Meccanica Moti relativi

Transcript

1 Meccanica

2 Posiione e elocità relatie Posiione di P misurata nei e sistemi di riferimento: r = r + r Velocità (deriata della posiione) misurata nei e sistemi Relaione di Poisson: Sono dati e sistemi di riferimento, uno fisso e laltro in rotaione rispetto al primo, con elocità angolare k k sistema fisso, dk dk = + ( ω k ) dr dr dr = + ( ω r ) + rotaione ω Generico ettore nei e sistemi: sistema rotante traslaione Velocità di rispetto a ω = + + ( ω r ) = 0 r( t) r ( ) t = P r ( t) + Vettore elocità angolare per Pura tralsaione = 0 = + ( ω r ) Pura rotaione ω Caso generale: combinaione di un moto rotatorio e un moto traslatorio

3 Acceleraione (deriata della elocità) misurata nei e sistemi di riferimento = + + ( ω r ) Relaione di Poisson Acceleraione relatia r d d d dr = + ( ω ) + + ω + ( ω r ) a = a + ( ω ) + a + ( ω ) + ω ( ω r ) a = a + a + ω ( ω r ) + ω dk a = a+ a t + a C dk = + ( ω k ) at a C r( t) a + ω ( ω r ) ω ω = 0 a = a + a ( ) t P r ( t) Possiamo scriere l acceleraione come somma di tre componenti: Se non è in rotaione: Acceleraione di Coriolis Acceleraione di trascinamento

4 Sistemi di riferimento ineriali S0 = Sistema di riferimento in cui alga la legge d ineria Per ogni punto materiale P non soggetto a fore: = costante Sistema ineriale Consideriamo un altro sistema di riferimento S1 in moto rettilineo uniforme rispetto a S0, non rotante a ω = 0 = cost. = 0 a = a + a + ω ( ω r ) + ω = a a t = 0 a C = 0 Se l acceleraione di P è nulla in S0, lo sarà anche in S1 Anche S1 è ineriale Identificato un sistema ineriale S0, tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme rispetto a S0 sono ineriali a = a ma = ma F = ma La legge della dinamica si applica con gli stessi alori di fora e acceleraione S1 S0 Relatiità Galileiana Non è possibile stabilire con misure dinamiche se uno di essi è in quiete o in moto P

5 Moto relatio «Se un uomo si troa su una nae chiamata A, la quale sia mossa di moto regolare, elocemente o lentamente, e se questuomo non ede altro che unaltra nae chiamata B, la quale si muoa con moto esattamente uguale a quello di A, nella quale egli si troa, dico che sembrerà a questuomo che nessuna delle e nai si muoa. E se A è immobile e B si muoe, gli sembrerà che a muoersi sia B; e se A si muoe e B è immobile, ancora gli sembrerà che A sia immobile e che B si muoa... Dico nque che se, delle e parti del mondo suddette, quella superiore fosse oggi mossa di moto diurno, come è, e quella inferiore no, e domani aenisse, al contrario, che a muoersi di moto diurno fosse quella inferiore, e laltra, ossia il cielo, no, ( ) noi non potremmo affatto percepire questo mutamento, ma tutto sembrerebbe essere a modo, per quanto riguarda ciò, oggi e domani ( ). E similmente se un uomo fosse in cielo, supposto che esso fosse moto di moto diurno, e se questuomo, portato in olta dal cielo, edesse chiaramente la terra e percepisse distintamente i monti, le alli, i fiumi, le città e i castelli, gli sembrerebbe che la terra fosse mossa di moto diurno, così come sembra del cielo a noi che siamo in terra...» Nicola d resme ( ) Traité o Le lire ciel et monde

