V <A<F. Ne segue che la risposta corretta è la D (Alessandra è più forte di Marta). Le altre asserzioni sono in contrasto con l ordinamento ora stabilito. 3. Fra primo e secondo termine c è una differenza di 2. Fra secondo e terzo, una differenza di 3. Fra terzo e quarto, una differenza di 4. Fra quarto e quinto, una differenza di 5. Il termine successivo a 23 sarà (risposta C). 4. Se la madre di Antonio è di Caserta, allora Antonio è italiano, e se è italiano allora o suona il mandolino o ha una madre di Parigi. Essendo esclusa la seconda possibilità (madre parigina) perché siamo sotto l ipotesi che la madre sia di Caserta, necessariamente Antonio suona il mandolino. La deduzione corretta è la A. 5. Considerate le asserzioni ii) e iv). Esse costituiscono i primi due termini di un sillogismo classico, che si conclude con Quindi Andrea è intelligente. Dunque la risposta corretta è la C. Notate che il fatto che chi si iscrive a Ingegneria sia intelligente non implica che chi si iscrive a un altra facoltà sia necessariamente cretino. Notate che, invece, secondo l asserzione i), gli studenti di altre facoltà non sarebbero volenterosi, perché quelli volenterosi si iscrivono a Ingegneria. 6. Costruiamo una tabella in cui sono riportate le informazioni che Gennaro è idraulico e Enrico è nato a Milano. Indichiamo le professioni con l iniziale della parola. Enrico Flavio Gennaro Tullio i. Milano Siccome gli idraulici non sono romani e sappiamo che ci sono due romani, un milanese e un napoletano, Gennaro deve essere di Napoli. Di conseguenza, i romani sono Flavio e Tullio e l altro idraulico è Enrico. La tabella diventa

9 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 9 Enrico Flavio Gennaro Tullio i e, f i e, f Milano Roma Napoli Roma Non siamo in grado di dire chi sia l elettricista e chi il farmacista fra Flavio e Tullio. Tuttavia la tabella è sufficiente a escludere la verità di tutte le affermazioni, eccetto la D, che può essere vera. 7. Potete formalizzare il problema come segue. Indicate con x il contenuto del recipiente 3. Allora il 2 contiene 2 x e il recipiente 1 contiene 4 x. La somma dei contenuti deve dare 35 litri. Perciò si ha l equazione: 4 x +2 x + x = 35. Da qui segue 7 x = 35 e quindi il contenuto richiesto è (x = 5) litri, che è il contenuto del recipiente 3 (risposta B)..

10 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 10 Soluzioni dei quesiti di matematica (1) 1) Ricordiamo che x a è uguale a 1/x a echex 1/b, con b intero positivo e x positivo, significa la radice b-esima di x. Perciò 9 1/2 significa 1/ 9, cioè 1/3. 2) Riducendo a denominatore comune e dividendo per 2, la disequazione assume la forma (x +3)/[(x + 2)(x + 4)] > 0. Questa è verificata se e solo se numeratore e denominatore hanno lo stesso segno. In tal caso anche il prodotto di numeratore e denominatore sarà positivo. Perciò si può fare riferimento alla condizione (x + 2)(x + 3)(x +4)> 0. Bisogna che i tre fattori siano tutti positivi, oppure che due siano negativi e uno positivo. Il primo caso si verifica se x +2> 0 (e allora anche x +3ex + 4 saranno positivi) e quindi se x> 2. Il secondo caso si ha se x +3< 0 (e allora sarà anche x +2< 0) e se x +4> 0. Ciò accade se 4 <x< 3. Dunque la risposta corretta è la D. 3) Ricordatevi che, per qualunque base, vale la regola log a (x n ) = n log a x. Perciò la relazione data nel quesito equivale a quest altra: 3 log a x = 3, e questo vuol dire che log a x = 1. Perciò è a = x (risposta D). 4) Un generico polinomio p(x) è esattamente divisibile per il binomio x c, dove c è una costante, se e solo se c è una radice dell equazione p(x) = 0, cioè sep(c) = 0 (teorema di Ruffini). I valori di c proposti nel quesito sono 4, 1, -1, 2, -3. Fra questi, solo il valore c = 1 rende nullo il polinomio x 3 +3x 2 4. Quindi la risposta corretta è la B. 5) L equazione di una circonferenza di raggio R, centrata sull origine del piano xy, è x 2 + y 2 = R 2, equazione che, per il generico punto della circonferenza, segue dal teorema di Pitagora. Se il centro della circonferenza è nel punto di coordinate (x c,y c ), si trova, sempre col teorema di Pitagora, che l equazione diventa (x x c ) 2 +(y y c ) 2 = R 2. Si tratta allora di riportare l equazione data nel quesito a quest ultima forma. Ciò può farsi usando l artificio del completamento del quadrato. Infatti, l espressione data contiene un termine quadratico ed uno lineare in x e analogamente per la y. Perciò, aggiungendo e togliendo termini opportuni, si possono far comparire dei quadrati di binomi. Più esplicitamente, potete scrivere x 2 + y 2 2x 4y +1 = (x 2 2x +1 1)+(y 2 4y +4 4) + 1 = (x 1) 2 1+(y 2) = 0, ovvero (x 1) 2 +(y 2) 2 = 4. Vedete da qui che le coordinate del centro sono x c =1ey c = 2. La formula per la distanza d 12 fra due punti di coordinate (x 1,y 1 )e(x 2,y 2 ) è (ancora una volta per il teorema di Pitagora) d 12 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2.

