Giovanni Torrero

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1 LE FORZE CENTRALI

2 Giovanni Torrero

3 Indice Capitolo 1. Cinematica Sistemi di riferimento La velocità L accelerazione 13 Capitolo 2. Dinamica forze costanti perpendicolari alla traiettoria 17 Indice analitico 21 Bibliografia 23 Bibliografia 23 Elenco delle figure 25 3

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5 CAPITOLO 1 Cinematica 1.1. Sistemi di riferimento Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano riportato nella figura 1.1.1, dove ux e uy sono i versorii dell asse x e dell asse y rispettivamente 1 FIGURA Sistema di riferimento cartesiano Nell istante t il punto materiale si trova in P, mentre nell istante t + t si trova in Q. Il vettore r è il vettore che individua la posizione del punto materiale che descrive la traiettoria rappresentata dalla curva fucsia. Se indichiamo con x e y le coordinate del punto P abbiamo che (1.1.1) r = x u x + y u y Indicando con ur il versore avente la stessa direzione e verso di r, possiamo scrivere (1.1.2) r = r u r 1 Per semplicità supponiamo che il moto sia piano. 5

6 6 1. CINEMATICA 1.2. La velocità La velocità con cui si muove il punto P è data da (1.2.1) v = d r = = dx ux + dy uy Velocità in coordinate polari. Usando la nella pagina precedente l espressione della velocità sarà 2 (1.2.2) Poniamo (vedi [1, a pag. 108 ]) v = d r = = dr ur + r d u r (1.2.3) v r = dr Indicando con θ (vedi figura nella pagina precedente) l angolo che il vettore r forma con l asse delle x, avremo, ricordando che i versori hanno modulo unitario, FIGURA Scomposizione del versore u r (1.2.4) ur = cosθ u x + sinθ u y dove θ è una funzione del tempo t. Di conseguenza (1.2.5) d u r = d u r dθ dθ = = ( sinθ u x + cosθ u y ) dθ 2 Si può dimostrare che anche nel caso di funzioni vettoriali vale la stessa regola della derivazione del prodotto delle funzioni scalari

7 1.2. LA VELOCITÀ 7 Poniamo (1.2.6) ed osserviamo che antiorario il versore Poniamo inoltre (1.2.7) ω u θ = sinθ u x + cosθ u y u θ è un versore che si ottiene ruotando di 90 in senso ur. ω = dθ si chiama velocità angolare e si misura in nella pagina precedente si ottiene rad. sec., sostituendo nella d u r (1.2.8) = ω u θ Tenuto conto di quest ultima relazione, della a fronte e sostituendo nella nella pagina precedente si ottiene (1.2.9) v = v r ur + ω r u θ Lo spazio s. Vi è un secondo modo per studiare la velocità di un punto materiale che si muove su una traiettoria piana 3 ed è quello di introdurre la grandezza s la lunghezza dell arco di traiettoria percorso ad un certo istante t partendo da un istante iniziale t 0 FIGURA Arco di traiettoria Indichiamo con s questa nuova funzione che è ovviamente una funzione del tempo. Per definire s seguiamo la strada più ovvia: 3 I risultati ottenuti per la curva piana si possono facilmente estendere a una curva nello spazio.

8 8 1. CINEMATICA Data una traiettoria (curva) avente le seguenti equazioni parametriche: (vedi [3, a pag. 167 e seguenti ]) (1.2.10) x = y = ϕ(t) ψ(t) dove t è il tempo e le due funzioni ϕ(t) e ψ(t) sono continue e derivabili finché si vuole e che le derivate prime non si annullino mai contemporaneamente. Per definire la lunghezza dell arco P 0 P n immaginiamo tutte le possibili suddivisioni di tale arco (vedi figura nella pagina precedente) e per ciascuna suddivisione calcoliamo la corrispondente spezzata la cui lunghezza è data da: (1.2.11) n 1 [ϕ (t k+1 ) ϕ (t k )] 2 + [ψ (t k+1 ) ψ (t k )] 2 k=0 Per ogni suddivisione indichiamo con h la lunghezza del lato maggiore della spezzata, definiamo quindi lunghezza dell arco (1.2.12) s(t) = lim n 1 h 0 k=0 [ϕ (t k+1 ) ϕ (t k )] 2 + [ψ (t k+1 ) ψ (t k )] 2 É possibile dimostrare il seguente teorema: TEOREMA (della lunghezza dell arco ) Supponendo che la traiettoria descritta dal punto materiale abbia come equazioni parametriche le e che le due funzioni ϕ(t) e ψ(t) siano continue e derivabili in tutto l intervallo di tempo considerato e che le derivate prime non si annullino mai contemporaneamente, si può dimostrare che ˆt (1.2.13) s(t) = t 0 [dϕ(u) ] 2 [ ] dψ(u) 2 + du du du DIMOSTRAZIONE

