ESERCIZI DEL CAPITOLO 10 VOLUME 1 pagine
|
|
- Albano Santoro
- 4 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 ESERCIZI DEL CAPITOLO 10 VOLUME 1 pagine a. FALSO. Controesempio: 10 = 10 b. VERO. Ovvio. c. FALSO. Controesempio: 10 = 10 d. VERO. Per definizione di valore assoluto. a. VERO. x+3 0 Per ogni valore di x, dunque non può essere minore di un numero negativo. b. FALSO. Non è verificata nel caso x=. c. VERO. x +1 = x In particolare l'uguaglianza vale per x=0 mentre per tutti gli altri valori vale la disuguaglianza stretta. d. VERO. La disuguaglianza è falsa per ogni valore di x a causa della definizione di valore assoluto. L'uguaglianza vale nei casi x= x= 1
2 3a. FALSO. Controesempio: con x=-1 abbiamo 1+1 = 1 +1 ovvero 0=, assurdo. 3b. VERO. Ovvio. 3c. VERO. Si noti che x+ y 3= (3 x y) 3d. FALSO (in generale). L'uguaglianza potrebbe essere vera soltanto nel caso a= b. Altrimenti avremmo un'uguaglianza tra un numero positivo e uno negativo. 4a. VERO. Basta applicare la proprietà distributiva. x 4 = (x ) = x = x 4b. VERO. Si applica di nuovo la proprietà distributiva, questa volta stando attenti ai segni. 3 a 6 b = 3(a+ b) = 3 a+ b =3 a+ b 4c. VERO. Nel caso x=0 avremmo 0+1>0 vera. Nel caso x=-1 avremmo 1+0>0 vera. In tutti gli altri casi avremmo comunque la somma di due numeri positivi maggiore di 0. 4d. FALSO. Per x=1 abbiamo 0+1>0 vera, per x= abbiamo 1+0>0 vera. Quindi anche 1 e fanno parte delle soluzioni (che poi tutto l'insieme dei reali). 5a. VERO. Applico lo sviluppo del quadrato del binomio. Teniamo presente che x = x. 5b. VERO. Applico la proprietà distributiva. 3 x +4 x =(3+4) x =7 x 5c. VERO. Semplicemente perché, come già detto sopra, x =x 5d. VERO. x 3 + x 3 = x 3 = 4 x 6.
3 6 x 8 =0 Il valore assoluto interviene sul segno, ed è nullo quando l'argomento è nullo. Dunque dobbiamo semplicemente risolvere x 8=0 ovvero x=8 ovvero x=4 3 x+4 = 1. Per qualunque valore di x il membro a sinistra sarà positivo o nullo, quindi mai un numero negativo. L'equazione è impossibile. x+x 3 +3=0. Idem come sopra. Per qualunque valore di x a sinistra avremo un numero maggiore o uguale a 3, quindi non potrà in nessun caso essere nullo. L'equazione è impossibile. 7 x x =0 Il valore assoluto interviene sul segno, ed è nullo quando l'argomento è nullo. Dunque dobbiamo semplicemente risolvere x x=0 ovvero x(x 1)=0 ovvero x=0 x=1. x =6. Possiamo intuitivamente determinare subito le due soluzioni, ovvero x=3 x= 3. Se a qualcuno non piace affidarsi troppo all'intuizione può fare due passaggi formali, suddividendo in tre casi. x>0. L'equazione è equivalente a x=6 ovvero x=3, accettabile. x<0. L'equazione è equivalente a x=6 ovvero x= 3, accettabile. x=0. Ovviamente tale valore non è soluzione dell'equazione. x =1. Possiamo intuire immediatamente le due soluzioni: x=3 x=1. Se però preferite perderci più tempo possiamo svolgere la consueta distinzione in casi, a seconda che l'argomento del valore assoluto sia positivo, negativo o nullo. x>. L'equazione è equivalente a x =1 ovvero x=3, accettabile. x<. L'equazione è equivalente a x+=1 ovvero x=1, accettabile. x=. Ovviamente tale valore non è soluzione dell'equazione. 3
4 8 5 x 0. Per definizione di valore assoluto possiamo disinteressarci della disuguaglianza: non potrà essere in nessun caso negativo. Dunque resta da trovare una soluzione per l'uguaglianza, in pratica dobbiamo semplicemente risolvere l'equazione 5 x =0 o ancora meglio, dobbiamo semplicemente risolvere l'equazione 5 x=0 ovvero x=5. 3 x <0. In questo caso non è richiesta l'uguaglianza, ma soltanto la disuguaglianza. Per definizione di valore assoluto possiamo dire immediatamente che tale disequazione è impossibile. x 3 +π +π 3 >0. Il pi greco è stato inserito solo per gettare fumo negli occhi. Si tratta di un numero irrazionale, ma in questo momento ci interessa sapere soltanto che è positivo. Qualunque valore possa sostituire alla x, dal valore assoluto otterrò un numero positivo o nullo, che poi aggiunto ad un numero positivo darà un risultato in ogni caso positivo. Dunque tutti i valori reali sono soluzioni di questa disequazione. 9 x 1 >0 Per definizione di valore assoluto, l'unico caso in cui non è vera la disuguaglianza è quando l'argomento del valore assoluto è nullo, cioè nel caso x=1. Per tutti gli altri valori di x la disuguaglianza è verificata. x 1 >0 Come sopra, dobbiamo preoccuparci soltanto del caso in cui l'argomento del valore assoluto sia nullo, o meglio dei casi... perché l'equazione x 1=0 ha due soluzioni: x=1 x= 1. Escludiamo questi due valori, per tutti gli altri la disuguaglianza è verificata. 1 x 0. Non so se sia necessario ripetere per l'ennesima volta che per definizione di valore assoluto la disuguaglianza stretta non può essere vera in nessun caso. Può essere vera l'uguaglianza ed in effetti l'equazione 1 x =0 è verificata per x=1 x= 1. Questi due valori sono dunque le soluzioni richieste. 10 (prima) x 5 3=0. Sempre più difficile! Finalmente di ovvio non c'è niente, dobbiamo rimboccarci le maniche e lavorare sull'equazione dividendo in più casi. Dobbiamo cioè distinguere la situazione in cui l'argomento del valore assoluto è positivo, da quella in cui è negativo. x 5 0 ovvero x 5. In questo caso l'equazione da risolvere è equivalente a x 5 3=0 ovvero x=8 ovvero x=4, accettabile. x 5<0 ovvero x< 5. In questo caso l'equazione da risolvere è equivalente a x+5 3=0 ovvero x= ovvero x=1, accettabile. Ricapitolando le soluzioni richieste sono x=4 x=1 4
5 10 (seconda) x 4 = 3 x 1 Ci troviamo di fronte ad un'uguaglianza tra valori assoluti, la suddivisione in casi si fa più complicata. Per quanto riguarda il primo membro devo considerare separatamente i casi x 4 x<4 mentre per quanto riguarda il secondo membro devo considerare separatamente i casi x 1 3 x< 1 3 sembra superfluo ricordare che. Facciamo scorrere il valore della x sulla retta reale in ordine crescente. Mi 1 3 <4. x< 1 3 L'equazione da risolvere è equivalente a x+4= 3 x+1 ovvero 3 x x=1 4 ovvero x= 3 ovvero x= 3 che è accettabile dato che 3 < x<4 L'equazione da risolvere è equivalente a x+4=3 x 1 ovvero x 3 x= 1 4 ovvero 4 x= 5 ovvero x= 5 4 che è accettabile dato che 1 3 < 5 4 <4 Formalmente resta da esaminare il caso x 4. L'equazione da risolvere è equivalente a x 4=3 x 1 che, notate bene, è equivalente a quella già risolta nel primo caso. Se ci accorgiamo di questo possiamo fermarci qui e dare le soluzioni, ma anche se non ce ne accorgessimo, risolvendo x 3 x= 1+4 ovvero x=3 ovvero x= 3, cioè lo stesso valore già trovato e accettato prima. Formalmente in questo caso non possiamo accettarlo, ma ormai la questione è del tutto irrilevante. Ricapitolando, le soluzioni dell'equazione sono x= 3 x= (terza) x 3 +x >0 La disuguaglianza è vera per quei valori di x per cui l'argomento è diverso da zero. Dunque risolvendo l'equazione x 3 + x=0 troveremo quei valori di x che non sono soluzioni della disequazione, ovvero sono i valori che dobbiamo buttare via. Tale equazione è equivalente a x(x +1)=0 che ha come unica soluzione x=0. Concludendo le soluzioni richieste sono tutti quei valori x 0 5
6 11 (prima) x+ +>0 Per definizione di valore assoluto a sinistra vediamo una somma di numeri positivi che risulterà positiva per qualunque valore di x. Dunque le soluzioni sono tutti i possibili valoi di x. 11 (seconda) x 3 +4<0. Qualunque sia il valore di x a sinistra ci sarà un numero positivo, dunque la disuguaglianza non è verificata per alcun valore di x, si tratta di una disequazione impossibile. 11 (terza) x 3 +x >. A sinistra della disuguaglianza troviamo un numero che, per definizione di valore assoluto, sarà positivo o nullo. In ogni caso maggiore di qualunque valore negativo, dunque le soluzioni della disequazione sono tutti i valori reali. 1 (prima) x 1 < 1. A sinistra della disuguaglianza troviamo un numero che, per definizione di valore assoluto, sarà positivo o nullo. In ogni caso maggiore di qualunque valore negativo, dunque non esistono soluzioni per questa disequazione, si tratta di una disequazione impossibile. 1 (seconda) x 3 x 0. Per definizione di valore assoluto, la disuguaglianza stretta non è verificata in alcun caso. Cerchiamo allora soltanto i valori che rendono vera l'uguaglianza: x 3 x =0. Possiamo disinteressarci del valore assoluto e fattorizzare x( x 3)=0. Le soluzioni di quest'ultima equazione, ma anche della disequazione da cui siamo partiti, sono x=0 x=3 1 (terza) +7 x 0. Per definizione di valore assoluto, qualunque valore sostituito alla x rende vera la disuguaglianza. 6
