Capitolo 5 - Macchine asincrone

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1 ppunti di lettronica igitale apitolo - acchine asincrone Introduzione... ircuiti asincroni in modo fondamentale... etodo di sintesi... sempio: latch asincrono di tipo J-K...6 sempio: misuratore di riflessi... Problema dell assegnamento nelle macchine sequenziali asincrone... 6 sempio... sempio: misuratore di riflessi... 9 ircuiti asincroni in modo impulsivo... Introduzione... sempio: macchina distributrice di bibite... lee nei circuiti sequenziali asincroni... Introduzione... sempio... 7 INTROUZION Sappiamo che un circuito sequenziale generico è specificato da una sequenza temporale di ingressi, di uscite e di stati, secondo lo schema della figura seguente:

2 ppunti di lettronica dei Sistemi igitali - apitolo La parte combinazionale fornisce le uscite z,..., z m vere e proprie del circuito sequenziale: tali uscite sono funzioni sia degli ingressi x,..., x L veri e propri sia delle variabili,..., n di stato presente, in uscita dal circuito di memoria; quest ultimo, d altra parte, produce tali uscite in risposta alle variabili Y,..., Yn di stato successivo generate dal blocco combinazionale. Il complessivo circuito sequenziale presenta quindi, in totale, L+n ingressi e m+n uscite. ire che il circuito sequenziale è sincrono significa dire che il suo funzionamento viene regolato da un clock, il quale invia, in maniera periodica, un treno di impulsi: questo clock ha la funzione per cui il circuito risente dell applicazione di uno o più ingressi solo se tale applicazione avviene quando l impulso di clock è al valore alto (valore logico del clock); ogni variazione dell ingresso che avviene quando il clock è a non ha alcun effetto sul circuito. Quindi, in un circuito sequenziale sincrono, il cambio dello stato interno avviene in risposta, oltre che alle variazioni dell ingresso vero e proprio, agli impulsi di clock. In particolare, essendo il circuito di memoria formato da flip-flop, sappiamo che le commutazioni avvengono solo o sui fronti di salita dei clock o sui fronti di discesa, in base al funzionamento dei singoli flip-flop. Un circuito sequenziale si dice invece asincrono quando il suo funzionamento è indipendente dagli impulsi di clock e, infatti, i circuiti asincroni non usano impulsi di clock: una transizione di stato avviene, in questi circuiti, quando c è un cambio delle variabili di ingresso. In un circuito sequenziale asincrono, gli elementi di memoria sono costituiti da flip-flop, ossia da elementi sincronizzati con il clock (sono dei gated latch). Invece, in un circuito sequenziale asincrono, gli elementi di memoria possono essere sia flip-flop svincolati dal clock (unclocked flipflop) sia soprattutto puri elementi ritardatori (time-dela device). In questa sede, noi consideriamo solo elementi ritardatori, la cui capacità di memoria è dovuta semplicemente al tempo finito di cui essi necessitano affinché il segnale si propaghi attraverso le porte digitali: infatti, un circuito sequenziale asincrono molto spesso non è altro che un circuito combinazionale in cui è presente un percorso di retroazione. I ritardatori puri non hanno, dunque, funzioni logiche, ma hanno solo la funzione di traslare nel tempo, di un certo tempo (dela), il segnale ricevuto in ingresso. Il progetto di un circuito sequenziale asincrono è più difficile di quello di un circuito sequenziale sincrono, a causa dei problemi di temporizzazione determinati dal percorso di retroazione. In un sistema sincrono opportunamente progettato, i problemi di temporizzazione sono eliminati semplicemente triggerando tutti i flip-flop ai fronti di salita o di discesa del clock: in questo modo, abbiamo visto che il passaggio da uno stato al successivo avviene durante il breve tempo necessario il clock passi dal livello basso a quello alto (positive edge-triggered) o viceversa (negative edgetriggered). ato che, invece, un circuito asincrono non usa alcun clock, lo stato del sistema può cambiare immediatamente non appena cambia l ingresso. I circuiti sequenziali asincroni sono utili in molte applicazioni. ssi sono usati quando è importante la velocità di funzionamento, specialmente in quei casi in cui il sistema digitale deve rispondere velocemente senza dover aspettare un impulso di clock. Sono più economici da usare nei piccoli sistemi indipendenti che richiedono solo pochi componenti hardware e per i quali non è consigliabile affrontare le spese necessarie per realizzare un generatore di impulsi di clock. I circuiti asincroni sono anche utili in applicazioni dove i segnali di ingresso possono cambiare in qualsiasi momento, indipendentemente da un clock interno: la comunicazione tra due unità, ognuna avente un proprio clock indipendente, devono essere necessariamente realizzate tramite circuiti asincroni. I progettisti di sistemi digitali spesso realizzano sistemi misti, dove alcune parti del sistema sincrono hanno le caratteristiche di un circuito asincrono. Tornando adesso a quanto detto prima, abbiamo osservato che gli elementi di memoria, in un circuito sequenziale sincrono, non sono più dei flip-flop sincronizzati con il clock, ma dei semplici elementi ritardatori. Lo schema generale di un circuito sequenziale asincrono diventa dunque il seguente: utore: Sandro Petrizzelli

3 acchine asincrone bbiamo dunque ancora una volta un circuito combinatorio, cui si aggiunge una parte di memoria formata da elementi di ritardo. Tali elementi di ritardo hanno il solo scopo di formare un anello di retroazione per il circuito combinatorio, come vedremo meglio in seguito. Le variabili di stato presente,,..., n e le variabili di stato successivo Y,Y,...,Y n assumono nuovi nomi nei circuiti sequenziali asincroni: si parla, rispettivamente, di variabili di stato interno (o anche variabili secondarie) e di variabili di eccitazione. Queste ultime non vanno però confuse con le variabili di ingresso vere e proprie del circuito, che vengono perciò dette anche variabili di stato esterno. evidente che, quando una variabile di ingresso commuta, le variabili secondarie non cambiano istantaneamente: in primo luogo, ci vuole un certo intervallo di tempo affinché il segnale si propaghi dai terminali di ingresso, attraverso il circuito combinatorio, alle variabili di eccitazione Y; queste variabili Y si propagano a loro volta nei rispettivi elementi ritardatori, in modo che, dopo un certo ritardo, le variabili secondarie assumano proprio il valore delle corrispondenti variabili di eccitazione Y. importante notare che, quando il circuito è in condizioni di regime (stead-state condition), le variabili ed Y sono le stesse; invece, durante le transizioni, esse sono diverse. Per un assegnato valore delle variabili di ingresso, il sistema si dice allora stabile se il circuito raggiunge una condizione di regime in cui i =Y i per i=,,...,n. ltrimenti, il circuito è in una continua transizione e si dice perciò che è instabile. Quindi, al contrario dei circuiti sequenziali sincroni, in quelli sequenziali asincroni abbiamo stati stabili e stati instabili. importante capire che una transizione da uno stato stabile ad un altro avviene solo in risposta ad un cambio di una variabile di ingresso. Questo è evidentemente in contrasto con quanto avviene nei sistemi sincroni, nei quali invece le transizioni di stato avvengono in risposta all applicazione di un impulso di clock. Non solo, ma il passaggio da uno stato stabile ad un altro non avviene, in generale, immediatamente, come nei circuiti sincroni, ma attraverso una successione di stati instabili utore: Sandro Petrizzelli

