Non usare la penna rossa! Non usare la cancellina!

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1 VERIFICA DI MATEMATICA 2^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il giorno 28 febbraio 2019 NOME E COGNOME Geometria Dimostrare che, in un trapezio rettangolo con le diagonali perpendicolari, il lato perpendicolare alle basi è medio proporzionale fra le due basi. (Esercizio n.4 pag.60 Geometria) Equazioni e fisica Per coprire una certa distanza, un treno impiega un tempo uguale al sestuplo del tempo che impiegherebbe un aereo che viaggia ad una velocità di 600 km/h superiore a quella del treno. Determinare la velocità del treno. (Dalla fisica s = vt) Disequazioni ed economia Il signor Rossi deve chiedere un prestito. Si rivolge ad una banca, che offre prestiti ad un tasso di interesse annuo del % ma chiedendo un rimborso spese di 0 annui. Si rivolge allora ad una società finanziaria che pratica un tasso di interesse annuo del 9% senza chiedere alcuna quota di rimborso spese. Al signor Rossi conviene chiedere il prestito alla banca o alla società finanziaria? (La risposta a questa domanda deve essere articolata: al di sotto di una certa somma conviene una cosa, al di sopra di una certa somma ne conviene un'altra.) Disequazioni (ma non solo) Risolvere la seguente disequazione: 9 +( x+2)( x 2)>8 x2 +( x+ 2 ) 2 +2 Equazioni con valore assoluto Risolvere la seguente equazione: 2 x +x 4=0 (2+ x) Valutazione Obiettivi: mantenimento degli argomenti di geometria; ripresa di equazioni e disequazioni collegandoli anche a problemi di fisica e di economia. Primo approccio alle equazioni con valore assoluto. Riferimenti principali: capitolo 8 del libro di Geometria; capitoli 8,9,10 del libro di Algebra vol.1 Valutazione delle risposte. 2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale. 1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità. 1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione. 1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore. 1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste. 1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste. 0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste. 0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno. 0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno. 0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto. I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo Nel BLOG si trovano preziosi consigli specifici per questa prova Seguendo la pagina facebook si possono avere notizie sugli aggiornamenti. Non usare la penna rossa! Non usare la cancellina!

2 1 Geometria Dimostrare che, in un trapezio rettangolo con le diagonali perpendicolari, il lato perpendicolare alle basi è medio proporzionale fra le due basi. (Esercizio n.4 pag.60 Geometria) Ipotesi: ABCD trapezio; AD, BC basi, rettangolo in B; BD AC ; Tesi: AD AB = AB BC. Dimostrazione: Consideriamo i triangoli ABD e ABC: sono entrambi rettangoli: ABD in A e ABC in B per l'ipotesi che il trapezio è rettangolo; inoltre ÂDB DBC in quanto alterni interni rispetto alle parallele AD e BC tagliate dalla trasversale BD. Dunque, per il primo criterio di similitudine, i triangoli ABD e ABC sono simili. Dalla similitudine segue la tesi. 2 Equazioni e fisica Per coprire una certa distanza, un treno impiega un tempo uguale al sestuplo del tempo che impiegherebbe un aereo che viaggia ad una velocità di 600 km/h superiore a quella del treno. Determinare la velocità del treno. (Dalla fisica s = vt) Non ci viene data la distanza, ma possiamo farne a meno, chiamiamola s. Indichiamo invece con t il tempo impiegato dall'aereo a coprire la distanza s. Il treno copre la stessa distanza in un tempo 6t e ci viene richiesta la sua velocità, che indicheremo con v. In questa scrittura la velocità dell'aereo è 600+v. Utilizziamo la formula del moto rettilineo uniforme s=vt. Per quanto scritto sopra deve essere: (600+v)t=v(6t) Evidentemente il tempo t sarà una quantità maggiore di zero e quindi possiamo riscrivere l'equazione come 600+v=6 v ovvero 600= v da cui v= 120 km/h. La velocità del treno è di 120 km/h.

3 Disequazioni ed economia Il signor Rossi deve chiedere un prestito. Si rivolge ad una banca, che offre prestiti ad un tasso di interesse annuo del % ma chiedendo un rimborso spese di 0 annui. Si rivolge allora ad una società finanziaria che pratica un tasso di interesse annuo del 9% senza chiedere alcuna quota di rimborso spese. Al signor Rossi conviene chiedere il prestito alla banca o alla società finanziaria? (La risposta a questa domanda deve essere articolata: al di sotto di una certa somma conviene una cosa, al di sopra di una certa somma ne conviene un'altra.) Evidentemente la convenienza dipende dalla somma da chiedere in prestito, che in questa domanda non viene specificata. Indichiamola allora con la lettera x. Chiedendo il prestito alla banca, dopo un anno dovrò restituire 100 x+0 ; 9 chiedendo il prestito alla finanziaria, dopo un anno dovrò restituire 100 x e basta. Risolvendo l'equazione 100 x+0= x trovo la somma x che determina per il signor Rossi lo stesso costo sia che si rivolga alla banca o alla finanziaria. 0= x 100 x Ovvero 0= x ovvero x=200 Dunque chiedendo un prestito di 200 il signor Rossi affronterebbe gli stessi costi alla banca o alla finanziaria. Evidentemente chiedendo una somma maggiore risulterebbe conveniente la banca, con un interesse minore, mentre chiedendo una somma inferiore risulterebbe conveniente la finanziaria, che chiede maggiori interessi ma non fa pagare le spese. Per chi non fosse convinto da questo ragionamento non resta che fare un piccolo test provando a fare i calcoli con somme minori e maggiori di 200. Per chi ha qualche dimestichezza col foglio elettronico, c'è anche la possibilità di creare una tabella tipo la seguente (che poi è quello che fanno spesso gli impiegati in banca e nelle finanziarie): prestito richiesto spese banca spese finan

4 4 Disequazioni (ma non solo) Risolvere la seguente disequazione: 9 +( x+2)( x 2)>8 x2 +(x+ 2 ) 2 +2 (2+ x) Il ma non solo è riferito al fatto che prima di affrontare la disequazione dobbiamo semplificare le espressioni utilizzando quello che sappiamo del calcolo letterale. Cominciamo utilizzando i prodotti notevoli somma per differenza al primo membro e il quadrato del binomio al secondo membro x2 4>8 x 2 +x x x Ho anche applicato la proprietà distributiva al penultimo termine. Come era prevedibile le x 2 si cancellano a vicenda. 9 4> 4 x x I monomi con la x sono già tutti a destra, quindi porto i termini noti a sinistra, utilizzando il primo principio di equivalenza > 4 x+2 x Ovvero 20 9 >10 x Applicando il secondo principio di equivalenza: >x ovvero x< 2

5 Equazioni con valore assoluto Risolvere la seguente equazione: 2 x +x 4=0 L'argomento del valore assoluto si annulla per x= 2. Caso I. Sia x 2, allora 2 x =2 x. In questo caso l'equazione diventa: 2 x +x 4=0 ovvero x =0 ovvero x= Osserviamo che > 2 e quindi tale soluzione è accettabile. Caso II. Sia x< 2, allora 2 x = 2 x+. In questo caso l'equazione diventa: 2 x++x 4=0 ovvero x 1=0 ovvero x= 1 Osserviamo che 1< 2 e quindi tale soluzione è accettabile. Conclusione: le soluzioni richieste sono x= x= 1