7 13 (prima) x +3 x 4 0. Per definizione di valore assoluto la disuguaglianza stretta non è mai verificata. Cerchiamo i valori per cui vale l'uguaglianza, ovvero quei valori che annullano l'argomento del valore assoluto. Occorre semplicemente risolvere l'equazione x +3 x 4=0 che si può fattorizzare (osservando i coefficienti) (x 1)(x+4)=0 da cui le soluzioni x= 4 x=1. 13 (seconda) x + x 15 >0. Per definizione di valore assoluto la disuguaglianza stretta è verificata per tutti quei valori che non annullano l'argomento. Dunque cerchiamo quei valori per poi escluderli dall'insieme delle soluzioni. Occorre risolvere l'equazione x + x 15=0. Il polinomio di secondo grado si può fattorizzare osservando i coefficienti ( x 3)( x+5)=0. Tale equazione ha come soluzioni x=3 x = 5. Di conseguenza le soluzioni richieste sono tutti quei valori tali che x 3 x 5 13 (terza) x 4 +3 x 4 0. Per definizione di valore assoluto la disuguaglianza è verificata per tutti i possibili valori di x. 14 (prima) x 5 +4 x >0. Per definizione di valore assoluto la disuguaglianza stretta è verificata per tutti quei valori che non annullano l'argomento. Dunque cerchiamo quei valori per poi escluderli dall'insieme delle soluzioni. Occorre risolvere l'equazione x 5 +4 x=0 ovvero x(x 4 +4)=0 che ha un'unica soluzione x=0. Dunque le soluzioni richieste sono tutti quei valori x 0 14 (seconda) x 4 8 x 9 >0. Per definizione di valore assoluto la disuguaglianza stretta è verificata per tutti quei valori che non annullano l'argomento. Dunque cerchiamo quei valori per poi escluderli dall'insieme delle soluzioni. Occorre risolvere l'equazione x 4 8 x 9=0 ovvero (x +1)(x 9)=0 che ha come soluzioni x=3 x= 3. Dunque le soluzioni della disequazione sono tutti quei valori tali che x 3 x 3 7
8 15 (prima) x 3 3 x 4 =0 Occorre spezzare il nostro studio in diversi casi, per quanto riguarda il primo valore assoluto dovremmo distinguere il caso x 3 dal caso x< 3 valore assoluto dovremmo distinguere il caso x 4 3 dal caso x< 4 3. mentre per quanto riguarda il secondo 4 Spero che non ci sia bisogno di sottolineare il fatto che 3 < 3. Dunque percorriamo la retta dei reali considerandola divisa in tre zone: x< 4 3 ; 4 3 x< 3 ; x 3. Per ciascuna di queste zone potrò studiare l'equazione applicando il valore assoluto al suo argomento. x< 4. Entrambi gli argomenti sono negativi, dunque l'equazione diventa 3 x+3 ( 3 x+4)=0 che risolviamo molto facilmente x+3+3 x 4=0 x=1. La soluzione trovata è coerente col caso che stiamo esaminando e quindi è accettabile. 4 3 x< 3. Il primo argomento è positivo, il secondo argomento è negativo, dunque l'equazione diventa x 3 ( 3x+4)=0 che risolviamo facilmente x 3+3 x 4=0 5 x=7 x= 7 5. La soluzione trovata è coerente col caso che stiamo esaminando e quindi è accettabile. x 3. Entrambi gli argomenti sono positivi, dunque l'equazione diventa x 3 (3 x 4)=0 ovvero x 3 3 x+4=0 che è del tutto equivalente a quella del primo caso che aveva soluzione x=1. In questo terzo caso tale soluzione non è accettabile, dunque in questa zona non troviamo soluzioni. Concludendo, le soluzioni richieste sono x=1 x= (seconda) 8
9 x 1 = x 7 Notiamo subito una cosa: se i due argomenti hanno lo stesso segno l'equazione è impossibile. Sia con gli argomenti entrambi positivi che con quelli entrambi negativi otterremmo l'equazione x 1=x 7 ovvero 1= 7 falso per qualunque valore di x. Dunque non resta che studiare il caso in cui gli argomenti siano discordi, ovvero il caso in cui abbiamo 1<x <7. Possiamo risparmiarci la fatica di tradurlo in una condizione sulla x di primo grado e risolvere subito l'equazione x 1= x +7 ovvero x =8 ovvero x =4 ovvero x= x=. Entrambe queste soluzioni sono coerenti con il caso in esame e quindi sono accettabili. Concludendo: le soluzioni richieste sono x= x= 15 (terza) x =3+ x In questa situazione possiamo tranquillamente applicare subito il primo principio di equivalenza x x =3 e arrivare a scrivere x =3. Banalmente le soluzioni richieste sono x=3 x= 3 16 (prima) ( x +1) =x 6. Sviluppiamo subito il quadrato del binomio x + x +1= x 6. In questo modo ci liberiamo subito delle incognite di secondo grado + x +1= 6 e già a questo punto ci rendiamo conto che l'equazione è impossibile, visto che nessun valore di x può rendere negativo il primo membro. 16 (seconda) ( x 3) = x +1 Sviluppiamo subito il quadrato del binomio x 6 x +9= x +1 ed eliminiamo i termini di secondo grado: 6 x +9=1. Poi risolviamo rispetto al valore assoluto di x. 6 x = 8 Ovvero x = 4 3. Dunque le soluzioni richieste sono x= 4 3 x= (terza) ( x ) >5+ x Sviluppiamo subito il quadrato del binomio ( x ) >5+ x ed eliminiamo i termini di secondo grado: 4 x +4>5. Ci rendiamo presto conto che la disequazione è impossibile 4 x >1. Qualunque sia il valore di x il primo membro è negativo e meno che mai potrà essere maggiore di 1. 9
10 19 x 1 + x 3 0 Ovviamente il primo membro non è negativo, qualsiasi sia il valore di x. Resta da chiarire se esistono valori di x per cui è vera l'uguaglianza. x 1 + x 3 =0 Essendo una somma di due addendi positivi l'unica possibilità e che siano entrambi nulli, ma anche questo non accade, o si annulla il primo valore assoluto con x=1 o si annulla il secondo con x=3. Per nessun valore di x possono essere entrambi nulli. Conclusione: la disequazione è impossibile. 0 (prima) x + x 3 <0 Ovviamente il primo membro non è negativo, qualsiasi sia il valore di x. La disequazione è impossibile. 0 (seconda) x < x Ovviamente il primo membro non è negativo, qualsiasi sia il valore di x. Altrettanto ovviamente il secondo membro è negativo o nullo, qualsiasi sia il valore di x. Conclusione: la disequazione è impossibile. 0 (terza) x + x 3 +x 7 =0 L'equazione è banalmente verificata per x=0. Altrettanto banalmente osserviamo che non può essere verificata per altri valori: a primo membro avrei sempre una somma di addendi positivi. Conclusione: l'unica soluzione è x=0. 1 (prima) 10
11 3+ x + x 1 >0 Qualunque sia il valore di x, l'espressione ci restituisce la somma di 3 e un almeno valore positivo (più spesso due valori positivi). Dunque qualunque x reale è soluzione della disequazione. 1 (seconda) x 3 + x 0 Qualunque sia il valore di x, l'espressione ci restituisce una somma tra due valori quasi sempre positivi, in due casi almeno uno dei due positivo e l'altro nullo. Dunque la disuguaglianza è verificata per qualunque valore di x. 1 (terza) x x + x >0 Nel caso x=0 la disuguaglianza non è verificata perché otterremmo 0>0. In tutti gli altri casi l'espressione a sinistra ci restituisce un valore positivo, dunque le soluzioni di questa equazione sono tutte quelle x 0. (prima) x 9 + x 3 0 Essendo una somma di due valori assoluti la disuguaglianza stretta minore di zero non potrà valere in nessun caso. Non resta che cercare i valori per cui è verificata l'uguaglianza, in pratica ci troviamo a risolvere un'equazione: x 9 + x 3 =0. Per lo stesso motivo (si tratta di una somma di valori assoluti), l'unico modo per verificare l'uguaglianza è che entrambi gli argomenti siano nulli: facilmente si osserva che il secondo si annulla solo per x=3 ; altrettanto facilmente osserviamo che anche il primo argomento si annulla per x=3. Ricapitolando, la soluzione richiesta è x=3. (seconda) x 3 + x 9 >0 Si tratta di una somma di due valori assoluti, dunque la disuguaglianza è quasi sempre verificata. L'unico caso in cui potrebbe non essere verificata è quello in cui entrambi gli argomenti sono nulli. Vediamo se esiste qualche valore di x per cui questo avviene, se lo troviamo lo escluderemo dall'insieme delle soluzioni. Si osserva piuttosto facilmente che il primo argomento si annulla soltanto per x= 3. Tale valore però non annulla il secondo argomento, dunque la situazione in cui entrambi gli argomenti si annullano non si verifica mai. Ricapitolando, le soluzioni richieste sono tutti i possibili valori reali. 11
12 38 (prima) x 1 =5+x Occorre distinguere due casi, il caso in cui l'argomento del valore assoluto sia positivo, e quello in cui sia negativo. Il caso particolare dell'argomento nullo lo trattiamo, per prassi, insieme al primo caso. x 1 0 ovvero x 1. Per questi valori di x (e soltanto per questi), l'equazione di partenza è equivalente a x 1=5+ x che sappiamo risolvere facilmente: x x=5+1 ovvero x=6. Tale soluzione rientra nel dominio che ci siamo imposti e quindi è accettabile. x 1<0 ovvero x< 1. Per questi valori di x (e soltanto per questi), l'equazione di partenza è equivalente a x+1=5+x che sappiamo risolvere facilmente: x x=5 1 ovvero 3x=4 ovvero x= 4 3. Tale soluzione rientra nel dominio che ci siamo imposti e quindi è accettabile. Ricapitolando abbiamo determinato due soluzioni: x=6 x= 4 3 1