4 ppunti di lettronica dei Sistemi igitali - apitolo attraverso cui il circuito passa per giungere allo stato stabile finale. In generale, quindi, partendo da un generico stato stabile, a seguito di una variazione di ingresso si passerà prima attraverso un certo numero di stati instabili, per poi giungere, dopo un tempo più o meno lungo (dipendente da quanti stati intermedi vengono attraversati) allo stato stabile finale desiderato: stati instabili stato instabile Per garantire il funzionamento regolare della macchina, bisogna fare in modo che i circuiti sequenziali raggiungano uno stato stabile prima che l ingresso venga nuovamente cambiato. causa dei ritardi di propagazione insiti sia nei collegamenti sia nelle porte, non è possibile avere due o più variabili di ingresso che cambiano esattamente nello stesso istante di tempo: c è sempre una incertezza su quale variabile abbia commutato per prima. i conseguenza, commutazioni simultanee di due o più ingressi sono generalmente proibite nei circuiti sequenziali asincroni. Questa limitazione significa quindi che solo una variabile di ingresso per volta può commutare e il tempo tra una commutazione e l altra deve essere maggiore del tempo di cui il circuito necessita per raggiungere uno stato stabile. In altre parole, una volta verificatasi una commutazione di una variabile di ingresso, ogni eventuale commutazione successiva, della stessa variabile o di un altra, non deve avvenire prima che il circuito abbia raggiunto uno stato stabile corrispondente al prima commutazione. Questo modo di operare è detto modo fondamentale: le operazioni in modo fondamentale (fundamental-mode operations) presumono dunque che i segnali di ingresso cambino uno per volta e solo quando il circuito è in una condizione stabile. In realtà, le operazioni in modo fondamentale hanno una ulteriore caratteristica che le distingue dalle operazioni cosiddette in modo impulsivo: dire che il circuito lavora in modo impulsivo significa dire non solo che le variabili di ingresso commutano sempre una per volta, ma significa anche dire che le commutazioni corrispondono a variazioni solo temporanee del livello logico. Per capirci meglio, se x k è una generica variabile di ingresso, il circuito sequenziale asincrono lavora in modo impulsivo se l andamento temporale di x k è del tipo seguente: x k i sono cioè impulsi rettangolari, per cui il generico ingresso è quasi sempre a, tranne brevi intervalli di tempo in cui si trova ad. Se il circuito è in grado di rispondere a queste sollecitazioni impulsive, allora si dice che lavora in modo impulsivo. l contrario, se il circuito risponde solo a variazioni durature del generico ingresso, si dice che il circuito lavora in modo fondamentale: t ovvio che le variazioni del generico ingresso devono essere durature, ma in generale non saranno permanenti, nel senso che il suddetto ingresso, una volta passato da ad, in generale non rimarrà ad, ma avrà altre transizioni, in base a come viene utilizzata la macchina: quindi, il funzionamento in modo impulsivo prevede che l ingresso passi ad un nuovo livello logico e si mantenga ad esso per un tempo sufficiente a che il circuito raggiunga un nuovo stato stabile, dopo di che lo stesso ingresso o un altro possono nuovamente variare. utore: Sandro Petrizzelli

5 acchine asincrone x k Torniamo adesso al fatto che le variabili di ingresso possono variare una sola per volta. Per comprendere praticamente il significato di quanto detto prima, consideriamo un generico circuito sequenziale asincrono avente ingressi e supponiamo che, in un certo istante, la configurazione di ingresso sia : l applicazione di questo ingresso comporta che il circuito, dopo un certo tempo, si porti in un determinato stato stabile; una volta raggiunto questo stato stabile, è possibile applicare una variazione di ingresso, ma non potrà essere una variazione qualsiasi: essa deve corrispondere ad una configurazione di ingresso a distanza dalla precedente, ossia da ; è evidente che le possibilità sono solo, a seconda di quale bit cambia: cambia il primo ingresso cambia il secondo ingresso cambia il terzo ingresso cambia il quarto ingresso Nessun altra configurazione di ingresso è ammessa come successiva a. Questo significa anche che le macchine asincrone sono macchine non completamente specificate, proprio perché noi escludiamo alcune variazioni di ingresso, rendendo possibili solo delle altre. i conseguenza, quando dovremo passare alla minimizzazione di una macchina sequenziale asincrona, potremo servirci di tecniche del tutto analoghe a quelle viste per le S non completamente specificate: in particolare, ci riferiamo al fatto che ricercheremo anche in questo caso gli stati compatibili e non quelli equivalenti, che invece valgono solo per le S completamente specificate. t ircuiti asincroni in modo fondamentale TOO I SINTSI I metodi di sintesi dei circuiti sequenziali asincroni funzionanti in modo fondamentale sono per molti versi simili a quelli per i circuiti sequenziali sincroni e, in particolare, per le considerazioni fatte poco fa, ai circuiti sequenziali sincroni non completamente specificati. Per esempio, anche in questo caso si fa riferimento ad una tabella degli stati, che però prende adesso il nome di tabella di flusso primitiva. La differenza principale con la tabella degli stati nei circuiti sincroni è nel fatto che la tabella di flusso primitiva comprende sia stati stabili sia stati In pratica, le configurazioni applicate in ingresso devono susseguirsi secondo un codice re, cioè appunto differendo sempre di un bit una dall altra. Nel seguito, salvo diverso avviso, ometteremo di specificare il funzionamento in modo fondamentale, dandolo per scontato utore: Sandro Petrizzelli