6 Relatiità Galileiana «Riserratei con qualche amico nella maggiore stana che sia sotto coerta di alcun gran nailio, e quii fate d aer mosche, farfalle e simili animaletti olanti; siai anco un gran aso d acqua, e dentroi de pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia adia ersando dell acqua in un altro aso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nae, osserate diligentemente come quelli animaletti olanti con pari elocità anno erso tutte le parti della stana; i pesci si edranno andar notando indifferentemente per tutti i ersi; le stille cadenti entreranno tutte nel aso sottoposto; e oi, gettando all amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dorete gettare erso quella parte che erso questa, quando le lontanane sieno eguali; e saltando oi, come si dice, a piè giunti, eguali spaii passerete erso tutte le parti. sserate che arete diligentemente tutte queste cose, benché niun bbio ci sia che mentre il assello sta fermo non debbano succeder così, fate muoer la nae con quanta si oglia elocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) oi non riconoscerete una minima mutaione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nae cammina o pure sta ferma: oi saltando passerete nel taolato i medesimi spaii che prima, né, perché la nae si muoa elocissimamente, farete maggior salti erso la poppa che erso la prua, benché, nel tempo che oi state in aria, il taolato sottopostoi scorra erso la parte contraria al ostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con più fora bisognerà tirarla, per arriarlo, se egli sarà erso la prua e oi erso poppa, che se oi fuste situati per l opposito; le gocciole cadranno come prima nel aso inferiore, sena caderne pur una erso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nae scorra molti palmi; i pesci nella lor acqua non con più fatica noteranno erso la precedente che erso la sussequente parte del aso, ma con pari ageolea erranno al cibo posto su qualsioglia luogo dell orlo del aso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor oli indifferentemente erso tutte le parti, né mai accaderà che si richino erso la parete che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al eloce corso della nae, dalla quale per lungo tempo, rattenendosi per aria, saranno state separate; e se abbruciando alcuna lagrima d incenso si farà un poco di fumo, edrassi ascender in alto ed a guisa di nugoletta trattenerisi, e indifferentemente muoersi non più erso questa che quella parte. E di tutta questa corrispondena d effetti ne è cagione l esser il moto della nae comune a tutte le cose contenute in essa ed all aria ancora, che per ciò dissi io che si stesse sotto coerta; ché quando si stesse di sopra e nell aria aperta e non seguace del corso della nae, differene più e men notabili si edrebbero in alcuni de gli effetti nominati» Galileo Galilei ( ) Dialogo sopra i e massimi sistemi del mondo, tolemaico e copernicano

7 In S0 ale F = Sistemi di riferimento ineriali ma a 0 e/o ω 0 a = a + a + ω ( ω r ) + ω Se il sistema S1 non è ineriale? ma = F a t a = a+ a t + a C ma = ma+ mat + ma C ma m = F F t F t a C Fora era C a C In un sistema ineriale le fore apparenti sono nulle Fore apparenti Non corrispondono a interaioni fisiche reali (4 fore fondamentali) In sistemi non-ineriali la legge di Newton non è più alida La fora effettiamente applicata al punto non è proporionale all acceleraione osserata La descriione del moto di P in un sistema non-ineriale risulta complicata dalla presena di fora apparenti

8 Relaione di Poisson Velocità angolare relatia: ω (costante) Vettore posiione nei e sistemi: r sistema fisso r sistema rotante dr dr = + ( ω r ) u, u, u u, u, u sistema fisso r ( t) r ( ) t ersori fissi P r ( t) ersori rotanti sistema rotante ω

9 Relaione di Poisson r = sistema r r + r = u + u + u fisso P r ( t) r = u + u + u r ( t) dr d d = = r + r = ω d d d = u + u + u r ( t ) + u, u, u ersori fissi u, u, u ersori rotanti d d d + u + + u + + u + = Intuitiamente dφ Deriata del ersore: = u = 0 per pura rotaione Dobbiamo dimostrare che questo termine è = ω r Velocità angolare dei ersori sistema accelerato e rotante La elocità angolare è la stessa per tutti e tre gli assi del sistema rotante: ω

10 Relaione di Poisson (NB: abbiamo tolto gli apici Dimostriamo che: + + = ω r per semplicità) = u u + u u + u u u u u d = 0 ( u u + u = u ) = 0 = u u + u u u u = Analogamente: = u u + u u = u u + u u q q = u, u, u q Analogamente: q u u = u u = Definiamo il ettore che ha come componenti i tre termini indipendenti: 1. Dimostriamo che. q q = ω + + = q r 0

