1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO

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1 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO 1 q q 0 F = 4πϵ ( r, r- E(r ) = F = q 0 ϕ 3 (E) = q 456 div E = ρ 1 q 4πϵ ( r, r- < E dl > = 0 rot E = 0 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO atomo di Bohr idrogeno: r ( = 0,53 H 10 IJ( m F >LMN = 1 e, v, 4π r, = m r mv, = 1 e, 4π r K r = J, mv, = J, U(r) = q V = e J U V QRS T W J U QRS T W = J U V QRS T m U = 9,1 H 10 I^J kg v(r ( ) = 1 4π e, r ( m = = 2, m s = 0,7% c W < 0 V( ) = 0 E r = K + U = J, J U V QRS T W >>> 1

2 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO atomo di Bohr r ( = 0,53 H 10 IJ( m E = K + U = 1 1 e >>>, < 0!!! 2 4π r U(r) E K=E-U E r ( = 1 2 E=U U( ) = 0 r -13,6 ev K<0!!!à sistema legato: r < r 0 E>U K=0 K>0 1 e, = 9 H 10f 4π r ( 2 = 21,7 H 10 IJf J 1 ev 1,6 H 10 IJf J 1,6 H 10 IJf, 0,53 H 10 IJ( J = 21,7 H 10IJf J = 13,6 ev energia di ionizzazione 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO potenziale E = grad(v) div E = E r x + E t y + E v z = x =, x, +, y, +, z, V = y laplaciano, V = ρ(r ) V x Gauss + matematica div E = ρ(r ) V y y + V z z ρ(r ) = div E = div grad(v) =, V, V equazione di Poisson laplaciano 2

3 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO rot[grad V] = 0 campo e.s. verifichiamo che il campo elettrostatico è irrotazionale (linee di campo senza vortici) E = grad V = ı V V + ȷ x y + k V z ı ȷ k ı ȷ k V =0 rot[e]= r r t t v v = = ı 2 V y z + 2 V z y ȷ 2 V x z + 2 V z x + k 2 V x y + 2 V y x = 0 r r t t v teorema di SHWARZ sulle derivate parziali miste v = 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO rot E = 0 E, V, r q, r V spesso è noto solo V r V r = V r 0 + E dl r 0 E = grad(v) E 3

4 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO esercizio E, V, r in una regione di spazio è nota V(r ) = a r 2 con a = 10 5 V/m 2 Determinare E e la densità di carica in r = 1 cm V(r ) = a r 2 =a (x 2 +y 2 +z 2 ) V E = -grad(v)= ı x + ȷ V y + k V z = ı 2αx + ȷ 2αy + k 2αz = 2αr E(1 cm) = -2 kv/m div E = ρ(r ) ρ r = div E = ε ( ε + r ( = 2α + 2α + 2α = 6α = 5,3 µc/m 3 + t v 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO esercizio E, V, r direttamente: š(w) S T =, V V(r ) = a r 2 = a (x 2 +y 2 +z 2 ) è ρ r =, V = V r V + V t V + V v V = = 2α + 2α + 2α = 6α 4

5 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO Helmholtz matematica teorema di Helmholtz: se di un campo vettoriale sono noti in tutti i punti dello spazio la divergenza e il rotore è possibile, fissate le condizioni al contorno, ricavare il valore del campo in tutti i punti dello spazio. div E = ρ(r ) rot E = 0 esempio: la I e la III equazione di Maxwell per l elettrostatica nel vuoto consentono di conoscere il valore del campo elettrostatico in tutti i punti dello spazio purchésiano fissatele condizioni al contorno e sia nota la posizione e intensità di tutte le cariche nello spazio ρ(r ) 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO lezioni precedenti q r- E = div E = ρ(r ) 4π r, rot E = 0 W V r = V r ( + E dl E = grad V dv r = E dl W T 5

6 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO applicazione selettore di velocità che velocità deve avere una particella carica per uscire dal selettore di velocità? E= 10 kv/m deve descrivere una circonferenza q, m, v 0 di raggio R: qe=-mv 02 /R dato il verso di E deve essere q<0 v ( = I se elettrone: v ( = R= 10 cm J, HJ( ª«J(HJ( (,J fhj( ª = 1, m/s = 4,4 % c vuoto 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO separatore applicazione elettrostatico ionizzatore a seconda della carica acquisita le particelle ionizzate, scendendo lungo la colonna, si colonna spostano a desta o sinistra separandosi L = 2 m E = 0,5 MV/m le linee di campo non rappresentano la traiettoria ma l accelerazione 6

7 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO separatore applicazione ionizzatore elettrostatico scendendo di L, quanto (d) si sposta una particella di carica q = -10 pc e m = 1 mg? L = 2 m y x d E x = 0,5 MV/m a x = qe x /m v x = qe x /m t x = ½ qe x /m t 2 a y = g v y = g t y = ½ g t 2 L = ½ g t 2 t 2 =2L/g d = ½ qe x /m 2L/g = = qe x L/mg = = J(HJ( ªV (, HJ( ±, = J( ± f,² = +1m à moto rettilineo: tg q = v y /v x = mg/qe x 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO XEROX applicazione il campo generato da un filo sottile supera la rigidità dielettrica dell aria e un flusso di elettroni ionizza (effetto corona) il toner che viene attratto dalla carta (schema semplificato) h ϕ 3 (E) = 2πr h E(r) = q 456 P r E P è E(r) = λ 1 2π r = λ h l =??? E(a) =??? E(d) =??? filo di raggio a carico negativamente a = 25 µm DV = 600 V d = 8 mm superficie da caricare positivamente 7

8 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO XEROX applicazione V = µ λ 1 2π r dr = λ ln a 2π d è λ =,RS T N5 = -5,8 nc/m 2πε E(r) = λ 1 ( V 2π r E a = λ 1 2π a = ln a d 1 2π a = V a ln a = 4, 2 MV/m d E d = V filo carico negativamente d ln a = 13 kv << E(a) m a = 25 µm d DV = 600 V d = 8 mm superficie da caricare 1) ELETTROSTATICA NEL VUOTO elettrodotto applicazione per il trasporto dell ½ energia elettrica si utilizzano cavi ad alta tensione posti su tralicci. A quale altezza minima dal suolo deve essere posto un cavo a -380 kv di raggio a = 2 cm per evitare l effetto corona (perforazione del dielettrico)? E a = V a ln a < 3 MV/m d ln d a = V a E à d min = 11 m MAX cavo ad alta tensione a = 2 cm DV = 380 kv suolo d min =??? 8