13 38 (seconda) + 4 x+3 =x Occorre distinguere due casi. 4 x+3 0 ovvero x 3 4. L'equazione diventa +4 x+3= x ovvero 4 x x= 3 ovvero 3 x= 5 ovvero x= 5 3. Tale soluzione non è accettabile perché 5 3 < x+3<0 ovvero x< 3 4. L'equazione diventa 4 x 3= x ovvero 4 x+ x= 3 ovvero 3 x = 5 ovvero x= 5 3. Tale soluzione non è accettabile perché 5 3 > 3 4. Ricapitolando, non abbiamo trovato soluzioni accettabili, dunque l'equazione è impossibile. 38 (terza) x 1 =3 x Dobbiamo porre una condizione di esistenza per non incorrere in divisioni per zero. La condizione di esistenza da porre è x 0. Detto questo, distinguiamo due casi. x 1 0, ovvero x 1. L'equazione diventa x 1 =3 ovvero x 1=3 x ovvero x 3 x=1 ovvero x=1 x ovvero x= 1. Tale soluzione non è accettabile perché 1 <1. x 1<0, ovvero x<1. L'equazione diventa x+1 =3 ovvero x+1=3 x ovvero x 3 x= 1 ovvero x 4 x= 1 ovvero x= 1. Tale soluzione è accettabile, perché rientra nelle condizioni di 4 esistenza e in quelle che ci siamo imposti per poter trattare il valore assoluto. Questa è dunque la soluzione richiesta. 13
14 39 (prima) 1 x+5 = x Distinguiamo due casi. x+5 0 ovvero x 5. L'equazione diventa 1 (x+5)= x ovvero 1 x 5= x 3x=4 ovvero x= 4 3 siamo imposti. x+5<0 ovvero x< 5. ovvero x x= 1+5 ovvero. Tale soluzione è accettabile perché soddisfa la condizione che ci L'equazione diventa 1 ( x 5)= x ovvero 1+x +5= x ovvero x x= 1 5 ovvero x= 6 ovvero x=6. Tale soluzione non è accettabile perché 6> 5. Ricapitolando, la soluzione richiesta è x= (seconda) x 3 +x=3 Con un po' di spirito di osservazione si potrebbe subito notare che l'equazione è equivalente a quest'altra: x 3 =3 x. Dunque le soluzioni richieste sono tutti quei valori dell'incognita per cui l'argomento del valore assoluto è negativo o anche nullo, ovvero x 3. Se però non abbiamo questo spirito di osservazione possiamo sempre risolvere l'equazione come abbiamo fatto negli esercizi precedenti, distinguendo i due casi. x 3 0 ovvero x 3. L'equazione diventa x 3+x=3 ovvero x=6 ovvero x=3. Tale soluzione è accettabile, perché soddisfa la condizione che ci siamo posti. x 3<0 ovvero x<3. L'equazione diventa x+3+ x=3 ovvero 3=3 che è vera qualunque sia il valore di x. In questo caso l'equazione è indeterminata, ma sono ovviamente accettabili solo le soluzioni x<3. Ricapitolando sono soluzioni dell'equazione tutti quei valori x (terza) 14
15 3 5 x+3 = x+1 Poniamo le condizioni di esistenza. Per quanto riguarda il primo denominatore deve essere 5 x+3 0 ovvero x 3 5. Per quanto riguarda il secondo denominatore deve essere x+1 0 ovvero x 1. Passiamo ora a distinguere i due casi. 5 x+3>0 ovvero x> 3 5 L'equazione diventa: 3 5 x+3 = x+1 ovvero 3(x+1)=(5 x+3) ovvero 3 x+3=10 x+6 ovvero 3 x 10 x=6 3 ovvero 7 x=3 ovvero x= 3. Tale soluzione è accettabile 7 perché soddisfa le condizioni di esistenza e quelle che ci siamo posti. 5 x+3<0 ovvero x< 3 5 L'equazione diventa 3 (5 x+3) = x+1 ovvero 3(x+1)=(5 x+3) ovvero 3x 3=10 x+6 ovvero 3x 10 x=6+3 ovvero 13 x=9 ovvero x= 9 13 Tale soluzione è accettabile perché soddisfa le condizioni di esistenza e le condizioni che ci siamo posti. 40 (prima) x x = x 1+ x Poniamo le condizioni di esistenza. Per quanto riguarda il primo denominatore poniamo x 0. Per quanto riguarda il secondo denominatore non occorre porre condizioni, perché il denominatore è strettamente positivo per qualunque valore di x. Si noti che anche se compaiono due valori assoluti, l'argomento è sempre lo stesso, dunque ci basta distinguere due casi. x 0 ovvero x. L'equazione diventa x x = x 1+ x ovvero x x = x x 1 ovvero x x x+=x ovvero 3 x+=0 ovvero x= 3 ovvero (x )(x 1)=x. Tale soluzione non è 15
16 accettabile perché 3 <. x <0 ovvero x<. L'equazione diventa x+ = x x 1 x+ ovvero x+ = x x 3 x ovvero ( x)(3 x)=x ovvero 6 x 3 x+ x =x ovvero 6 5x=0 ovvero x= 6. Tale soluzione è accettabile 5 perché soddisfa le condizioni di esistenza e le condizioni che ci siamo posti. Ricapitolando, abbiamo determinato una soluzione x= (seconda) (1+ x ) +x 3=x Distinguiamo i due casi. x 0. L'equazione diventa (1+ x) + x 3= x ovvero 1+ x+x + x 3= x ovvero 3 x =0 ovvero x= 3. Tale soluzione è accettabile perché soddisfa la condizione che ci siamo posti. x<0. L'equazione diventa (1 x) + x 3=x ovvero 1 x+x +x 3=x ovvero x =0 ovvero x=. Tale soluzione è accettabile perché soddisfa la condizione che ci siamo posti. Ricapitolando, abbiamo determinato due soluzioni: x= 3 x= 40 (terza) x + x 3 =1 Ci troviamo ad affrontare un valore assoluto contenuto in un altro. A mio modesto parere la strategia migliore è partire da quello più interno. x 3 0 ovvero x 3. L'equazione diventa x +x 3 =1 ovvero x 5 =1. Si osservi che x 3> 5, per cui possiamo togliere anche il valore assoluto più esterno, e l'equazione diventa x 5=1 ovvero x=6 ovvero x=3 che è accettabile. x 3<0 ovvero x<3. L'equazione diventa x x+3 =1 ovvero 1 =1 che è verificata qualunque sia il valore di 16
17 x. Perciò tutti i valori presi in considerazione per questo caso, cioè le x<3, sono soluzioni dell'equazione. Ricapitolando, abbiamo determinato le soluzioni x (prima) x + x 4 = x 6 Dobbiamo prendere in considerazione due valori assoluti, mettiamoci nella condizione in cui entrambi gli argomenti siano positivi. Il primo argomento deve essere x 0 ovvero x. Il secondo argomento deve essere x 4 0 ovvero x 4. Dunque se consideriamo le x 4 entrambi gli argomenti sono positivi (oppure nullo il secondo) e l'equazione diventa x + x 4= x 6 ovvero x 6= x 6 che è verificata per qualunque valore di x. Quindi tutti i valori x 4 sono soluzioni accettabili. x 4. Soluzioni x 4 come appena visto. x<4. Il primo argomento è ancora positivo o nullo, mentre il secondo è negativo, dunque l'equazione diventa x x+4= x 6 ovvero = x 6 ovvero x=8 ovvero x=4 che non è accettabile (o meglio, l'abbiamo già accettata al caso precedente). Non ci sono soluzioni in questo caso. x<. Entrambi gli argomenti sono negativi, quindi l'equazione diventa x+ x+4= x 6 ovvero x+6= x 6 ovvero 4 x=1 ovvero x=3 che non è accettabile. Non ci sono soluzioni in questo caso. Ricapitolando, le soluzioni richieste sono le x (seconda) x+ x =3. Consideriamo prima il valore assoluto più interno. x 0. L'equazione diventa x+ x =3 ovvero =3 che nonè verificata qualunque sia il valore di x. Non ci sono soluzioni in questo caso. x<0 L'equazione diventa x++x =3 ovvero x+ =3 ovvero x+1 =3 Sottocaso 1 x<0, ovvero con argomento x+1 0. L'equazione diventa x+=3 ovvero x=1 ovvero x= 1. Tale soluzione non è 17
18 accettabile. Sottocaso x< 1, ovvero con argomento x+1<0. L'equazione diventa x =3 (oppure fin dall'inizio potevamo considerare x+= 3 ). ovvero x= 5 ovvero x= 5. Tale soluzione è accettabile. Ricapitolando, l'unica soluzione che abbiamo determinato è x= 5. 4 (prima) 3 x x =4 Consideriamo prima il valore assoluto più interno. x 0 ovvero x. L'equazione diventa 3 x (x ) =4 ovvero 3 x x+ =4 ovvero x =4 ovvero x=4 ovvero x=. Ho potuto togliere anche il valore assoluto esterno perché stiamo esaminando il caso x. Dunque abbiamo determinato una soluzione accettabile. x <0 ovvero x<. L'equazione diventa 3 x ( x+) =4 ovvero 3 x + x =4 ovvero 4 x 4 =4 ovvero x 1 =1 che ha come soluzioni x= x=0. La soluzione x=0 è accettabile mentre l'altra formalmente non è accettabile (in pratica l'avevamo già accettata nel caso precedente) Ricapitolando abbiamo determinato due soluzioni: x=0 x=. 4 (seconda) x 3 x+3 =1 Partiamo dal valore assoluto più interno. x+3 0 ovvero x 3 L'equazione diventa x 3 x 3 =1 ovvero x 6 =1 della quale si determinano facilmente le soluzioni x=7 x=5 entrambe accettabili. 18
19 x+3<0 ovvero x< 3 L'equazione diventa x 3+ x+3 =1 ovvero 3 x =1 della quale si determinano facilmente le soluzioni x= 1 3 x= 1 3. Tali soluzioni non sono accettabili perché 3< 1 3 < 1 3. Ricapitolando le soluzioni dell'equazione sono x=7 x=5. 43 (prima) x x+1 +3 x=0 Il primo argomento si annulla per x= mentre il secondo argomento si annulla per x= 1. Questi due valori saranno i nostri punti cruciali rispetto ai quali faremo i nostri ragionamenti. x< 1. Entrambi gli argomenti sono negativi, quindi l'equazione diventa x+ ( x 1)+3 x=0 ovvero x++ x ++3 x=0 ovvero 4 x+4=0 ovvero x= 1. Tale soluzione non è formalmente accettabile ma merita un'indagine specifica. x= 1 Sostituendo nell'equazione otteniamo 3 3=0, cioè un'identità, dunque x= 1 è soluzione. 1<x< Il primo argomento è ancora negativo, il secondo invece è positivo. L'equazione diventa x+ (x+1)+3 x=0 ovvero x+ x +3 x=0 ovvero 0=0. Questo significa che in questo caso l'equazione è indeterminata e quindi ogni x (tra quelle tali che 1<x< ) è soluzione. x= Sostituendo nell'equazione otteniamo 6 6=0, cioè un'identità, dunque x= è soluzione. x> Entrambi gli argomenti sono positivi, quindi l'equazione diventa x ( x+1)+3 x=0 ovvero x+ (x+1)+3 x=0 ovvero x=0 ovvero x=0. Tale soluzione non è accettabile perché 0<. Ricapitolando le soluzioni richieste sono i valori di x tali che 1 x. 43 (seconda) x 3 3 x+ +4 x+3=0 Ci sono due valori assoluti, i rispettivi argomenti si annullano per x=3 e per x=. Questi 19