6 ppunti di lettronica dei Sistemi igitali - apitolo instabili: gli stati stabili corrispondono ad ingressi stabili, mentre quelli instabili corrispondono ad ingressi che variano. Nel seguito, per distinguere, nella tabella di flusso primitiva, gli stati instabili da quelli stabili, indicheremo questi ultimi in grassetto: ad esempio, i simboli ed indicano, rispettivamente lo stato instabile e lo stato stabile. La tabella di flusso primitiva comprende anche i valori dell uscita da associare a ciascuno stato e in corrispondenza di ciascuna configurazione di ingresso: tuttavia, come si vedrà, i valori dell uscita possono essere specificati in un primo tempo solo per gli stati stabili, mentre successivamente, con opportuni criteri che vedremo, vanno specificate anche le uscite per gli stati instabili. Una volta che la tabella di flusso primitiva sia stata minimizzata, si ripresenta il solito problema dell assegnamento, ossia della codifica binaria dei vari stati. Nel caso delle macchine sincrone, abbiamo visto che l assegnamento poteva essere fatto in modo casuale oppure, volendo semplificare la parte combinatoria del circuito finale, seguendo il metodo di artmanis. Nel caso, invece, delle macchine asincrone, non si può assolutamente fare un assegnamento casuale, per un motivo fondamentale: nei circuiti asincroni, a meno di non adottare degli assegnamenti opportunamente ricavati (nel modo che vedremo), è possibile che il funzionamento finale differisca da quello teorico, a causa di transizioni di stato diverse da quelle desiderate. ome vedremo meglio in seguito, per evitare che ci siano transizioni di stato indesiderate, è spesso necessario complicare la struttura della parte combinatoria del circuito come è anche spesso necessario aumentare il numero di variabili di stato necessario per la codifica binaria degli stati. sempio: latch asincrono di tipo J-K Per comprendere a pieno i metodi di sintesi di una macchina sequenziale sincrona, facciamo riferimento ad un esempio concreto. In precedenza, noi abbiamo già trattato una macchina asincrona, che era il latch, ad esempio quello di tipo S-R indicato nella figura seguente: I Q I Q Questo circuito, fin quando non è sincronizzato ad un segnale di clock, è proprio un circuito asincrono: infatti, sono evidenti i cammini di retroazione che riportano in ingresso i valori dell uscita. Un latch sincronizzato ad un segnale di clock è stato definito gated-latch e, in particolare, si tratta di un dispositivo leveltriggered, in grado cioè di commutare in un qualsiasi istante in cui il clock è ad ; al contrario, un latch non sincronizzato ad un segnale di clock è detto non-gated latch. utore: Sandro Petrizzelli 6

7 acchine asincrone nziché considerare un latch di tipo S-R, consideriamo un latch appena appena più complicato, come ad esempio un latch di tipo J-K: Ricordiamo la tabella di verità (a sinistra) e quella di pilotaggio (a destra) di questo circuito: J K Q S R Q + Q Q + J K RST ST ST RST ST RST (nella tabella di verità ci interessano, in effetti, solo le prime colonne e l ultima, ma abbiamo voluto evidenziare anche i valori via via assunti dagli ingressi S ed R). Il nostro obbiettivo è adesso quello di determinare il grafo orientato associato a tutte le possibili transizioni di stato, dovute alla variazione di una variabile d ingresso per volta. Quanti stati dobbiamo considerare? In base alle considerazioni fatte in precedenza, non potremo più individuare ogni stato semplicemente mediante il valore di Q, ma dovremo anche considerare i valori degli ingressi che hanno portato Q ad avere il valore considerato. ominciamo da uno stato iniziale in cui Q= e J= e K=: se, partendo da, applichiamo la configurazione di ingresso J= e K=, Q rimane a, per cui la macchina rimane nello stato ; se invece, sempre partendo da, applichiamo la configurazione di ingresso J= e K=, allora l uscita va ad, per cui passiamo in uno stato che indichiamo con ; se, infine, applichiamo J= e K=, allora l uscita rimane a, ma non siamo più nello stato, in quanto gli ingressi sono adesso J= e K= e non più J=K=. Possiamo perciò cominciare la costruzione del grafo nel modo seguente: 7 utore: Sandro Petrizzelli

8 ppunti di lettronica dei Sistemi igitali - apitolo / desso, partendo dallo stato, cui siamo giunti applicando J= e K= partendo da, se applichiamo nuovamente J= e K= rimaniamo nello stesso stato: infatti, l uscita corrispondente a abbiamo detto essere Q=, ma questa uscita rimane tale se applichiamo nuovamente J= e K=. Possiamo perciò tracciare un arco che parte e si chiude nello stato. Stesso discorso per lo stato, corrispondente a Q= e al quale si giunge, partendo da, applicando : l uscita rimane ancora a. Possiamo dunque perfezionare il grafo: / / / desso, supponiamo di applicare, partendo da, la configurazione J= e K=: come si nota dalla tabella di funzionamento, l uscita rimane a, ma, essendo J=K=, si torna nello stato : / / / desso, è evidente che da non possiamo più operare transizioni di stato: infatti, avendo detto che le variabili di ingresso possono variare solo una per volta, non è possibile che, dalla configurazione corrispondente ad, si passi alla configurazione. iscorso analogo vale per e : partendo da, che corrisponde a J= e K=, non possiamo applicare J= e K=, così come, partendo da, che corrisponde a J= e K=, non possiamo applicare J= e K=. obbiamo allora considerare le seguenti situazioni: partendo da, applichiamo J= e K=; partendo da, applichiamo J= e K=. Seguendo questi criteri, il grafo finale risulta essere il seguente: utore: Sandro Petrizzelli 8

9 acchine asincrone / / / / / / In questo grafo si notano una serie di cose interessanti: in primo luogo, si nota la presenza di autoanelli; tali autoanelli non sono da intendersi con lo stesso significato che si aveva nelle macchine sincrone: in quel caso, infatti, un autoanello indicava che, per la specificata sequenza di ingresso, la macchina compiva effettivamente il ciclo indicato; in questo caso, invece, un autoanello rappresenta, per convenzione, la permanenza della macchina in uno stato stabile; in secondo luogo, si osserva che i valori delle uscite sono stati indicati solo in corrispondenza degli stati stabili e non per i vari archi orientati; questo lascerebbe pensare che la macchina è una macchina di oore, ma in realtà non è così, in quanto le uscite, come vedremo, dipendono effettivamente anche dagli ingressi oltre che dagli stati; abbiamo però detto, in precedenza, che in questa fase iniziale di progetto della macchina, si possono specificare solo le uscite relative agli stati stabili, mentre invece quelle relative agli stati instabili andranno specificate in seguito. questo punto, sulla base del diagramma tracciato prima, costruiamo la tabella di flusso primitiva, la cui struttura è identica a quella vista per le macchine sincrone: s.p. JK 9 utore: Sandro Petrizzelli

