VERIFICA DI MATEMATICA 1^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 2 maggio 2019

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1 VERIFICA DI MATEMATICA 1^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il maggio 019 NOME E COGNOME 1 Equazioni. Risolvere la seguente equazione rispetto a x, al variare del parametro b (senza dimenticare le condizioni di esistenza): b 1 b x+b x = x b b x Disequazioni. Risolvere la seguente disequazione rispetto a y (senza dimenticare le condizioni di esistenza): ( y 1)( y+)( y ) ( y 4)>0 4 5 Equazioni con valore assoluto. Risolvere la seguente equazione rispetto a z (senza dimenticare le condizioni di esistenza): z z + z+1 = z + z Disequazioni con valore assoluto. Risolvere la seguente disequazione rispetto a t, discutendo dettagliamente i vari casi. t 1 t +4 0 t+ Statistica Un controllo sulla durata di alcune candele profumate ha rilevato le seguenti misurazioni, espresse in ore: durata frequenza Dare una rappresentazione grafica. Determinare media, moda, mediana, deviazione standard. - Obiettivi: riuscire a risolvere equazioni e disequazioni utilizzando i principi di equivalenze, definizioni e teoremi pregressi. Gestire dei calcoli statistici. Gli argomenti si trovano nei capitoli 8 equazioni ; 9 disequazioni ; 10 valore assoluto ; 11 statistica descrittiva. Valutazione Griglia di valutazione delle risposte. punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale. 1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità. 1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione. 1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore. 1, punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste. 1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste. 0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste. 0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno. 0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno. 0, punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto. I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo Nel BLOG si trovano preziosi consigli specifici per questa prova Seguendo la pagina facebook si possono avere notizie sugli aggiornamenti. Non usare la cancellina! Non usare la penna rossa!

2 1 Equazioni. Risolvere la seguente equazione rispetto a x, al variare del parametro b (senza dimenticare le condizioni di esistenza): b 1 b x+b x = x b b x Le condizioni di esistenza sono abbastanza ovvie: deve essere b 0 x 0. Altrettanto ovvio è che il denominatore comune per le tre frazioni è il monomio bx. L'equazione diventa: x(b 1) b( x+b) = x b b x b x b x A questo punto possiamo disinteressarci del denominatore e lavorare solo sui numeratoricol calcolo letterale e il primo principio di equivalenza. b x x b x b =x b b x x b x x=b b b x x=b b (b ) x=b(b ) Prima di applicare il secondo principio di equivalenza osserviamo che con b= l'equazione risulta indeterminata. Ponendo b possiamo applicare il secondo principio di equivalenze e scrivere che x=b. Ricapitolando. Condizione di esistenza: x 0 Con b=0 l'equazione non ha senso. Con b= l'equaizione è indeterminata. Con b 0 b la soluzione è x=b

3 Disequazioni. Risolvere la seguente disequazione rispetto a y (senza dimenticare le condizioni di esistenza): ( y 1)( y+)( y ) ( y 4)>0 Non sono presenti divisioni o altro che renda necessario porre delle condizioni di esistenza. Ci può invece essere utile una mappa dei segni che evidenzi per quali valori di y il prodotto è positivo. Osserviamo subito che tutti i valori che annullano i singoli fattori non sono soluzioni della disequazione, visto che annullano anche il prodotto. Si noti anche che il fattore ( y ) è positivo per qualunque valore y. Osservando la mappa ci rendiamo conto che il prodotto è positivo per < y<1 y>4. Una versione alternativa della mappa potrebbe essere una tabella come questa: y< < y <1 1< y< < y<4 y>4 y ( y ) y y prodotto Concludendo, le soluzioni della disequazione sono le y tali che < y<1 y>4. Equazioni con valore assoluto. Risolvere la seguente equazione rispetto a z (senza dimenticare le condizioni di esistenza): z z + z+1 = z + z Non ci sono divisioni o altro che possa far perdere senso alle espressioni, quindi l'equazione si può risolvere per ogni z R. Osserviamo adesso gli argomenti dei valori assoluti: il secondo si annulla per z= 1 annulla per z= e il quarto si annulla per z=0., il terzo si Va studiato in modo più attento il primo pezzo nel quale troviamo un valore assoluto contenuto nell'altro: quello più interno si annulla per z=0.