20 due valori saranno i punti cruciali dei nostri ragionamenti. x<. Entrambi gli argomenti sono negativi, quindi l'equazione diventa x+3 3( x )+4 x+3=0 ovvero x+3+3 x+6+4 x+3=0 ovvero 6 x+1=0 ovvero x=. Formalmente non possiamo accettare tale soluzione, ma guardando più da vicino... x=. Sostituisco nell'equazione ( )+3=0 ovvero 5 8+3=0. Dunque x= è comunque soluzione dell'equazione. < x<3 Il primo argomento è ancora negativo, ma il secondo adesso è positivo. Dunque l'equazione diventa x+3 3( x+)+4 x+3=0 ovvero x+3 3 x 6+4 x+3=0 ovvero 0=0. Dunque l'equazione è indeterminata e tutti i valori di x (tali che < x<3 ) sono soluzioni. x=3 Sostituisco nell'equazione (3)+3=0 x=3 è comunque soluzione dell'equazione. ovvero =0. Dunque x>3 Entrambi gli argomenti sono positivi, dunque l'equazione diventa x 3 3( x+)+4 x+3=0 ovvero x 3 3 x 6+4 x+3=0 ovvero x 6=0 ovvero x=3. Formalmente in questo caso non è accettabile, in realtà l'abbiamo già accettata nel caso precedente. Ricapitolando le soluzioni richieste sono tutti i valori di x tali che x (prima) +3 x x 1 = Partiamo dal valore assoluto più interno. x 1 0 ovvero x 1. L'equazione diventa +3 x (x 1) = ovvero +3 x x+1 = ovvero x+3 =. Al contrario di quanto avveniva negli esercizi precedenti, non è immediato risolvere l'equazione ottenuta, perciò distinguiamo due sottocasi. Sottocaso x+3 0 ovvero x 3. Ma siamo già con x>1> 3. L'equazione diventa semplicemente x+3= ovvero x= 1 ovvero x= 1. Tale soluzione non è accettabile perché ci troviamo sempre nel caso x>1. 0
21 Per lo stesso motivo, il sottocaso x+3<0 ovvero x< 3 considerazione. non verrà nemmeno preso in x 1<0 ovvero x<1. L'equazione diventa +3 x ( x+1) = ovvero +3 x+ x 1 = ovvero 4 x+1 =. Occorre distinguere due sottocasi. Sottocaso 4 x+1 0 ovvero x 1 4. Ricordando la precedente condizione 1 4 <x<1. L'equazione diventa semplicemente 4 x+1= ovvero 4 x=1 ovvero x= 1 4 che è accettabile. Sottocaso 4 x+1<0 ovvero x< 1 4. L'equazione diventa 4 x 1= ovvero 4 x=+1 ovvero 4 x=3 ovvero x= 3 4 che è accettabile. Ricapitolando le soluzioni richieste sono x= 1 4 x= (seconda) x+ + x+1 =5 Ci sono due valori assoluti, i due argomenti si annullano per x= e per x= 1 valori saranno i punti cruciali della nostra ricerca di soluzioni.. Questi due x<. Entrambi gli argomenti sono negativi. L'equazione diventa ( x+) ( x+1)=5 ovvero x x 1=5 ovvero 3 x 3=5 ovvero 3 x=8 ovvero x= 8 3. Tale soluzione è accettabile. x< 1. Il primo argomento è positivo o nullo, il secondo è ancora negativo. L'equazione diventa x+ ( x +1)=5 ovvero x+ x 1=5 ovvero x+1=5 ovvero x=4 ovvero x= 4. Tale soluzione non è accettabile perché 4<. x 1. Il primo argomento è positivo, il secondo è positivo o nullo. 1
22 L'equazione diventa x++ x+1=5 ovvero 3 x+3=5 ovvero 3 x=5 3 ovvero 3 x= ovvero x= 3. Tale soluzione è accettabile. Ricapitolando, le soluzioni richieste sono x= 3 x= (prima) x =5+ x+1 In questa equazione vediamo due valori assoluti. Ci interessano in particolare i valori di x per cui i due argomenti si annullano. Il primo argomento si annulla per x= mentre il secondo si annulla per x= 1. Distinguiamo tre casi. x< 1. Il primo argomento è positivo, il secondo è negativo. L'equazione diventa x=5 x 1 ovvero x x=5 1 ovvero x=. Tale soluzione non è accettabile perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti. 1 x<. Entrambi gli argomenti sono positivi. L'equazione diventa x=5+ x+1 ovvero x x=5+1 ovvero x=4. Tale soluzione non è accettabile, perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti. x. Il primo argomento è negativo, mentre il secondo è positivo. L'equazione diventa + x=5+ x+1 ovvero x x=5+1 ovvero x=4 ovvero x= 4. Tale soluzione non è accettabile, perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti. Ricapitolando, non abbiamo trovato soluzioni accettabili, dunque l'equazione è impossibile. 45 (seconda) 4+ x = 5 x +7 x Vediamo due valori assoluti. Ci interessano i valori di x per cui si annullano gli argomenti. Il primo argomento si annulla per x= 4, il secondo argomento si annulla per x= 5 casi.. Distinguiamo tre x< 4. Il primo argomento è negativo, il secondo è positivo. L'equazione diventa 4 x=5 x+7 x ovvero x 7 x x =5+4 ovvero 6 x=9 ovvero x= 3. Tale soluzione non è accettabile, perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti.
23 4 x< 5. Entrambi gli argomenti sono positivi. L'equazione diventa 4+x=5 x+7 x x= 1 4. Tale soluzione è accettabile. ovvero x 7 x+x=5 4 ovvero 4 x=1 ovvero x 5. Il primo argomento è positivo, il secondo è negativo. L'equazione diventa 4+x= 5+ x+7 x ovvero x 7 x +x= 5 4 ovvero 8 x= 9 ovvero x= 9. Tale soluzione non è accettabile perché non soddisfa la condizione che ci siamo 8 9 posti: 8 < 0 8 = 5. Ricapitolando abbiamo trovato una sola soluzione accettabile: x= (prima) x 3 x+1 =x 1 Vediamo due valori assoluti. I rispettivi argomenti si annullano per x= 3 e l'altro per x= 1. Distinguiamo tre casi. x< 1. Gli argomenti sono entrambi negativi. L'equazione diventa x+3 ( x 1)= x 1 ovvero x+3+ x+=x 1 ovvero x+ x x= 1 3 ovvero 0= 6. L'equazione è impossibile. 1 x<3. Il primo argomento è negativo, il secondo invece è positivo. L'equazione diventa x+3 ( x+1)=x 1 ovvero x+3 x = x 1 ovvero x x x= 1 3+ ovvero 4 x= ovvero x= 1. Tale soluzione è accettabile. x 3. Gli argomenti sono entrambi positivi. L'equazione diventa x 3 ( x+1)=x 1 ovvero x 3 x =x 1 ovvero x x x= 1+3+ ovvero x=4 ovvero x=. Tale soluzione non è accettabile, perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti. 3
24 Ricapitolando abbiamo trovato una sola soluzione accettabile x= (seconda) x 1 +3 x 4 =0 Vediamo due valori assoluti. I rispettivi argomenti si annullano il primo per x=4. Distinguiamo due casi. x=1 e il secondo per x<1. Entrambi gli argomenti sono negativi. L'equazione diventa ( x+1)+3( x+4)=0 ovvero +x 1 3 x+1=0 ovvero x+13=0 ovvero x= 13. Tale soluzione non è accettabile perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti. 1 x<4. Il primo argomento è positivo, il secondo è negativo. L'equazione diventa ( x 1)+3( x+4)=0 ovvero x+1 3 x+1=0 ovvero 4 x+15=0 ovvero x= Tale soluzione è accettabile: 1= 4 4 < 15 4 < 16 4 =4. x 4. Gli argomenti sono entrambi positivi. L'equazione diventa ( x 1)+3( x 4)=0 ovvero x+1+3 x 1=0 ovvero x 9=0 ovvero x= 9. Tale soluzione è accettabile: 9 > 8 =4. Ricapitolando abbiamo trovato due soluzioni: x= 13 x = (prima) x+3+ x x+3 =0 Vediamo due valori assoluti, l'argomento del primo si annulla ovviamente per secondo argomento si annulla per x= 3. Distinguiamo tre casi. x=0 mentre il x< 3. Entrambi gli argomenti sono negativi. L'equazione diventa x+3 x ( x 3)=0 ovvero x+3 x+ x+3=0 ovvero x+6=0 ovvero x= 3. Tale soluzione è accettabile. 3 x<0. Il primo argomento è ovviamente negativo, l'altro è positivo. 4
25 L'equazione diventa x+3 x ( x+3)=0 ovvero x+3 x x 3=0 ovvero x=0 ovvero x=0. Tale soluzione non è accettabile rispetto alle condizioni che ci siamo posti per questo caso, anche se la ritroveremo nel terzo caso. x 0. Entrambi gli argomenti sono positivi. L'equazione diventa x+3+x ( x+3)=0 ovvero x+3 x 3=0 ovvero 0=0. IN questo caso la nostra equazione è indeterminata, ovvero tutti i valori che consideriamo accettabili sono soluzioni dell'equazione. Tutti i valori di x tali che x 0 sono accettabili (fra questi c'è anche x=0 che avevamo rifiutato nel caso precedente). Ricapitolando le soluzioni richieste sono x= 3 x 0 47 (seconda) 1 x+1 + x 3 x =0 Questa volta i valori assoluti sono tre. Il primo argomento si annulla per x= 1, il secondo si annulla per x=3 e il terzo ovviamente per x=0. Dovremo distinguere ben quattro casi. x< 1. Tutti gli argomenti sono negativi. L'equazione diventa 1 ( x 1)+( x+3) ( x)=0 ovvero 1+ x+1 x+3+ x=0 ovvero x+5=0 ovvero x= 5. Tale soluzione è accettabile. 1 x<0. Il primo argomento è positivo, gli altri sono ancora negativi. L'equazione diventa 1 ( x+1)+( x+3) ( x)=0 ovvero 1 x 1 x+3+ x=0 ovvero x+3=0 ovvero x= 3. Tale soluzione non è accettabile perché non soddisfa le condizioni che ci siamo posti. 0 x<3. Il primo e il terzo argomento sono positivi, l'altro è negativo. L'equazione diventa 1 ( x+1)+( x+3) x=0 ovvero 1 x 1 x+3 x=0 ovvero 4 x+3=0 ovvero x= 3 4. Tale soluzione è accettabile. x 3. Tutti gli argomenti sono positivi. L'equazione diventa 1 ( x+1)+(x 3) x=0 ovvero 1 x 1+ x 3 x=0 ovvero x 3=0 ovvero x= 3. Tale soluzione non è accettabile, perchè non soddisfa le condizioni che abbiamo posto. Ricapitolando abbiamo trovato due soluzioni x= 3 4 x= 5 5
