VERIFICA DI MATEMATICA 2^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 24 settembre 2018

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1 VERIFICA DI MATEMATICA 2^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 24 settembre 208 NOME E COGNOME Dopo aver riformulato l'enunciato dei seguenti teoremi nella forma se/allora, scrivere l'ipotesi e la tesi di ciascuno di essi, aiutandosi con un disegno. a) Due triangoli aventi basi e altezze congruenti, hanno la stessa area b) Una retta passante per il centro di una circonferenza la divide in due parti congruenti Date le semirette OA OB OC aventi l'origine O in comune, indica tutti gli angoli che hanno per lati due di queste semirette. Disegna un pentagono ABCDE. Indica quali sono i suoi angoli interni e i suoi angoli esterni. Disegna poi le diagonali: quante sono? Su una retta r sono dati i segmenti, successivamente adiacenti, AB, BC, CD, DE, tutti tra loro congruenti. Dimostrare i seguenti teoremi: a) AD DE b) 2 BC CE c) AC CE d) BD CE Tre semirette uscenti da uno stesso punto dividono il piano in tre angoli congruenti, dimostra che il prolungamento di ciascuna di esse è la bisettrice dell'angolo convesso formato dalle altre due. Valutazione Obiettivi: rafforzare la memorizzazione delle definizioni, analizzare l'enunciato di una proposizione, abituarsi a ideare semplici dimostrazioni Valutazione delle risposte. 2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste. punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste. 0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste. 0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno. 0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno. 0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto. I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo Nel BLOG si trovano preziosi consigli specifici per questa prova Seguendo la pagina facebook si possono avere notizie sugli aggiornamenti.

2 Dopo aver riformulato l'enunciato dei seguenti teoremi nella forma se/allora, scrivere l'ipotesi e la tesi di ciascuno di essi, aiutandosi con un disegno. a) Due triangoli aventi basi e altezze congruenti, hanno la stessa area b) Una retta passante per il centro di una circonferenza la divide in due parti congruenti Lettera a Se due triangoli hanno basi e altezze congruenti, allora hanno anche la stessa area. Aiutiamoci con un disegno: Ipotesi: AB DF HC DE Tesi: area( ABC)=area(FDE ) è pure accettabile esprimere la tesi già come risultato del calcolo dell'area: Tesi: AB HC DF DE = 2 2 Lettera b Se una retta passa per il centro di una circonferenza, allora la retta divide la circonferenza in due parti congruenti. Aiutiamoci con un disegno: Ipotesi: O r Tesi: s s 2

3 2 Date le semirette OA OB OC aventi l'origine O in comune, indica tutti gli angoli che hanno per lati due di queste semirette. Per rispondere a questa domanda è indispensabile fare un disegno: in questa prima figura sono indicati i tre angoli convessi individuati dalle tre semirette. In questa seconda figura invece indichiamo i tre angoli concavi individuati dalle stesse semirette. L'indicazione tramite il disegno è una risposta assolutamente esauriente alla richiesta. Disegna un pentagono ABCDE. Indica quali sono i suoi angoli interni e i suoi angoli esterni. Disegna poi le diagonali: quante sono? In questo caso il disegno ci è esplicitamente richiesto. Si osservi che ci viene richiesto un pentagono senza ulteriori particolari, dunque non è obbligatorio disegnare un pentagono regolare, ma non è neppure sbagliato. Va benissimo un pentagono disegnato a casaccio come questo:

4 Adesso evidenziamo gli angoli interni: Per evidenziare gli angoli esterni dobbiamo stare molto attenti a non fare un pasticcio. Ma soprattutto ricordiamoci che dobbiamo prolungare i lati del poligono! E infine disegnamo le diagonali, possiamo contarne 5: 4 Su una retta r sono dati i segmenti, successivamente adiacenti, AB, BC, CD, DE, tutti tra loro congruenti. Dimostrare i seguenti teoremi: a) AD DE b) 2 BC CE c) AC CE d) BD CE In questo caso il disegno non è richiesto, ma è sempre utile farlo, perché ci aiuta a pensare. Possiamo sintetizzare le ipotesi in questo modo: ) sono contenuti tutti nella stessa retta r AB, BC, CD, DE r