10 ppunti di lettronica dei Sistemi igitali - apitolo Per prima cosa, riempiamo la tabella indicando gli stati stabili i corrispondenti valori delle uscite: s.p. JK ome si vede, lo stato è stabile (indicato con ) in corrispondenza dell applicazione dell ingresso e, in corrispondenza dello stesso ingresso, risulta anche stabile lo stato (indicato con ), che però si distingue da per una diversa uscita ( al posto di ). desso, possiamo ulteriormente riempire la tabella indicando gli stati instabili. he cosa significa questo? onsideriamo, come stato di partenza, lo stato : se applichiamo l ingresso, lo stato si porta nello stato, il quale, per le considerazioni fatte in precedenza, non si stabilizza immediatamente, ma solo dopo un certo tempo. i conseguenza, la casella corrispondente allo stato ed all ingresso va riempita con lo stato instabile: s.p. JK La lettura della tabella, in base alla casella appena riempita, è la seguente: dato lo stato stabile di partenza, variando l ingresso da a, si giunge in instabile, il quale, dopo un certo tempo, si stabilizza. In modo analogo vanno riempite le rimanenti caselle, con l accortezza di riempire con un - (trattino orizzontale) le caselle corrispondenti a configurazioni di ingresso non ammesse (come ad esempio la configurazione partendo da oppure la configurazione partendo da oppure da ): s.p. JK utore: Sandro Petrizzelli

11 acchine asincrone utore: Sandro Petrizzelli Nota la tabella di flusso primitiva, possiamo passare alla sintetizzazione circuitale della macchina, per giungere alla quale dobbiamo però minimizzare la macchina stessa. tal fine, ci serviamo ancora una volta della tabella triangolare, mediante la quale individuare eventuali coppie di stati compatibili (ricordiamo che parliamo di stati compatibili in quanto queste macchine non sono completamente specificate, per cui non ha senso parlare di stati equivalenti): Possiamo immediatamente riempire con delle le caselle corrispondenti a coppie di stati con uscite diverse; in particolare, ci riferiamo ad uscite diverse in corrispondenza delle stesse configurazioni di ingresso, in quanto non possiamo confrontare due stati come, ad esempio e, per i quali i valori specificati per l uscita corrispondono a configurazioni di ingresso diverse. Nel nostro caso, risultano quindi sicuramente distinguibili gli stati e e gli stati ed, che hanno valori di uscita diversi in corrispondenza delle stesse configurazioni di ingresso: Il riempimento delle successive caselle avviene con le regole classiche:,,,,, Le coppie di stati da considerare sono dunque le seguenti: colonna (,),(,),(,) colonna (,),(,),(,) colonna (,) colonna (,) colonna niente

12 ppunti di lettronica dei Sistemi igitali - apitolo on queste coppie dobbiamo formare i massimi compatibili: (,),(,),(,) (,,) (,),(,),(,) (,,) (,) (,) desso, dobbiamo scegliere il numero minimo di massimi compatibili che soddisfano a due proprietà: in primo luogo, devono garantire la copertura di tutti gli stati della macchina di partenza; in secondo luogo, devono verificare la proprietà di chiusura, in base alla quale, data una qualsiasi coppia di stati appartenente ad uno qualsiasi dei massimi compatibili selezionati, anche la corrispondente coppia di stati -successori appartiene ad uno dei massimi compatibili. Si verifica facilmente che questi due requisiti sono rispettati dai massimi compatibili (,,) e (,,), per cui consideriamo questi come nuovi e unici stati della macchina indicandoli rispettivamente con e N. on queste posizioni, la tabella di flusso primitiva si riduce alla seguente: s.p. N JK N N N N ome si nota, abbiamo indicato i valori dell uscita solo in corrispondenza degli stati stabili. In realtà, a questo punto dobbiamo fissare i valori dell uscita anche per gli stati instabili, seguendo un criterio ben preciso: dobbiamo fare in modo che, nelle transizioni da uno stato stabile ad un altro, non ci siano spike, ossia variazioni intermedie dell uscita. ediamo allora cosa accade nel nostro caso. onsideriamo l uscita corrispondente allo stato N ed all ingresso : partendo dallo stato N stabile per, se variamo l ingresso da a, la macchina passa prima ad instabile e poi ad stabile; sia nello stato di partenza sia nello stato di arrivo, l uscita vale, per cui dovrà valere anche durante la transizione: s.p. N JK N N N N In modo analogo, partendo dallo stato stabile per e portando l ingresso ad, la macchina passa prima per N instabile e poi per N stabile; dato che l uscita vale sia per lo stato iniziale sia per quello finale, dovrà valere anche durante la transizione: s.. N N utore: Sandro Petrizzelli

13 acchine asincrone Il grafo orientato associato alla macchina (minima) così ottenuta è dunque il seguente: questo punto, abbiamo praticamente finito con la parte difficile, in quanto l assegnamento è immediato: avendo due soli stati, ci basterà sola variabile (cui quindi corrisponderà sola variabile Y). Ponendo ad esempio = ed N=, la tabella diventa la seguente s.p. JK = N = Usando le mappe di Karnaugh, possiamo sintetizzare le due funzioni Y (stato) e Z (uscita): JK Y = JK' + J + K' JK Z = J' + K' ome era logico aspettarsi, l espressione ottenuta per Z è la stessa ricavata a suo tempo per un latch di tipo J-K, con questa volta al posto di Q. Lo schema logico della macchina è dunque il seguente: utore: Sandro Petrizzelli