26 48 (prima) x 5 + x 1 =4 x x 4. Ci sono tre valori assoluti. I rispettivi argomenti si annullano per x= 5 Distingueremo quattro casi. ; x=1 ; x=4. x<1. Tutti gli argomenti sono negativi. L'equazione diventa x+5 x+1=4 x ( x+4) ovvero x+5 x+1=4 x+ x 4 ovvero x x 4 x x= ovvero 8 x= 10 ovvero x= 5 4. Tale soluzione non è accettabile. 1 x< 5. Il secondo argomento è positivo, gli altri sono ancora negativi. L'equazione diventa x+5+ x 1=4 x ( x+4) ovvero x+5+ x 1=4 x+ x 4 ovvero x+x 4 x x= ovvero 6 x= 8 ovvero x= 4. Tale soluzione è accettabile, 3 infatti 1= 3 3 < 4 3 = 8 6 <15 6 = 5. 5 x<4. Il primo e il secondo argomento sono positivi, il terzo è ancora negativo. L'equazione diventa x 5+x 1=4 x ( x+4) ovvero x 5+x 1=4 x+x 4 ovvero x x 4 x x= ovvero 5 x= ovvero x=. Tale soluzione non è 5 accettabile, perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti. x 4. Tutti gli argomenti sono positivi. L'equazione diventa x 5+x 1=4 x (x 4) ovvero x 5+x 1=4 x x +4 ovvero x+ x 4 x+x =4+5+1 ovvero 0=10. Non ci sono soluzioni, in questo caso l'equazione è impossibile. Ricapitolando abbiamo trovato una sola soluzione: x= 4 3 6
27 48 (seconda) x x 4 = x La situazione è piuttosto ingarbugliata: vediamo due valori assoluti, contenuti a loro volta in un altro valore assoluto, cioè fanno parte di un'espressione che a sua volta è argomento di un valore assoluto. Gli argomenti dei valori assoluti interni si annullano rispettivamente per x= e per x=4. Costruiremo la nostra casistica su questi due valori, lasciando lo studio del valore assoluto più grande al caso specifico. x<. Entrambi gli argomenti (interni) sono negativi. L'equazione diventa x+ ( x+4) =x ovvero x++ x 4 = x ovvero =x ovvero x=. Non c'è stato bisogno di studiare il valore assoluto esterno, abbiamo trovato una soluzione che però non possiamo accettare in questo caso. x<4. Il primo argomento è positivo, il secondo è negativo. L'equazione diventa x ( x+4) =x ovvero x +x 4 =x ovvero x 6 =x. Adesso è giunto il momento di studiare anche il valore assoluto più esterno. Il suo argomento si annulla per x=3. Dobbiamo perciò distinguere due sottocasi. Sottocaso x<3. L'argomento è negativo. L'equazione diventa x+6=x ovvero x+6 x=0 ovvero 6 3 x=0 ovvero x=. Tale soluzione è accettabile. Sottocaso 3 x<4. L'argomento è positivo. L'equazione diventa x 6= x ovvero x x=6 ovvero accettabile perché non soddisfa la condizione che ci siamo posti. x=6. Tale soluzione non è x 4. Gli argomenti (interni) sono entrambi positivi. L'equazione diventa x ( x 4) =x ovvero x x+4 =x ovvero x=. Nel caso specifico non è accettabile, abbiamo già accettato questo valore in un altro caso. (E lo avevamo già scartato in un altro ancora). Ricapitolando abbiamo determinato la soluzione x= 49 (prima) x =x 3 Si noti subito una cosa: a sinistra del simbolo uguale abbiamo un valore assoluto, dunque a destra ci sarà un numero maggiore o uguale a zero. Dunque la nostra ricerca delle soluzioni è subito ristretta a x 3. L'equazione diventa x =x 3 visto che le x che cerchiamo sono necessariamente positive. Non solo! Visto che cerchiamo solo tra le x 3 allora anche l'argomento x<0. Quindi la 7
28 nostra equazione diventa + x=x 3 ovvero =3 che è falsa qualunque sia il valore di x. Ricapitolando, l'equazione che ci è stato chiesto di risolvere è impossibile. 49 (seconda) x+ x 1 +3 x 1 =x Si noti subito una cosa: a sinistra del simbolo uguale vediamo una somma di numeri positivi o nulli. Dunque anche l'espressione a destra dovrà essere positiva o nulla, ovvero x 0. Dobbiamo comunque studiare due casi. x<1. L'equazione diventa x x+1 +3( x+1)= x ovvero 1 3 x+3=x x=1. Che al momento non è formalmente accettabile. ovvero 4 x=4 ovvero x 1. L'equazione diventa x+x 1 +3( x 1)=x ovvero x 1 +3 x 3= x. In questo caso abbiamo l'argomento x 1>0 per ogni x 1. Dunque l'equazione diventa x 1+3 x 3= x ovvero 4 x=4 ovvero x=1 che in questo caso è accettabile. Ricapitolando, la soluzione è x=1 50 x a =a 1 Si tratta di un'equazione con parametro. Nella consuetudine scolastica l'incognita viene indicata con la lettera x e il parametro con una qualsiasi lettera dell'alfabeto. Si noti subito una cosa: a sinistra del simbolo uguale vedo un valore assoluto, dunque un numero positivo o nullo. Così deve essere anche a destra, dunque di sicuro il parametro a 1. Se preferite, potremmo dire che con a<1 l'equazione è impossibile. Il trucco per affrontare le equazioni con parametro è fare finta che il parametro sia un numero noto e comportarci esattamente come faremmo con un numero noto. La nostra prima preoccupazione è togliere di mezzo il valore assoluto. x a 0 ovvero x a. L'equazione diventa x a=a 1 ovvero x=a 1 ovvero x= a 1. A questo punto ci chiediamo se la soluzione trovata sia accettabile, ovvero se sia tale che x= a 1 a ovvero a 1 a ovvero a 1 che è proprio la situazione in cui ci troviamo. Dunque la soluzione è accettabile. 8
29 x a<0 ovvero x< a. L'equazione diventa x+a=a 1 ovvero x= 1 ovvero x= 1. A questo punto di dovremmo discutere la soluzione trovata, ci chiediamo cioè se tale soluzione si coerente con la condizione posta, in altre parole se è vero che x= 1 < a ovvero a>1. La soluzione trovata è dunque valida se a>1. Rimane scoperto il caso a=1 che però possiamo verificare a parte. x 1=1 1 ovvero x 1=0 ovvero x= 1. Ricapitolando, al variare del parametro abbiamo: con a<1 l'equazione è impossibile; con a 1 le soluzioni sono x= 1 a 1 x=. 51 Determiniamo le soluzioni in funzione del parametro a. Prima equazione: 3 x a+4=0 ovvero x= a 4 3. Seconda equazione: 6 x a=6 ovvero x= a+6 6. Per essere uguali in valore assoluto possono essere uguali oppure opposti. a 4 = a ovvero 4 a 8=a+6 ovvero 3a=14 ovvero a=
30 a 4 = a ovvero 4 a 8= a 6 ovvero 5a= ovvero a= 5 Dunque i valori richiesti sono a= 14 3 a= 5 5 Determinano le soluzioni rispetto a x (in funzione del parametro k) x k+4=0 ovvero x=k 4 x k+3=0 ovvero x= k 3 Deve essere k 4= k 3. E adesso risolviamo rispetto a k. Si osservi immediatamente che deve essere k altrimenti l'equazione è impossibile. k <3. L'equazione diventa k 4= k+3 k= 11 5 che è accettabile. ovvero 4 k 8= k+3 ovvero 5 k =11 ovvero k 3 L'equazione diventa k 4= k 3 che non è accettabile. ovvero 4 k 8=k 3 ovvero 3k= 5 ovvero k= 5 3 Ricapitolando abbiamo trovato come soluzione un solo valore k= Prima di tutto risolviamo rispetto a x entrambe le equazioni. x k+3=0 ha come soluzione x= k 3. x k +4=0 ha come soluzione x= k 4. Ci viene chiesto di determinare un k tale che k 3 = k 4. Sicuramente, se tale valore di k esiste, deve essere k 3, perché se l'uguaglianza è vera il numero a sinistra deve essere positivo o nullo. 30
31 Si vede in modo immediato che k =3 valori k>3. non verifica l'uguaglianza e quindi dobbiamo cercare tra i Si noti anche che l'argomento del valore assoluto è positivo già con k> e quindi a maggior ragione con k >3. Possiamo dunque togliere le barrette del valore assoluto e studiare un unico caso, quello con l'argomento positivo. k 3 In definitiva ci basta risolvere l'equazione = k 4 ovvero k 3=4 k 8 ovvero 3 k= 5 ovvero k= 5 3. Siccome 5 3 < 9 =3 tale soluzione non è accettabile. 3 Dunque non esistono valori di k che soddisfano la richiesta. 31
NOME E COGNOME. x 1 2 x 3 +4 x 2 3
VERIFICA DI MATEMATICA 2^E/F Liceo Sportivo 27 ottobre 207 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 3 novembre 207 NOME E COGNOME Stabilire se le seguenti affermazioni
DettagliLe equazioni lineari
Perchè bisogna saper risolvere delle equazioni? Perché le equazioni servono a risolvere dei problemi! Le equazioni lineari Un problema è una proposizione che richiede di determinare i valori di alcune
DettagliRISOLVERE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO FRATTE
Prof. Di Caprio 1 RISOLVERE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO FRATTE Introduzione In questa lezione impareremo a risolvere equazioni di primo grado fratte. La lezione sarà organizzata in 4 punti: 1. Come riconoscere
DettagliDisequazioni fratte. Una disequazione in cui l'incognita compare a denominatore si chiama fratta o frazionaria.
