Capitolo 4 Circuiti sequenziali - Parte II

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1 ppunti di lettronica igitale apitolo ircuiti sequenziali - Parte efinizioni varie... sempio... quivalenza tra stati... onfigurazioni di ingresso periodiche...8 addizionatore sequenziale... sempio: moltiplicatore sequenziale... Minimizzazione delle FM completamente specificate... Metodo della tabella triangolare... sempio: addizionatore sequenziale... Minimizzazione delle FM non completamente specificate... sempio... celta dell assegnamento ottimale... sempio... sempio: macchina di Moore... sempio: partizioni output-consistent... sempio: partizioni output consistent e input-consistent... FNZON VR n generale, una macchina a stati finiti (brevemente FM) è definita da parametri: un alfabeto di ingresso (simbolo ), contenente tutti i possibili simboli (cioè configurazioni binarie) che la macchina può ricevere in ingresso; se L sono gli ingressi, l insieme sarà costituito da L simboli di ingresso, cioè L configurazioni binarie; un alfabeto di uscita (simbolo U), contenente tutti i possibili simboli che la macchina può fornire in uscita; se M sono le uscite, l insieme U sarà costituito da M simboli di uscita, cioè M configurazioni binarie; un insieme degli stati (simbolo ), contenente tutti i possibili stati (individuati ciascuno da una configurazione binaria) in cui la macchina può trovarsi; se N è il numero di stati, cioè il numero di elementi di, allora servono k variabili di stato per rappresentarli, dove k N; una funzione che trasforma lo stato presente nello stato successivo, in funzione del simbolo di ingresso applicato: se indichiamo con δ tale funzione, sarà una funzione del tipo δ : ; ovviamente, questa funzione gode della proprietà di chiusura, nel senso che, data una qualsiasi coppia (,) ( ), essa fornisce comunque un elemento z ; in termini ancora più formali, possiamo affermare che, se (t) è il valore dell ingresso all istante t e δ(t) è lo stato all istante t, allora lo stato all istante t+ sarà δ( t + ) = f δ [ (t), (t) ]

2 ppunti di lettronica dei istemi igitali - apitolo infine, una funzione che consenta di determinare l uscita all istante t, noto che sia lo stato all istante t (nel caso della macchina di Meal) ed eventualmente anche l ingresso all istante t (nel caso della macchina di Moore): Meal z(t) = λ Moore z(t) = λ [ s(t) ] [ s(t), (t) ] dove ovviamente con s(t) abbiamo indicato lo stato all istante t e con (t) l ingresso all istante t. Quindi, se vogliamo conoscere completamente questa macchina, dobbiamo conoscere questi elementi. e anche uno solo di essi non fosse noto, la macchina non potrebbe essere in alcun modo definita. MPO Vogliamo realizzare una macchina con le seguenti caratteristiche: ingressi, che indichiamo con e ; sola uscita, che indichiamo con z; a ciascun ingresso vengono inviate, in modo chiaramente sincrono, sequenze di bit: il compito della macchina è di confrontare tali sequenze al ritmo di bit per volta: per ogni quartina di bit, la macchina deve fornire z= se le due sequenze sono uguali, altrimenti deve fornire z=. upponiamo che i bit abbiano un periodo di ripetizione pari a T/, il che significa che ogni quartina di bit dura un tempo pari a T: allora, il compito della macchina è di fissare il valore dell uscita dopo ogni quartina, per cui le eventuali commutazioni dovranno avvenire a distanza T una dall altra. Vediamo di spiegarci meglio con un esempio. upponiamo che le sequenze in ingresso siano le seguenti: La macchina confronta queste due sequenze (composte da bit, per un totale di periodi T) una quartina per volta, partendo da una condizioni iniziale in cui l uscita è z=: le prime quartine sono, rispettivamente, e : esse differiscono per un bit, per cui la macchina mantiene l uscita a dopo un primo periodo di tempo pari a T; le seconde quartine sono invece uguali (), per cui la macchina, dopo un tempo pari a T dall avvio, pone l uscita ad ; le successive quartine sono diverse, per cui, dopo un tempo T, l uscita va nuovamente a ; l uscita rimane ancora a zero in quanto anche le successive quartine sono diverse: quindi, all istante T, l uscita è ancora a ; le ultime quartine sono nuovamente uguali, per cui, dopo un tempo T, l uscita commuta a. utore: andro Petrizzelli

3 ircuiti sequenziali - Parte L andamento temporale dell uscita è dunque il seguente: z(t) T T T T T t Per prima cosa, così come abbiamo visto in un caso precedente, conviene tracciare il grafo orientato che descrive il funzionamento dell intera macchina. Per costruire questo grafo, dobbiamo partire da uno stato iniziale nel quale la macchina è in attesa della prima coppia di bit ( bit per l ingresso e bit per l ingresso ). ndichiamo allora con questo stato iniziale: sarà evidentemente lo stato nel quale la macchina dovrà trovarsi quando deve ricevere il primo bit di ogni quartina. Partendo da questo stato, la macchina riceve i primi due bit e quindi, in generale, passa in stati diversi a seconda delle possibilità che si possono presentare: questo punto giunge un altra coppia di bit, per cui da ogni stato si giungerà, in generale, in altri, per un totale di nuovi stati. n realtà, possiamo subito fare una semplificazione: dato che l obbiettivo è quello di confrontare le quartine di bit, è ovvio che, se già i primi due bit sono diversi, il risultato del confronto, dopo che saranno arrivati gli altri bit, sarà comunque negativo. i conseguenza, dagli stati e, qualunque sia la successiva coppia di bit in ingresso, l esito del confronto dovrà essere negativo, per cui si giunge ad uno stesso stato, che indichiamo con, che porterà a questa conclusione. nalogo discorso vale per gli stati ed ; se la seconda coppia di bit presenta bit diversi, bisognerà ancora una volta giungere in, mentre, in caso contrario, l algoritmo dovrà proseguire. La successiva parte di grafo può dunque essere tracciata nel modo seguente: F G L M utore: andro Petrizzelli