14 ppunti di lettronica dei Sistemi igitali - apitolo In questo schema, abbiamo inserito il ritardo puro ( ) che rappresenta la parte di memoria del circuito sequenziale. In effetti, molto spesso questo componente è assente, in quanto si sfrutta a blocchi di un circuito sequenziale asincrono reale, possiamo considerare il seguente: Ingressi Uscite Y In base a questo schema, le variabili Y generate dal circuito combinazionale subiscono un ritardo all interno dello stesso circuito combinazionale, all uscita del quale, quindi preleviamo direttamente le corrispondenti da riportare in ingresso. SPIO: ISURTOR I RILSSI onsideriamo una macchina per provare i riflessi. Il suo funzionamento è il seguente: quando la macchina è in condizioni di attesa, dobbiamo inserire una moneta al suo interno; dopo aver inserito la moneta, quest ultima impiega un certo tempo T ad arrivare nel contenitore delle monete: la prova dei riflessi consiste nel riuscire a premere e rilasciare un pulsante P prima del tempo T, ossia prima che la moneta vada ad aggiungersi a tutte le altre. olendo sintetizzare questa macchina, possiamo intanto schematizzarla come un macchina avente ingressi e due uscite: utore: Sandro Petrizzelli

15 acchine asincrone R z P z L ingresso R possiamo vederlo come un ingresso di riferimento corrispondente all introduzione della moneta: infatti, dato che abbiamo la possibilità di spingere il pulsante P solo tra l istante in cui inseriamo la moneta e l istante in questa raggiunge il proprio contenitore, possiamo vedere R come un segnale che mantiene il livello logico solo per il tempo T a nostra disposizione: R bbiamo dunque la possibilità di spingere il pulsante P solo mentre R è ad, il che avviene dall istante t= (preso come riferimento) all istante t=t. Per quanto riguarda l ingresso P, esso corrisponde appunto alla pressione del pulsante: se il pulsante è premuto, P sarà al livello logico, mentre altrimenti sarà al livello logico. Il test per i riflessi avrà dunque successo che P avrà un andamento del tipo seguente: P t T t Non avrà invece successo per una situazione del tipo seguente: P T t In questo caso, infatti, abbiamo rilasciato il pulsante P dopo che l ingresso di riferimento è cessato, ossia oltre il tempo limite T a nostra disposizione. I valori delle uscite ci dicono se il test ha avuto esito positivo o esisto negativo. Per esempio, possiamo supporre che tali uscite corrispondano all accensione o allo spegnimento di lampadine, una rossa (z ) ed una verde(z ): inizialmente, quando la macchina è in condizioni di attesa, supponiamo che solo la lampadina rossa sia accesa: questa è dunque la situazione in cui ci troviamo ogni volta che la macchina utore: Sandro Petrizzelli

16 ppunti di lettronica dei Sistemi igitali - apitolo subisce un RST (azionabile mediante un apposito tasto che non ci interessa nella nostra schematizzazione), per cui è pronta ad eseguire un nuovo test; se il test riesce, allora la luce verde si deve accendere e quella rossa si deve spegnere; se invece il test non riesce, allora supponiamo che entrambe le luci si debbano spegnere. infine, per indicare che il test è stato completato, supponiamo che entrambe le luci si debbano accendere. z z accesa spenta stand b spenta spenta accesa accesa spenta accesa test test non riuscito riuscito test terminato Possiamo arbitrariamente codificare in binario queste possibili situazioni: z z stand b test riuscito test non riuscito test terminato questo punto, dobbiamo tracciare il diagramma degli stati di questa macchina, che è evidentemente una macchina asincrona, visto che gli ingressi R e P commutano in istanti qualsiasi (R va ad, per un tempo T, tutte le volte che qualcuno effettua il test, mentre P va ad solo quando viene premuto il pulsante) e non sono vincolati ad alcun clock. Non solo, ma è praticamente impossibile che questi ingressi commutino insieme: così come ci vuole un certo tempo per premere il pulsante P dopo aver inserito la moneta (per cui P andrà ad solo dopo che R è andato ad ), allo stesso modo è difficile (anche se non impossibile) che il pulsante P venga rilasciato esattamente nello stesso istante in cui la moneta arriva nel proprio raccoglitore (cioè difficilmente l ingresso P tornerà a nello stesso istante in cui anche R torna a ). evidente che dobbiamo partire da uno stato di partenza corrispondente alla macchina in condizioni di stand b: le due lampadine sono entrambe spente (uscita ) e gli ingressi sono entrambi a (ingressi, dove il primo bit indica R ed il secondo indica P). Indichiamo questo stato con. Supponiamo adesso di cominciare il test, inserendo la moneta in un certo istante: stiamo dunque applicando l ingresso R= e P=, il che ci porta in uno stato successivo, che indichiamo con, nel quale le uscite sono sempre (in quanto il test è appena cominciato). Una volta giunti in, fin quando non premiamo il pulsante P, cioè fin quando P=, rimaniamo nello stesso stato. Se, invece, premiamo P, per cui applichiamo l ingresso R= e P=, ci portiamo in un nuovo stato : a partire da questo stato, finche non rilasciamo P, lasciando cioè l ingresso R= e P=, la macchina rimane nello stesso stato (caratterizzato ancora da uscite entrambe =). Se, invece, partendo da, rilasciamo il pulsante P, per cui R= e P=, allora giungiamo in uno stato che corrisponde alla riuscita del test (in quanto abbiamo rilasciato il pulsante P prima che la moneta sia giunta a destinazione, ossia prima che R=), per cui le uscite sono z = e z = (corrispondenti a luce rossa spenta e luce verde accesa) Partendo dallo stato, corrispondente dunque a test riuscito, arriva l istante in cui la moneta giunge nel contenitore, per cui R torna ad, con P che è già andato a. iungiamo così in un nuovo stato,, corrispondente a test terminato, nel quale le uscite valgono entrambe. utore: Sandro Petrizzelli 6

17 acchine asincrone La situazione appena descritta corrisponde ai seguenti andamenti di R e P: R P t T t Nella figura è anche indicata la successione temporale degli stati. In questo stato rimaniamo fin quando non viene premuto il tasto di RST della macchina, in modo da portarci nuovamente nello stato di partenza. iò significa che lo stato è uno stato terminale, adottando una espressione già citata in precedenza: da questo stato si può uscire solo tramite una operazione di RST che è esterna, per così dire, al funzionamento che noi stiamo considerando per la macchina. In base a queste considerazioni, possiamo cominciare a costruire il grafo della macchina, inserendo gli stati,,, ed appena descritti: / / / / / Questo grafo va adesso completato contemplando tutte le altre possibilità. Una prima possibilità è quella in cui premiamo il pulsante P prima di aver inserito la moneta (per cui R= e P=): giungiamo in uno stato caratterizzato da uscite entrambe a, visto che R non è nemmeno andato ad. a questo stato abbiamo due possibilità: se rilasciamo il pulsante P prima ancora di inserire la moneta (ingresso ), abbiamo ancora la possibilità di fare il test, per cui torniamo in ; se invece manteniamo premuto il pulsante P dopo aver inserito la moneta (ingresso ), allora ci portiamo in un nuovo stato,, caratterizzato ancora da lampade entrambe spente. 7 utore: Sandro Petrizzelli

