Formulazione del problema

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1 Formulazione del problema SORGENTI: d< m a banda stretta mutuamente non correlate alla frequenza ω 0 e sufficientemente lontane dall array (fronte d onda piano). I fronti d onda si propagano in mezzi tempo-varianti e giungono sull array con ridotta coerenza spaziale. Segnale ricevuto dall i-esimo sensore. Perturbazione spaziale del fronte d onda = processo di rumore moltiplicativo indipendente dal fronte d onda. Direzione media di arrivo del k-esimo fronte d onda.

2 Formulazione del problema FUNZIONE DI COERENZA SPAZIALE Processo aleatorio complesso che modella la perturbazione spaziale del k-esimo fronte d onda. Il termine di fase è a valor medio nullo e g ik (t) per k=1,,d sono processi identicamente distribuiti e indipendenti. Coerenza isotropica Modella un fronte d onda la cui ampiezza rimane costante mentre la fase varia casualmente da sensore a sensore.

3 Formulazione del problema RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE DEL SEGNALE D ARRAY Matrice di Vandermonde le cui colonne sono i vettori direzione di un ipotetico fronte d onda piano che corrisponde alla direzione di arrivo media di un fronte d onda spazialmente perturbato.

4 Formulazione del problema MODELLO DI SEGNALE CON PERFETTA COERENZA SPAZIALE Forma matriciale

5 Formulazione del problema MATRICI DI COVARIANZA D ARRAY PARZIALE COERENZA SPAZIALE PERFETTA COERENZA SPAZIALE S è la matrice(d x d) di covarianza dei segnali. E diagonale per l assunzione di segnali scorrelati e i suoi elementi sono le potenze dei fronti d onda in assenza di perturbazione spaziale. Le matrici R e P sono Hermitiane e definite positive. La matrice B è la covarianza d array di un singolo fronte d onda, ricevuto dall array, con parziale coerenza spaziale. B è simmetrica e definita positiva e in generale a rango pieno.

6 Algoritmo MUSIC(Perfetta coerenza spaziale)

7 Algoritmo MUSIC(Parziale coerenza spaziale) Non si ha più l autovalore minimo di molteplicità m-d. Autovalori di P tutti distinti Sovrastima del numero delle sorgenti. Gli autovettori di B sono reali. Per d=1 e i (P) = e i (R) e i (B). Gli autovettori di P e R sono in generale complessi. La decorrelazione spaziale modifica solo le ampiezze degli elementi dell autovettore ma non le fasi. Ridotta influenza sulle stime DOA.

8 Modified eigenstructure methods Conoscendo a priori B si può determinare R attraverso P: The matrix R obtained from this rank collapsing transformation can now be treated in the usual manner and the standard MUSIC procedure is applicable. Collapses the full rank contribution of each source to a unit rank component. Soluzione ottima del problema in presenza di decorrelazione spaziale solo se si ha una buona stima di P. Altrimenti l operatore inverso di Schur-Hadamard incrementa gli errori nella stima di P. Peggioramento delle prestazioni dell algoritmo MUSIC.

9 Modified eigenstructure methods MODIFIED EIGENSTRUCTURE METHODS CRITERIO MDL + MUSIC Stima del numero delle sorgenti e DOA. Termine che causa stime non perfette. Tende a zero quando N tende a infinito.

10 Time reversal Le onde che si contropropagano arrivano simultaneamente alla sorgente originale in fase. Focus time-reversed che è una ricostruzione della sorgente originale.

11 Reciprocal Time reversal Il segnale invertito è inviato nuovamente in broadcast dalla sorgente originale S e si focalizza nella posizione del ricevitore R. Reciprocità spaziale