11 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 11 Nel nostro caso è x 1 = x c, y 1 = y c e x 2 = y 2 = 0. Troverete allora che la risposta corretta è la D. 6) Nell intervallo detto, sia il seno che il coseno sono negativi. Usando l identità fondamentale sin 2 α + cos 2 α = 1, si ricava che la risposta corretta è la E. 7) La formula risolutiva per un equazione del tipo ax 2 + bx + c = 0 è x 1,2 = [ b ± b2 4ac]/(2a). In particolare, se il coefficiente del termine di primo grado è pari e viene scritto come 2b, la formula diventa x 1,2 = [ b ± b 2 ac]/a. Considerata ora l equazione x 2 10x + 16 = 0, si trova che le radici sono 2 e 8. Ricordatevi che il trinomio x 2 10x + 16 ha lo stesso segno del termine di secondo grado, in questo caso positivo, al di fuori dell intervallo delle radici. La cosa può essere visualizzata con l aiuto del grafico della funzione y = x 2 10x Si vede bene che la y, che si annulla in corrispondenza alle radici prima dette, è negativa per 2 <x<8 e positiva all esterno di tale intervallo. In conclusione, la risposta corretta è la D. 8) L espressione a primo membro della disuguaglianza è uguale a (x +1) 4, come potete facilmente controllare, per es., calcolando (x+1) 2 (x+1) 2. Tale espressione non può essere negativa e quindi la risposta corretta è la B. Vale la pena di aggiungere che, in generale, la potenza di un binomio, (a + b) n, con n 1, ha la struttura (a + b) n = t 0 a n + t 1 a n 1 b + t 2 a n 2 b t n 1 ab n 1 + t n b n, dove i coefficienti t 0,t 1,... sono gli elementi del cosiddetto triangolo di Tartaglia n =1) 1 1 n =2) n =3) n =4) n = 5)