18 ppunti di lettronica dei Sistemi igitali - apitolo Se, in, rilasciamo il pulsante P (ingresso ), il test è chiaramente fallito, per cui andiamo in uno stato (con uscite ), dal quale torniamo nello stato finale non appena anche R va a (ingresso ). La situazione appena descritta è la seguente: R P t T t ndiamo allora ad aggiungere questi nuovi stati, ed al grafo: / / / / / / / / questo punto, osserviamo che per alcuni stati abbiamo già considerato tutte le possibilità, mentre per altri no: infatti, da e da partono archi orientati, corrispondenti alle possibili combinazioni di ingresso, mentre dagli altri stati partono solo archi. ndiamo allora a considerare le possibilità rimanenti. Il motivo per cui sono solo le possibili configurazioni di ingresso a partire da ciascuno stato è evidente: sappiamo infatti che, in una macchina asincrona, si può avere solo variazione per volta degli ingressi, per cui, se siamo giunti in uno stato con una data configurazione di ingresso a bit (R e P nel caso considerato), la successiva configurazione potrà essere scelta solo tra altre. d esempio, giungendo in con ingresso, la successiva combinazione di ingresso potrà essere solo (cioè l ingresso rimane invariato), o, mentre non potrà essere mai essere, in quanto quest ultima presuppone la variazione sia di R sia di P, il che non è ammesso nelle macchine sincrone. utore: Sandro Petrizzelli 8

19 acchine asincrone ominciamo dallo stato, che è stabile per l ingresso : abbiamo già considerato cosa avviene quando si applica l ingresso, per cui resta da vedere cosa accade quando si applica. Ingresso, partendo da, significa che il segnale di riferimento R è andato a prima che il pulsante P sia stato premuto, per cui non possiamo far altro che giungere nello stato terminale, da cui poi eventualmente riprendere la prova dopo un RST della macchina. R P t T t evidente che, una volta tornato a il segnale di riferimento R, qualunque cosa noi facciamo col pulsante P, la macchina rimane nello stesso stato (con entrambe le lampadine accese), in quanto il tempo a disposizione per il test (corrispondente al tempo T durante il quale R=) è finito, per cui non si può far altro che resettare e ripartire. Passiamo adesso allo stato, stabile per, per il quale rimane da considerare la transizione dovuta ad ingresso : è uno stato corrispondente a pulsante P premuto mentre R è ad ; applicare significa che R torna a mentre stiamo ancora premendo il pulsante, per cui dobbiamo andare in uno stato duale di (che corrispondeva all aver rilasciato P prima che R tornasse a ). Indicando questo nuovo stato con I, è evidente che da I (stabile per ) applicando l ingresso (che corrisponde adesso a rilasciare P dopo che R è già tornato a ), andiamo ancora in, dal quale potremo poi ripartire, col solito RST, per un nuovo test. R P t I T t ndiamo dunque a perfezionare il grafo in base alle considerazioni appena fatte: 9 utore: Sandro Petrizzelli

20 ppunti di lettronica dei Sistemi igitali - apitolo / / / / / / / / / I interessante osservare, come si nota nella figura, che dallo stato I c è una transizione che non è possibile 6 : infatti, partendo da I, non è possibile che venga applicato l ingresso, in quanto, mentre possiamo premere o rilasciare P come ci pare, il segnale R, una volta che è tornato a, non può mai ritornare ad, a meno di non resettare la macchina. Quindi, abbiamo introdotto il nuovo stato I, ma per esso abbiamo già considerato tutte le possibili transizioni. Proseguendo secondo questi criteri, il completamento del grafo porta ad altri nuovi stati (L, ed N). nziché riportare il grafo per intero, consideriamo la corrispondente tabella di flusso primitiva, che contiene dunque ben stati: s.p. RP I I L L N N 6 importante distinguere le transizioni non permesse da quelle non possibili : le prime non si verificano perché non sono possibili variazioni contemporanee dei due ingressi; le altre non si verificano in base al particolare funzionamento della macchina. utore: Sandro Petrizzelli

21 acchine asincrone utore: Sandro Petrizzelli videntemente, abbiamo cominciato a riempire la tabella solo con gli stati stabili e le corrispondenti uscite. Il passo successivo è quello di riempire la tabella con gli stati instabili, con le transizioni non permesse (indicate con ) e con quelle non possibili (indicate con, visto che corrispondono a condizioni don t care): N L I N L I I N L I RP s.p. Potremmo anche inserire le uscite degli stati instabili, imponendo l assenza di spike, ma non è necessario in questo momento, in quanto non sappiamo ancora se la macchina appena ricavata è una macchina minima. ndiamo allora a verificare questo, usando ancora una volta la tabella triangolare, nella quale inserire eventuali compatibilità, distinguibilità o indistinguibilità tra i vari stati. Le prime caselle da riempire, nella tabella triangolare, sono quelle relative a coppie di stati che hanno uscite stabili, in corrispondenza delle stesse configurazioni di ingresso, diverse tra loro: L I N L I questo punto, dobbiamo riempire le rimanenti caselle mediante le corrispondenti compatibilità, distinguibilità o indistinguibilità (indicate con ):

22 ppunti di lettronica dei Sistemi igitali - apitolo utore: Sandro Petrizzelli L I N, N I, N I, N,, N I, N, I,,, I,,,L,L, N,, L,,, L, N I,,I, I,,,,,,,I I N,,,L,,,, I, N,, L,,,,I,, N I,,L,,,,,I, Ora dobbiamo controllare se le distinguibilità (indicate con ) individuate ne implicano delle altre: seguendo questo criterio in modo iterativo (nel senso che ogni nuova distinguibilità può comportarne delle altre), si arriva al seguente risultato: L I N L I Possiamo ricavare, in base a questa tabella, le coppie di stati compatibili: colonna (,) colonna (,N),(,),(,I),(,) colonna (,I) colonna (,N),(,),(,L),(,I),(,) colonna (,N),(,)