4 ppunti di lettronica dei istemi igitali - apitolo (gli archi con associata l espressione corrispondono a transizioni di stato che avvengono per qualunque combinazione di ingresso). questo punto, in base a quanto detto prima, dallo stato, qualunque siano le successive due coppie di bit, si dovrà tornare in con uscita = (per indicare che l esito del confronto è negativo), per cui possiamo aggiungere uno stato, corrispondente alla terza coppia di bit, da cui, in corrispondenza della quarta coppia di bit, si torni in con uscita =: F G L M / Nello stesso stato, per gli stessi discorsi di prima, si dovrà giungere dagli stati F,G,L ed M nel caso che la terza coppia di bit presenti bit diversi; se invece i bit sono uguali, allora l algoritmo deve proseguire su nuovi stati, come indicato nella figura seguente: N O F P L G M U T Q R / questo punto, tutti gli stati rimasti devono riportarsi in, con uscite però diverse a seconda della quarta ed ultima coppia di bit: se la coppia presenta bit uguali, allora l uscita va posta ad, altrimenti l uscita va posta a. utore: andro Petrizzelli

5 ircuiti sequenziali - Parte utore: andro Petrizzelli enza disegnare gli ultimi 8 archi orientati, limitiamoci ad osservare alcune cose su questo diagramma: in primo luogo, osserviamo che abbiamo ottenuto ben 9 stati, per rappresentare i quali servono variabili di stato (infatti, con variabili di stato potremmo rappresentare un massimo di stati, mentre con ne possiamo rappresentare un massimo di ); in secondo luogo, si osserva la presenza, nel grafo, di diversi cicli, la cui lunghezza massima è (si tratta cioè di cicli composti da archi orientati, che possono perciò essere percorsi con bit in ingresso). questo punto, ha senso chiedersi se 9 sia il numero minimo di stati con il quale possiamo rappresentare la macchina: sappiamo infatti che, quanti meno stati sono necessari, tanto più semplice risulterà il corrispondente circuito logico. Nei prossimi paragrafi studieremo metodi sistematici per rispondere a questa domanda: questi metodi sistematici si basano, come elemento fondamentale, sulla tabella degli stati della macchina considerata. ndiamo dunque a tracciare la tabella degli stati (e delle uscite) che presenterà tante righe quanti sono gli stati (9) e tante colonne quante sono le combinazioni di ingresso ( per lo stato successivo e per l uscita): U T R Q P O N U T M R L Q P G O N F M L G F.p. s evidente che l uscita è sempre per quegli stati in corrispondenza dei quali non sono ancora giunti tutti e i bit delle quartine. l nostro obbiettivo, come detto prima, è quello di verificare se questa tabella si possa semplificare, eliminando uno o più stati. Per fare questo, il primo criterio da seguire riguarda i cosiddetti stati indistinguibili: due stati sono indistinguibili tra di loro se, a parità di combinazione di ingresso applicata, portano nello stesso stato successivo e con la stessa uscita. Nel nostro caso, è evidente che ci sono stati tra loro indistinguibili: si tratta degli stati da N ad U. Possiamo allora raggrupparli in un unico stato, che indichiamo ad esempio con α, che li comprenda tutti quanti, in modo da passare alla seguente tabella degli stati:

6 ppunti di lettronica dei istemi igitali - apitolo utore: andro Petrizzelli U T M R L Q P G O N F M L G F.p. s α questo punto, la stessa cosa possiamo fare per gli stati e, che sono evidentemente indistinguibili tra loro. ndicando con β lo stato corrispondente a questi due stati, la tabella degli stati diventa dunque la seguente: U T M R L Q P G O N F M L G F.p. s α β questo punto, non abbiamo più stati indistinguibili tra di loro. i siamo così ricondotti a stati, per codificare i quali sono sufficienti variabili di stato, ossia, in termini di circuito logico di memoria, flip-flop. La riduzione degli stati non è d altra parte finita, in quanto si possono considerare adesso le coppie di stati equivalenti: condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché due stati siano tra loro equivalenti è che, a parità di combinazioni di ingressi, essi diano la stessa uscita. tando a questa definizioni, gli stati che, potenzialmente, sono tra loro equivalenti sono tutti tranne lo stato α. Per verificare, effettivamente, l equivalenza e per capire cosa essa comporti, dobbiamo premettere una serie di importanti definizioni e teoremi.

7 ircuiti sequenziali - Parte QUVLNZ TR TT n primo luogo, così come in un circuito combinatorio ad ogni combinazione di ingresso corrisponde una precisa combinazione di uscita, allo stesso modo, in un circuito sequenziale, ad ogni sequenza di ingresso corrisponde una precisa sequenza di uscita. upponiamo allora che, in un arbitrario istante t, la macchina si trovi in uno stato i ; supponiamo che, partendo da questo stato, la macchina riceva in ingresso una certa sequenza formata da un certo numero di simboli; in corrispondenza del primo simbolo della sequenza, la macchina passa in uno stato k, che viene detto stato -successore di i ; in modo analogo, in corrispondenza del secondo simbolo della sequenza, la macchina passerà in un nuovo stato m, che sarà quindi uno stato-successore di i e così via per gli stati successivi; se, dopo N simboli di ingresso, la macchina si trova in uno stato L, questo sarà uno stato N-successore di i. upponiamo adesso di confrontare le transizioni di stato della stessa macchina, in corrispondenza della stessa sequenza di ingresso, ma partendo da due diversi stati iniziali i ed j : t t + t +... t + N i k m... L j h n... Q n base a questa tabella, k è uno stato -successore di i ed j è uno stato -successore di h ; in modo analogo, m è uno stato -successore di k e -successore di i, mentre n è uno stato - successore di j e -successore di j e così via fino agli stati L ed Q, che sono stati N-successori rispettivamente di i ed j. l confronto che ci interessa fare riguarda i valori delle uscite che la macchina assume all istante t+, all istante t+ e così via, supponendo che la macchina assuma la stessa uscita all istante t, ossia quando si trova in i o in j. d esempio, supponiamo che la macchina si trovi inizialmente con uscita = e supponiamo anche che le uscite successive siano quelle indicate nella tabella seguente: s.s. s.s. z z t t + t +... t + N... i k m L... j h n Q La situazione è dunque quella per cui, dopo il primo simbolo di ingresso (quindi dopo il primo colpo di clock), la macchina ha una uscita diversa a seconda che sia partita da i o da j. i dice allora che la sequenza applicata in ingresso è -distinguente, proprio per indicare il fatto che basta un colpo di clock per differenziare le due uscite e quindi per poter risalire allo stato di partenza. Quindi, in altre parole, una sequenza di ingresso si dice - distinguente se è sufficiente colpo di clock per portare l uscita ad un valore diverso a seconda dello stato (tra i due considerati) da cui la macchina è partita. Per analogia, si afferma che i due stati i ed j sono -equivalenti tra loro, nel senso che esiste almeno una sequenza di ingresso tale che, dopo solo colpo di clock, si ottenga una differenziazione dell uscita a seconda di quale fosse lo stato di partenza. utore: andro Petrizzelli