11 q = u, u, u Dimostriamo che: Per la elocità angolare si ha: Relaione di Poisson + + = ω r ω = ω + ω + ω = ω u + ω u + ω u (NB: abbiamo tolto gli apici per semplicità) Dimostriamo che q = ω Consideriamo la componente lungo l asse : dθ ω = u La deriata del ersore è data da: q dθ = u dθ u = u u dθ = = ω Quindi: q = u = ω ω ω dθ ω ω Consideriamo rotaione antioraria ista dalla punta del ettore ω ω Analogamente per e Quindi abbiamo che q ω = ω

12 (NB: abbiamo tolto gli apici Dimostriamo che: + + = ω r = ω ( u per + u semplicità) + u ) = ( ω u ) + ( ω u ) + ( ω u ) = ω u ω u = u u u u + ω = q = u, u, u u = u u = ( 1, 0, 0) a b = ( ab ab ) u + = u + ( ab ab ) u + ( ab ab ) u u u u 0 ω u = u + u u u u = ω u Analogamente: = ω u = ω u Consideriamo il primo termine. Dimostriamo che: Relaione di Poisson

13 Dimostriamo che: (NB: re-introciamo gli apici) = ω u = ( ω u ) + ( ω u ) + ( ω u ) = ( ω u ) + ( ω u ) ( ) r + ω u = u + u + u r = ω = Caso di pura rotaione: = + ( ω r ) Relaione di Poisson + + = ω r dr dr = + ( ω r ) In generale: = + + ω r = ω r = ω u dk dk = + ( ω k ) (NB: abbiamo tolto gli apici per semplicità) Relaione di Poisson = ω u

14 Moto di uniforme: = cost. 0 ( r ) = t r = r + r = a = a + + a = Trascinamento traslatorio a = 0 ( ) 0 t ω = Moto relatio puramente traslatorio: 0 r (t) r ( t) P r r r = a = a = Proieioni sugli assi delle componenti: = t = = = a = a a = a = = a = a Trasformaioni galileiane Le leggi della dinamica sono inarianti rispetto a queste trasformaioni << c (Ciò ale purché )

15 r = r + r = a = a Moto di uniformemente accelerato: + + a a = 0 + = 0 + Velocità iniiale di r r r a = = = a a t Trascinamento traslatorio = at = ( at ) = att 1 t a t t const Proieioni sugli assi delle componenti: 1 = 0t a t = t = 0 att = a = a a a = a t ( ) 0 Moto relatio puramente traslatorio: t ω = 0 Nei e sistemi di riferimento misuro e dierse acceleraioni fore apparenti r (t) r ( t) = = a = P a

16 Moto rotatorio uniforme Trascinamento rotatorio ω = costante 0 = 0 a = 0 r ( t) = r ( t) Scegliamo origini coincidenti r = 0 Trasf. generali r = r + r r = r = + + ω r = + ω r = 0 r = r a = a + a + ω ( ω r ) + ω a = a + ω ( ω r ) + ω = 0 r = r ma = ma mω ( ω r ) mω «Fora centrifuga» ma = F + F ω r F = mω ru Centrifuga Centrifuga + F Coriolis «Fora di Coriolis» Fore apparenti: Scompaiono in un sistema ineriale Necessarie per spiegare la dinamica i sistemi rotanti (non ineriali) r P F F Coriolis ω Coriolis

17 Trascinamento rotatorio u ω u r T mg sseratore ineriale Lungo u u Lungo r T mg = ma + = mω r ur Acceleraione centripeta, diretta erso il centro, di molo T cosθ mg = 0 θ ω T sin = m r ω r tanθ = ω r g u ω u r sseratore solidale con la piattaforma rotante ma = ma mω ( ω r ) mω ma = F + FCentrifuga + FCoriolis = 0 Il punto è fermo T + = 0 a= 0 T mg m ω r ur T + mg + mω r ur = 0 F mg Centrifuga Lungo u T cos θ mg = 0 u gr ω tanθ = T sinθ + mω r = 0 Lungo r nel sistema rotante Si ritroa lo stesso risultato, una olta che si tiene conto delle fore apparenti