4 Con z>0 osserviamo che z z + = z z+ = =. Con z<0 osserviamo che z z + = z+ z+ = z + = z+1. Dunque possiamo affermare che l'argomento del primo valore assoluto si annulla per z= 1. Chiarito questo possiamo impostare la suddivisione in casi per risolvere l'equazione. I z< 1 II 1<z< 1 III 1 < z<0 IV 0<z< V z> Caso I z 1 L'equazione diventa: z + z+1=+ z z ovvero 1= 1 Si tratta di un'equazione indeterminata, a quanto pare tutte le z 1 sono soluzioni. Caso II 1 z 1 L'equazione diventa: z ++ z+1=+z z ovvero 4 z = 4. Viene confermata la soluzione di confine z= 1 comunque già compresa in quelle trovate nel caso precedente. Caso III 1 z 0 L'equazione diventa: z + z 1=+z z ovvero 1= 1. In questo caso l'equazione risulta impossibile. Caso IV 0 z L'equazione diventa: z 1=+z + z ovvero 4 z= ovvero z= 1 che è accettabile. Caso V z L'equazione diventa: z 1= z ++ z ovvero z=4 ovvero z= che non è accettabile. Ricapitolando abbiamo determinato le soluzioni z 1 z= 1

5 4 Disequazioni con valore assoluto. Risolvere la seguente disequazione rispetto a t, discutendo dettagliamente i vari casi. t 1 t +4 0 t+ Cominciamo subito stabilendo le condizioni di esistenza: deve essere t+ 0 ovvero t+ dunque t+ che ci porta a t 1 ma anche t+ che ci porta a t 5. Ricapitolando, le condizioni di esistenza sono t 1 t 5. Detto questo osserviamo che i valori assoluti si annullano per questi valori baseremo la nostra casistica. t=1 t= t= e quindi su Caso I t. Il numeratore diventa t+1+t +4=t+ mentre il denominatore diventa t = t 5= (t+5). Osserviamo che in questo caso il numeratore è sempre minore o uguale a zero, dunque la disequazione risulta verificata se il denominatore è positivo. Occorre risolvere (t+5)>0 ovvero t+5<0 ovvero t< 5. Caso II t<1. Il numeratore diventa come prima t+. Il denominatore invece diventa t+ =t 1. Il numeratore in questo caso è sempre maggiore o uguale a zero, mentre il denominatore è sempre minore di zero. Dunque la disequazione è verificata per tutti i valori di questo caso. Caso III 1<t Il numeratore diventa t 1+ t +4=t. Il denominatore diventa come sopra t 1. Il numeratore è positivo per tutti i valori del caso, il denominatore pure. Dunque la disequazione non è verificata per alcun valore in questo caso. Caso IV t Il numeratore diventa t 1 t++4= t+6 che è positivo per <t<6 mentre il denominatore è sempre il solito t 1 ed è sempre positivo. La disequazione è quindi verificata per t 6. Ricapitolando: la disequazione risulta verificata per i valori di t tali che: t< 5 t<1 t 6

6 Approccio (leggermente) più rapido ma anche (leggermente) più abile: Dopo aver posto le condizioni di esistenza ci possiamo rendere conto molto facilmente che il denominatore è negativo per 5<t<1 ed è positivo per t< 5 t>1. Dunque rimane da studiare, nei vari casi, il segno del numeratore. Ovviamente per risolvere la disequazione devo cercare dei valori di t per i quali numeratore e denominatore sono discordi. I casi da esaminare sono tre. Caso I t<1. Il numeratore diventa t+1+t +4=t+ che è positivo o nullo per t Il denominatore è negativo per 5<t<1 e quindi le soluzioni della disequazione, in questo caso sono le t< 5 <t<1. Caso II 1<t Il numeratore diventa t 1+ t +4=t che è positivo in questo caso. Ma anche il denominatore è positivo in questo caso e quindi non ci sono soluzioni per la disequazione. Caso III t Il numeratore diventa t 1 t++4= t+6 che è positivo per t<6. In questo caso il denominatore è sempre positivo, quindi le soluzioni della disequazione sono le t 6. Ricapitolando: la disequazione risulta verificata per i valori di t tali che: t< 5 t<1 t 6

7 5 Statistica Un controllo sulla durata di alcune candele profumate ha rilevato le seguenti misurazioni, espresse in ore: durata frequenza Dare una rappresentazione grafica. Determinare media, moda, mediana, deviazione standard Una possibile rappresentazione grafica potrebbe essere questa: la quantitò di candele a seconda della rispettiva durata. Il numero totale delle candele è 40. Calcoliamo la durata media delle candele, ovvero la media aritmetica delle durate. M = , La moda è 8, visto che ci sono ben 1 candele che durano 8 ore. Per la mediana andiamo a cercare le candele che hanno la ventesima e la ventunesima durata, se osserviamo la tabella ci rendiamo conto che le troviamo entrambe tra le 4 candele che durano 5 ore, dunque la mediana è 5. Infine, per calcolare la deviazione standard, ci occorrono gli scarti quadratici, calcolarne la media aritmetica e poi estrarne la radice quadrata. Riportiamo i dati nella seguente tabella: durata frequenza Totale candele: 40 durata media: 5,775 scarti sempl. 4,775,775,775 0,775,5 6,5 scarti quadr., ,5065 7, , , ,75065 varianza: 1,7475 deviazione standard:, Dunque la deviazione standard è circa,57.