8 ppunti di lettronica dei istemi igitali - apitolo iversa è invece la situazione descritta nelle due tabelle seguenti: t t + t +... t + N s.s.... i k m L s.s.... j h n Q z... z... t t + t +... t + N s.s.... i k m L s.s.... j h n Q z... z... n questo caso, dopo il primo colpo di clock, l uscita è ancora la stessa a prescindere dallo stato di partenza, mentre è necessario un secondo colpo di clock per ottenere una differenziazione. i dice allora che la sequenza applicata in ingresso è -distinguente e che i due stati considerati sono - equivalenti. n generale, se sono necessari N colpi di clock per ottenere una differenziazione dell uscita a seconda dello stato di partenza, si parlerà di sequenza N-distinguente per i due stati considerati, che sono tra loro N-equivalenti. Può anche capitare un caso particolare in cui l uscita rimanga costantemente uguale, a prescindere dallo stato di partenza, per qualunque numero di colpi di clock: in questo caso, non c è alcun modo per capire, guardando solo l uscita, quale fosse lo stato di partenza, per cui i due possibili stati di partenza i ed j si dicono equivalenti. n definitiva, dunque, la distinzione dei due stati di partenza può avvenire solo se, a parità di sequenza di ingresso applicata, risultano diverse le corrispondenti sequenze di uscita. l numero N di colpi di clock necessario ad ottenere due diverse sequenze di uscita definisce l equivalenza tra i due stati considerati: se si ottiene una uscita diversa dopo N colpi di clock, i due stati sono N- equivalenti ed N-distinguibili, mentre la sequenza di ingresso è N-distinguente. etto ancora in altre parole, dire che due stati sono N-equivalenti significa che non esiste alcuna sequenza di ingresso tale che, dopo N colpi di clock, i due stati portino ad uscite diverse; esiste invece sicuramente almeno una sequenza di ingresso tale che, dopo N+ colpi di clock, i due stati portino ad uscite diverse. Osserviamo infine che l equivalenza tra stati gode della proprietà transitiva: se uno stato è equivalente ad uno stato e questo è a sua volta equivalente ad uno stato, allora anche ed sono tra loro equivalenti. chiaro che vale anche la proprietà riflessiva, in base alla quale ogni stato è equivalente a se stesso. ONFGURZON NGRO PRO upponiamo di avere una macchina a stati finiti (FM) e di applicare in ingresso una sequenza periodica di simboli. sempi di sequenze periodiche sono i seguenti: periodo T = periodo T = periodo T = periodo T = utore: andro Petrizzelli 8

9 ircuiti sequenziali - Parte pplicando una configurazione periodica in ingresso, la macchina percorre necessariamente un ciclo: essa parte quindi da uno stato iniziale, attraversa una serie di altri stati, e poi si riporta nello stato di partenza, da cui il ciclo riparte. ussiste a questo proposito un importante risultato: Teorema - ata una macchina a stati finiti, una eventuale sequenza periodica in uscita non può avere lunghezza superiore al numero degli stati della macchina noltre, a seguito sempre dell applicazione in ingresso di una sequenza periodica, la macchina, dopo un transitorio iniziale, produce necessariamente una sequenza di uscita anch essa periodica; il periodo di tale sequenza di uscita può o meno essere lo stesso della sequenza di ingresso. Riguardo al transitorio iniziale, poi, sussiste un altro importante risultato: Teorema - ata una macchina a stati finiti, la lunghezza del transitorio iniziale non può superare il numero di stati della macchina Facciamo un esempio concreto, considerando una FM il cui grafo orientato sia quello della figura seguente: / / / / / / /,/ n questa macchina, a stati, si osservano una serie di cose interessanti. n primo luogo, gli stati ed sono stati abbastanza particolari e si dicono stati terminali: la macchina, una volta uscita dallo stato, non può più ritornarvi, per cui è detto stato sorgente; in modo inverso, la macchina, una volta giunta nello stato, non può più uscirvi, per cui è detto stato pozzo. Tipicamente, sarà lo stato iniziale della macchina, mentre sarà lo stato in cui la macchina deve giungere quando ha esaurito il suo compito. nche lo stato è particolare, in quanto il comportamento della macchina, una volta che essa sia giunta nello stato, non è completamente specificato: infatti, mentre il grafo indica dove si porta la macchina a seguito dell applicazione in ingresso del simbolo (la macchina va in con uscita ), non viene indicato quello che succede se, partendo da, viene applicato in ingresso il simbolo. Per questo motivo, questo è un tipico esempio di macchina non completamente specificata. Possiamo facilmente determinare la tabella degli stati di questa macchina, nella quale comparirà chiaramente una legata all indeterminazione di comportamento quando la macchina stessa si trova in : 9 utore: andro Petrizzelli

10 ppunti di lettronica dei istemi igitali - apitolo s.p. questo punto, supponiamo di partire dallo stato e di applicare in ingresso alla macchina la seguente sequenza di ingresso: alla tabella delle uscite proviamo a capire quali sono le transizioni di stato: Partendo dallo stato, la macchina riceve in ingresso uno, per cui rimane in ; il successivo bit di ingresso è, per cui la macchina va in ; dopo di che arriva uno, per cui non siamo in grado di dire dove la macchina si porta (da cui la nella sequenza); per il successivo di ingresso, dobbiamo necessariamente ipotizzare in quale stato si trovi la macchina ed ipotizziamo perciò che sia rimasta in : questo significa che, a seguito dell in ingresso, la macchina di porta in. Poi essa riceve uno, per cui torna in, dopo di che la sequenza continua in modo periodico, con lo stesso periodo (T=) dell ingresso. n base a quanto detto prima, se applichiamo una sequenza periodica in ingresso ad una macchina a stati finiti, l uscita di tale macchina, dopo un transitorio, risulta anch essa periodica, come abbiamo visto poco fa. Questo significa che, data una macchina generica, se ad una sequenza periodica in ingresso non corrisponde una sequenza periodica in uscita, la macchina non è sicuramente a stati finiti. upponiamo, ad esempio, di applicare in ingresso alla macchina la seguente sequenza: N fronte di questo ingresso, supponiamo di rilevare, in uscita, la seguente sequenza: OUT i tratta, evidentemente, di una sequenza non periodica (sono intervallati da un numero crescente di ), da cui possiamo senz altro dedurre che la macchina in esame non è a stati finiti. Lo sarebbe, invece, se la sequenza riscontrata in uscita fosse la seguente: OUT n questo caso, la sequenza di uscita è periodica con periodo (si ripete infatti periodicamente la sequenza ). Non solo, ma il fatto che il periodo sia ci dice, in base ad uno dei teoremi enunciati prima, che il numero degli stati è almeno, visto che il periodo di uscita non può superare il numero degli stati. utore: andro Petrizzelli