1 Disequazioni fratte Una disequazione in cui l'incognita compare a denominatore si chiama fratta o frazionaria. Prima di affrontare le disequazioni fratte, ricordiamo il procedimento che utilizziamo per
DettagliEquazioni di primo grado
Equazioni di primo grado Si dicono equazioni le uguaglianze tra due espressioni algebriche che sono verificate solo per particolari valori di alcune lettere, dette incognite. In altre parole, un'uguaglianza
DettagliAnno Scolastico 2014/15 - Classe 1D Verifica di matematica dell 11 Maggio Soluzioni degli esercizi. 2(x 2) 2(x 1) + 2 = 3x
Anno Scolastico 2014/15 - Classe 1D Verifica di matematica dell 11 Maggio 2015 - Soluzioni degli esercizi Risolvere le seguenti equazioni. Dove è necessario, scrivere le condizioni di accettabilità e usarle
DettagliNOME E COGNOME. A) è impossibile B) è indeterminata C) è determinata D) Ha due soluzioni
VERIFICA DI MATEMATICA 2^E/F Liceo Sportivo 28 settembre 2017 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 5 ottobre 2017 NOME E COGNOME 1 Consideriamo l'equazione 3 x=7
DettagliEQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Cognome... Nome... Equazioni di primo grado EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Un'equazione di primo grado e un'uguaglianza tra due espressioni algebriche di primo grado, vera solo per alcuni valori che si attribuiscono
DettagliANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI
ANALISI MATEMATICA PER IL CdL IN INFORMATICA ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI Risolvere le seguenti disequazioni: ( 1 ) x < x + 1 1) 4x + 4 x ) x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) 0; ) x 1 x + 1 x
DettagliVERIFICA DI MATEMATICA 1^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 2 maggio 2019
VERIFICA DI MATEMATICA 1^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il maggio 019 NOME E COGNOME 1 Equazioni. Risolvere la seguente equazione rispetto
DettagliLa domanda che ci si deve porre innanzitutto per iniziare a risolvere questa disequazione è la seguente:
Disequazioni: caso generale Consideriamo ora la risoluzione di disequazioni che presentino al suo interno valori assoluti e radici. Cercheremo di stabilire con degli esempio delle linee guida per la risoluzione
DettagliEquazioni di secondo grado.
Equazioni di secondo grado. Definizioni Ricordiamo che un'equazione è una uguaglianza tra due espressioni algebriche che risulta vera solo per alcuni particolari valori delle variabili (in questo caso
DettagliDefinizione. Il valore assoluto lascia inalterato ciò che è già positivo e rende positivo ciò che positivo non è.
VALORE ASSOLUTO Definizione a a, a, se a se a 0 0 Esempi.. 7 7. 9 9 4. x x, x, se x se x Il valore assoluto lascia inalterato ciò che è già positivo e rende positivo ciò che positivo non è. Utilizzando
Dettaglix 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO.
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Un'equazione del tipo x 2 + (x+4) 2 = 20 è un'equazione DI SECONDO GRADO IN UNA INCOGNITA. Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati
Dettagli1 Disquazioni di primo grado
1 Disquazioni di primo grado 1 1 Disquazioni di primo grado Si assumono assodate le regole per la risoluzione delle equazioni lineari Ricordando che una disuguaglianza è una scrittura tra due espressioni
DettagliSoluzioni delle Esercitazioni II 24 28/09/2018 = 1 2 = 1±3 4. t = 1± 1 4
oluzioni delle Esercitazioni II 4 8/09/08 A Equazioni intere i ha: + = 3 4 Portando a sinistra le e a destra le costanti diventa 6 =, = 3 + = 0 Raccogliendo si può riscrivere come ( + ) = 0, che ha per
Dettagli1 Fattorizzazione di polinomi
1 Fattorizzazione di polinomi Polinomio: un polinomio di grado n nella variabile x, è dato da p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 con a n 0, a 0 è detto termine noto, a k è detto coefficiente
DettagliRISOLVERE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO INTERE
Prof. Di Caprio 1 RISOLVERE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO INTERE Introduzione In questa lezione impareremo a risolvere equazioni di primo grado intere. Esse sono molto utili principalmente per risolvere alcune
DettagliEQUAZIONI DI II GRADO
RICHIAMI SULLE EQUAZIONI DI PRIMO E SECONDO GRADO PROF.SSA ROSSELLA PISCOPO Indice 1 EQUAZIONI DI I GRADO --------------------------------------------------------------------------------------------------
Dettagli5. EQUAZIONI e DISEQUAZIONI
5. EQUAZIONI e DISEQUAZIONI 1. Per ognuna delle affermazioni seguenti, indicare se e vera o falsa, motivando la risposta (a) L equazione di primo grado (1 2)x = 2 ha soluzione x = 2(1+ 2). V F (b) La disequazione
DettagliEquazioni di primo grado
Equazioni di primo grado 15 15.1 Identità ed equazioni Analizziamo le seguenti proposizioni: a ) cinque è uguale alla differenza tra sette e due ; b ) la somma di quattro e due è uguale a otto ; c ) il
DettagliESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I
ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI I Risolvere le seguenti disequazioni: 1 1) { x < x + 1 4x + 4 x ) { x + 1 > x 4x x 10 ) x 4 x 5 4x + > ; 4) ; 5) x 1 x + 1 x + 1 0 ) x > x 0 7) x > 4x + 1; 8) 4 5 x 1 < 1 x
DettagliEquazioni. Le equazioni sono relazioni di uguaglianza tra due espressioni algebriche.
Equazioni Le equazioni sono relazioni di uguaglianza tra due espressioni algebriche. Nelle espressioni compare una lettera, chiamata incognita. Possiamo attribuire un valore a questa incognita, e vedere
DettagliEquazioni con valore assoluto
Equazioni del tipo A(x) =a, con a Є R Equazioni con valore assoluto 1. a
DettagliESERCIZI SUL DOMINIO DI UNA FUNZIONE A UNA VARIABILE REALE. Le FUNZIONI RAZIONALI INTERE (i polinomi) hanno come insieme di definizione R.
ESERCIZI SUL DOMINIO DI UNA FUNZIONE A UNA VARIABILE REALE PREMESSA Ai fini dello studio di una funzione la prima operazione da compiere è quella di determinare il suo dominio, ovvero l' insieme valori
DettagliLE DISEQUAZIONI LINEARI
LE DISEQUAZIONI LINEARI Per ricordare H Una disequazione si rappresenta come una disuguaglianza fra due espressioni algebriche A e B ; essa assume dunque la forma A Per risolvere una disequazione
DettagliEsercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 4 Novembre Trinomi di secondo grado
Esercitazioni di Matematica Generale AA 016/017 Pietro Pastore Lezione del 4 Novembre 016 Trinomi di secondo grado Possiamo usare le soluzioni dell equazione di secondo grado per scomporre il trinomio
Dettagli3 5 x 25 5 x = 1 5 x (3 25) = x = 1. 5 x = x 8x 8 = 0 2 x (23 ) x. = x (2x ) 3. = x (2 x ) 3 = 0.
Anno Scolastico 014/15 - Classe 3B Soluzioni della verifica di matematica del 9 Maggio 015 Risolvere le seguenti equazioni esponenziali o logaritmiche. Dove è necessario, scrivere le condizioni di esistenza
DettagliB5. Equazioni di primo grado
B5. Equazioni di primo grado Risolvere una equazione significa trovare il valore da mettere al posto dell incognita (di solito si utilizza la lettera x) in modo che l uguaglianza risulti verificata. Ciò
DettagliESERCIZI SVOLTI DI RIEPILOGO SU EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI ALCUNI CONCETTI DI BASE SU EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
ESERCIZI SVOLTI DI RIEPILOGO SU EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI ALCUNI CONCETTI DI BASE SU EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI EQUAZIONI IRRAZIONALI Una equazione si definisce irrazionale quando
DettagliEsercitazione su equazioni, disequazioni e trigonometria
Esercitazione su equazioni, disequazioni e trigonometria Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le esercitazioni del giorno 6 Ottobre 20. Come tali sono ben lungi dall essere esenti da errori,
DettagliVALORE ASSOLUTO. 1 INTRODUZIONE E DEFINIZIONE pag 2. 2 PROPRIETA' pag 3. 3 IL VALORE ASSOLUTO COME ARGOMENTO pag 4
VALORE ASSOLUTO INDICE DEI CONTENUTI 1 INTRODUZIONE E DEFINIZIONE pag 2 2 PROPRIETA' pag 3 3 IL VALORE ASSOLUTO COME ARGOMENTO pag 4 4 EQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI pag 4 5 DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO
Dettagli1. Esistono numeri della forma , ottenuti cioè ripetendo le cifre 2006 un certo numero di volte, che siano quadrati perfetti?