23 acchine asincrone colonna niente colonna (,I), (,) colonna (,N),(,),(,I) colonna I niente colonna L (L,) colonna niente on queste coppie dobbiamo formare i massimi compatibili: (,) (,N),(,),(,N) (,,N) (,) (,I) (,I) (,N),(,N),(,) (,,N) (,),(,),(,L) (,L,) (,I) (,),(,N),(,) (,,N) (,I),(,),(,I) (,,I) (,) bbiamo dunque massimo compatibili. Per scegliere quelli che andranno a costituire la macchina minima, dobbiamo considerare il minimo numero di massimi compatibili che coprono tutti gli stati della macchina di partenza e che soddisfano la proprietà di chiusura. Partiamo allora dalla condizione secondo cui i massimi compatibili devono garantire la copertura di tutti gli stati: lo stato è contenuto solo nel massimo compatibile (,), che quindi andrà preso necessariamente; lo stato compare solo in (,I), che quindi andrà preso; stesso discorso per gli stati ed L, contenuti rispettivamente solo in (,,I) e (,L,), che quindi vanno presi necessariamente. etto questo, rimangono solo gli stati, ed N che sono peraltro contenuti nel massimo compatibile (,,N). Prendiamo allora anche quest ultimo. bbiamo dunque selezionato i seguenti massimi compatibili: (,) - (,I) - (,,I) - (,L,) - (,,N) obbiamo verificare che questi soddisfino alla proprietà di chiusura ed è facile verificare che la risposta è affermativa. educiamo, quindi, che questi massimi compatibili rappresentano gli stati della macchina minima. acciamo allora le seguenti posizioni: =(,) - =(,I) - =(,,I) - =(,L,) - =(,,N). La tabella di flusso primitiva di questa macchina minima risulta essere la seguente: utore: Sandro Petrizzelli

24 ppunti di lettronica dei Sistemi igitali - apitolo s.p. RP ncora una volta, ci siamo limitati ad inserire solo le uscite relative agli stati stabili. Per fissare le uscite relative agli stati stabili, dobbiamo imporre che non ci siamo spike: cominciamo a considerare il passaggio dallo stato stabile per allo stato stabile per : le rispettive uscite sono entrambe, per cui anche nello stato instabile per dovremo imporre che l uscita sia : s.p. RP stesso discorso per le seguenti altre transizioni: passaggio da stabile per a stabile per e passaggio da stabile per a stabile per : s.p. RP passiamo adesso a quello che accade nella prima colonna delle uscite e, in particolare, al passaggio dallo stato stabile per allo stato stabile per (passaggio che avviene attraverso lo stato instabile per ): le rispettive uscite sono e, per cui dobbiamo imporre che anche lo stato instabile per abbia la seconda uscita ad : s.p. RP _ utore: Sandro Petrizzelli

25 acchine asincrone analogo discorso per il passaggio dallo stato stabile per allo stato stabile per (passaggio che avviene attraverso lo stato instabile per ): le rispettive uscite sono e, per cui dobbiamo imporre che anche lo stato instabile per abbia la prima uscita a : s.p. RP questo punto, abbiamo rispettato tutti i vincoli per evitare spike, ma ci sono rimaste, però, ancora vuote delle caselle relative alle uscite: queste caselle sono vuote in quanto corrispondono a uscite che cambiano dallo stato stabile di partenza allo stato stabile di arrivo. llora, un modo di riempirle è quello di imporre che la transizione dell uscita, dal valore iniziale a quello finale, avvenga subito, cioè nel passaggio dallo stato stabile di partenza allo stato instabile intermedio. d esempio, consideriamo il passaggio dallo stato stabile per allo stato stabile per (passaggio che avviene attraverso lo stato instabile per ): abbiamo visto poco fa che le rispettive uscite sono e, per cui abbiamo imposto che anche lo stato instabile per abbia la prima uscita a ; possiamo adesso imporre che lo stesso stato instabile per abbia la seconda uscita a, in modo da anticipare la transizione di uscita che si avrebbe nel passaggio allo stato finale stabile per : s.p. RP _ Procedendo con lo stesso criterio per le altre caselle rimaste vuote, abbiamo quanto segue: s.p. RP Siamo dunque arrivati alla tabella di flusso primitiva. Il passo successivo è quello dell assegnamento, ossia la codificazione binaria dei vari stati, in modo da poter poi passare alla sintetizzazione della parte combinatoria del circuito mediante le opportune mappe di Karnaugh. ome facciamo l assegnamento? In base alle considerazioni fatte nel paragrafo precedente, non possiamo fare un assegnamento casuale, in quanto questo porterebbe il rischio di malfunzionamenti nella macchina. I prossimi paragrafi sono allora dedicati appunto ai criteri di scelta dell assegnamento, dopo di che torneremo a questa macchina per vedere una applicazione pratica di questi criteri. utore: Sandro Petrizzelli

26 ppunti di lettronica dei Sistemi igitali - apitolo PROL LL SSNNTO NLL IN SQUNZILI SINRON ata la tabella di flusso primitiva della macchina (minima) sequenziale asincrona in esame, non è possibile fare un assegnamento casuale, in quanto si possono verificare situazioni molto particolari. ominciamo dalla prima situazione. Supponiamo che la nostra macchina contenga un certo numero di stati, tra i quali individuiamo i generici stati,i e J. Supponiamo anche che la tabella di flusso primitiva, relativa a tali stati, sia la seguente: s.p. xx I I I J J bbiamo cioè supposto che, per una stessa configurazione di ingresso (in questo caso ), ci siano due stati stabili (in questo caso J e K). Supponiamo di aver adottato, per questa macchina, un assegnamento casuale, che ha portato ai seguenti codici: =, I=, J=. La tabella di flusso primitiva si modifica allora nel modo seguente: xx = I = J = onsideriamo allora il passaggio dallo stato stabile per allo stato I stabile per : nel variare l ingresso da a, dovrebbero variare contemporaneamente due variabili di stato interno ( deve andare da a e lo stesso deve fare ) affinché si passi da stabile per ad I instabile per e quindi poi a I stabile per. Il problema è che le variabili di stato interno non potranno mai variare contemporaneamente, dato che i ritardi di propagazione dei segnali sono in generale diversi; allora, nel caso considerato, se variasse per prima, si otterrebbe il passaggio da stabile per a J instabile e quindi a J stabile per : essendo quest ultimo uno stato stabile, non sarebbe più possibile giungere in I, che era lo stato voluto. Questo è un tipico caso di malfunzionamento di una macchina asincrona. abbastanza intuitivo capire come si possa fare per rimediare a questi malfunzionamenti: basta fare in modo che ogni transizione di stato avvenga tra uno stato stabile di partenza ed uno stato stabile di arrivo caratterizzati da codici binari a distanza. In questo modo, infatti, sarà sempre sola variabile di stato interno a dover cambiare. Se non fosse così, se cioè dovessero cambiare più variabili di stato interno, ad esempio come nel caso appena considerato. si creerebbe la cosiddetta corsa tra variabili di stato interno: a seconda di quale cambia prima, la macchina può comportarsi o meno nel modo desiderato. 6 utore: Sandro Petrizzelli