11 ircuiti sequenziali - Parte ZONTOR QUNZL Vogliamo costruire un circuito sequenziale che realizzi la somma di bit. bbiamo due possibilità: la prima è quella di realizzare un semi-sommatore, che cioè sommi i due bit di ingresso secondo la seguente tabella della verità: z = + la seconda possibilità è quella di realizzare un sommatore completo, che cioè sommi i due bit di ingresso tenendo conto anche del riporto (carr), secondo la seguente tabella della verità: in z out La prima tabella della verità è evidentemente un semplice OR dei due bit, cioè una rete puramente combinatoria. La seconda tabella della verità, invece, è più complessa, data la presenza del carr. Vediamo allora di sintetizzare la corrispondente macchina sequenziale. Possiamo assumere che la macchina abbia ingressi, appunto e, e stati, corrispondenti ai valori ed del carr precedente. Poniamo ad esempio = stato della macchina quando il bit del carr precedente è ; = stato della macchina quando il bit del carr precedente è. on questa posizione, possiamo evidentemente schematizzare il funzionamento della macchina mediante un grafo orientato: una prima possibilità è quella di indicare, nel grafo, il valore del carr successivo corrispondente ad ogni coppia di bit in ingresso: utore: andro Petrizzelli

12 ppunti di lettronica dei istemi igitali - apitolo la seconda possibilità è quella invece di indicare il valore dell uscita, cioè della somma, corrispondente ad ogni coppia di bit in ingresso: Possiamo allora tracciare la tabella degli stati (prime colonne), dell uscita (,, e 8 colonna) e del carr (ultime colonne): s.p. La macchina così ottenuta è chiaramente minima, dato che i due stati e sono tra loro distinguibili (data la diversità delle uscite). MPO: MOLTPLTOR QUNZL...è anche questa una macchina a stati finiti... MNMZZZON LL FM OMPLTMNT PFT Per arrivare ad un criterio sistematico per la minimizzazione delle FM completamente specificate, dobbiamo premettere alcune importanti definizioni. onsideriamo una macchina avente un insieme di stato contenente un certo numero di elementi (cioè quindi di stati in cui la macchina stessa può trovarsi). upponiamo di poter formare due sottoinsiemi e di, che godano della seguente proprietà: esiste almeno una sequenza di ingresso che porta la macchina da un qualsiasi stato di ad un qualsiasi stato di. e questo avviene, si dice che è un -successore di. Vediamo di capirci meglio con un esempio. upponiamo che l insieme di stato della macchina considerata sia = { a, b,c,d,e,f,g, h,i,l} e supponiamo che i due sottoinsiemi in esame siano = { a,b,c} e = { d,e,f }. llora, dire che è un -successore di significa dire che la sequenza è tale che, partendo da un qualsiasi stato di, la macchina giunge comunque in uno stato di. Ovviamente, non è detto che a ciascuno stato iniziale, preso in, corrisponda un diverso stato finale preso in : è sufficiente che lo stato iniziale appartenga ad e che lo stato finale appartenga a. onsideriamo adesso due FM, caratterizzate da insiemi di stato ed. Noi diremo che tali due macchine sono tra loro equivalenti se, preso un qualsiasi stato di, esiste almeno uno stato di che sia ad esso equivalente e, viceversa (ossia se, preso un qualsiasi stato di, esiste almeno uno stato di che sia ad esso equivalente). utore: andro Petrizzelli

13 ircuiti sequenziali - Parte utore: andro Petrizzelli Per avere l equivalenza tra le due macchine, non è assolutamente necessario (anzi) che ed contengano lo stesso numero di stati: è sufficiente che ad ogni stato dell una corrisponda almeno uno stato dell altra che sia equivalente ad. Può ad esempio capitare che contenga N stati, mentre ne contiene uno solo: in questo caso, le due macchine sono equivalenti se e solo se l unico stato di è equivalente a tutti gli stati di. Ogni macchina M può avere diverse altre macchine ad essa equivalenti; di particolare interesse è la macchina equivalente minima, ossia la macchina equivalente ad M che abbia però il numero minimo di stati. L importanza della macchina minima è evidente: dovendo realizzare una FM che realizzi una certa funzione, siamo interessati a determinare la macchina minima che realizzi la funzione, ossia la macchina con il minimo numero di stati, corrispondente cioè ad un circuito logico semplice. l problema della minimizzazione di una FM si riconduce dunque alla determinazione della macchina (equivalente) minima della macchina di partenza considerata. i si possono, però, porre due domande: la macchina minima esiste sempre? e si, è unica? Per rispondere, dobbiamo fare una distinzione: in primo luogo, la macchina minima esiste sempre, per cui ha sempre senso porsi il problema della minimizzazione; in secondo luogo, la macchina minima è unica solo se la FM considerata è completamente specificata; al contrario, se la FM non è completamente specificata, non è detto che la macchina minima sia unica. onsideriamo dunque una FM iniziale, quale può essere ad esempio quella considerata in precedenza per il confronto, una quartina per volta, di due sequenze di bit. Per quella macchina, abbiamo ottenuto la seguente tabella degli stati e delle uscite: U T R Q P O N U T M R L Q P G O N F M L G F.p. s ovvio che diventa importante minimizzare questa macchina.