1 Congruenze 1. Esistono numeri della forma 200620062006...2006, ottenuti cioè ripetendo le cifre 2006 un certo numero di volte, che siano quadrati perfetti? No, in quanto tutti questi numeri sono congrui
DettagliDisuguaglianze. Disequazioni di primo grado
Disuguaglianze Una disuguaglianza è una proposizione in cui compare uno dei predicati: maggiore di, minore di, maggiore o uguale a, minore o uguale a. Sono disuguaglianze: 4
DettagliIl coefficiente angolare è 3/2 mentre Q ha coordinate (0;0). La retta passa per l origine.
SOLUZIONI ESERCIZI GEOMETRIA ANALITICA ) y Il coefficiente angolare è mentre Q ha coordinate (0;) ) y E necessario passare alla forma esplicita della retta y Il coefficiente angolare è mentre Q ha coordinate
DettagliEQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI
EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI RICHIAMI DI TEORIA Definizione: sia f una funzione reale di variabile reale. Gli elementi del dominio di f su cui la funzione assume valore nullo costituiscono l' insieme
DettagliDISEQUAZIONI DI II GRADO
DIEQUAZIONI DI II GRADO Risolvere: 6 Per prima cosa dobbiamo studiare il segno del numeratore e del denominatore, cioè risolvere le due disequazioni: 6 6 : : D N Costruiamo ora uno schema in cui sono riportate
DettagliEquazioni di secondo grado
Equazioni di secondo grado Un equazione di secondo grado può sempre essere ridotta nella forma: a + bx + c 0 forma normale con a 0. Le lettere a, b, c sono rappresentano i coefficienti. Solo b e c possono
DettagliEquazioni e disequazioni. M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler
Equazioni e disequazioni M.Simonetta Bernabei, Horst Thaler A(x)=0 x si chiama incognita dell equazione. Se oltre all incognita non compaiono altre lettere l equazione si dice numerica, altrimenti letterale.
DettagliLe equazioni di I grado
Scheda - Le basi della Matematica Le equazioni Le equazioni di I grado Ricordiamo che un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni letterali in cui compare almeno un'incognita (di solito essa si indica
Dettagli1 Identità ed equazioni
1 Identità ed equazioni Consideriamo l uguaglianza espressa dalla seguente frase: Trova un numero tale che il suo doppio sommato con se stesso sia uguale al suo triplo. x > 2x + x = 3x La relazione: 2x
DettagliI. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.
ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio
DettagliI sistemi lineari Prof. Walter Pugliese
I sistemi lineari Prof. Walter Pugliese Le equazioni lineari in due incognite Un equazione nelle incognite x e y del tipo #$ + &' = ) dove *,,, - sono numeri reali è un equazione lineare in due incognite
Dettagli( 5) 2 = = = +1
1 IDENTITA ED EQUAZIONI Consideriamo la seguente uguaglianza: ( 2x + 3) 2 = 4x 2 +12x + 9 Diamo alcuni valori arbitrari all incognita x e vediamo se l uguaglianza risulta vera. Per x = 1 si avrà: ( 2 1+
DettagliEsercitazioni di Matematica Generale
Esercitazioni di Matematica Generale Corso di laurea in Economia e Management Numeri Complessi - Funzioni Reali di Variabile Reale 05 Ottobre 017 Esercizio 1 Scrivere in forma algebrica (z = a + ib, a,
DettagliAnno 2. Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite
Anno Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite Introduzione In questa lezione impareremo alcuni metodi per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite. Al termine di questa lezione
DettagliLe disequazioni di primo grado. Prof. Walter Pugliese
Le disequazioni di primo grado Prof. Walter Pugliese Concetto di disequazione Consideriamo la seguente disuguaglianza: 2x 3 < 5 + x Procedendo per tentativi, attribuiamo alla lettera x alcuni valori e
DettagliFrazioni algebriche. Osserviamo che un espressione di questo tipo si ottiene talvolta quando ci si propone di ottenere il quoziente di due monomi.
Frazioni algebriche 14 14.1 Definizione di frazione algebrica Diamo la seguente definizione: Definizione 14.1. Si definisce frazione algebrica un espressione del tipo A B polinomi. dove A e B sono Osserviamo
DettagliSTUDIO DEL SEGNO DI UN POLINOMIO
STUDIO DEL SEGNO DI UN POLINOMIO Risolvere un'equazione vuol dire trovare il valore della X che annulla il polinomio al primo membro. Esempio X + 1 = 0 Trova il valore che sostituito alla X rende vera
DettagliSoluzioni del Test OFA del 18/09/2015
Soluzioni del Test OFA del 18/09/201 Materiale prelevato da http://www.batmath.it Versione del 19 settembre 201 Questo fascicolo contiene la risoluzione dei quesiti proposti nel test OFA del 18 settembre
DettagliDocente: Vincenzo Pappalardo Materia: Matematica. Algebra. Disequazioni valore assoluto
Docente: Vincenzo Pappalardo Materia: Matematica Algebra Disequazioni valore assoluto DEFINIZIONI Il valore assoluto di un numero è uguale al numero stesso se il numero è positivo o nullo, è l opposto
DettagliUniversità degli Studi di Siena Correzione Prova intermedia di Matematica Generale (A.A ) 12 novembre 2016 Compito 1
Università degli Studi di Siena Correzione Prova intermedia di Matematica Generale (A.A. 7) novembre Compito ) ) L'espressione è equivalente a quindi sse ovvero, ma non può essere un numero negativo e
DettagliForme quadratiche in R n e metodo del completamento dei quadrati
Chapter 1 Forme quadratiche in R n e metodo del completamento dei quadrati Ricordiamo che a determinare il tipo (definita positiva o negativa, semidefinita positiva o negativa, indefinita) di una forma
DettagliEquazioni intere...1 Equazioni fratte...3 Equazioni irrazionali...4 Equazioni in valore assoluto...5
Equazioni Indice Equazioni intere...1 Equazioni fratte...3 Equazioni irrazionali...4 Equazioni in valore assoluto...5 Equazioni. Equazioni intere Un'equazione algebrica (o polinomiale) ha sempre la forma,
Dettagli3. (Da Medicina 2003) Moltiplicando i due membri di un'equazione per il numero -1, le soluzioni dell'equazione che si ottiene:
1 EQUAZIONI 1. (Da Veterinaria 2006) L equazione di secondo grado che ammette per soluzioni x1 = 3 e x2 = -1/ 2 è: a) 2x 2 + (2 3-2)x - 6 = 0 b) 2x 2 - (2 3-2)x - 6 = 0 c) 2x 2 - (2 3-2)x + 6 = 0 d) 2x
DettagliLE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO. Lezione 3. Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica
Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica a.a. 2007/2008 Docente Ing. Andrea Ghedi Lezione 3 LE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO L uguaglianza In matematica
DettagliVERIFICA DI MATEMATICA 1^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 4 aprile 2019
VERIFICA DI MATEMATICA ^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 4 aprile 209 NOME E COGNOME 2 3 Frazioni algebriche. Calcolare la seguente somma
DettagliCORREZIONE PROVA SCRITTA Classe 4 equazioni goniometriche
CORREZIONE PROVA SCRITTA Classe 4 equazioni goniometriche PROVA A RISOLVERE LE SEGUENTI EQUAZIONI GONIOMETRICHE a) cos (x + 56 ) π = 1 Il suggerimento era quello di non applicare la formula di addizione
DettagliLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: un equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i principi di equivalenza, si può scrivere nella forma, detta normale: ax + bx + c 0!!!!!con!a 0 Le lettere
DettagliLe disequazioni frazionarie (o fratte)
Le disequazioni frazionarie (o fratte) Una disequazione si dice frazionaria (o fratta) se l'incognita compare al denominatore. Esempi di disequazioni fratte sono: 0 ; ; < 0 ; ; Come per le equazioni fratte,
DettagliEquazioni di Primo grado
Equazioni di Primo grado Definizioni Si dice equazione di primo grado un uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata solo per un determinato valore della variabile x, detta incognita. Si chiama
Dettagli( 5) 2 = = = +1
1 IDENTITA ED EQUAZIONI Consideriamo la seguente uguaglianza: ( 2x + 3) 2 = 4x 2 +12x + 9 Diamo alcuni valori arbitrari all incognita x e vediamo se l uguaglianza risulta vera. Per x = 1 si avrà: ( 2 1+
DettagliEquazioni differenziali Problema di Cauchy
Equazioni differenziali Problema di Cauch Primo esempio - Risolvere l equazione '( ) = g( ) con g( ) :[ a, b] R continua Teor. fondamentale del calcolo integrale ( ) = + g ( t )dt Primo esempio - Osserviamo
DettagliVERIFICA DI MATEMATICA 1^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 7 marzo 2019
VERIFICA DI MATEMATICA 1^F Liceo Sportivo impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 7 marzo 019 NOME E COGNOME 1 3 4 5 Calcolo letterale. Semplificare la seguente
DettagliEsercizi sui sistemi di equazioni lineari.
Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la
DettagliDicesi equazione irrazionale un equazione nella quale l incognita compare sotto il segno di radice
Equazioni Irrazionali pag Easy matematica Equazioni irrazionali Dicesi equazione irrazionale un equazione nella quale l incognita compare sotto il segno di radice Per risolvere un equazione irrazionale
DettagliSoluzioni degli esercizi di Analisi Matematica I
Soluzioni degli esercizi di Analisi Matematica I (Prof. Pierpaolo Natalini) Roberta Bianchini 30 ottobre 07 FOGLIO. Determinare il dominio e il segno della funzione ( ) f(x) = arccos x x + π/3.. Verificare
DettagliPrimo parziale di Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a , compito A prof. Gianluca Amato
Corso di Laurea in Economia e Management Primo parziale di Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a. 206 207, compito A prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta dello
Dettagli4 cos 2 x /2 8 cos x 7 2 sen 2 x 1
Esercizio n 621 pag. Q 76 Risolvi la seguente disequazione: 4 cos 2 x /2 8 cos x 7 0. 2 sen 2 x 1 Imponiamo l'esistenza del radicale: 4 cos 2 x /2 8 cos x 7 0. Applichiamo le formule di bisezione: 4 1
DettagliEsercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 7 Novembre Disequazioni irrazionali
Esercitazioni di Matematica Generale AA 016/017 Pietro Pastore Lezione del 7 Novembre 016 Disequazioni irrazionali Risolvere le seguenti disequazioni 1 3x + 1 < x + 7 La disequazione é equivalente al seguente
DettagliEsercizi 2016/17 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi
Esercizi 06/7 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi Esercizio. Risolvere la seguente equazione: Soluzione. ) x+ ) x 7 x = 0 7 L equazione è definita per ogni x 0, valore in cui
DettagliCapitolo 2 Spazi vettoriali Esercizi svolti Tutorato di geometria e algebra lineare. Marco Robutti
Capitolo 2 Spazi vettoriali Esercizi svolti Tutorato di geometria e algebra lineare Marco Robutti 5 Ottobre 27 Introduzione Gli esercizi di questo capitolo riguardano i seguenti argomenti: Dato un insieme,
DettagliCLASSE IV A/acc E. CLASSE IV B/acc
RECUPERO DEBITO IN MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 016/017 Prof. Migliaccio Gabriella CLASSE IV A/acc E CLASSE IV B/acc Gli esercizi vanno svolti e consegnati, anche su un quaderno, il giorno dell esame per
Dettagli5. Massimi, minimi e flessi
1 5. Massimi, minimi e flessi Funzioni crescenti e decrescenti A questo punto dovremmo avere imparato come si calcolano le derivate di una funzione razionale fratta, ma dobbiamo capire in che modo queste
DettagliCOLOGNA VENETA CLASSE 3 / A
Scuola Secondaria di Primo Grado COLOGNA VENETA CLASSE 3 / A APPUNTI DI CALCOLO LETTERALE 3. EQUAZIONI Premessa: FRASI APERTE Problema: Individuare l'alunno della terza A dell'anno 2014 della Scuola Secondaria
DettagliEquazioni e disequazioni
Equazioni e disequazioni Le equazioni Una uguaglianza tra espressioni letterali che risulta vera per ogni valore delle lettere che vi compaiono prende il nome di identità. 2a=2a (a+b)(a-b)=a 2 -b 2 Una
DettagliMatematica per le Applicazioni Economiche I A.A. 2017/2018 Esercizi con soluzioni Numeri reali, topologia e funzioni
Matematica per le Applicazioni Economiche I A.A. 017/018 Esercizi con soluzioni Numeri reali, topologia e funzioni 1 Numeri reali Esercizio 1. Risolvere la disequazione x 6 4x 3 + 3 0. Soluzione. Poniamo
DettagliLiceo Classico D. Alighieri A.S Studio di Funzione. Prof. A. Pisani. Esempio
Liceo Classico D. Alighieri A.S. 0-3 y Data la funzione: Studio di Funzione tracciatene il grafico nel piano cartesiano. Prof. A. Pisani Esempio ) Tipo e grado della funzione La funzione è analitica, data
Dettagli3x + x 5x = x = = 4 + 3x ; che equivale, moltiplicando entrambi i membri per 2, a risolvere. 4x + 6 x = 4 + 3x.
1 Soluzioni esercizi 1.1 Equazioni di 1 e grado Risolvere le seguenti equazioni di 1 grado: 1) 3x 5x = 1 x. Abbiamo: 3x + x 5x = 1 + x = 1 + 4 x = 5. ) x + 3 x = + 3x. Facciamo il m.c.m. : 4x + 6 x = 4
DettagliIdentità ed equazioni
Matematica e-learning - Identità ed equazioni Prof. erasmo@galois.it A.A. 2009/2010 1 Generalità sulle equazioni Si consideri un uguaglianza tra due espressioni algebriche A = B Se si sostituiscono al
DettagliEsercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 21 Novembre Logaritmi e Proprietà
Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 016/017 Pietro Pastore Lezione del 1 Novembre 016 Logaritmi e Proprietà Quando scriviamo log a b = c che leggiamo logaritmo in base a di b uguale a c, c è l esponente
DettagliRISOLUZIONE DI EQUAZIONI
Modello matematico per la L EQUAZIONE risoluzione dei problemi RISOLUZIONE DI EQUAZIONI Fin qui abbiamo detto cos'è un'equazione, cos'è una soluzione per un'equazione e come stabilire se un dato numero
DettagliNOME E COGNOME. - la probabilità che tra di esse ve ne siano almeno due dello stesso valore; - la probabilità che siano di tre semi diversi.
VERIFICA DI MATEMATICA 2^E Liceo Sportivo 20 febbraio 2018 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro le 12:45 NOME E COGNOME 1 Si estraggono 3 carte da un mazzo di 40. Calcolare
DettagliEquazioni di primo grado
Capitolo 2 Equazioni di primo grado Adesso possiamo applicare quanto imparato nel capitolo precedente, con lo scopo di risolvere semplici problemi di natura pratica per cui le equazioni di primo grado
DettagliAnalisi Matematica - Corso A. Soluzioni del test di ingresso
Analisi Matematica - Corso A Soluzioni del test di ingresso con cenni di risoluzione Versione [ 1 ] Versione [ ] 1. E A B D C F. C 3. C 6. C 9. S ( x ) = x + 1 R ( x ) = - x - 1 10. C 11. A 1. B 14. C
DettagliDISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Esercizio - -8 - - - - - - Esercizio L equazione non ha soluzioni e quindi la parabola non interseca l asse delle ascisse - - - - - Pertanto la parabola, avendo la concavità
DettagliSOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7
SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI DEL FOGLIO N. 7 Esercizio. Funzione da studiare: log( 3).. Dominio: dobbiamo richiedere che il denominatore non si annulli e che il logaritmo sia ben definito. Quindi le condizioni
DettagliElementi sulle diseguaglianze tra numeri relativi
Elementi sulle diseguaglianze tra numeri relativi Dati due numeri disuguali a e b risulta a>b oppure ao oppure a-b
Dettagli12 gennaio Commenti esame di geometria - Ing. gestionale - a.a
Questo documento riporta commenti, approfondimenti o metodi di soluzione alternativi per alcuni esercizi dell esame Ovviamente alcuni esercizi potevano essere risolti utilizzando metodi ancora diversi
DettagliDISEQUAZIONI. Una disuguaglianza può essere Vera o Falsa. Per esempio:
DISEQUAZIONI Prima di vedere cosa sono le disequazioni è necessario dare uno sguardo alle disuguaglianze numeriche. Al contrario delle uguaglianze numeriche, dove tra i numeri è presente il segno di uguaglianza
DettagliLe equazioni e i sistemi di primo grado
Le equazioni e i sistemi di primo grado prof. Roberto Boggiani Isiss Marco Minghetti 1 settembre 009 Sommario In questo documento verrà trattato in modo semplice e facilmente comprensibile la teoria delle
DettagliDipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango)
CAPITOLO 5 Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango) Esercizio 5.1. Scrivere un vettore w R 3 linearmente dipendente dal vettore v ( 1, 9, 0). Esercizio 5.2. Stabilire se i vettori
DettagliEquazioni frazionarie e letterali
Equazioni frazionarie e letterali 17 17.1 Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado Nel capitolo 15 abbiamo affrontato le equazioni di primo grado. Adesso consideriamo le equazioni
DettagliAppello del 27/1/2017 Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a , compito A, prof. Gianluca Amato
Corso di Laurea in Economia e Management Appello del 27//27 Matematica per l Economia lettere E-Z, a.a. 26 27, compito A, prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta dello
Dettagli( x) Definizione: si definisce dominio (o campo di esistenza) di una funzione f ( x) l insieme dei valori
Definizione: si definisce dominio (o campo di esistenza) di una funzione f ( ) l insieme dei valori che la variabile può assumere affinché la funzione f ( ) abbia significato. Vediamo di individuare alcune
DettagliCorrezione del compitino del giorno 13 Dicembre 2012
Correzione del compitino del giorno 3 Dicembre 0 Davide Boscaini Questa è una soluzione del compitino del giorno 8 febbraio 0. Invito chi trovasse eventuali errori a segnalarli presso davide.boscaini@studenti.univr.it.
DettagliIdentità ed equazioni
Identità ed equazioni Un'identità è un'uguaglianza tra due espressioni letterali che è vera per qualsiasi valore numerico che si può attribuire alle lettere. (x + 2x = 3x è un'identità, perché sempre vera)
DettagliPrecorso di Matematica
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 4-10 Ottobre 2005 INDICE 1. ALGEBRA................................. 3 1.1 Equazioni
DettagliVERIFICA DI MATEMATICA 1^F Liceo Sportivo 10 maggio 2018 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare entro il 17 maggio 2018 NOME E COGNOME
VERIFICA DI MATEMATICA 1^F Liceo Sportivo 10 maggio 2018 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare entro il 17 maggio 2018 NOME E COGNOME 1 Risolvere la seguente equazione: 8 x 24=48 x+16 2 Risolvere
DettagliCORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA
CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA FOGLIO DI ESERCIZI # 6 GEOMETRIA 1 Esercizio 6.1 (Esercizio 5.1). Scrivere un vettore w R 3 linearmente dipendente dal vettore v ( 1, 9, 0). Per esempio il vettore
Dettagli