9 1.2. LA VELOCITÀ 9 Osserviamo che grazie al teorema di Lagrange [2, a pag. 181 ] 4 applicato alle due funzioni ϕ(t) e ψ(t) abbiamo che la a fronte diventa: n 1 [ϕ (t k+1 ) ϕ (t k )] 2 + [ψ (t k+1 ) ψ (t k )] 2 = = = k=0 n 1 k=0 [ϕ (ξ )(t k+1 t k )] 2 + [ψ (η)(t k+1 t k )] 2 }{{} t k <ξ <t k+1 t k <η<t k+1 n 1 (t k+1 t k ) k=0 [ϕ (ξ )] 2 + [ψ (η)] 2. Osservando la figura ed applicando al triangolo OAB il teorema che dice che un Per comodità di lato è maggiore della differenza degli altri due: scrittura abbiamo supposto [ ] che dϕ(t) = ϕ (ξ ) t=ξ FIGURA Disuguaglianza triangolare AB > (1.2.14) OA OB [ϕ (ξ ) ϕ (t k+1 )] 2 + [ψ (η) ψ (t k+1 )] 2 > [ϕ (ξ )] 2 + [ψ (η)] 2 [ϕ (t k+1 )] 2 + [ψ (t k+1 )] 2 tenendo conto che dovremo passare al limite per h che tende a zero e che le due derivate ϕ (t) e ψ (t) essendo continue su tutto l intervallo chiuso e limitato [t 0 ;t] sono ivi anche uniformemente continue (vedi [4, a pag. 216 e seguenti ]), cioè fissato un qualsiasi numero reale positivo ε prendendo h 4 Joseph-Louis Lagrange, o Giuseppe Ludovico Lagrangia o ancora Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange (Torino, 25 gennaio 1736 Parigi, 10 aprile 1813), matematico, nato a Torino da una famiglia di origini francesi, studia all Università di questa città e nel 1758 è professore di geometria alla Scuola di Artiglieria del capoluogo piemontese, partecipa alla fondazione dell Accademia delle Scienze di Torino, successivamente si trasferisce a Berlino e poi in Francia dove rimane fino alla morte.si è occupato soprattutto di matematica: calcolo delle variazioni, teoria dei numeri, teoria dei gruppi, equazioni differenziali, ha inoltre posto le fondamenta della meccanica razionale.

10 10 1. CINEMATICA sufficientemente piccolo si ha ϕ (ξ ) ϕ (t k+1 ) < ε e ψ (η) ψ (t k+1 ) < ε, pertanto la nella pagina precedente diventa : 2ε 2 > [ϕ (ξ )] 2 + [ψ (η)] 2 [ϕ (t k+1 )] 2 + [ψ (t k+1 )] 2 ε 2 > [ϕ (ξ )] 2 + [ψ (η)] 2 [ϕ (t k+1 )] 2 + [ψ (t k+1 )] 2 la disuguaglianza precedente vale k = 0, 1, 2... a patto di prendere h sufficientemente piccolo, questo significa che k lim h 0 [ϕ (ξ )] 2 + [ψ (η)] 2 [ϕ (t k+1 )] 2 + [ψ (t k+1 )] 2 = 0 k lim [ϕ (ξ )] 2 + [ψ (η)] 2 = lim [ϕ (t k+1 )] 2 + [ψ (t k+1 )] 2 h 0 h 0 e che pertanto (t k+1 t k ) [ϕ (ξ )] 2 + [ψ (η)] 2 = lim n 1 lim h 0 k=0 (1.2.15) C.V.D. s(t) = n 1 h 0 k=0 ˆt t 0 (t k+1 t k ) [ϕ (t k+1 )] 2 + [ψ (t k+1 )] 2 [ϕ (u)] 2 + [ψ (u)] 2 du Occupiamoci ora della tangente alla traiettoria in un suo punto P, infatti dimostreremo che il vettore velocità ha la stessa direzione della tangente alla traiettoria. FIGURA Tangente alla traiettoria Dalla geometria possiamo prendere la definizione di tangente ad una curva in un suo punto:

11 1.2. LA VELOCITÀ 11 DEFINIZIONE (di tangente ad una curva in un suo punto) La tangente ad una curva in un suo punto P 0 (vedi figura a fronte) è la posizione limite della secante P 0 P 1 quando il punto P 1 tende al punto P 0. Supponiamo che la traiettoria sia data tramite le equazioni parametriche x = ϕ(t) (1.2.16) y = ψ(t) dove il parametro t potrebbe essere il tempo, supponiamo inoltre che le due funzioni ϕ(t) e ψ(t) siano continue e derivabili finché si vuole con derivate prime mai simultaneamente nulle, nell intervallo di tempo considerato, sotto queste condizioni possiamo dimostrare il seguente teorema: TEOREMA (della tangente) Data la traiettoria riportata nella figura nella pagina precedente le cui equazioni parametriche siano le le quali soddisfano alle condizione citate nelle righe precedenti, le equazioni parametriche della x 0 = ϕ(t 0 ) retta tangente alla traiettoria in un suo punto P 0 (x 0 ;y 0 ) con y 0 = ψ(t 0 ) sono date da : x = x 0 + αt (1.2.17) y = y 0 + βt dove: (1.2.18) DIMOSTRAZIONE α = β = ϕ (t 0 ) [ϕ (t 0 )] 2 +[ψ (t 0 )] 2 ψ (t 0 ) [ϕ (t 0 )] 2 +[ψ (t 0 )] 2 Consideriamo il seguente rapporto incrementale: r(t) r (t 0 ) (1.2.19) t t 0 questo rapporto è un vettore che ha la stessa direzione di r = r(t) r (t 0 ) e quindi ha la stessa direzione della secante P 0 P 1 passare al limite per t t 0 è la stessa cosa che passare al limite per P 1 P 0, di conseguenza il vettore [d ] r (t 0 ) = r(t) t=t 0 è un vettore parallelo alla tangente, ma d r(t) = ϕ (t) u x + ψ (t) u y

12 12 1. CINEMATICA da quanto detto segue che il modulo del vettore r (1.2.20) (t 0 ) = di conseguenza il versore: u T = r (t 0 ) [ϕ (t 0 )] 2 + [ψ (t 0 )] 2 sarà: ϕ (t 0 ) ψ (t 0 ) ux + uy [ϕ (t 0 )] 2 + [ψ (t 0 )] [ϕ 2 (t 0 )] 2 + [ψ (t 0 )] 2 avrà la stessa direzione della tangente alla traiettoria in P 0 e quindi i coseni direttori di quest ultima saranno: α = β = ϕ (t 0 ) [ϕ (t 0 )] 2 +[ψ (t 0 )] 2 ψ (t 0 ) [ϕ (t 0 )] 2 +[ψ (t 0 )] 2 mentre le equazioni parametriche della tangente saranno: x = x 0 + αt y = y 0 + βt Consideriamo come parametro per individuare la posizione del punto sulla traiettoria il parametro s definito dalla nella pagina 8 ˆt [dϕ(u) ] 2 [ ] dψ(u) 2 (1.2.21) s(t) = + du du du É di immediata dimostrazione il seguente corollario: COROLLARIO (del modulo della velocità) (1.2.22) dove v è il modulo della velocità: DIMOSTRAZIONE t 0 ds(t) = v v = d r Cominciamo con l osservare che dalla si deduce che [dϕ(t) ] ds(t) 2 [ ] dψ(t) 2 (1.2.23) = + d altra parte dalla si ha che [dϕ(t) ] 2 [ dψ(t) (1.2.24) v = + quindi il corollario è dimostrato ] 2

13 1.3. L ACCELERAZIONE 13 COROLLARIO (1.2.25) Dimostrazione Infatti di conseguenza d r ds = u T v = d r = d r ds ds = d r ds v v = v u T = d r ds v pertanto il corollario è dimostrato 1.3. L accelerazione Coordinate polari. L accelerazione è definita come (1.3.1) a = d v se usiamo la rappresentazione cartesiana della velocità, cioè la nella pagina 6, otteniamo a = d2 x ux 2 + d2 y (1.3.2) uy 2 usando invece la nella pagina 7 otteniamo a = dv r d u r ur + v r + dωr u θ + ω r d u θ (1.3.3) Calcoliamo le varie derivate che compaiono nella relazione precedente, cominciando con dv r = d2 r (1.3.4) 2 = a r nella precedente relazione abbiamo utilizzato la relazione nella pagina 6. La d u r seconda derivata è già calcolata, basta ricordare la nella pagina 7. Calcoliamo la terza derivata che compare nella dωr = r dω + ω dr (1.3.5) = r α + ω v r dove α = dω rsd è l accelerazione angolare che si misura in sec. 2. Calcoliamo, infine, l ultima derivata della (1.3.6) d u θ = ( cosθ u x sinθ u y )ω }{{} nella pagina 7 = ω u r Sostituendo quanto trovato nella si ottiene: (1.3.7) a = a r ur + v r ω u θ + (r α + ω v r ) u θ ω 2 r u r = = ( a r ω 2 r ) ur + (2v r ω + αr) u θ