14 ppunti di lettronica dei istemi igitali - apitolo l primo passo, per la minimizzazione (cioè quindi per la determinazione della macchina minima) consiste nell individuare tutti i possibili gruppi di stati che siano equivalenti tra loro. ndividuati questi gruppi, li si sostituisce ciascuno con solo stato, che ovviamente è equivalente a tutti quelli del corrispondente gruppo. l problema viene dal fatto che non è sempre immediato il riconoscimento degli stati tra loro equivalenti. Nel caso riportato nella tabella di poco fa, si distinguono sicuramente due gruppi di stati equivalenti: il gruppo { N,O,P,Q,R,,T, U}, che sostituiamo con un unico stato α, ed il gruppo {,} che sostituiamo con un unico stato β: s.p. β F G L M α F L N P R T G M O Q U questo punto, mentre lo stato α non è sicuramente equivalente a nessun altro, visto che presenta una uscita diversa da tutti gli altri stati, non è detto che lo stesso valga per gli altri stati. Per esempio, consideriamo gli stati L ed M: tali due stati differiscono solo per il fatto che, in corrispondenza delle combinazioni di ingresso e, portano, rispettivamente, in R o in T e in o in U. ome si vedrà tra un attimo, l equivalenza tra L ed M si ha se sono anche equivalenti R e T e poi ed U ed in effetti questo accade nella macchina considerata (visto che R,T, ed U sono tutti equivalenti tra loro ed equivalenti ad α). Questo, dunque, per dire che la ricerca degli stati equivalenti va condotta in modo sistematico, secondo il metodo che ci accingiamo a descrivere. Ricordiamo che l equivalenza tra stati gode della proprietà riflessiva: per cui un certo numero di stati, equivalenti a due a due, sono tutti tra loro equivalenti. utore: andro Petrizzelli

15 Metodo della tabella triangolare ircuiti sequenziali - Parte onsideriamo due stati i ed k della FM in esame. pplicando in ingresso una certa sequenza, la macchina descrive, in generale, due successioni di stati e due sequenze di uscita a seconda che parta da i ad k. t t + t +... t + N s.s. i j m... L opo il primo colpo di clock, la FM si porta in j o in h, che sono quindi gli stati -successori rispettivamente di i ed k ; dopo N colpi di clock, la FM si porta in L o in Q, che sono quindi gli stati N-successori rispettivamente di i ed k. evidente che i ed k saranno tra loro equivalenti se tutti gli stati -successori sono a loro volta equivalenti: se così non fosse, infatti, sarebbe sempre possibile andare a ritroso e riconoscere lo stato di partenza. llora, per stabilire se i ed k sono tra loro equivalenti, possiamo pensare di indagare sull equivalenza degli stati -successori. pparentemente, questa sembra una complicazione, ma vedremo invece che il metodo della tabella triangolare sfrutta questa proprietà proprio per semplificare il procedimento di minimizzazione. Per capire come funzione questo metodo, facciamo un esempio concreto e consideriamo una macchina ad 8 stati (numerati semplicemente da ad 8), con ingresso ed uscita. upponiamo, in particolare, che la tabella degli stati e delle uscite di questa macchina sia la seguente: s.s. k h n... Q s.p l metodo della tabella triangolare si basa sul principio di confrontare ciascuno stato con tutti gli altri, al fine di individuare le eventuali equivalenze. Per effettuare questi confronti, si usa appunto una tabella, costruita in modo tale che ogni caselle corrisponda ad una coppia di stati. Per l esempio che stiamo considerando, la tabella è fatta nel modo seguente: Ricordiamo che due stati sono equivalenti se, facendo partire la macchina dall uno o dall altro stato e applicando la stessa sequenza di ingresso, la sequenza di uscita è la stessa nei due casi. utore: andro Petrizzelli

16 ppunti di lettronica dei istemi igitali - apitolo 8 i parla di tabella triangolare in quanto, dovendo confrontare una sola volta ciascuno stato con tutti gli altri, si finisce col riempire, in fin dei conti, un triangolo. l riempimento della tabella si esegue sulla base della tabella degli stati. l primo passo consiste nell individuare, tramite appunto la tabella degli stati, tutte quelle coppie di stati che danno, a parità di combinazione di ingresso, uscite diverse: queste coppie sono sicuramente coppie di stati distinguibili, per cui le corrispondenti caselle vanno riempite con una. Per esempio, sono sicuramente distinguibili gli stati e, che danno la stessa uscita (=) per ingresso, ma uscita diversa per ingresso. tesso discorso per gli stati e oppure e e così via. ndividuando tutte le coppie, la prima fase di riempimento della tabella triangolare (detta anche tabella delle implicazioni) porta al seguente risultato: 8 bbiamo dunque individuato coppie di stati distinguibili: in particolare, si tratta di stati - distinguibili, in quanto basta colpo di clock (cioè solo simbolo della sequenza di ingresso) per distinguerli. Le caselle rimaste vuote corrispondono dunque a coppie di stati che forniscono, dopo un colpo di clock, la stessa uscita: sono cioè stati -equivalenti. Per queste coppie dobbiamo adesso applicare la proprietà secondo cui due stati sono equivalenti se lo sono i loro stati -successori. n particolare, noi ci riferiamo solo agli stati -successori, cioè agli stati che si ottengono, da quelli di partenza, dopo solo colpo di clock. Questo perché gli stati -successori si ottengono direttamente dalla tabella degli stati. Per esempio, consideriamo la prima casella in alto a sinistra, corrispondente alla coppia di stati (,): se l ingresso è, entrambi gli stati portano la macchina nello stato 8, mentre, se l ingresso è, dallo stato si passa in e dallo stato si passa in. llora, per la proprietà di prima, gli stati e saranno equivalenti se lo sono anche e (visto che 8 è sicuramente equivalente a se stesso). ndiamo allora a scrivere la coppia (,) nella casella corrispondente alla coppia (,), proprio per indicare che l equivalenza di e implica (da cui il termine implicazioni) l equivalenza tra e : utore: andro Petrizzelli