27 acchine asincrone ediamo un altro esempio. onsideriamo una macchina sequenziale asincrona (minima) avente la seguente tabella di flusso primitiva (riferita ai soli stati, che in questo contesto sono gli unici ad interessarci): s.p. xx Supponiamo di effettuare un assegnamento generico per questa macchina, come ad esempio il seguente: =, =, =, =. La tabella di flusso primitiva diventa la seguente: xx Supponiamo di trovarsi nello stato stabile per : passando dall ingresso all ingresso, andiamo (teoricamente) prima nello stato instabile per e quindi nello stato stabile per. Il problema è che, in questa transizione, dovrebbero variare entrambe le variabili di stato interno (sia sia dovrebbero passare da a ). ato che le due variabili non potranno mai commutare insieme, il passaggio da a dovrà avvenire necessariamente in passi: oppure. onsideriamo il primo percorso, ossia : da stabile per andiamo in instabile, quindi in instabile per e infine in stabile per : ato che arriviamo nello stato finale desiderato, questo percorso non ci crea problemi, ossia non determina malfunzionamenti. onsideriamo adesso l altro percorso, ossia : da stabile per andiamo in instabile, quindi in stabile per. a quest ultimo non ci possiamo più muovere, per cui non giungiamo nello stato finale desiderato, a meno di non variare ulteriormente l ingresso. 7 utore: Sandro Petrizzelli

28 ppunti di lettronica dei Sistemi igitali - apitolo Quindi, ancora una volta, si è verificata una corsa tra le due variabili di stato interno: se varia prima (primo caso), giungiamo nello stato finale desiderato, mentre invece se varia prima (secondo caso), giungiamo in uno stato finale diverso da quello desiderato, ottenendo un malfunzionamento. In questo caso, si parla di corsa critica. anche possibile che non ci sia alcuna corsa critica, come per esempio nel passaggio dallo stato stabile per allo stato stabile per : i possibili percorsi delle variabili di stato interno sono oppure Nel primo caso varia per prima la, mentre nel secondo varia prima la. In entrambi i casi, però, si giunge nello stato finale desiderato, per cui c è una corsa, ma non è critica: si parla invece di ciclo. Un ciclo può quindi essere definito come la sequenza delle variazioni delle variabili di stato interno che porta dallo stato (stabile) iniziale fissato allo stato (stabile) finale desiderato. etto anche in altro modo, un ciclo è un insieme di stati attraverso cui la macchina deve passare per raggiungere lo stato finale desiderato partendo da quello iniziale prefissato. I cicli, per quanto detto, non creano dunque alcun malfunzionamento nella macchina e vedremo infatti che spesso è possibile eliminare i malfunzionamenti proprio introducendo degli opportuni cicli. Nel peggiore dei casi, i cicli possono comportare solo dei ritardi diversi a seconda del numero di stati da attraversare per ogni percorso contenuto nel ciclo stesso: nel caso considerato poco fa, il ciclo comprende percorsi, ciascuno formato da due stati instabili intermedi, per cui il ritardo è lo stesso in entrambi i casi. Se invece i due percorsi comprendono un numero diverso di stati instabili intermedi, allora i corrispondenti ritardi saranno necessariamente diversi. bbiamo dunque capito che dobbiamo evitare le corse critiche, il che è possibile solo con un opportuno assegnamento. onsideriamo allora nuovamente la tabella di flusso primitiva dell ultimo esempio: utore: Sandro Petrizzelli 8

29 acchine asincrone s.p. xx evidente, in questo caso, che le corse critiche possono nascere solo in corrispondenza di quelle colonne della tabella in cui compaiono più di uno stato stabile: nella fattispecie, si tratta della colonna (dove è l ingresso) e della colonna. Non danno invece problemi le colonne in cui compare solo stato stabile, in quanto, in questi casi, il peggio che può capitare è un ciclo, ossia, come detto prima, una corsa delle variabili di stato interno che però porta comunque allo stato stabile desiderato. Quindi, come prima considerazione da fare, possiamo affermare che è immediato riconoscere l eventuale presenza di possibili corse critiche: se la tabella di flusso primitiva contiene colonne comprendenti più di uno stato stabile, allora è possibile che ci siano corse critiche; al contrario, se tutte le colonne contengono solo stato stabile, allora non ci potranno essere corse critiche e l assegnamento potrà essere fatto in modo arbitrario. Nel caso che stiamo considerando, colonne contengono più di uno stato stabile, per cui ci sono delle possibili corse critiche. Per rimediare al problema della corse critiche, come già anticipato prima, dobbiamo rendere adiacenti gli stati coinvolti in tali corse, ossia dobbiamo fare in modo che le transizioni di stato avvengano sempre tra stati la cui codifica binaria sia a distanza. onsideriamo le varie colonne: cominciamo dalla colonna (dove è la corrispondente colonna di ingresso): partendo dallo stato stabile per, possiamo andare o in instabile per o in instabile per ; per quest ultimo non abbiamo problemi, essendo stabile, mentre invece ci sono problemi per instabile per, in quanto esso è contenuto in una colonna con stati stabili; di conseguenza, dobbiamo rendere adiacenti e ; passiamo alla colonna, che contiene due stati stabili: dato che le colonne adiacenti, cioè quella per e quella per, presentano ciascuna un solo stato stabile, non ci sono problemi nel movimento da stabile per oppure da stabile per, per cui questa colonna non impone delle adiacenze; nella colonna, l unico stato stabile è : da questo stato possiamo andare in stabile per, il che non ci da problemi, oppure in instabile per ; dato che, però, quest ultimo stato si trova in una colonna con stati stabili, dobbiamo imporre l adiacenza tra e ; infine, la colonna comprende gli stati stabili e : tuttavia, le due colonne adiacenti hanno entrambe un solo stato stabile, per cui non ci sono adiacenze da rispettare. ndiamo allora a costruire un grafo, detto diagramma delle adiacenze, in cui indichiamo quali sono le adiacenze da rispettare: 9 utore: Sandro Petrizzelli