14 14 1. CINEMATICA Componenti tangenziali e normali dell accelerazione. É interessante osservare che cosa succede all accelerazione quando si considera come parametro la lunghezza s(t) dell arco di traiettoria descritto (vedi figura 1.3.1) FIGURA Componenti tangenziali e normali dell accelerazione (1.3.8) a = d v = = d (v u T ) = dv = dv = u T + v d u T ds u T + v 2 d u T ds ds = Chiamiamo accelerazione tangenziale (1.3.9) a T = dv = d2 s 2 mentre d u T ds = dφ d u T ds dφ

15 1.3. L ACCELERAZIONE 15 dove φ è l angolo che la tangente alla traiettoria nel punto che stiamo considerando forma con l asse x, pertanto u T = cosφ u x + sinφ u y d u T (1.3.10) = sinφ u x + cosφ u y = u N dφ u N è un versore perpendicolare al versore u T che si ottiene ruotando in senso antiorario il versore u T di 90, quindi ha la stessa direzione della normale alla curva nel punto considerato. dφ Il significato di è un po complesso, osservando la figura nella pagina precedente possiamo notare che le due normali alla traiettoria nei punti P 1 ds e P 2 si incontrano nel punto C e formano lo stesso angolo che formano le due tangenti incontrandosi nel punto D 5, indicando con ρ il raggio della circonferenza che meglio approssima l arco di traiettoria P 1 P 2 abbiamo, supponendo che φ sia la misura in radianti dell angolo P 1 ĈP 2, si ha Osservare che la lunghezza dell arco φ = s ρ P 1 P 2 è s φ s = 1 ρ passando al limite per s 0 e ponendo per definizione dφ (1.3.11) = 1 ds ρ ρ 6 risulta essere il raggio della circonferenza tangente alla traiettoria nel punto considerato, nel nostro caso P 1, questo raggio si chiama raggio di curvatura della traiettoria, mentre il punto C si chiama centro di curvatura della traiettoria nel punto P 1. Dopo tutto quanto detto, sostituendo nella nella pagina precedente possiamo scrivere: (1.3.12) Poniamo a = a T ut + v2 u N ρ (1.3.13) a N = v2 ρ che chiamiamo accelerazione centripeta, pertanto (1.3.14) a = a T ut + a N un 5 Vi è un teorema della geometria euclidea che afferma: se due rette sono incidenti e quindi incontrandosi formano quattro angoli anche le loro normali saranno incidenti e formeranno gli stessi quattro angoli 6 Il parametro ρ sarà positivo se φ(s) è una funzione crescente altrimenti può essere negativo, nell esempio riportato nella figura a fronte è appunto negativo

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17 CAPITOLO 2 Dinamica 2.1. forze costanti perpendicolari alla traiettoria Consideriamo un punto materiale che si muove sotto l azione di una forza che ha modulo costante e in ogni istante è perpendicolare alla velocità. Se la forza e la velocità sono perpendicolari anche l accelerazione e la velocità sono perpendicolari, pertanto tenuto conto della nella pagina 7, della nella pagina 13 e del fatto che i due versori ur e sono tra di loro perpendicolari si ottiene: u θ v a = v r ( ar ω 2 r ) + ωr (2v r ω + αr) 0 = v r a r + ω 2 rv r + ωαr 2 ricordando il significato delle varie grandezza precedentemente introdotte possiamo scrivere dr d 2 ( ) r dθ r dr + dθ d 2 θ 2 r2 = 0 L equazione ottenuta è troppo complicata e non riesco ad ottenere nulla di buono da essa, la lascio perdere, preferisco concentrarmi sulla nella pagina 15, mi sembra più promettente anche perché si sa che il moto di un simile punto materiale è un moto circolare uniforme e in quella formula entra in gioco il raggio di curvatura della traiettoria. Prima di procedere voglio però fissare le condizioni che assicurano che il moto sia piano, consideriamo la situazione nello spazio e supponiamo che nell istante iniziale il punto si trovi nell origine con la sua velocità diretta lungo l asse x, inoltre supponiamo che in ogni istante la forza sia perpendicolare all asse z, abbia modulo costante e sia perpendicolare alla velocità, quindi nell istante iniziale la forza è diretta lungo l asse y e supponiamo ancora che il suo verso sia concorde con quello dell asse y. Queste condizioni ci assicurano che la traiettoria apparterrà al piano xy, infatti l accelerazione non avrà alcuna componente lungo l asse z quindi la componente della velocità lungo tale asse rimarrà costante, ma essendo inizialmente nulla rimarrà nulla per tutta la durata del moto, questo significa che anche la coordinata z del punto mobile P sarà costante nel tempo, ma essendo inizialmente nulla rimarrà nulla per tutto il moto il quale avviene quindi sul piano xy. Siccome la forza è perpendicolare alla velocità anche l accelerazione sarà perpendicolare alla velocità, quindi a T = 0 pertanto il modulo della velocità sarà costante, quindi, tenuto conto della nella pagina 12 possiamo scrivere [ ] dϕ(t) 2 [ ] dψ(t) 2 (2.1.1) v 2 0 = + 17