17 ircuiti sequenziali - Parte utore: andro Petrizzelli 8, nalogo discorso dobbiamo fare per tutte le altre coppie di stati corrispondenti a caselle rimaste vuote: 8,,,,8,,,8,,8,,,8,8,,,8,,8,,8,8, questo punto, consideriamo per esempio la coppia (,8): in base al contenuto della casella, l equivalenza tra ed 8 implica anche l equivalenza tra e 8 e tra e ; d altra parte, la casella corrispondente alla coppia (,8) è riempita con una, ossia indica la distinguibilità tra tali due stati. i conseguenza, se e 8 sono tra loro distinguibili, necessariamente lo saranno anche ed 8, per cui potremo riempire anche la casella corrispondente a quest ultima coppia con una. Lo stesso tipo di analisi dobbiamo fare anche per le altre caselle non riempite con la : ad esempio, osservando la coppia (,), l equivalenza tra e implica quella tra ed 8, che però sono distinguibili (la casella (,8) è riempita da una ), per cui anche la casella (,) va riempita con una. Proseguendo per tutte le altre coppie, la tabella delle implicazioni diventa la seguente:

18 ppunti di lettronica dei istemi igitali - apitolo 8,,8,,8,,8,,8,,, questo punto, abbiamo aggiunto delle nuove, per cui dobbiamo necessariamente ripetere il procedimento appena descritto, verificando se queste nuove escludono o meno altre equivalenze. n questo caso, non ci sono conseguenze derivanti dalle nuove, per cui possiamo andare avanti con il metodo. iamo arrivati dunque al punto in cui non abbiamo alcun motivo di ritenere che le coppie rimaste (cioè le caselle non contrassegnate con ) siano coppie di stati distinguibili. i conseguenza, dobbiamo concludere che tali caselle corrispondono a coppie di stati equivalenti tra loro. i tratta delle seguenti coppie: (,) (,) (,) (,) (,) (,8) (,) on queste coppie dobbiamo formare gruppi di stati tra loro equivalenti. Per fare questo, basta applicare nuovamente la proprietà transitiva: per esempio, dato che gli stati e sono equivalenti e lo sono anche e, necessariamente lo saranno anche e, come indicato infatti esplicitamente dalla coppia. tesso discorso per gli stati, e, che sono tutti equivalenti tra loro. Quindi, otteniamo gruppi di stati equivalenti: (,,) (,,) (,8) Tali gruppi prendono il nome di massimi equivalenti: si usa l aggettivo massimi per indicare che ciascun gruppo non può ulteriormente essere ingrandito, ossia incrementato dall aggiunta di un nuovo stato. e invece fosse possibile ingrandire ulteriormente, ad esempio, uno di tali gruppi, allora lo si chiamerebbe semplicemente equivalente: dopo l ingrandimento, quando non può accogliere alcun ulteriore stato, esso diventa appunto un massimo equivalente. d ognuno di questi gruppi possiamo sostituire un unico stato: ponendo perciò α=(,,), β=(,,) e γ=(,8), ci siamo ricondotti ad una macchina, equivalente a quella di partenza, che possiede solo questi stati. Non solo, ma proprio per il fatto che non siano possibili ulteriori riduzioni, siamo certi che questa sia la macchina minima equivalente a quella di partenza. llora, dato che il nostro scopo è quello di sintetizzare la macchina minima, dobbiamo determinarne la tabella degli stati (e delle uscite) e lo facciamo basandoci sia sulle equivalenze appena trovate sia, ovviamente, sulla base della tabella degli stati (e delle uscite) della macchina di partenza. ntanto, la struttura della tabella è ovviamente la seguente: utore: andro Petrizzelli 8

19 ircuiti sequenziali - Parte s.p. α β γ upponiamo di partire dallo stato α, ossia quindi dallo stato o da o da : applicando l ingresso, la macchina va in 8 oppure in 8 oppure in ; dato che ed 8 appartengono a γ, deduciamo che la casella della tabella va riempita con γ: s.p. α β γ γ tesso discorso dobbiamo fare per le altre transizioni, individuando sia lo stato successivo sia l uscita. La tabella risulta riempita nel modo seguente: s.p. α β γ γ α α α γ β questo punto, la minimizzazione è conclusa, per cui rimane da sintetizzare la macchina così come abbiamo fatto nei paragrafi precedenti. vendo diversi stati in cui la macchina può trovarsi, dobbiamo usare variabili di stato ( e ) con cui codificarli. Facciamo allora l assegnamento delle combinazioni, scegliendo (per il momento) a caso le combinazioni: ad esempio α=, β= e γ=. on questo assegnamento, la tabella degli stati diventa la seguente: s.p. α = β = γ = rimasta inassegnata la configurazione di stato = e =, per cui sappiamo che, in corrispondenza di questi due valori delle variabili di stato, le funzioni che dovremo sintetizzare presenteranno delle condizioni don t care oltre a quelle dovute ad eventuali condizioni don t care nella tabella di pilotaggio dei flip-flop. l passo successivo è proprio quello di scegliere il tipo di flip-flop da usare per la parte di memoria del circuito sequenziale: scegliamo ad esempio flip-flop di tipo J-K, del quale riportiamo ancora una volta la tabella di pilotaggio: Q Q + J K T RT 9 utore: andro Petrizzelli

20 ppunti di lettronica dei istemi igitali - apitolo n base a questa scelta, le funzioni da sintetizzare sono : J,K, J e K. Ricordiamo, a questo proposito, quanto segue: la funzione J presenta un (cioè un mintermine) solo quando l uscita del flip-flop commuta da ad ; presenta poi due condizioni don t care, quando l uscita del flip-flop rimane oppure quando commuta da a ; la funzione K presenta invece un (cioè un mintermine) solo quando l uscita del flip-flop commuta da a ; presenta inoltre due condizioni don t care, quando l uscita del flip-flop rimane oppure quando commuta da a. ulla base di queste considerazioni e osservando inoltre che ci saranno sempre condizioni don t care associate alla configurazione di stato = e = che non è stata assegnata, passiamo alla sintetizzazione. ominciamo dalla funzione J e ricaviamo direttamente la mappa di Karnaugh di questa funzione: e poniamo ad le condizioni don t care corrispondenti ai mintermini e, otteniamo due subcubi di ordine, cui corrisponde la funzione J = + ' Passiamo adesso alla funzione K, la cui mappa di Karnaugh risulta essere la seguente: n questo caso, la semplificazione è immediata, in quanto ci basta porre ad tutte le condizioni don t care per concludere che K = bbiamo dunque completato il circuito di pilotaggio del primo flip-flop. n modo analogo, dobbiamo procedere per il secondo flip-flop. La mappa di Karnaugh della funzione J risulta essere la seguente: utore: andro Petrizzelli