12 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 12 Come si vede, il primo e l ultimo coefficiente valgono sempre 1. Gli altri coefficienti si calcolano in modo ricorrente prendendo la somma di quelli che, nella riga superiore, stanno nella stessa colonna e nella colonna precedente (vedi elementi in grassetto). Applicando questa regola per qualche valore di n, si ha (a + b) 1 = a + b, (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2, (a + b) 3 = a 3 +3a 2 b +3ab 2 + b 3, (a + b) 4 = a 4 +4a 3 b +6a 2 b 2 +4ab 3 + b 4. In particolare, l ultima espressione, con a = x e b = 1, è uguale al primo membro della disuguaglianza proposta dal quesito. 9) Ricordiamo che x a x b è uguale a x a+b. Perciò la risposta giusta è la B. 10) Ragionate prima in termini numerici partendo da un capitale noto. Supponiamo che il capitale sia 100 $ e il rendimento il 10 %, cioè 0.1. Alla fine dell anno l uomo avrà 110 $, cioè 100 (1+0.1) $. Reinvestendo i 110 $, alla fine del secondo anno avrà un interesse di 11 $, vale a dire un capitale totale di 110 (1+0.1) $. Sostituendo 110 con 100 ( ) vi rendete conto che il capitale dopo due anni è 100 ( ) 2 $. Più in generale, dopo n anni, sarà 100( ) n $. Applicando questo ragionamento al quesito posto troverete che la risposta corretta è la C. 11) Osservate che il secondo membro si può scrivere come 2 4. Quindi l equazione richiede che sia x 2 4= 4, ovvero x 2 = 0. Ne segue che la risposta corretta è la E. 12) Chiamate x il numero degli anni del figlio e y quello degli anni della madre. Sappiamo che x = y/5. Sappiamo inoltre che l età del figlio fra due anni, cioè x + 2, sarà un quarto di quella che avrà la madre (y + 2), ovvero che x +2=(y +2)/4. Sostituendo x con y/5 a primo membro si ricava che y = 30 (risposta D). 13) Ricordatevi l espressione dell equazione di una retta (non parallela all asse delle y): y = mx + q. Il parametro m è il cosiddetto coefficiente angolare della retta e rappresenta la tangente trigonometrica dell angolo che la retta forma con l asse x. Il parametro q è il valore di y che si ottiene ponendo x = 0, cioè l ordinata del punto in cui la retta taglia l asse y. Se si vuole l equazione di una retta con coefficiente angolare m e passante per il punto (x 0,y 0 ), basta scrivere y = m(x x 0 )+y 0 (che ha sempre la forma y = mx + q, con q = y 0 mx 0 ). Nel nostro caso, m è la tangente di π/6, cioè 1/ 3, e x 0 = y 0 =1. Applicando le formule viste troverete che la risposta corretta è la A. 14) La regione del piano x, y i cui punti hanno entrambe le coordinate non negative è il primo quadrante. Ora considerate la retta y =1 x. Essa passa per i punti (0, 1) e (1, 0).

13 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 13 I punti che hanno y 1 x individuano il triangolo della risposta D. 15) Prima di procedere per tentativi, confrontate le due equazioni. Noterete che il membro di sinistra della seconda non è altro che quello della prima moltiplicato per 3. Solo che i membri di destra non stanno in rapporto 3 e quindi le due equazioni sono incompatibili (se x 2y è uguale a 3, allora 3x 6y dovrebbe valere 9). Il sistema non ha soluzioni (risposta D). Si può interpretare la cosa graficamente osservando che, se si ricava la y nella prima e nella seconda equazione, si ottengono le relazioni y = x/2 3/2 e y = x/2 2/3, che rappresentano le equazioni di due rette parallele (che quindi non hanno punti comuni).