18 18 2. DINAMICA FIGURA Condizioni iniziali Inoltre, siccome il modulo della forza è costante e vale sempre F 0 si ha, dalla nella pagina 15, che (2.1.2) v 2 0 ρ = F 0 m (2.1.3) ρ = m v2 0 F 0 questa seconda equazione ci dice che il raggio di curvatura della traiettoria è lo stesso in tutti i suoi punti. Ricordando la nella pagina 15 abbiamo che (2.1.4) dφ ds = 1 ρ ds = ρdφ s = ρ φ + k siccome nell istante iniziale sia φ sia s sono nulli allora k = 0, pertanto la relazione precedente diventa (2.1.5) s = ρ φ

19 2.1. FORZE COSTANTI PERPENDICOLARI ALLA TRAIETTORIA 19 considerando s e φ come funzioni del tempo si ha (2.1.6) s(t) = ρ φ(t) ds(t) = ρ dφ(t) v = ρ dφ(t) v 0 = ρdφ v = v 0 = cost. v 0 t = ρ φ + k se t = 0 φ = 0 quindi k = 0 φ = v 0 ρ t da quest ultima relazione e dalla a fronte si deduce (2.1.7) s = v 0 t che è la legge oraria di un moto uniforme con determinate condizioni iniziali. Il centro di curvatura C, vedi figura ha una posizione che può variare da istante a istante, proviamo a calcolare la sua velocità. FIGURA Moto del centro di curvatura (2.1.8) vc = d r C = = d ( r + ρ u N ) = = d r + dρ u N + ρ d u N

20 20 2. DINAMICA d r ricordando che = v, dρ = 0 perché ρ è costante nel tempo vedi la nella pagina 18, mentre: (2.1.9) d u N = d u N dφ = u T v ρ dφ ds ds = abbiamo applicato la nella pagina 15 e la nella pagina 12 inoltre ricordando la nella pagina 15 si ha che d u N dφ = u T sostituendo nella nella pagina precedente si ottiene (2.1.10) vc = v u T ρ v u T = 0 ρ quindi il punto C non si muove e i punti della traiettoria hanno sempre distanza ρ dal punto C quindi la traiettoria è un arco di circonferenza.

21 Indice analitico accelerazione angolare, 13 accelerazione centripeta, 15 accelerazione tangenziale, 14 centro di curvatura, 15 coseni direttori, 12 lunghezza dell arco, 7, 8 posizione del punto, 5 raggio di curvatura, 15 sistema di riferimento, 5 tangente ad una curva, 11 traiettoria, 5 uniformemente continue, 9 velocità, 6 versori, 5 21

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23 Bibliografia [1] Alonso / Finn. Elementi di Fisica per l Università - I Meccanica, volume 1. Addison - Wesley Publishing Company, [2] Francesco G. Tricomi. Lezioni di analisi matematica, parte prima, volume I. CEDAM - Padova, nona edition, [3] Francesco G. Tricomi. Lezioni di analisi matematica, parte seconda, volume II. CEDAM - Padova, nona edition, [4] Tullio Viola. Lezioni di analisi matematica, volume 1. Levrotto e Bella, Corso Vittorio Emanuele 28 - Torino,

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25 Elenco delle figure 1.1.1Sistema di riferimento cartesiano Scomposizione del versore u r Arco di traiettoria Disuguaglianza triangolare Tangente alla traiettoria Componenti tangenziali e normali dell accelerazione Condizioni iniziali Moto del centro di curvatura 19 25