21 ircuiti sequenziali - Parte e poniamo ad le condizioni don t care corrispondenti ai mintermini, e, otteniamo un subcubo di ordine, cui corrisponde la funzione J = ' nfine, consideriamo la funzione K, la cui mappa di Karnaugh risulta essere la seguente: Ponendo ad le condizioni don t care sulla prima colonna (mintermini e ), otteniamo ancora una volta un subcubo di ordine, cui corrisponde ancora una volta la funzione K = ' nfine, dobbiamo sintetizzare il circuito combinatorio che fornisce l uscita (ricordando che tale circuito non dipende in alcun modo dal tipo di flip-flop utilizzati). La tabella della verità (e quindi la corrispondente mappa di Karnaugh) della funzione Z si ottiene banalmente dalla tabella degli stati e delle uscite del circuito sequenziale: s.p. α = β = γ = Ponendo a zero le condizioni don t care, otteniamo Z = ' questo punto, siamo in grado di sintetizzare il circuito combinatorio nel suo complesso: ' utore: andro Petrizzelli

22 ppunti di lettronica dei istemi igitali - apitolo MPO: ZONTOR QUNZL Vogliamo realizzare un circuito sequenziale che realizzi la somma di bit secondo la seguente tabella della verità: in z out bbiamo già visto in precedenza che la tabella degli stati (prime colonne), dell uscita (,, e 8 colonna) e del carr (ultime colonne): s.p. La tabella del carr serve semplicemente ad associare a ciascuno dei due stati e la corrispondente codifica binaria: = e =. La macchina così ottenuta è chiaramente minima, dato che i due stati e sono tra loro distinguibili (data la diversità delle uscite). La sintetizzazione della macchina è immediata. bbiamo infatti soli stati, che codifichiamo mediante un unica variabile di stato. Usando quindi solo flip-flop di tipo, la mappa di Karnaugh della funzione Y = presenta tanti quante sono le combinazioni di,, per le quali il carr va ad : utore: andro Petrizzelli

23 ircuiti sequenziali - Parte Y + = = (,) + (,) + (,) = + Passiamo all uscita, la cui sintetizzazione è ancora più semplice: Z= () + () + () + () = ' = ' = ' + ' ' + ' ' + = ( ' + ' ) + ( ' ' + ) = ' ( ) + ( )' ( ) = = Lo schema del circuito è dunque il seguente: MNMZZZON LL FM NON OMPLTMNT PFT onsideriamo adesso una FM non completamente specificate, tale cioè che la tabella degli stati e delle uscite presenti almeno una condizione don t care, ossia una transizione di stato o un valore dell uscita non specificato. Per minimizzare una macchina di questo tipo, si seguono concetti del tutto analoghi a quelli appena visti per le FM completamente specificate, con la differenza che non possiamo più parlare utore: andro Petrizzelli

24 ppunti di lettronica dei istemi igitali - apitolo di equivalenza degli stati (appunto a causa delle transizioni non specificate), ma solo di compatibilità tra stati: due stati si dicono compatibili se...(?) La compatibilità, a differenza dell equivalenza, non gode della proprietà transitiva: ciò significa che, se e sono due stati compatibili e anche e sono due stati compatibili, non siamo immediatamente autorizzati ad affermare che anche e sono stati compatibili, ma dobbiamo verificarlo direttamente. Questo, evidentemente, comporta che la costruzione della tabella triangolare, valida anche in questo caso, vada effettuata in modo leggermente diverso da quanto fatto nel caso delle FM completamente specificate. La conseguenza fondamentale del fatto che la compatibilità non goda della proprietà transitiva è la seguente: nel caso delle FM completamente specificate, abbiamo visto che, applicando appunto la proprietà transitiva, si riescono a costruire dei gruppi di stati (equivalenti) della macchina, gruppi caratterizzati dal fatto che ciascuno stato compare in uno ed un solo gruppo; anche nel caso delle FM non completamente specificate si riescono a costruire gruppi di stati (compatibili), ma è possibile che uno stesso stato compaia in più di un gruppo. siste allora un modo formale di descrivere questa caratteristica: nelle FM completamente specificate, si dice che i gruppi di stati equivalenti costituiscono delle partizioni dell insieme di stato della macchina considerata: infatti, tali gruppi sono tali che la loro unione dia proprio e che la loro intersezione dia invece l insieme nullo (proprio perché ogni stato è contenuto in solo gruppo); nelle FM non completamente specificate, invece, i gruppi di stati compatibili non costituiscono più delle partizioni, in quanto è vero che la loro unione dia ancora l insieme di stato, ma non è più vero, in generale, che la loro intersezione dia l insieme nullo (proprio perché uno stato può essere contenuto in più di un gruppo): si dice, in questo caso, che la relazione di compatibilità dà luogo alla copertura degli stati, proprio per indicare che l unione dei gruppi di stati compatibili dà origine all insieme, ossia copre tutti i possibili stati della macchina. Gli insiemi di stati compatibili prendono il nome di compatibili. Quindi, per la minimizzazione di una FM non completamente specificata, il primo passo è quello di costruire, usando ancora una volta la tabella triangolare, i compatibili della macchina, ossia appunto i gruppi di stati compatibili. uccessivamente, si può tentare di ingrandire tali compatibili, cioè di aggiungere, a ciascuno di essi, uno o più stati: ad esempio, supponiamo di aver trovato un compatibile del tipo α=(,,), dove, e sono chiaramente stati compatibili tra loro; supponiamo che ci sia un altro stato della macchina di partenza: possiamo provare a vedere se questo stato appartiene al compatibile α: per farlo, dobbiamo verificare che sia compatibile con, con e con. e è così, allora il compatibile α risulta ingrandito dalla presenza di, altrimenti rimane costituito dai stati di partenza. Fatta una verificare di questo tipo per tutti i compatibili, si arriva dunque al punto in cui tutti i compatibili trovati non possono essere ulteriormente ingranditi: si dice allora che i compatibili sono adesso dei massimi compatibili. questo punto, i massimi compatibili hanno una funzione analoga a quella dei massimi equivalenti considerati per le FM completamente specificate: la macchina minima, equivalente a quella di partenza, sarà formata dal minimo numero di massimi compatibili necessario a coprire tutti gli stati della macchina di partenza. Questo enunciato lascia capire immediatamente una cosa, già accennata in precedenza: dato l insieme dei massimi compatibili, è possibile garantire la copertura degli stati della macchina di utore: andro Petrizzelli