14 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 14 Soluzioni dei quesiti di scienze (1) 1) La risposta giusta è la A. Supponete di collegare un armatura del condensatore al morsetto negativo del generatore. Siccome il condensatore è inizialmente scarico, fra i suoi estremi c è differenza di potenziale (d.d.p.) zero. Pertanto fra la seconda armatura e il morsetto positivo c è una d.d.p. pari alla f.e.m del generatore. Quando si collega la seconda armatura al morsetto positivo del generatore, tale d.d.p. produce un passaggio di corrente che carica progressivamente il condensatore. Il processo va avanti finché le d.d.p. ai capi del condensatore e del generatore non diventano uguali. 2) Ognuno dei fili percorsi da corrente genera un campo magnetico (legge di Biot-Savart) ed è immerso nel campo magnetico prodotto dall altro. Ora, un conduttore percorso da corrente che si trovi in un campo magnetico subisce un azione di forza. Perciò la risposta corretta è la A. Vale la pena di osservare che il tipo di forze che si scambiano i due fili è alla base della definizione dell unità di misura del Sistema Internazionale per l intensità di corrente (vedi Appendice 1). 3) Un arco uguale al raggio corrisponde a un angolo uguale a un radiante. Perciò se il punto, a partire da un istante arbitrario, in un secondo descrive un angolo di un radiante, vuol dire che si muove di moto circolare uniforme, con velocità angolare ω = 1 rad/s (risposta D). Contrariamente a quanto detto in A, l accelerazione è diversa da zero. Infatti un punto in moto circolare uniforme è dotato di un accelerazione che, in ogni punto della traiettoria, è diretta verso il centro (centripeta) ed ha modulo ω 2 R,doveR è il raggio. Inoltre, essendo ω =2π/T, dove T è il periodo, risulta 2π/T = 1 e quindi T =2π s. 4) Se il corpo rimane fermo evidentemente la risultante delle forze applicate al corpo è zero. In particolare, sull orizzontale, la forza da 2 N è bilanciata dalla forza d attrito. La risposta corretta è la A. State attenti a non commettere un errore abbastanza frequente che è quello di pensare che l intensità della forza d attrito statico sia sempre e comunque il prodotto del coefficiente d attrito statico µ s per l intensità, diciamo N, della reazione normale del vincolo. Il prodotto µ s N è invece il valore massimo che la forza d attrito può avere. Con riferimento alla situazione del problema, pensate al caso in cui la forza esterna applicata orizzontalmente al corpo si riduca a zero. In questo caso la forza d attrito è zero (altrimenti si arriverebbe al paradosso che la forza d attrito, da sola, mette in moto il corpo). State anche attenti a non farvi ingannare dalla risposta E. E vero che il coefficiente d attrito dinamico è generalmente inferiore a quello d attrito statico, ma questo non significa che la forza d attrito statico debba necessariamente essere superiore a quella d attrito dinamico. E il valor massimo della forza d attrito statico che è superiore alla forza d attrito dinamico. 5) La situazione cui fa riferimento il problema è descritta in un celebre passo di Galileo, che riportiamo nell appendice 2. Leggendolo, capirete qual è la risposta corretta. Comunque,

15 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 15 in estrema sintesi, la nave costituisce un sistema di riferimento inerziale (approssimativamente). In esso i fenomeni si svolgono come se la nave fosse ferma. Perciò il corpo ricadrà nella stessa posizione da cui era stato lanciato verticalmente (risposta A). Un errore frequente è quello di pensare che il corpo cada più indietro, argomentando che mentre il corpo è in aria la nave gli scorrerebbe sotto. Ciò non tiene conto del fatto che, istante per istante, la componente orizzontale della velocità della nave e del corpo è la medesima. 6) La riflessione totale può verificarsi nel passaggio, come si dice, da un mezzo più rifrangente (cioè con indice di rifrazione più alto) ad uno meno rifrangente (cioè con indice di rifrazione più basso). Perciò la A è sbagliata e la C giusta. La diffrazione, cioè lo scostamento dalle previsioni dell ottica geometrica, non c entra (B). La focalizzazione non può essere prodotta da un interfaccia piana (D). Infine, se, come il testo lascia supporre, il vetro è omogeneo, il raggio rifratto è rettilineo e non curvo (E), anche se la sua direzione è diversa da quella del raggio incidente (tranne che per incidenza normale). 7) Tenete presente che l argomento di una funzione trigonometrica deve essere un angolo e che il secondo membro delle espressioni per x deve avere le dimensioni di una lunghezza. Nelle risposte A, B, D ed E, l argomento del seno non ha le dimensioni corrette (in più nella A manca una lunghezza a moltiplicare il seno). Perciò la risposta giusta deve essere la C. Vi può venire qualche dubbio per il fatto che nella C compare un coseno al quadrato. Ricordatevi però che dalle formule di duplicazione segue cos 2 α = (1+cos 2α)/2. Perciò la C descrive un moto armonico in cui il centro d oscillazione è spostato rispetto all origine dell asse x. 8) Ricordando l espressione per l intensità di tale forza, cioè GmM/D 2, dove G è l a costante di gravitazione universale, si vede che l affermazione corretta è la C. 9) Il pendolo, quando viene lasciato libero, comincia a muoversi sotto l azione della forza peso e della reazione del filo. Quest ultima è sempre ortogonale alla traiettoria e quindi non compie lavoro. Durante la discesa del pendolo, si ha una diminuzione dell energia potenziale e un corrispondente aumento di quella cinetica, in modo che l energia meccanica rimanga costante. Nel punto più basso della traiettoria, l energia cinetica è massima e vale mgl, dove m, g e l sono la massa del pendolo, l accelerazione di gravità (in modulo) e la lunghezza del filo. Dotato di questa energia cinetica, il pendolo oltrepassa il punto di quota minima e comincia a risalire dalla parte opposta finché tutta l energia cinetica non si è nuovamente trasformata in energia potenziale, cosa che avviene quando il pendolo giunge nella posizione simmetrica di quella di partenza rispetto alla verticale. Il processo è periodico (risposta C), intendendosi per periodo il (minimo) tempo necessario perché il pendolo, partendo da una posizione arbitraria, ritorni nella stessa posizione. Osservate, in particolare, che il tempo che il pendolo impiega per passare dalla quota massima (disposizione orizzontale) alla successiva quota minima è un quarto di periodo. Notate infine che l ampiezza delle oscillazioni non è piccola (l angolo con la verticale oscilla da π/2