5 2) sono tutti congruenti tra loro AB BC CD DE ) sono consecutivi (ciò risulta espresso semplicemente grazie ai nomi dei punti) Nota bene: se stanno sulla stessa retta e sono consecutivi, allora (per definizione) sono adiacenti Le tesi sono le relazioni riportate alle lettere a,b,c,d. Svolgeremo quattro dimostrazioni, una per ciascuna tesi. Partiremo sempre dalle solite ipotesi e con dei passi logici arriveremo alla tesi che ci interessa. Teorema a Osserviamo che, siccome per ipotesi sono segmenti adiacenti, allora AB+BC+CD= AD. Inoltre, sempre per ipotesi, AB BC CD DE. Allora possiamo dire che DE+DE+DE AD ovvero che DE AD ma allora possiamo anche dire che AD DE CVD (Come Volevasi Dimostrare). Teorema b Osserviamo che CE CD+DE. Per ipotesi CD DE BC e allora possiamo dire che CE BC+BC ovvero che CE 2 BC CVD Teorema c Osserviamo che AC AB+ BC. Per ipotesi AB BC CD DE e in particolare AB CD BC DE allora possiamo dire che AC CD+DE Osserviamo pure che CD+BE CE e allora AC CE CVD (Nota bene: abbiamo ripetutamente applicato la proprietà transitiva della congruenza). Teorema d Osserviamo che BD=BC+CD e come al solito per ipotesi AB BC CD DE ma in particolare, per quello che ci interessa, BC DE. Allora possiamo dire che BD DE+CD CD+ DE CE Ovvero che BD CE CVD

6 5 Tre semirette uscenti da uno stesso punto dividono il piano in tre angoli congruenti, dimostra che il prolungamento di ciascuna di esse è la bisettrice dell'angolo convesso formato dalle altre due. Non è richiesto il disegno, ma in questo caso è molto utile farlo per riflettere meglio sulla situazione che ci è stata descritta. Per poter progettare la dimostrazione è bene chiarire quali siano le ipotesi e quale la tesi. Se tre semirette uscenti dallo stesso punto dividono il piano in tre parti uguali, allora ciascun prolungamento delle semirette è la bisettrice dell'angolo convesso formato dalle altre due. Diamo dei nomi: l'origine O; le tre semirette a,b,c; i tre angoli aob, boc, coa, le tre bisettrici a',b',c' facendo riferimento alla semiretta che prolungano (ovvero all'altra metà della retta completa). Quindi, a' sarà la bisettrice di boc (se riusciremo a dimostrarlo) e analogamente per le altre due. Ipotesi: aob boc coa Tesi: aoc ' c' Ob boa ' a ' Oc cob ' b ' Oa Osserviamo il disegno, cercando un punto di partenza per la nostra dimostrazione. Quello che ci vuole è una proprietà che coinvolga sia gli angoli indicati nell'ipotesi che gli angoli indicati nella tesi. Un teorema che può esserci utile in questa (ma anche in tantissime altre dimostrazioni) è quello che dice: due angoli opposti al vertice sono congruenti. (Pag. del libro di testo) Nel nostro caso, grazie a questo teorema, possiamo aggiungere alle ipotesi che: aoc ' a ' Oc boa ' a ' Ob boc ' cob' Fatte queste premesse, adesso partiamo con la dimostrazione vera e propria, ci concentreremo su una delle tre (potenziali) bisettrici: c' Per ipotesi aob boc. Per costruzione aob=aoc' +c' Ob e boc=boa' +a ' Oc ; allora aoc '+c' Ob boa' +a ' Oc

7 Per il teorema degli angoli opposti al vertice aoc ' a' Oc allora aoc '+c' Ob boa' +aoc ' allora c' Ob boa ' allora cob ' b' Oa grazie al teorema degli opposti al vertice, allora b' è bisettrice di aoc. Analogamente (cambiano solo i nomi delle lettere) a' è bisettrice di boc e c' è bisettrice di aob. CVD Dimostrazione alternativa. Possiamo anche non scomodare il teorema degli angoli opposti al vertice e fare un ragionamento partendo dall'angolo giro. Anche stavolta mi concentro sulla (potenziale) bisettrice c'. La retta formata dalle semirette c e c' determina due angoli piatti, in corrispondenza dei due semipiani. Per costruzione coc '=π Sempre per costruzione coc '=cob+boc ' in un semipiano ma anche coc ' =coa+aoc' nell'altro semipiano ed entrambi sono angoli piatti. Allora cob+boc' coa+aoc ' Per ipotesi coa cob allora boc ' aoc ' allora c' è bisettrice di aob. Analogamente per le altre due semirette, semplicemente scambiando le lettere. CVD