VERIFICA DI MATEMATICA 1^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 21 marzo 2019

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1 VERIFICA DI MATEMATICA ^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 2 marzo 209 NOME E COGNOME Scomposizione di polinomi in fattori. Scomponi in fattori i seguenti polinomi (o espressioni algebriche che possono essere trasformate in polinomi). x y 4 y 2 ; 4 a 2 ( x ) 2a( x)+9 x 9 Frazioni algebriche. Semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo averne determinato le condizioni di esistenza. a x 2 9 a b x 2 +9 b a x+3 a b x 3 b ; 36 x 2 6 Equazioni. Risolvere la seguente equazione (senza dimenticare le condizioni di esistenza): x 5 x x 7 6 x 3 =3 x 4 x 2 x 2 Disequazioni. Risolvere la seguente disequazione (senza dimenticare le condizioni di esistenza): x x x x 2 Equazioni con valore assoluto. Risolvere la seguente equazione con valore assoluto discutendo dettagliamente i vari casi. 2 x 3 +x 4=0 Obiettivi: riuscire a risolvere equazioni e disequazioni affrontandole come problemi e non come esercizi. Gli argomenti si trovano nei capitolo 6 Scomposizione in fattori di un polinomio ; 7 Frazioni algebriche ; 8 equazioni ; 9 disequazioni ; 0 valore assoluto Valutazione Griglia di valutazione delle risposte. 2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste. punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste. 0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste. 0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno. 0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno. 0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto. I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo Nel BLOG si trovano preziosi consigli specifici per questa prova Seguendo la pagina facebook si possono avere notizie sugli aggiornamenti. Non usare la cancellina! Non usare la penna rossa!

2 Scomposizione di polinomi in fattori. Scomponi in fattori i seguenti polinomi (o espressioni algebriche che possono essere trasformate in polinomi). x y 4 y 2 ; 4 a 2 ( x ) 2 a( x)+9 x 9 Si osservi che (2 y 3) 2 =4 y 2 2 y+9 Quindi possiamo scrivere x y 4 y 2 =x 2 (2 y 3) 2 =( x+2 y 3)( x 2 y+3) Passiamo ora al secondo polinomio: 4 a 2 ( x ) 2 a( x)+9 x 9=4a 2 ( x )+2 a(x )+9(x )=(x )(4a 2 +2 a+9)=......=( x )(2a+3) 2 Essendo (2a+3) 2 =4a 2 +2a+9

3 2 Frazioni algebriche. Semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo averne determinato le condizioni di esistenza. a x 2 9a b x 2 +9b a x+3a b x 3b ; 36 x 2 6 a x 2 9a b x 2 +9b a x+3a b x 3b Il denominatore si fattorizza abbastanza facilmente con il raccoglimento parziale: a x+3 a b x 3 b=a( x+3) b( x+3)=(x+3)(a b) Grazie a questa fattorizzazione possiamo porre le condizioni di esistenza: x 3 a b Altrettanto agevolmente utilizziamo il raccoglimento parziale anche per il numeratore: a(x 2 9) b( x 2 9)=(a b)( x 2 9)=(a b)( x+3)( x 3) Ricapitolando: a x 2 9a b x 2 +9b a x+3a b x 3 b x 3) =(a b)(x+3)( = x 3 (a b)( x+3) Passiamo ora all'altra frazione: 36 x 2 6 La condizione di esistenza è x 2 3 Al numeratore applichiamo il somma per differenza 36 x 2 6 x+4)(6 x 4) =(6 =6 x 4

4 3 Equazioni. Risolvere la seguente equazione (senza dimenticare le condizioni di esistenza): x 5 x x 7 6 x 3 =3 x 4 x 2 x 2 Non dimentichiamo le condizioni di esistenza. A causa del primo denominatore deve essere x 3 A causa del secondo denominatore deve essere x 4. Si osservi infine che il terzo denominatore è x 2 x 2=(x+3)(x 4). Riassumendo, le condizioni di esistenza sono x 3 x 4. Adesso passiamo alla risoluzione dell'equazione. Scrivo tutte le frazioni con lo stesso denominatore. ( x 5)(x 4) x 7)(x+3) +(2 (x+3)( x 4) (x 4)(x +3) = 3 x2 3 x 36 6 x+3 x 2 x 2 A questo punto posso disinteressarmi del denominatore. x 2 5 x 4 x+20+2 x 2 7 x+6 x 2=3 x 2 9 x 5 Come ci aspettavamo i quadrati di x si eliminano tra di loro. x = 5 ovvero x=4 Questa soluzione però è in contraddizione con le condizioni di esistenza e quindi non è accettabile. L'equazione è impossibile. Qualcuno si chiederà: ma come faccio ad arrivarci? Una volta stabilite le prime due condizioni di esistenza osservo che anche il terzo denominatore si annulla per x=4 e x=-3, da cui, per il teorema di Ruffini, segue la fattorizzazione che abbiamo scritto. Confidiamo anche sul fatto che negli esercizi di scuola spesso e volentieri va a finire così.

5 4 Disequazioni. Risolvere la seguente disequazione (senza dimenticare le condizioni di esistenza): x x x x 2 Non dimentichiamo le condizioni di esistenza: a causa del primo denominatore deve essere x 3 A causa del secondo denominatore deve essere x. Infine osserviamo che (come spesso accade) il terzo denominatore 3+2 x x 2 =(3 x)(x+) Ricapitolando le condizioni di esistenza sono: x 3 x. Passiamo ora a risolvere la disequazione: iniziamo riconducendo tutto allo stesso denominatore. 2( x+) 2(x 3)( x+) + 5(x 3) 2(x+)(x 3) 6 2 ((x 3)( x+)) Essendo una disequazione non ci dobbiamo disfare del denominatore. 2 x+2+5 x x 7 0 ovvero 2(x 3)( x+) 2(x 3)( x+) 0 7( x ) ovvero 2(x 3)( x+) 0 Per capire meglio in quale situazione ci ritroviamo, può risultare molto utile fare una mappa: Grazie a questa mappa ci rendiamo conto la disequazione è soddisfatta per x< dove i tre binomi sono tutti negativi e quindi la frazione risulta negativa e anche per x<3 dove i tre binomi sono discordi, ma con due positivi e uno negativo e quindi la frazione risulta negativa. Ricapitolando le soluzioni sono: x< x <3.

6 5 Equazioni con valore assoluto. Risolvere la seguente equazione con valore assoluto discutendo dettagliamente i vari casi. 2 x 3 +x 4=0 L'argomento del valore assoluto si annulla per x= 3 2. Studiamo separatamente questi due casi. Caso I x< 3 2 L'equazione diventa: 2 x+3+x 4=0 ovvero x =0 da cui x= che è accettabile Caso II x> 3 2 L'equazione diventa: 2 x 3+x 4=0 ovvero 3 x 7=0 da cui x= 7 3 che è accettabile. Conclusione: le soluzioni sono: x= e x= 7 3