16 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 16 a π/2) e quindi la legge di variazione temporale dell angolo non è di tipo armonico (cioè sinusoidale). Tale legge non è esprimibile con funzioni elementari. 10) Nella formazione dei legami tra atomi sono coinvolti gli elettroni più esterni, cioè quelli ad energia maggiore e quindi meno vincolati al nucleo; sono per questo motivo detti elettroni di legame o di valenza. Appendice 1. Nel Sistema Internazionale, l unità per l intensità di corrente elettrica è l ampere (simbolo: A). Essa è definita come quell intensità che, percorrendo due conduttori filiformi indefiniti disposti parallelamente a distanza di un metro, nel vuoto, produce una forza di newton per metro di lunghezza. Appendice 2. Dal Dialogo sopra i due massimi sistemi di Galileo Galilei Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d acqua, e dentrovi de pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all amico alcuna cosa, non piú gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder cosí, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima né, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con piú forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso poppa, che se voi fuste situati per l opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella lor acqua non con piú fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i

17 Facoltà d Ingegneria - Università Roma Tre 17 lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accaderà che si riduchino verso la parete che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno state separate; e se abbruciando alcuna lagrima d incenso si farà un poco di fumo, vedrassi ascender in alto ed a guisa di nugoletta trattenervisi, e indifferentemente muoversi non piú verso questa che quella parte. E di tutta questa corrispondenza d effetti ne è cagione l esser il moto della nave comune a tutte le cose contenute in essa ed all aria ancora, che per ciò dissi io che si stesse sotto coverta; ché quando si stesse di sopra e nell aria aperta e non seguace del corso della nave, differenze piú e men notabili si vedrebbero in alcuni de gli effetti nominati: e non è dubbio che il fumo resterebbe in dietro, quanto l aria stessa; le mosche parimente e le farfalle, impedite dall aria, non potrebber seguir il moto della nave, quando da essa per spazio assai notabile si separassero; ma trattenendovisi vicine, perché la nave stessa, come di fabbrica anfrattuosa, porta seco parte dell aria sua prossima, senza intoppo o fatica seguirebbon la nave, e per simil cagione veggiamo tal volta, nel correr la posta, le mosche importune e i tafani seguir i cavalli, volandogli ora in questa ed ora in quella parte del corpo; ma nelle gocciole cadenti pochissima sarebbe la differenza, e ne i salti e ne i proietti gravi, del tutto impercettibile. Brano tratto da: Galileo Galilei - Dialogo sopra i due massimi sistemi - a cura di Libero Sosio. Einaudi, Torino, 1970, pp