NOME E COGNOME. Dimostrare che due triangoli isosceli sono congruenti se hanno congruenti gli angoli alla base e la bisettrice relativa ad essi.

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1 VERIFICA DI MATEMATICA 2^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il giorno 22 novembre 2018 NOME E COGNOME Dimostrare che due triangoli isosceli sono congruenti se hanno congruenti gli angoli alla base e la bisettrice relativa ad essi. Dimostrare che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un lato e le altezze relative agli altri due lati. Dato il triangolo ABC, prolungare il lato AB dalla parte di A, di un segmento AD congruente ad AB; prolungare poi il lato AC dalla parte di A, di un segmento AE congruente ad AC. Dimostrare che il quadrilatero BCDE è un parallelogramma. Considerare un angolo convesso di vertice O. Da un punto A della sua bisettrice condurre le perpendicolari ai lati dell'angolo, chiamando i punti di intersezione con i lati B e C. Dimostrare che OA è l'asse del segmento BC. Individuare il luogo dei possibili vertici A di un triangolo ABC, con base BC fissata, tale che la mediana AM relativa a BC sia congruente al lato AC. Valutazione Obiettivi: riuscire ad interpretare un enunciato, analizzarlo coi metodi se/allora ipotesi/tesi, impostare la dimostrazione, scrivere la dimostrazione in modo chiaro. Applicare le proprietà delle figure geometriche, i criteri di congruenza dei triangoli, il teorema fondamentale delle rette parallele, il teorema del fascio di parallele. Prima conoscenza dei luoghi geometrici. Riferimenti principali: capitoli 1,2,3,4, 5 del libro di testo. Valutazione delle risposte. 2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale. 1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità. 1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione. 1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore. 1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste. 1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste. 0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste. 0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno. 0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno. 0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto. I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo Nel BLOG si trovano preziosi consigli specifici per questa prova Seguendo la pagina facebook si possono avere notizie sugli aggiornamenti.

2 1 Dimostrare che due triangoli isosceli sono congruenti se hanno congruenti gli angoli alla base e la bisettrice relativa ad essi. Nel disegno vediamo un solo triangolo, visto che l'altro deve essere congruente, i vertici del secondo triangolo saranno indicati da un apostrofo in apice. ABC e A'B'C' triangoli isosceli ; BAC B ' A' C ' ; ABC A' B ' C ' ; AE A' E ' ; BD B ' D ' i triangoli ABC A' B ' C ' Consideriamo il triangolo ABD e il suo corrispondente A'B'D'. Per ipotesi BD B ' D ' ; sempre per ipotesi gli angoli BAD B ' A ' D ' ; inoltre gli angoli BAD ABC e poi essendo BD la bisettrice abbiamo che perché si tratta di un triangolo isoscele, ABD 1 2 ABC 1 2 BAD ; e infine, per la somma interna degli angoli di un triangolo abbiamo che ADB π 3 2 BAD. Ovviamente lo stesso identico ragionamento posso ripeterlo sull'altro triangolo isoscele e ci serve a concludere che i triangoli ABD e A'B'D' hanno tutti gli angoli congruenti. Ricapitolando abbiamo che BD B ' D ' e gli angoli ADB A' D ' B' ; ABD A' B ' D ' ; allora i triangoli ABD A' B ' D' per il secondo criterio di congruenza. In particolare i lati AB A ' B'. A questo punto abbiamo gli angoli il lato compreso AB A ' B ' BAC B ' A' C ' ; ABC A' B ' C ' per ipotesi; allora i triangoli ABC A' B ' C ' per il secondo criterio di congruenza, che è la tesi.

3 2 Dimostrare che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un lato e le altezze relative agli altri due lati. Nel disegno vediamo soltanto un triangolo, visto che l'altro deve essere congruente. I punti del secondo triangolo saranno distinti da un'apostrofo in apice. AB A ' B' ; BK B ' K ' ; AH A' H ' i triangoli ABC A' B ' C ' Consideriamo i triangoli ABK e ABH, sono rettangoli perché per ipotesi AH e BK sono altezze. I triangoli ABK A ' B ' K ' ; ABH A' B ' H ' per lo speciale criterio di congruenza dei triangoli rettangoli [pag.119; 125 del libro di testo], avendo le ipotenuse AB A ' B' e un cateto BK B ' K ' ; AH A' H ' per le ipotesi. In particolare gli angoli KAB K ' A' B' ; ABH A ' B ' H ' ; considerando ancora l'ipotesi AB A ' B ' possiamo dire che per il secondo criterio di congruenza i triangoli ABC A' B ' C ', ovvero la tesi. 3 Dato il triangolo ABC, prolungare il lato AB dalla parte di A, di un segmento AD congruente ad AB; prolungare poi il lato AC dalla parte di A, di un segmento AE congruente ad AC. Dimostrare che il quadrilatero BCDE è un parallelogramma. AB AD ; A,B, D allineati ; AC AE ; A,C,E allineati. BCDE parallelogramma. Ovvio. Per le ipotesi A è il punto medio di BD e di CE, dunque le diagonali del quadrilatero BCDE si tagliano scambievolmente a metà. Allora il quadrilatero BCDE è un parallelogramma grazie alle proprietà dei parallelogrammi.

4 4 Considerare un angolo convesso di vertice O. Da un punto A della sua bisettrice condurre le perpendicolari ai lati dell'angolo, chiamando i punti di intersezione con i lati B e C. Dimostrare che OA è l'asse del segmento BC. angoli BOD COD ; angoli ABO ACO π 2. angoli ODB ODC π 2. Consideriamo i triangoli OAB e OAC. Sono entrambi rettangoli essendo per ipotesi gli angoli ABO ACO π 2 ; hanno l'ipotenusa OA in comune; e sempre per ipotesi gli angoli BOD COD ; allora i triangoli OAB OAC per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli ( o se preferite per il secondo criterio di congruenza dato che per somma interna degli angoli di un triangolo abbiamo anche che gli angoli OBA OCA ). In particolare abbiamo che OB OC e quindi il triangolo OBC è isoscele. In un triangolo isoscele la bisettrice del terzo angolo è anche altezza e mediana, quindi OD è anche altezza del triangolo OBC, quindi OD è perpendicalare a BC, e siccome il segmento OD è contenuto nel segmento (nella retta) OA, possiamo affermare che BC è perpendicolare ad OA. Inoltre essendo OD mediana abbiamo anche che BD CD (Si poteva anche già dire in virtù della congruenza dei triangoli rettangoli OAB e OAC). Ricapitolando la retta OA è perpendicolare al segmento BC e lo incontra nel suo punto medio, quindi per definizione è l'asse del segmento BC, come volevasi dimostrare.

5 5 Individuare il luogo dei possibili vertici A di un triangolo ABC, con base BC fissata, tale che la mediana AM relativa a BC sia congruente al lato AC. Il punto A deve stare in un luogo che mantenga le caratteristiche indicate. Il fatto che la mediana AM sia congruente al lato AC significa semplicemente che il triangolo AMC è isoscele, dunque A deve stare in un luogo tale che AMC sia sempre isoscele. Questo luogo è l'asse del segmento MC, ovvero il luogo dei punti equidistanti da M e da C.