25 ircuiti sequenziali - Parte partenza usando combinazioni diverse di massimi compatibili, il che mostra la possibilità che esistano più macchine minime equivalenti a quella di partenza. Facciamo un esempio, supponendo di avere una FM non completamente specificata formata dai seguenti stati: = {,,,,,F,G}. upponiamo, inoltre, di aver trovato i seguenti massimi compatibili:,,,f,,,,g,,, F { } { } { } { } { } evidente che possiamo garantire la copertura dei stati della macchina di partenza usando due diverse combinazioni di massimi compatibili: combinazione { }, {,,F }, {,,,G} combinazione {,,,G }, {, }, { F} on queste due combinazioni otteniamo due distinte macchine minime, entrambe equivalenti con quella di partenza. bbiamo quindi ribadito il concetto per cui, mentre una FM completamente specificata ha una ed una sola macchina minima equivalente, una FM non completamente specificata può averne più di una. l motivo è proprio nel fatto che, a differenza dell equivalenza, la compatibilità tra stati non gode della proprietà transitiva. sempio Mettiamo subito in pratica, mediante un esempio, le cose dette nel paragrafo precedente circa la minimizzazione di una FM completamente specificata. onsideriamo perciò una FM non completamente specificata, avente ingresso (), uscita (z) e 8 stati: s.p. 8 La presenza di numerose condizioni don t care (rappresentate come sempre dalle ) nella tabella degli stati e delle uscite ci indica inequivocabilmente che la FM non è completamente specificata. e andassimo a tracciare il corrispondente grafo orientato, non potremmo indicare alcuni archi corrispondenti a transizioni di stato e, su alcuni degli archi che invece possiamo tracciare, non saremmo in grado di indicare le corrispondenti uscite. l nostro obbiettivo è minimizzare la macchina, che poi significa, in fin dei conti, eliminare gli stati che non sono strettamente necessari per descrivere il funzionamento della macchina stessa. ome detto in precedenza, dobbiamo seguire passi del tutto analoghi a quelli visti per la riduzione delle FM completamente specificate, per cui cominciamo a tracciare la struttura della tabella triangolare, che assume in questo caso il significato di tabella delle compatibilità: 8 utore: andro Petrizzelli

26 ppunti di lettronica dei istemi igitali - apitolo 8 Per prima cosa, dobbiamo individuare, tramite la tabella degli stati, tutte quelle coppie di stati che danno, a parità di combinazione di ingresso, uscite diverse: queste coppie sono sicuramente coppie di stati distinguibili, per cui le corrispondenti caselle vanno riempite con una. Per esempio, sono sicuramente distinguibili gli stati e, oppure anche gli stati e e così via. La prima fase di riempimento della tabella porta dunque al seguente risultato: 8 bbiamo dunque individuato 8 coppie di stati distinguibili: in particolare, si tratta di stati - distinguibili, in quanto basta colpo di clock (cioè solo simbolo della sequenza di ingresso) per distinguerli. Le caselle rimaste vuote corrispondono dunque a coppie di stati che possono fornire, dopo un colpo di clock, la stessa uscita: diciamo possono in quanto ci sono di mezzo alcune condizioni don t care, cioè valori dell uscita non specificati. Per queste coppie, così come nel caso delle FM completamente specificate, dobbiamo adesso applicare la proprietà secondo cui due stati sono compatibili se lo sono i loro stati -successori. n particolare, noi ci riferiamo solo agli stati -successori, cioè agli stati che si ottengono, da quelli di partenza, dopo solo colpo di clock. Questo perché gli stati -successori si ottengono direttamente dalla tabella degli stati. Per esempio, procediamo per colonne e dall alto verso il basso. Nella prima colonna, l unica caselle non riempita è quella corrispondente alla coppia (,): mentre l uscita corrispondente allo stato è completamente specificata, quella corrispondente allo stato non lo è; questi due stati saranno compatibili se lo sono i loro stati successori, che in questo caso sono rappresentati dalle coppie (,8) e (,); dato che, in quest ultima coppia, è presente una condizione don t care, non ce ne preoccupiamo, considerando solo l altro stato: deduciamo allora che gli stati e sono compatibili se lo so e 8, per cui riempiamo con la coppia (,8) la casella corrispondente alla coppia (,). utore: andro Petrizzelli

27 ircuiti sequenziali - Parte n modo analogo dobbiamo procedere per le altre caselle ancora vuote, ottenendo quanto segue: 8,8,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, bbiamo riempito alcune caselle con la lettera per indicare coppie di stati indistinguibili: coppia,: lo stato -successore dello stato, in corrispondenza di =, non è specificato, così come non è specificato lo stato -successore dello stato in corrispondenza di =; di conseguenza, non abbiamo modo di distinguere uno stato dall altro; coppia,: la compatibilità di questi due stati si ha se sono compatibili,, cioè gli stessi stati di partenza, per cui anche in questo caso non abbiamo modo di distinguere uno stato dall altro; coppia,: stesso discorso per questa coppia; coppia,: vale lo stesso discorso della coppia,. questo punto, sempre in analogia con quanto fatto nel caso delle FM completamente specificate, dobbiamo verificare se le già presenti comportano distinguibilità tra gli stati che invece sono risultati essere potenzialmente compatibili. onsideriamo per esempio la coppia (,): in base al contenuto della casella, l equivalenza tra ed implica anche l equivalenza tra e e tra e ; d altra parte, la casella corrispondente alla coppia (,) è riempita con una, ossia indica la distinguibilità tra tali due stati. i conseguenza, se e sono tra loro distinguibili, necessariamente lo saranno anche ed, per cui potremo riempire anche la casella corrispondente a quest ultima coppia con una. Lo stesso tipo di analisi dobbiamo fare anche per le altre caselle non riempite con la : ad esempio, osservando la coppia (,), l equivalenza tra e implica quella tra e, che però sono distinguibili (la casella (,) è riempita da una ), per cui anche la casella (,) va riempita con una. Proseguendo per tutte le altre coppie, la tabella delle implicazioni diventa la seguente: utore: andro Petrizzelli